Exercice 1 (Monty Hall Vous êtes invités à une émission télévisée. Sur le plateau, vous voici devant trois portes. Votre hôte vous explique que derrière une de ces portes, se trouve la voiture de vos rêves. Derrière chacune des deux autres, se trouve une chèvre. Vous avez le droit de choisir une porte, et de repartir avec ce qu il y a derrière (je suppose ici que vous n avez pas particulièrement envie de repartir avec une chèvre. Après que vous ayez choisi une porte, votre hôte, avant de l ouvrir, ouvre une des deux portes restantes, et révèle une chèvre. Il vous demande alors si vous restez sur votre choix, ou si vous désirez changer de porte. Que faites-vous? Exercice (personne ne s attend à l Inquisition Espagnole Vous et votre ami êtes tombés aux mains de l Inquisition Espagnole. Vous êtes suspectés d être de puissants sorciers, et l Inquisition décide de vous mettre à l épreuve. Vous allez chacun reçevoir, tirée au hasard dans deux bourses différentes, une pierre de couleur, noire ou blanche. Vous connaissez la couleur de votre pierre, mais pas celle de la pierre de votre ami. Pour tester vos pouvoirs psychiques, on vous demande de prédire la couleur de la pierre de l autre (noire ou blanche. Si vous avez tous les deux correctement prédit la couleur de la pierre de l autre, vous êtes évidemment doués de pouvoirs surnaturels! C est donc le bûcher pour vous deux. Si vous vous êtes tous les deux trompés, vous n êtes vraisemblablement que de pauvres drilles innocents, et vous serez relâchés. Si l un d entre vous se trompe, mais pas l autre, l expérience est évidemment inconclusive. Il va donc falloir recommencer... 1. N étant évidemment pas psychiques, vous décidez de répondre au hasard à chaque fois. Sachant que chaque bourse contient B pierres blanches et N pierres noires, quelle est la probabilité p d être brûlé à l issue du premier tour? La probabilité q d être relâché? La probabilité r de devoir repasser l épreuve?. Quelle est la probabilité d être relâché au tour n? D avoir survécu aux n premiers tours (si vous êtes libérés lors d une épreuve, vous avez survécus à tous les tours, évidemment...? 3. Au final, quelles sont vos chances de survie? 4. Vous apprenez qu il y a en réalité plus de pierres blanches que de noires, aussi vous décidez de toujours répondre "noir" pour maximiser vos chances de vous tromper. Quelles sont vos chances de survie (votre ami a la même stratégie? 5. Bien évidemment, l inquisition ne va pas vous laisser partir comme ça... et d ailleurs, si vous étiez réellement psychiques, vous feriez évidemment exprès de vous tromper tous les deux pour être libérés! Dans ce cas, l inquisition décide de vous noyer pour vérifier (les sorcières flottent, c est bien connu. Si vous vous noyez, vous êtes acquittés de manière posthume. Si vous flottez, c est le bûcher. Quelles sont vos chances de survie dans ce cas si vous continuez de répondre au hasard? toujours noir? La situation semble difficile... saurez-vous vous en sortir? Si vous avez trouvé une stratégie vous permettant de repasser l épreuve indéfiniment, vous pouvez passer à l exercice suivant. Sinon, désolé, vous êtes morts... Exercice 3 (excès de vitesse? Vous rentrez chez vous, la nuit, sur le trottoir, lorsqu un motard passe à côté de vous, allant dans la même direction. Vous remarquez que votre ombre, projetée par le phare de la moto, reste au même point sur le mur. Vous marchez à un allure d environ 5km.h 1, au milieu du trottoir, qui fait environ 1
1m de large, et la moto roule au milieu de la route, qui fait 4m de large. À quelle vitesse roule la moto? Exercice 4 (un problème de pavement De retour à votre demeure, vous remarquez que la cour intérieure où se trouve votre tour 1 est en piteux état, et vous décidez de refaire le pavement. La cour est circulaire, avec votre tour, circulaire elle aussi, au centre. Hélas, vous ne connaissez pas, ni le diamètre de la tour, ni celui de la cour... Pouvez-vous trouver une méthode pour trouver l aire au sol à repaver (l aire de la cour privée de la tour? Indication : il existe une méthode ne demandant de mesurer qu une seule longeur. Exercice 5 (Dépistage Une maladie frappe une petite partie de la population. Environ 5 individus sur 100 sont touchés. Hélas, une fois que les symptômes apparaîssent, il est déjà trop tard pour commencer le traitement. Il existe un test, qui permet