FONTIONS ARREES Exercices de base : Soit f la fonction carrée. alculer les images par f des nombres réels : 5 00 0 0. 5 6 7 8 9 0 5 5 5 5 9 5 0 6 8x0 7 5 0 8 + 9 8 0 6 Soit f la fonction carrée. Déterminer les antécédents par f lorsque cela est possible de chacun des nombres réels : 9 000 0 0. 5 6 7 8 9 6 9 0 5 8 0 0 6x0 9 Utiliser le sens de variation de la fonction carrée pour donner l information la plus précise sur x² lorsque : x [0;5] x [ ; ] x [ ;6] x [ 7;] 5 x [ 8;8] 8 x 9 x 0 x > x < < x 9 Résoudre les inéquations ci-dessous en s aidant de la courbe de la fonction carrée. x² 9 x² x² x² < 5 x² 6 6 x² 0 7 x² 0 8 x ² < 9 5 x² < 6 0 < x² 6 Etudes de fonctions Variations Equations Inéquations : Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x. On veut déterminer les variations de g. ) On considère deux nombres réels a et b. alculer et factoriser g(a) g(b). ) On suppose que 0 < a < b. Que peut-on dire de a b? de a + b? de g(a) g(b)? Quel est le sens de variation de g sur [0 ; + [? ) On suppose que a < b < 0. Que peut-on dire de a b? de a + b? de g(a) g(b)? Quel est le sens de variation de g sur ] ; 0]? ) Dresser le tableau de variation de la fonction g. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x + x 6. ) On considère deux nombres réels a et b. Démontrer que h(a) h(b) = (b a)(b + a ). ) On suppose que a < b. Déterminer le signe de h(a) h(b). En déduire le sens de variation de h sur ] ; ]. ) On suppose que < a < b. Déterminer le signe de h(a) h(b). En déduire le sens de variation de h sur [ ; + [. ) Dresser le tableau de variation de la fonction h. Soit f(x) = x² - x 5 définie sur R. ) Montrer que f(x) = (x )² - pour tout x réels. ) Recopier et compléter en justifiant chaque étape : si a < b alors 0...a...b donc ( a )²...(b )² car la fonction carrée est.. sur d où (a )²...(b )² et enfin (a )²...(b )² ) Qu en déduit-on pour la fonction f? ) Déterminer de même le sens de variation de f sur ]- ; ] et dresser le tableau de variation de f. FRLT Page 9/0/07
FONTIONS ARREES Soit f(x) = x² + x 5 ) Déterminer les images de 0 ;- ; ) Déterminer le ou les antécédents de -5 ) Déterminer les coordonnées du minimum de f. ) Donner la forme canonique de f. 5) Résoudre f(x) = 0. 6) Résoudre f(x) = 0. 5 ) Soit la fonction P(x) = ax² + bx + c. Déterminer a, b et c pour que l on ait P( ) = 0, P() = et P( ) = 8. ) Soit la fonction f(x) = x² - x. définie sur [- ; ]. Montrer que la fonction f est la même que la fonction P du. ) Déterminer la forme canonique de f. ) En déduire une factorisation de f(x) puis le signe de f(x). 5) Résoudre l équation f(x) = 0. 6) Résoudre l inéquation f(x) 0? 7) Dresser son tableau de variations sur [- ; ]. 8) Tracer la courbe représentative () de f dans un repère orthonormé (unité graphique : cm). 9) Déterminer graphiquement suivant les valeurs de x les solutions de l inéquation f(x) 0 puis celles de f(x). 6 7 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x² - x - 5 ) Donner la forme canonique de f(x). ) Montrer que f(x) = (x + )(x 5) ) hoisir la forme adaptée pour résoudre : a) f(x) = 0 b) f(x) = - 5 c) f(x) = - x + d) f(x) 0 e) f(x) = - 9 ) Déterminer les points d intersections de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. 5) Déterminer l image de 6) Déterminer l image de 7) Déterminer le ou les antécédents de - 9. 