Les Suites ( En première S )

2010 2011 Les Suites ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 31 Mars 2011 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2010-2011) 1

2010 2011 J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n admettant pas l hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d aversion. Stendhal 2

2010 2011 TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Définition et Vocabulaire 4 1.1 Définition.................................... 4 1.2 Vocabulaire................................... 4 1.3 Différentes façons de définir une suite.................... 4 1.3.1 u n est en fonction de n........................ 4 1.3.2 u n est en fonction de u n 1 (Suites récurrentes)........... 5 1.3.3 Autres possibilités........................... 5 2 Représentation graphique 5 2.1 Suites en fonction de n............................. 5 2.2 Suites définies par récurrence......................... 6 2.3 Autres cas.................................... 7 3 Variations d une suite 9 3.1 Suite croissante................................. 9 3.2 Suite décroissante................................ 9 3.3 Suite constante................................. 9 3.4 Suite monotone................................. 9 4 Suite majorée, minorée ou bornée 10 4.1 Suite majorée.................................. 10 4.2 Suite minorée.................................. 10 4.3 Suite bornée................................... 10 5 Limite d une suite et convergence 10 5.1 Définition.................................... 10 5.2 Représentation graphique........................... 10 5.3 Le théorème des gendarmes et de comparaison............... 10 6 Les suites arithmétiques 10 6.1 Définition et vocabulaire............................ 10 6.2 Différentes formules.............................. 11 6.3 Variations.................................... 11 6.4 Somme des p premiers termes......................... 11 6.5 Convergence des Suites arithmétiques.................... 12 7 Les suites géométriques 12 7.1 Définition et vocabulaire............................ 12 7.2 Différentes formules.............................. 12 7.3 Variations.................................... 12 7.4 Somme des p premiers termes......................... 13 7.5 Convergence des Suites géométriques..................... 14 3

2010 2011 1 DÉFINITION ET VOCABULAIRE 1 Définition et Vocabulaire 1.1 Définition Une suite est une application dont tous les antécédents sont des entiers naturels. Au lieu de noter x les antécédents, on les note n et au lieu de noter f(n) l image de n par f on notera u n. La suite (u n ) n N est l ensemble des images u n pour n N. Exemples : 1. (u n ) n N est définie par n N, u n = n 2 4n + 1 2. (v n ) n N est définie par n N, v n = cos(n) n 3. (w n ) n N est définie par w 0 = 1 et n N, w n = w n 1 + 1 4. (t n ) n N est définie par t 1 = 1 et n N, t n+1 = t n 1 t n + 1 1.2 Vocabulaire Attention il ne faut pas confondre u n, (u n ) n N, u ou (u n ). u n représente le terme qui est au rang ( à la place ) n ou le n ième terme de la suite. (u n ) n N ou u ou (u n ) représente la suite avec tous ses termes. n est l indice de u n. u n 1 représente le terme précédent de u n ou le suivant de u n 2 u n+1 représente le terme suivant de u n ou le précédent de u n+2 Exemples 1. On note (u n ) n N la suite définie par u n = ( 1) n n (a) Calculer u 0, u 1, u 2 et u 3. (b) Exprimer u n+1 et u n 1 en fonction de n. (c) Exprimer u 2n et u 2n+1 en fonction de n. 2. On note (v n ) n N la suite définie par v 1 = 1 et v n+1 = v n + 1 v n (a) Calculer les cinq premiers termes de la suite. (b) Exprimer v n en fonction de v n 1. (c) Exprimer v n+1 en fonction de v n. 1.3 Différentes façons de définir une suite 1.3.1 u n est en fonction de n Il existe f : R R une fonction telle que pour tout n N on a u n = f(n) 4