d obtenir une information sur l état de santé du patient : en effet, le test répond positif pour 95% des malades, alors qu il ne se trompe (i.e. répond positif pour des individus sains que 5% du temps. Vous avez passé ce test, qui répond positif. Quelle est la probabilité que vous soyez effectivement atteint? On suppose que les erreurs du test ne sont pas dûes au métabolisme du patient, mais à un protocole expérimental délicat. Ainsi, un patient peut repasser autant de tests qu il le souhaite, et ces tests sont donc tous indépendants. Quelle est la probabilité d être atteint si vous avez passé n tests, qui ont tous répondu positifs? Exercice 6 (un peu de balistique... 99 après la Conquète, Westeros. Bronn est chargé de tirer une flèche enflammée dans le Blackwater. Il se positionne sur la rive. Son arc est assez puissant pour lancer une flèche à près de v = 50m.s 1. La physique nous dit que la position de la flèche après le tir au temps t (en secondes est donnée par la formule suivante (on néglige les frottements de l air, ce qui est très mal... mais bien plus simple! : { x = v. cos(θ.t (distance horizontale parcourure par la flèche y = v. sin(θ.t 1.g.t (altitude de la flèche. Ici, g est la constante d accélération dûe à la gravité, et vaut environ g 10m.s (on suppose que Westeros possède une gravitée similaire à la nôtre... La variable θ représente l angle de tir par rapport à l horizontale. Pour l instant, on considérera cos(θ et sin(θ comme des constantes fixées, comprises entre 0 et 1. 1. Bronn tire tout droit (cos(θ = 1 et sin(θ = 0. (a Au bout de combien de temps la flèche aura parcouru x = 100m (on trouvera d abord la formule générale, quelque soit θ? (b De combien de mètres la flèche a-t-elle baissé au bout de 100m (on suppose que le Blackwater est soudainement à sec?. Bronn tire à la verticale (cos(θ = 0 et sin(θ = 1, ce qui n est pas très malin. Quelle est l altitude maximale atteinte par la flèche? 1. Évidemment, vous étiez un sorcier depuis le début... mais sans pouvoirs psychiques, hélas.
3. Pour l instant, on néglige la taille de Bronn, et on suppose que la surface du Blackwater est à y = 0m. (a Montrer que, quelque soit l angle de tir (0 < cos(θ 1 et 0 sin(θ < 1, la flèche touchera toujours la surface du Blackwater (à condition que Bronn tire dans la bonne direction, évidemment!. Au bout de combien de temps? (b Quelle distance a-t-elle alors parcouru? (c On donne à présent la formule suivante, vraie quelque soit l angle θ : cos (θ + sin (θ = 1. Ainsi, si l on pose s = sin(θ, cos(θ = 1 s. On va chercher à trouver l angle qui permet de lancer la flèche le plus loin. Justifier le fait que la distance parcourue par la flèche quand elle touche la surface est proportionnelle à s 1 s. On veut donc trouver la valeur de s qui maximise cette quantité. Justifier que cette valeur maximise aussi la quantité s (1 s. Trouver l angle qui permet à Bronn de lancer sa flèche le plus loin. Quelle est la portée maximale de son arc? 4. Bronn se demande s il ne ferait pas mieux de monter sur le rempart voisin. La surface du Blackwater est à y b = 0m en contrebas, mais x b = 100m plus loin. (a Montrer encore une fois que, quelque soit l angle de tir (0 cos(θ 1 et 0 sin(θ 1, la flèche touchera toujours la surface du Blackwater (ou du moins, l altitude y = 0m. Au bout de combien de temps? (b Donner la formule générale donnant le temps au bout duquel la flèche a parcouru une distance horizontale x. (c Montrer que l altitude où se trouve alors la flèche est donnée par la formule y = x tan(θ x ( 1 + tan (θ. On introduira la fonction tangente tan(θ = sin(θ cos(θ (d Quelle est la forme de ces trajectoires? En tracer la forme générale pour quelques angles. (e Quels sont les points (x, y accessibles? (f Bronn ferait-il mieux de se poster sur les remparts? 5. À votre avis, Bronn a-t-il eu à faire tous ces calculs? 3