8) Donner les coordonnées du sommet de la parabole. 9) Etablir le tableau de variations de f sur [-0 ; 0] On donne plusieurs expressions d une même fonction f définie sur R. Forme : f(x) = (x 5)² - 9 - Forme : f(x) = (x )(x 7) - Forme : f(x) = x² - 0x + 9. ) Développer les formes et ; vérifier que l on obtient la forme. ) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée : a) Résoudre l équation f(x) = 0. b) alculer f(0) c) Déterminer les antécédents de 9. d) alculer l image de e) Résoudre l équation f(x) = 9. f) f(x) 0. ) Dresser le tableau de variations de f. 8 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 9x² - 6x +. ) Montrer que pour tout x réel, f(x) = 9(x )² -. ) Montrer que pour tout x réel, f(x) = (x 8)(x ) ) Dresser le tableau de variations de f sur R. ) Résoudre dans R en utilisant la forme la mieux adaptée : a) f(x) = 0. b) f(x) =. c) f(x) 0 d) f(x) = -. e) f(x) > -. FRLT Page 9/0/07
FONTIONS ARREES 9 On donne plusieurs expressions d une même fonction f définie sur R. Forme : f(x) = -(x + )² - 7. Forme : f(x) = (x )(x + 5). Forme : f(x)= x² + x 5. On appelle P la parabole représentative de f dans un repère. ) Développer les formes et ; vérifier que l on obtient la forme. ) Quelle est la forme factorisée de f(x)? ) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée : a) Résoudre l équation f(x) = 0. b) alculer f(0), f() et f(-) c) Déterminer les antécédents de 0, - 5 et 7. d) f(x) 0. e) En quel point, P coupe-t-elle l axe des abscisses? f) En quel point, P coupe-t-elle l axe des ordonnées? g) Quel est le minimum de f? Pour quel nombre x est-il atteint? h) Dresser le tableau de variation de f. 0 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = - x² + x +. ) Donner la forme canonique de f(x). ) Montrer que f(x) = ( x)(x + ) ) hoisir la forme adaptée pour résoudre : a) f(x) = 0 b) f(x) = c) f(x) = x d) f(x) 0 5 e) f(x) = 8 ) Déterminer les points d intersections de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. 5) Déterminer l image de 6) Déterminer le ou les antécédents de. 7) Donner les coordonnées du sommet de la parabole. 8) Etablir le tableau de variation de f sur [- 9 ; 9] On donne plusieurs expressions d une même fonction f définie sur R. Forme : f(x) = - x² - 6x -. Forme : f(x) = -(x + )(x + ). Forme : f(x) = x + + On appelle P la parabole représentative de f dans un repère. ) Développer les formes et ; vérifier que l on obtient la forme. ) Quelle est la forme factorisée de f(x)? ) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée : a) Résoudre l équation f(x) = 0. b) alculer f(0), f(-) et f 5 c) Déterminer les antécédents de d) alculer l image de e) Résoudre l équation f(x) = -. f) f(x) 0. g) En quel point, P coupe-t-elle l axe des abscisses? h) En quel point, P coupe-t-elle l axe des ordonnées? i) Quel est le minimum de f? Pour quel nombre x est-il atteint? Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² + x. P est la parabole représentant f dans un repère orthogonal. ) Déterminer les antécédents de. ) En déduire l abscisse du sommet de P. alculer alors l ordonnée du sommet de P. ) Dresser le tableau de variations de f sur [- ; ] ) Tracer la parabole P. FRLT Page 9/0/07