2010 2011 2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Exemples : 1. (u n ) n N la suite définie par u n = 4n 2 + 3n 5 2. (v n ) n N la suite définie par v n = 3n 1 6 4n 3. (w n ) n N la suite définie par w n = 2n 7 1.3.2 u n est en fonction de u n 1 (Suites récurrentes) Exemples : Il existe f : R R une fonction telle que pour tout n N on a u 1 = α et u n = f(u n 1 ) ou u 0 = α et u n+1 = f(u n ) 1. (u n ) n N la suite définie par u 0 = 2 et u n+1 = 4u 2 n + 3u n 5 2. (v n ) n N la suite définie par v 1 = 7 et v n = 3v n 1 1 6 4v n 1 3. (w n ) n N la suite définie par w 0 = 1, w 1 = 2 et w n+1 = w n + w n 1 1.3.3 Autres possibilités Il y a certaines suites qui ne sont pas définies en fonction de n ni en fonction des termes précédents. Exemples : 1. (u n ) n N la suite définie par u n est la n ième décimale de π. 2. (v n ) n N la suite définie par v n est la (n + 1) ième décimale de 22 3. 2 Représentation graphique 2.1 Suites en fonction de n Pour représenter graphiquement une suite définie en fonction de n, il suffit de représenter l image de chacun des antécédents entiers positifs. On note (u n ) n N la suite définie par u n = 2n + 1 On commence par étudier la fonction f : x 2x + 1 avec précision dans un repère orthonormé. 5

2010 2011 2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE 2.2 Suites définies par récurrence Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence, il suffit de représenter l image de du premier terme et ensuite d utiliser la droite d équatin y = x pour replacer l image sur la droite des abscisses, puis de tracer l image de ce nouveau terme. Ainsi de suite... On note (u n ) n N la suite définie par u 0 = 0 et u n+1 = 2u n + 1 On commence par étudier la fonction f : x 2x + 1 avec précision dans un repère orthonormé. 6

2010 2011 2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE 2.3 Autres cas Il faut tracer les termes un par un sur le repère. (u n ) n N la suite définie par u n est la n ième décimale de π. 7

2010 2011 2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE 8

2010 2011 3 VARIATIONS D UNE SUITE 3 Variations d une suite 3.1 Suite croissante Définition 1 : Définition 2 : Exemples : Une suite (u n ) n N est croissante si et seulement si n N, u n+1 u n Une suite (u n ) n N telle que pour tout entier naturel n, u n > 0 (u n ) n N est croissante si et seulement si n N, u n+1 u n 1 3.2 Suite décroissante Définition 1 : Définition 2 : Exemples : Une suite (u n ) n N est décroissante si et seulement si n N, u n+1 u n Une suite (u n ) n N telle que pour tout entier naturel n, u n > 0 (u n ) n N est croissante si et seulement si n N, u n+1 u n 1 3.3 Suite constante Définition : 3.4 Suite monotone Définition : Exemples : Une suite (u n ) n N est constante si et seulement si n N, u n+1 = u n Une suite (u n ) n N est monotone si et seulement si elle est soit croissante, soit décroissante ou soit constante. 9

2010 2011 6 LES SUITES ARITHMÉTIQUES 4 Suite majorée, minorée ou bornée 4.1 Suite majorée Définition : 4.2 Suite minorée 4.3 Suite bornée Une suite (u n ) n N est majorée si et seulement si il existe α R tel que n N, u n α Une suite (u n ) n N est minorée si et seulement si il existe α R tel que n N, u n α Une suite (u n ) n N est majorée si et seulement si il existe α R et β R tels que n N, β u n α 5 Limite d une suite et convergence 5.1 Définition Définition : Une suite (u n ) n N est convergente si et seulement si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +. On dit alors que () converge vers sa limite l ou que (u) admet une limite finie l en +. Définition de la limite : (u) converge vers l : lim u n = l n + ε > 0, N N tel que n N on a u n l < ε 5.2 Représentation graphique 5.3 Le théorème des gendarmes et de comparaison 6 Les suites arithmétiques 6.1 Définition et vocabulaire Définition : 10