Exercice 1 (Monty Hall (Voir l énoncé Supposons que j étiquette A la porte que j ai choisi au premier tour, puis B et C les suivantes. Il y a trois possibilités pour la position de la voiture, derrière la porte A, B, ou C, et ces possibilités sont équiprobables. Quelque soit le choix du présentateur, si je décide de changer, je perd si la voiture est derrière la porte A, et je gagne sinon. Si je décide de rester sur ma décision, je ne gagne que si la voiture est derrière la porte A. Si je décide de changer, je gagne dans cas sur 3 cas équiprobables, j ai donc une probabilité de 3 de gagner. Similairement, si je ne change pas, j ai une probabilité de 1 3 de gagner. J ai donc tout intérêt à changer mon choix. Exercice (personne ne s attend à l Inquisition Espagnole (Voir l énoncé 1. Étudions la probabilité de prédire correctement la boule de notre ami. Il y a deux possibilités : je peux avoir prédit une pierre blanche, et il avait effectivement une pierre blanche, ou je peux avoir prédit une pierre noire, et il avait effectivement une pierre noire. Au total : P(ma prédiction correcte = P(je prédis une pierre blanchep(il a une pierre blanche + P(je prédis une pie 1 B B + N + 1 N B + N = 1 La situation étant symétrique, mon ami a donc lui aussi une chance sur deux de correctement prédire la couleur de ma pierre. Les deux éxpérience étant indépendantes, nous avons donc au total : une probabilité p = 1 1 = 1 4 d être brulés au premier tour (deux prédictions correctes, une probabilité q = (1 1 (1 1 = 1 4 d être relâchés au premier tour (deux prédictions incorrectes, une probabilité r = (1 1 1 + 1 (1 1 = 1 de repasser l épreuve.. Pour être relâché au tour n, il faut devoir repasser l épreuve aux n 1 premiers tours (probabilité r, et être relâché au tour n (probabilité q. Les épreuves étant indépendantes, on obtient au total : P(relâchés au tour n = r n 1 q = 1 n+1 Pour survivre aux n premiers tours, il faut être relâché à un tour quelconque avant n, ou devoir repasser l épreuve au tour n. Nous avons donc : n s n = P(survivre aux n premiers tours = r i 1 q + r n i=1 ( 1 r n = q 1 r = 1 + r n ( 1 1 n + 1 n 1 3. Je survis si je survis à tous les tours, ce qui signifie (puisque survivre au tour n implique de survivre aux précédents que mes chances de survies sont égales à la limite de s n lorsque n tends vers : P(survivre = lim n s n = q 1 r = 1 4. Le raisonnement est exactement le même, seules changent les probabilités p, q, r, qui valent à présent : 4
p = N, (N+B q = B, (N+B r = BN. (N+B Selon les mêmes calculs, on obtient donc P(survivre = q 1 r = B (N + B (N + B B + N = B N + B > 1 5. Mes chances de survie dans ce cas sont uniquement les chances de devoir indéfiniment repasser l épreuve... La probabilité est donc la limte de r n quand n, qui vaut 0 dans les deux cas. Je suis donc sûr de mourir tôt ou tard... Sauf si nous trouvons une méthode pour que r = 1. Une telle méthode existe : il suffit par exemple que l un d entre nous prédise toujours la couleur de sa pierre, et l autre, l inverse. Ainsi, l un prédit toujours correctement si les deux pierres sont de même couleur, l autre si elles sont de couleur différente. Comme les deux n arrivent jamais en même temps, il faudra toujours repasser l épreuve. Exercice 3 (excès de vitesse? (Voir l énoncé Notons v, v la vitesse de la moto et la vôtre. Prenons deux instants quelconques, 1 et. Votre ombre (O, vous-même (V 1, V et la moto (M 1, M sont toujours alignés. Comme la moto et vous-même allez dans la même direction, (V 1 V et (M 1 M sont parallèles. Le théorème de Thalès nous dit donc que M 1M V 1 V = OM 1 OV 1, et que donc la moto roule donc à 30km.h 1. v v = V 1V M 1 M = OV 1 OM 1 = 6, Exercice 4 (un problème de pavement (Voir l énoncé Notons R le diamètre de la cour, et r le diamètre de la tour. L aire à paver est égale à l aire de la cour (avec la tour, moins celle de la tour, ce qui donne au total A = π(r r. Considérons à présent un point M quelconque sur la périphérie de la tour, et traçons la tangente à la tour passant par M. Cette tangente coupe la périphérie de la cour en deux points A et B. Notons à présent O le centre commun à la tour et à la cour. Par construction, comme (MA est tangente au cercle, le triangle OMA est rectangle en M. D après le théorème de Pythagore, On obtient donc que MA = OA OM = R r. A = π(ma. La distance MA = AB est aisée à mesurer, il suffit de tendre une corde tangente à la tour entre deux points de la périphérie de la cour, et de mesurer sa longeur. Exercice 5 (dépistage (Voir l énoncé Comptons, sur 10000 personnes, combien de personnes (en moyenne se trouveront avoir un test positif, et parmi celles-ci, lesquelles seront effectivement malades. Sur 10000 personnes, nous savons qu en moyenne, 500 sont malades. Sur ces 500 personnes, 95 100500 = 475 auront un test positif. Nous savons de plus que 9500 personnes sont saines. Sur ces 5 9500 personnes, 1009500 = 475 auront un test positif. 5
