CHAPITRE 14 : FONCTIONS. I GENERALITES : 1.1 Définition : Définition : soit deux ensembles E et F respectivement ensemble de départ et ensemble d arrivée. Une fonction f de E dans F est une relation qui à tout élément de E associe au plus un élément de F. Si les ensembles E et F sont des ensembles de nombres, alors f est une fonction numérique. Notation : f : E F x f(x),on dit que f (x) est l image de x par f et que x est l antécédent de f(x) par f. 1.2 Ensemble de définition : L ensemble de définition d une fonction numérique f noté D f est l ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est calculable. Exercice 1 : soit la fonction f : Z Q et la fonction g : R R x 2x 1. x 2 x 5x 15 Quel est l ensemble de définition de f? de g? Remarque : Pour les ensembles de définition, il faut être attentif aux dénominateurs des quotients (on ne peut pas diviser par zéro) ainsi qu aux radicaux (pas de racine carrée négative chez les réels). 1.3 Tableau de valeurs : Ce tableau récapitule les valeurs prises par la fonction pour plusieurs nombres appartenant à l ensemble de définition. Lorsque ces nombres sont choisis judicieusement, le tableau de valeurs facilite le tracé de la courbe représentative de la fonction. On peut générer de façon automatique un tableau de valeurs avec une calculatrice ou un tableur. Nombre x x 1 x 2 x 3 Image f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) Exercice 2 : 1/ Pour la fonction f de l exercice 1, calculer les images des nombres : -1, 0, 3, 4, 2/3, 5. Les regrouper dans un tableau de valeurs. 2/ Un professeur de mathématiques dispose d un budget de 440 pour acheter 8 calculatrices, soit à 30 pièce soit à 70 pièce. Déterminons le nombre de calculatrices de chaque sorte si le professeur dépense 440 exactement. Soit x le nombre de calculatrices à 30, exprimer le prix à payer p(x) en fonction de x lors de l achat des deux types de calculatrices. Utiliser un tableur pour représenter dans la première colonne le nombre de calculatrices à 30, dans la deuxième colonne le nombre de calculatrices à 70 et dans la troisième colonne le prix à payer. On utilisera une formule dans chaque colonne pour la «copier coller». Conclure. Page 1
1.4 Variations d une fonction : Définitions : Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si deux nombres quelconques de I sont rangés dans le même ordre que leurs images. Si a < b alors f (a) < f (b). Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si deux nombres quelconques de I sont rangés dans l ordre inverse de leurs images. Si a < b alors f (a) > f (b). Exercice 3 : Soit f ( x ) = m x + p. Donner les variations de f selon le signe de m. Justifier. Exercice 4 : Rappeler les variations des fonctions de référence et leur ensemble de définition. 1.5 Représentation graphique d une fonction : Pour représenter une fonction, le plan est généralement muni d un repère orthonormal. Il est composé de deux axes : l axe des abscisses (valeurs x) et l axe des ordonnées (valeurs f (x )). Les deux axes sont perpendiculaires et se coupent en O, l origine du repère, ils sont gradués avec la même unité à partir de l origine. Définition : La courbe représentative d une fonction f est l ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) où x est un élément de l ensemble de définition de la fonction f. Le tableau de valeurs nous donne un certain nombre de points qui serviront à tracer la courbe d équation y = f ( x ). 