FONTIONS ARREES Soit f un polynôme du second degré. P est la parabole représentant f dans un repère orthogonal. Dans chacun des cas suivants, traiter les informations pour retrouver l expression de f(x). ) P a pour sommet S( ; ). Le point A(0 ; - ) appartient à P. ) P coupe l axe des abscisses aux points A(- ; 0) et B( ; 0) et l axe des ordonnées au point (0 ; ). ) P admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l axe des ordonnées passant par le point A( ; 0). P coupe l axe des abscisses en l origine O du repère et passe par le point A( ; ). Equations Inéquations : Soit f (x) = (x )² 5(x + 5)( x + 6) ) Développer f(x) ) Factoriser f(x) ) alculer f ( ) ; f( ); f(0). On choisira l expression de f(x) la plus appropriée. ) Résoudre les équations suivantes en prenant l expression de f(x) la plus adaptée : a) f(x) = -. b) f(x) = 0 c) f(x) = 58x 9 On considère les fonctions f et g définies sur R par : ) Développer f(x) ) Développer g(x) ) Factoriser f(x) ) Factoriser g(x) 5) Déterminer l image de + par f 6) Déterminer l image de par g 7) Résoudre f(x) = g(x) sur R. 8) Résoudre f(x) = g(x) sur R. 9) Résoudre f(x) + g(x) = 7 0) Résoudre f(x) + < g(x) - f(x) ) Résoudre 0 g(x) f(x) = (x )(x + ) (x )² g(x) = (x )² On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = (7 x)(x² + x + ) 9 + x² g(x) = 7 x ) Développer f(x) ) Factoriser f(x) ) Déterminer l image de, 0 et de par f ) Déterminer l image de par g 5) Résoudre f(x) = g(x) sur R. 6) Résoudre f(x) g(x) sur R. f(x) 7) Résoudre 0 g(x) f(x) 8) Résoudre 0 x On considère g(x) = 8x² 7 + x( x + ) (x )² ) Factoriser g(x). ) Déterminer l ensemble des solutions de l inéquation g(x) 0 ) Déterminer l ensemble des solutions de l inéquation g(x) < 5x + FRLT Page 9/0/07
FONTIONS ARREES 5 Soit la fonction f(x) = x² - x. ) Trouver a, b et c réels tels que f(x) = a [(x+b) ² + c]. ) Résoudre f(x) > 0 Maximum Minimum : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² +. ) alculer f(0). ) Que peut-on dire de x² sur R? de x² +? ) onclure quant à l existence d un minimum pour f. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x² + x. ) À l aide de la calculatrice, conjecturer l existence d un maximum pour g. ) alculer et factoriser g() g(x). ) Déterminer le signe de g() g(x). ) onclure. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = x² + x + admet comme minimum en une valeur de x que l on précisera. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = - x² + x 5 admet comme maximum en une valeur de x que l on précisera. 5 Soit la fonction définie sur R par f(x) = x² + x. P est la courbe représentant f dans un repère orthogonal. ) Factoriser f(x). ) Montrer que la fonction f admet comme maximum en une valeur de x que l on précisera. Logique : Implication : x désigne un nombre réel non nul. Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou fausse. Si elle est vraie, indiquer la propriété qui permet de l affirmer. Si elle est fausse, expliquer pourquoi à l aide d un contre-exemple. ) Si x, alors x² 6. ) Si x, alors x². ) Si x -, alors x². ) Si x alors x² Inclusion : x désigne un nombre réel non nul. Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie ou fausse. Expliquer. ) Si 5 x -, alors 0 x² 0. ) Si.7 x. alors.88 x².0. ) Si.5 x., alors 56. x² 7. ) Si - x, alors x². 5) Si 0 x alors 0 x² Recopier et compléter la phrase : «Pour tout réel x, si, alors.» par les étiquettes ci-dessous qui conviennent, de façon à obtenir 5 propositions vraies. x = 5 x = 5 x = 5 x = 5oux = 5 x = 5 Dans chaque cas, répondre par vrai ou faux en justifiant. Les nombres a et b sont des réels. ) Si a = b, alors a² = b². ) Si a² b², alors a b. ) Si a² = b², alors a = b. ) Sur l intervalle [a ; b], le maximum de la fonction carrée est b² 5) Sur l intervalle [a ; b], le minimum de la fonction carrée est a² FRLT Page 5 9/0/07