Au total, nous avons 475+475 = 950 personnes qui recevront un test positif, et parmis elles, seules 475 seront effectivement atteintes seulement la moitié. Comptons à présent la proportion de personnes qui ont n tests postitifs successifs. Pour une personne malade (5% de la population, la probabilité est de.95 n. Pour une personne saine (95% de la population, la probabilité est de.05 n. Au total, P(malade sachant que n tests positifs = = = P(malade et n tests positif P(n tests positifs.05.95 n.05.95 n +.95.05 n 1 ( n 1. 1 +.05.95 Exercice 6 (un peu de balistique... (Voir l énoncé 1. (a Il s agit de résoudre le système d inconnues t et y : { 100 = v. cos(θ.t y = v. sin(θ.t 1.g.t. On trouve t = x v = s et y = 1 g x v = 0m.. L équation est alors y = vt 1 gt. La solution y(t peut ici être vu comme une fonction de t. Sa dérivée y : t v gt s annule en t = v g, est strictement positive pour t < v g, strictement négative pour t < v g. L altitude maximale est y = v v g 1 g v g = v g = h = 15m. 3. (a La flèche touche la surface du Blackwater (y = 0 si, et seulement si, l équation v. sin(θ.t 1.g.t = 0 admet une solution non nulle en t. Ou, de manière équivalente, si, et seulement si, t R +, v. sin(θ.t 1.g.t = 0. Or cette équation se réécrit t(v sin(θ 1 gt = 0, dont les solutions sont évidemment t = 0 v sin(θ et t = g. Cette dernière, qui donne la formule pour le temps de vol, est positive dès que sin(θ > 0. Ainsi, on a t R +, v. sin(θ.t 1.g.t = 0 sin(θ > 0. Comme, par hypothèse, sin(θ > 0, on a bien le résultat. (b Connaissant à présent t, on doit résoudre l équation (d inconnue x x = v. cos(θ.t, ce qui donne v sin(θ x = v cos(θ = cos(θ sin(θ. g (c La formule précédente se réécrit x = s 1 s. Comme la fonction X X est croissante sur [0,, s s ( 1 s est maximale aux mêmes points que s s 1 s = s (1 s. On cherche donc le maximum de la fonction f : s s (1 s sur [0, 1]. Sa dérivée est f : s s(1 s s 3 = s(1 s. Elle s annule en s = 0 et s = (la racine négative n est pas dans l intervalle d étude, ce qui correspond à un angle de 45. 6
Soit s un réel. On a les implications suivantes : 0 s = (0 s 1 et (0 s = ( 1 1 s 0 et (0 s = s(1 s 0 Ainsi, Et, similairement, s R0 s s R = (s(1 s 0, s = (s(1 s 0. On en déduit donc que f est positive sur [0, ] et négative sur [, 1]. f est donc croissante, puis décroissante sur ces intervalles et son maximum est donc bien atteint en. La portée maximale est donc ( x m = h 1 = h = 50m. 4. (a On cherche à présent une solution à l équation v. sin(θ.t 1.g.t = y b. Son discriminant est = v sin (θ gy b. Le déterminant est positif dès que y b v g sin (θ = h sin (θ, et donc l équation admet des solutions uniquement dans ce cas (on retrouve d ailleurs l altitude maximale. Comme ici, y b est négatif, on a toujours des solutions, quelque soit l angle. Les solutions sont t = v sin(θ ± v sin (θ gy b g = v sin(θ g ( 1 ± 1 gy b v sin (θ (b On trouve t = (c Le calcul donne x v cos(θ x y = v sin(θ v cos(θ 1 ( g x v cos(θ = sin(θ cos(θ x gx v 1 = x tan(θ x cos (θ ( 1 + tan (θ. (d On reconnaît, sans surprise, un polynôme du second degré : les trajectoires sont donc des paraboles. 7
(e Les points accessibles sont les couples (x, y où il existe un angle θ tel que y = x tan(θ ( 1 + tan (θ, c est-à-dire les couples (x, y pour lesquels l équation x xz x ( 1 + Z y = 0 admet une solution en Z. Son discriminant est ( = x 4 y + x x, l équation n admet de solutions que lorsque est positif, ce qui se simplifie en ou encore y h x, x (h y. C est la zone sous la courbe y = h x, qui est une parabole (parabole de sûreté. (f Remarquons que l on retrouve le résultat de la question 3c, avec y = 0, qui donne x = h, ainsi que pour une altitude de y = h, la portée est nulle (x 0! Dans le cas des remparts, nous avons y b = 50m, ce qui donne une portée maximale de x = h(h y b 95m. La flèche gagne donc près de 50m... mais c est sans compter le fait que les remparts sont 100m plus loin. Bronn a donc bien fait de descendre. 5. Sans doute pas. Nous avons évolué pour savoir intuitivement jauger les trajectoires d objets (que ce soit pour les éviter ou les lancer. Mais ces calculs donnent un point de vue différent sur cette capacité innée", et la difficulté pour les roboticiens de programmer des machines capables de rivaliser avec des humains sur le sujet! 8