1.6 Lectures graphiques : Plusieurs informations peuvent être obtenues par la lecture de la représentation graphique d une fonction. L ensemble de départ correspond à l axe des abscisses et l ensemble d arrivée correspond à l axe des ordonnées. a/ trouver graphiquement l image d un nombre : Par définition de la fonction, un nombre peut avoir une image ou aucune, mais il ne peut pas en avoir plus d une. L image d un nombre situé sur l axe des abscisses se lit sur l axe des ordonnées. L image de x par f, si elle existe, est l ordonnée du point de la courbe d abscisse x. On la note f ( x ). b/ trouver graphiquement le ou les antécédent(s) d un nombre : Par définition de la fonction, un nombre peut avoir un, plusieurs, une infinité d antécédents ou aucun. L antécédent d un nombre situé sur l axe des ordonnées se lit sur l axe des abscisses. L antécédent de y par f, s il existe, est l abscisse du point de la courbe d ordonnée y. c/ déterminer graphiquement les extremums d une fonction : Un extremum est la valeur maximale ou minimale que peut prendre une fonction. Toutes les fonctions n ont pas d extremum (fonctions linéaires par exemple). Page 2
d/ déterminer graphiquement les variations d une fonction : Etudier les variations d une fonction revient à déterminer les parties de son ensemble de définition pour lesquelles elle est croissante, décroissante ou constante. Ces variations peuvent être récapitulées dans un tableau de variation. Exercice 5 : C f C g 1/ La courbe ci-dessus représente une fonction f. Donner les images des nombres 2 et 2 par f. 2/ Déterminer les antécédents de 3 par la fonction f. 3/ Résoudre f ( x ) =0. 4/ Donner le tableau de variation de f. 5/ Sur ] - ; 0 ], f admet-elle un maximum local? Sur [0 ; + [, f admet t-elle un minimum local? 6/ Soit g la fonction affine définie sur [-2 ; 6 ] et représentée dans ce même repère. Résoudre f ( x) = g ( x ). Page 3
II FONCTIONS DE REFERENCE: 2.1 Fonctions affines : a/ Rappels : La représentation graphique de la fonction affine f ( x ) = a x + b est la droite d équation y = a x + b. Le nombre b est appelé l ordonnée à l origine car la droite coupe l axe des ordonnées ao point de coordonnées ( 0 ; b ). Dans le cas particulier où b = 0, la droite passe par l origine O ( 0 ; 0 ) du repère et la fonction est une fonction linéaire. Dans le cas particulier où a = 0, la droite est parallèle à l axe des abscisses passant par le point de coordonnées ( 0 ; b ). La fonction est alors une fonction constante. b/ Tracé d une droite d équation y = a x + b : il suffit de connaître les coordonnées de deux points. Dans la pratique, il est conseillé de connaître les coordonnées de trois points pour vérifier leur alignement. 1 ère méthode : en trouvant trois valeurs prises par la fonction affine : Connaissant les valeurs prises par la fonction f, Nombre x x 1 x 2 x 3 Image f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) On en déduit trois points A ( x 1 ; f(x 1 ) ) ; B ( x 2 ; f(x 2 ) ) ; C ( x 3 ; f(x 3 ) ) et on trace la droite passant par ces trois points. 2 ème méthode : On part de l ordonnée à l origine (point de coordonnées ( 0 ; b ) puis on utilise la valeur du coefficient directeur et les variations des accroissements proportionnelles : f ( x1 ) f ( x2 ) a avec x1 x2. x x 1 2 Exercice 6 : Dans un repère orthonormal, 1/ Tracer la droite d équation y = 3 x 5 en déterminant trois points de cette droite. 4 2/ Tracer la représentation graphique de la fonction affine définie par : f ( x ) = x 6 à l aide de la 3 deuxième méthode. 2.2 Fonctions affines par morceaux: Définition : Une fonction définie uniquement par des expressions affines différentes selon l intervalle auquel appartient la variable x est appelée fonction affine par morceaux. Sa représentation graphique est constituée de segments de droite et/ou de demi-droites. Page 4
Exercice 7 : Déterminer la fonction affine par morceaux suivante : 2.3 Fonctions du type f : x a x 2 : Ces fonctions ont le même ensemble de définition que la fonction carrée. Leurs variations dépendent du signe de a. Si a > 0, le sens de variation est identique à celui de la fonction carrée et il existe un minimum en 0, dont la valeur est 0. La représentation graphique est une parabole. Si a < 0, le sens de variation est opposé à celui de la fonction carrée et il existe un maximum en 0, dont la valeur est 0. La représentation graphique est une parabole. Page 5