2010 2011 6 LES SUITES ARITHMÉTIQUES Une suite (u n ) n N est dite arithmétique si et seulement si pour passer d un terme au suivant, on ajoute toujours la même constante r. n N, u n+1 = u n + r avec r R 6.2 Différentes formules On note (u n ) n N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u p, p N Formule 1 : n N, u n = u p + (n p)r Cas particuliers : Si le premier terme est u 0 alors n N, u n = u 0 + nr Si le premier terme est u 1 alors n N, u n = u 1 + (n 1)r Comment démontrer qu une suite est arithmétique? Pour démontrer que (u n ) n N est une suite arithmétique, il faut étudier la différence entre u n+1 et u n. Montrer que u n+1 u n est une constante ( résultat indépendant de n). 6.3 Variations On note (u n ) n N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u p, p N u n+1 u n = (u p + (n + 1 p)r) (u p + (n p)r) = r Conclusion : 6.4 Somme des p premiers termes Si r > 0 alors (u n ) n N est croissante. Si r < 0 alors (u n ) n N est décroissante. Si r = 0 alors (u n ) n N est constante. On note (u n ) n N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 1, p N n On note S n = u k = u 1 + u 2 + u 3 +... + u n 1 + u n k=1 On cherche à calculer S n en fonction de n. Première étape Exprimons S n en fonction de u 1 S n = (u 1 ) + (u 1 + r) + (u 1 + 2r) +... + (u 1 + (n 2)r) + (u 1 + (n 1)r) Deuxième étape Exprimons S n en fonction de u n S n = (u n (n 1)r) + (u n (n 2)r)... + (u n 2r) + (u n r) + (u n ) Troisième étape Additionnons les deux formules ci-dessus : 2S n = n(u 1 + u n ) donc on obtient : 11

2010 2011 7 LES SUITES GÉOMÉTRIQUES Formule plus générale : S n = n(u 1 + u n ) 2 S n = Nombre de termes (Premier terme + Dernier terme) 2 n(n + 1) 1 + 2 + 3 + 5 +... + n = 2 Donc si on souhaite calculer la somme des entiers positifs juqu à 45000 on obtient : 45000(45000 + 1) 1 + 2 + 3 + 5 +... + 45000 = = 1012522500 2 6.5 Convergence des Suites arithmétiques 7 Les suites géométriques 7.1 Définition et vocabulaire Définition : Une suite (u n ) n N est dite géométrique si et seulement si pour passer d un terme au suivant, on multiplie toujours par la même constante q. n N, u n+1 = q u n avec q R 7.2 Différentes formules On note (u n ) n N une suite géométrique de raison q et de premier terme u p, p N Formule 1 : n N, u n = u p q n p Cas particuliers : Si le premier terme est u 0 alors n N, u n = u 0 q n Si le premier terme est u 1 alors n N, u n = u 1 q n 1 Comment démontrer qu une suite est géométrique? Pour démontrer que (u n ) n N est une suite géométrique, il faut étudier le quotient entre u n+1 et u n. Montrer que u n+1 est une constante ( résultat indépendant de n). 7.3 Variations u n On note (u n ) n N une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme u p, p N 12

2010 2011 7 LES SUITES GÉOMÉTRIQUES u n+1 u n = u p q n+1 p u p q n p = q Conclusion : Il y a deux cas à étudier : Premier cas : Si u p positif Premier cas : Si u p négatif Si q 1, alors (u n ) n N est croissante. Si 0 < q 1, alors (u n ) n N est décroissante. Si q 1, alors (u n ) n N est décroissante. Si 0 < q 1, alors (u n ) n N est croissante. On note (u n ) n N une suite géométrique de raison q < 0 et de premier terme u p, p N Les termes de la suites sont alternativement positifs et négatifs, donc la suite n est pas monotone. 7.4 Somme des p premiers termes On note (u n ) n N une suite géométrique de raison q et de premier terme u 1, p N n On note S n = u k = u 1 + u 2 + u 3 +... + u n 1 + u n k=1 On cherche à calculer S n en fonction de n. Première étape Exprimons S n en fonction de u 1 S n = u 1 + q u 1 + q 2 u 1 +... + q n 1 u 1 Deuxième étape Exprimons q S n en fonction de u 1 q S n = q u 1 + q 2 u 1 + q 3 u 1 +... + q n u 1 Troisième étape Calculons S n q S n : S n q S n = u 1 q n u 1 = u 1 (1 q n ) donc (1 q)s n = u 1 (1 q n ) donc on obtient : Si q 1 Si q = 1 S n = u 1 1 q n 1 q Formule plus générale : S n = nu 1 1 qnombre de termes S n = Premier terme 1 q 13

2010 2011 7 LES SUITES GÉOMÉTRIQUES 2 + 4 + 8 +... + 2 n = 2 1 2n 1 2 = 2(1 2n ) 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2 n = 1 1 2n+1 = (1 2 n+1 ) 1 2 Donc si on souhaite calculer la somme des multiples de 2 jusqu à 4096 = 2 12 : 1 + 2 + 3 + 5 +... + 2 12 = (1 2 13 ) = 8191 7.5 Convergence des Suites géométriques 14