FONTIONS ARREES alculatrice : Soit les fonctions f et g définies par f(x) = x² - x et g(x) = - x +. ) Représenter ces fonctions à l écran de la calculatrice. ) Utiliser le menu G-Solv IST (sur ASIO) ou AL Intersect (sur TI) pour conjecturer les coordonnées des points d intersections de ces deux courbes. ) Démontrer cette conjecture. ) Sur la calculatrice, représenter la courbe représentative de la fonction carrée sur l intervalle [- ; ] puis celle de la fonction affine g(x) = - x +. ) Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points d intersection de ces deux courbes. ) Développer (x + )(x ). ) Retrouver les résultats de par le calcul. ) Sur la calculatrice, représenter la courbe représentative de la fonction carrée sur l intervalle [- ; 5] puis celle de la fonction affine g(x) = 5x. ) Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points d intersection de ces deux courbes. ) Développer (x )(x ). ) Retrouver les résultats de par le calcul. Lecture graphique : On donne dans le repère ci-dessous plusieurs courbes,,, et 5. On demande d associer à chaque courbe proposée la fonction correspondante donnée dans la liste ci-dessous : ) f(x) = (x-)² ) g(x) = x² ) h(x) = x²+ ) i(x)= -x² 5) j(x)= (x+)²- On considère la courbe représentée dans le repère ci-contre : ) Placer les points A(- ; -) et B( ;.5) dans le repère. Tracer la droite (AB) ) Donner une équation de la droite (AB). ) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d intersection de la courbe et de la droite (AB). Les tracés seront apparents. ) La courbe passe par les points de coordonnées (0 ; ) et ( ; -.5). Son équation est de la forme y = ax² + c. Déterminer les coefficients a et c. FRLT Page 6 9/0/07
FONTIONS ARREES Dans les repères ci-dessous, on a représenté en pointillés la courbe de la fonction carrée. Déterminer l expression de la fonction f dont la courbe est représentée en trait plein. Problèmes : On considère la courbe P d équation y = x² - x + et pour tout réel a, la droite D a d équation y = ax +. ) Expérimentation avec un logiciel. a) réer les courbes P et D a (pour 0 a 0). b) Un point H semble être toujours commun aux deux courbes. Lequel? c) Peut-on trouver une valeur de a telle que P et D a semblent n avoir qu un seul point d intersection? ) Démontrer ces résultats par le calcul. Dans un repère, on considère le point A( ; ) et la droite D d'équation y = x. ) Soit M le point de D d'abscisse x. Exprimer AM en fonction de x seulement. ) Soit f(x) = 5x² - 0x + 0. Trouver a, b, c tels que f(x) = a[(x + b)² + c]. ) En déduire le sens de variation de f. ) Dresser son tableau de variations. 