Exemples : y = 4 x ² y = - 0,1 x² 2.4 Fonctions du type f : x a x 2 + b x + c : Ces fonctions sont appelées trinômes du second degré, ont les mêmes caractéristiques que la fonction précédente. Si b et c sont non nuls, elles admettent un extrémum qui est différent de zéro. Exprimons forme a x² + b x + c sous forme canonique : b c b b² c b b² 4ac ax² bx c a( x² x ) a[( x )² ] a[( x )² ]. a a 2a 4a² a 2a 4a² b b² 4ac Si a > 0, f ( x ) admet un minimum pour x et ce minimum vaut. 2a 4a b b² 4ac Si a < 0, f ( x ) admet un maximum pour x et ce minimum vaut. 2a 4a Exercice 8 : Soit f ( x ) = 4 x ² + 3 x 1. 1/ Résoudre f ( x ) = 0. 2/ Déterminer le minimum de f. En quelle valeur est-ce? 3/ En déduire la représentation graphique de f. Page 6
AIDE NON REDIGEE POUR LE CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 14: Exercice 1 : 2x 1 x 2 est défini ssi x 2 non nul donc D f = Z / 2 5x 15 est défini ssi 5 x + 15 0 ssi x 3 donc D g = ] - ; 3 ]. Exercice 2: 2 ( 1) 1 1 f ( 1) 1 2 3 2 4 2 1 f (2 / 3) 3 3 2 2 2 3 3 2 0 1 1 23 1 f (0) f ( 3) 7 0 2 2 3 2 3 7 3 3 7 3 7 6 4 3 4 4 3 3 2 4 1 f ( 4) 4 2 2 5 1 2 5 1 (2 5 1)( 5 2) 2( 5)² 4 5 5 2 10 5 5 2 f ( 5) 12 5 5 2 5 2 ( 5 2)( 5 2) ( 5)² 2² 5 4 9 2 5 x -1 0 3 4 2/3 5 f(x) 1/3-1/2 7 9/2-7/4 12 5 5 Exercice 3: Pour m> 0, a < b ssi ma < mb ssi ma + p < mb + p ssi f(a) < f(b), donc f est strictement croissante sur R. Pour m< 0, a < b ssi ma > mb ssi ma + p > mb + p ssi f(a) > f(b), donc f est strictement décroissante sur R. Pour m = 0, alors f(x) = p, fonction constante. Exercice 4: f ( x ) = x² est définir sur R et est strictement décroissante sur R et strictement croissante sur R +. f ( x) = 1/x est définie sur R * et est strictement décroissante sur R *. f ( x ) = x est définie sur R + et est strictement croissante. Exercice 5: 1/ f ( 2 ) = 0 f ( - 2 ) = 4. 2/ f ( -2,5 ) 3 f ( - 1 ) = 3 f ( 2,5 ) 3 3/ f ( -3 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f ( 2 ) = 0 (abscisses des points de C f sur l axe des abscisses) Page 7
4/ x - - 1,8 1,1 + 4,1 + variations de f(x) - - 2 5/ valeur du maximum local : 4,1 en -1,8 valeur du minimum local : -2 en 1,1. 6/ Il faut trouver les abscisses des points d intersection entre C f et C g. S = 1, 2. Exercice 6 : y = -4/3 x + 6 y = 3x 5 ordonnée à l origine : 6 variation de +3 varaition de 4. x 0 2 4 f ( x ) -5 1 7 Page 8
Exercice 7 : Entre 7 et 3, à partir du point de coordonnées ( -7 ; - 6 ) vers le point de coordonnées ( -3 ; 2 ), les variations des abscisses sont +4 et celles des ordonnées +8 soit a = 8/4 = 2. L ordonnée à l origine est 8 si on prolonge la droite. On peut aussi calculer l ordonnée à l origine en remplaçant les coordonnées d un point de la droite dans son équation y = 2 x + p. Entre 3 et 3 f est constante telle que f ( x ) = 2. Entre 3 et 9, à partir du point de coordonnées ( 3 ; 2 ) vers le point de coordonnées ( 9 ; 0 ), les variations des abscisses sont 6 et celles des ordonnées -2 soit a = -2/6 = -1/3. L ordonnée à l origine est 3 si on prolonge la droite. On peut aussi calculer l ordonnée à l origine en remplaçant les coordonnées d un point de la droite dans son équation y = -1/3 x + p. Sur [-7 ; -3] f ( x ) = 2 x + 8. Sur [-3 ; 3 ] f ( x ) = 2. Sur [3 ; 9] f ( x ) = -1/3 x + 3. Exercice 8 : 1/ On cherche à mettre le trinôme sous forme canonique ou bien : 4x ² 3x 1 0 On calcule le discrimant : 3² - 4 x 4 x (-1) = 25. 3 25 2 1 3 25 8 x ' x '' 1 S = 1 1 ; ; 2 4 8 4 2 4 8 4 1 Remarque : on a alors la forme factorisée de f : f ( x) 4( x 1)( x ). 4 b 3 2/ a > 0, f ( x ) admet un minimum pour x et ce minimum vaut 2 a 8 b² 4ac 3² 4 4 ( 1) 25. C f 4a 4 4 16 Page 9