5) Tracer sur la même figure la droite D et la courbe P représentant f. 6) Montrer que AM est minimum pour une valeur de x que l'on précisera. Aurait-on pu le deviner? Dans un repère, on considère le point A(, ) et la droite (D) d'équation y = x. ) Soit M le point de (D) d'abscisse x. Exprimer AM² en fonction de x seulement. ) Soit f(x) = 5x² + 6x +. Trouver a et b tels que f(x) = 5[(x + a)² + b). En déduire le sens de variation de f. Montrez que f(x) est toujours strictement positive. ) Montrer que AM est minimum pour une valeur de x que l'on précisera. Quelles sont alors les coordonnées de M? Aurait-on pu le deviner? ) Déterminer à l aide de votre calculatrice les valeurs de x pour lesquelles on a f(x) <. Quelle interprétation géométrique pouvez-vous donner de cette inégalité et de sa solution? FRLT Page 7 9/0/07
FONTIONS ARREES On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x² - x + dont la représentation graphique est la courbe et la fonction g définie sur R par g(x) = - x + dont la représentation graphique est la droite D. On a représenté les deux courbes sur le graphique ci-dessous. 5 ) Vérifier que f(x) = x ) Déterminer les coordonnées du minimum de f. ) Dresser le tableau de variations de f après avoir justifié le sens de variation de f. ) Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). 5) Résoudre graphiquement l inéquation f(x) g(x). 6) Soit d(x) = f(x) g(x) a) Développer l expression (x )(x + ). En déduire que d(x) = (x )(x + ). b) Retrouver par le calcul les solutions de la question. a. et de la question. b. 7) L affirmation «si a et b sont deux nombres réels tels que a b, alors on a l inégalité f(a) f(b) 5» estelle vraie ou fausse? Justifiez votre réponse. 5 haque jour, une entreprise fabrique x objets avec x compris entre 0 et 50. Le coût de production des x objets est donné en euros par : (x) = 60 0,x. Le revenu des x objets est donné en euros par R(x) = 0,x 0,x². Le bénéfice quotidien de cette entreprise est donné par B(x), avec B(x) = R(x) (x). ) Exprimer B(x) en fonction de x et vérifier que B(x) = - 0,(x )² + 86,8. ) Quel est le bénéfice maximal? Quel nombre d objets l entreprise doit-elle produire pour l atteindre? 6 Soit la fonction f(x) = - x² - x + 6 ) Trouver les nombres a et b tels que f(x) = - [(x + a)² + b]. ) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. ) Tracer la courbe représentative de f. ) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < 0. 5) Tracer sur la même figure la droite (AB) où A a pour coordonnées (, ) et B(, 0). Trouver graphiquement les points d intersection de () et de (AB). 6) Déterminer l équation de la droite (AB) et vérifiez par le calcul ce que vous avez trouvé au. 7) Déterminer graphiquement les abscisses des points du plan pour lesquels la droite (AB) est au dessus de (). 7 Soit la fonction f(x) = x² - x 5. ) Tracer sa courbe représentative () dans un repère orthonormal (unités= cm). ) Trouver les nombres a et b tels que f(x) = [(x + a)² + b]. ) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. ) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < 0. 5) Résoudre par le calcul l équation f(x) = 0. 6) Tracer la droite (AB) où A a pour coordonnées (, 0) et B (, ) ; déterminer l équation de la droite (AB). 7) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles () est au-dessus de (AB)? FRLT Page 8 9/0/07
FONTIONS ARREES ORRIGE : Etudes de fonctions Variations : Soit f(x) = x² + x 5 ) Déterminer les images de 0 ;- ; 9 f (0) = 5; f( ) = 7; f( ) = 6 ) Déterminer le ou les antécédents de -5: 0 ou. ) Déterminer les coordonnées du minimum de f. S(- ;- 7) ) Donner la forme canonique de f. f(x) = (x + )² - 7. 7 7 5) Résoudre f(x) = 0. ou 6) Résoudre f(x) = 0. 5 ou. Etudes de fonctions Variations Equations Inéquations : 6 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x² - x - 5 ) Donner la forme canonique de f(x). f(x) = (x² x + ) 5 = (x )² 9 ) Montrer que f(x) = (x + )(x 5) On développe (x + )(x 5) (x + )(x 5) = x² 5x + x 5 = x² x 5 = f(x) ) hoisir la forme adaptée pour résoudre : a) f(x) = 0 f (x) = 0 (x + )(x 5) = ou x = 5 b) f(x) = - 5 f (x) = 5 x² x 5 = 5 x² x (x ) = 0oux = c) f(x) = - x + f(x) = x + x² x 5 = x + x² 6 = 0 (x )(x + ) = oux = d) f(x) 0 Un tableau de signe avec f(x)= (x + )(x 5) donne S = [-; 5] e) f(x) = - 9 f (x) = 9 (x )² 9 = 9 (x )² = ) Déterminer les points d intersections de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. Point d intersection avec l axe des abscisses : il faut résoudre l équation f(x) = 0. On a donc les points A(- ; 0) et B( 5 ; 0) d après la question )a) Point d intersection avec l axe des ordonnées : on calcule f(0) On a f(0) = -5 Donc le point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées est ( -5; 0) 5) Déterminer l image de f = 5 = 6) Déterminer l image de f( ) = 7) Déterminer le ou les antécédents de - 9. On doit résoudre l équation f(x) = - 9. D après la question )e) le seul antécédent de 9 est. b b S( ;f( )) soit S(; 9) 8) Donner les coordonnées du sommet de la parabole. a a 9) Etablir le tableau de variation de f sur [-0; 0] x Variations De f - 9 FRLT Page 9 9/0/07
FONTIONS ARREES 7 On donne plusieurs expressions d une même fonction f définie sur R. Forme : f(x) = (x 5)² - 9. Forme : f(x) = (x )(x 7). Forme : f(x) = x² - 0x + 9. ) Développer les formes et ; vérifier que l on obtient la forme. Forme : f(x) = (x 5)² - 9 = (x² - 0x + 5) 9 = x² - 0x + 00 9 = x² - 0x + 9. Forme : f(x) = (x )(x 7) = x² - x 6x + 9 = x² - 0x + 9. ) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée : a) Résoudre l équation f(x) = 0. 7 f (x) = 0 (x )(x 7) = ou x = b) alculer f(0). f (0) = x0² 0x0 + 9 = 9 c) Déterminer les antécédents de 9. f (x) = 9 (x 5)² 9 = 9 (x 5)² = 0 (x 5)² = 0 (x 5) = 0 x = 5 d) alculer l image de f( ) =. ² 0 + 9 = 99 0 e) Résoudre l équation f(x) = 9. f (x) = 9 x² 0x + 9 = 9 x² 0x (x 0) = 0oux 0 = 0 x = 0oux = 0 f) f(x) 0. 7 Tableau de signe à l aide de la forme factorisée : S = ] ; ] [ ; + [ 8 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 9x² - 6x +. ) Montrer que pour tout x réel, f(x) = 9(x )² -. 9(x )² - = 9(x² - x + ) = 9x² - 6x + 6 = 9x² - 6x + = f(x) ) Montrer que pour tout x réel, f(x) = (x 8)(x ) (x 8)(x ) = 9x² - x x + = 9x² - 6x +. ) Dresser le tableau de variations de f sur R. x Variations de f ) Résoudre dans R en utilisant la forme la mieux adaptée : 8 a) f (x) = 0 (x 8)(x ) = ou x = b) f (x) = 9x² 6x + = 9x² 6x = 0 9x(x ) = 0oux = 8 c) f(x) 0 : ; d) f (x) = 9(x )² = 0 (x )² = e) f(x) > -. f(x) > 9(x )² > (x )² > 0 x ] ; [ ]; + [ 0 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = - x² + x +. 5 ) Donner la forme canonique de f(x). f (x) = (x )² + 8 ) Montrer que f(x) = ( x)(x + ) On développe. ) hoisir la forme adaptée pour résoudre : a) f(x) = 0 f (x) = 0 ( x)(x + ) = oux = b) f(x) = f (x) = x² + x + = x² + x ( x + ) = 0oux = c) f(x) = x f(x) = x x² + x + = x x² + = 0 (x² ) = 0 (x x = oux = )(x + ) = 0 FRLT Page 0 9/0/07
FONTIONS ARREES d) f(x) 0 Un tableau de signe à partir de ( x)(x + ) donne S = ] ;0] [ ; + [ 5 e) f(x) = 8 5 5 5 f (x) = (x )² + = (x )² = 0 (x )² = 8 8 8 ) Déterminer les points d intersections de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. Point d intersection avec l axe des abscisses : il faut résoudre l équation f(x) = 0. On a donc les points A( ; 0) et B( - ; 0) d après la question )a) Point d intersection avec l axe des ordonnées : on calcule f(0) On a f(0) = Donc le point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées est ( ; 0) 5) Déterminer l image de f() = 6) Déterminer le ou les antécédents de. x = 0oux = 5 7) Donner les coordonnées du sommet de la parabole. S ( ; ) 8 8) Etablir le tableau de variation de f sur [- 9 ; 9] x Variations de f 5 8 On donne plusieurs expressions d une même fonction f définie sur R. Forme : f(x) = - x² - 6x -. Forme : f(x) = -(x + )(x + ). Forme : f(x) = x + + On appelle P la parabole représentative de f dans un repère. ) Développer les formes et ; vérifier que l on obtient la forme. ) Quelle est la forme factorisée de f(x)? forme. ) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question posée : a) Résoudre l équation f(x) = 0. Forme : x = - ou x = - b) alculer f(0), f(-) et f f(0) = - avec la forme, f(-) = 0 avec la forme et f = avec la forme. 5 c) Déterminer les antécédents de 7 Forme : x = oux = d) alculer l image de. Forme : f( ) = 6 8 e) Résoudre l équation f(x) = -. Forme : x = - ou x = 0. f) f(x) 0. Forme : S = [- ;- ] g) En quel point, P coupe-t-elle l axe des abscisses?(-; 0) et (- ; 0) h) En quel point, P coupe-t-elle l axe des ordonnées?(0;- ) i) Quel est le minimum de f? Pour quel nombre x est-il atteint? Minimum: pour x = Equations Inéquations : Soit f (x) = (x )² 5(x + 5)( x + 6) ) Développer f(x) : f(x) = x² + 58x. ) Factoriser f(x) : f(x) = (x )(x + 7) ) alculer f ( ) ; f( ); f(0). On choisira l expression de f(x) la plus appropriée. FRLT Page 9/0/07
FONTIONS ARREES f( ) = 58 9; f( )0; f(0) = ) Résoudre les équations suivantes en prenant l expression de f(x) la plus adaptée : 9 a) f(x) = -. x = 0ou 7 b) f(x) = 0 : x = ou c) f(x) = 58x 9 : x = ou f(x) = (x )(x + ) (x )² On considère les fonctions f et g définies sur R par : g(x) = (x )² ) Développer f(x) : x² + x - ) Développer g(x) :- x² + x + ) Factoriser f(x) :(x )(x + ) ) Factoriser g(x) :( x)( + x) 5) Déterminer l image de + par f : avec la forme factorisée, on a + 6) Déterminer l image de par g : avec la forme développée, on a + 7) Résoudre f(x) = g(x) sur R. 5 8) Résoudre f(x) = g(x) sur R. S = ; 9) Résoudre f(x) + g(x) = 7 0) Résoudre f(x) + < g(x) - f(x) ) Résoudre 0 S = [ ; ] g(x) On considère le polynôme g(x) = 8x² - 7 + x (- x + ) (x )² ) Factoriser g(x). g(x) = 7(x² ) x(x ) (x )² = (x )[7(x + ) x (x )] = (x )(x + 7 x x + ) = (x )(0x + 8) = (x )(5x + ) ) Déterminer l ensemble des solutions de l inéquation g(x) 0 : ] ; ] [ ; + [ 5 ) Déterminer l ensemble des solutions de l inéquation g(x) < 5x + : ] ; [ 5 5 Soit la fonction polynôme F(x) = x² - x. Trouver a, b et c réels tels que f(x) = a [(x+b) ² + c]. Résoudre f(x) > 0 f(x) = (x )² ] ; [ ] ; + [ FRLT Page 9/0/07