MATHÉMATIQUES MPSI LES MÉTHODES ET EXERCICES DE

Jean-Marie Monier LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Les méthodes à retenir Plus de 5 énoncés d eercices Indications pour bien démarrer Corrigés détaillés

LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI

LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Jean-Marie Monier Professeur en classes de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

Dunod, Paris, 8 ISBN 978---53973-4

Table des matières Les nombres réels Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 5 Corrigés des eercices 6 5 Dérivation 59 Les méthodes à retenir 59 Énoncés des eercices 6 Du mal à démarrer? 66 Corrigés des eercices 67 Les nombres complees Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 4 Du mal à démarrer? 8 Corrigés des eercices 9 6 Intégration 79 Les méthodes à retenir 79 Énoncés des eercices 8 Du mal à démarrer? 85 Corrigés des eercices 87 3 Suites numériques 9 7 Fonctions usuelles 97 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 36 Corrigés des eercices 37 4 Fonctions réelles ou complees d une variable réelle 47 Les méthodes à retenir 47 Énoncés des eercices 49 Du mal à démarrer? 5 Corrigés des eercices 53 Les méthodes à retenir 97 Énoncés des eercices 99 Du mal à démarrer? Corrigés des eercices 3 8 Comparaison locale des fonctions 3 Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 6 Du mal à démarrer? 9 Corrigés des eercices V

Table des matières 9 Calculs de primitives 33 Les méthodes à retenir 33 Énoncés des eercices 36 Du mal à démarrer? 38 Corrigés des eercices 39 Équations différentielles 49 Les méthodes à retenir 49 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 55 Corrigés des eercices 57 Notions sur les fonctions de deu variables réelles 69 Les méthodes à retenir 69 Énoncés des eercices 7 Du mal à démarrer? 74 Corrigés des eercices 76 Compléments de calcul intégral 83 Les méthodes à retenir 83 Énoncés des eercices 85 Du mal à démarrer? 87 Corrigés des eercices 88 3 Vocabulaire de la théorie des ensembles 95 Les méthodes à retenir 95 Énoncés des eercices 96 Du mal à démarrer? 98 Corrigés des eercices 99 5 Nombres entiers, nombres rationnels 9 Les méthodes à retenir 9 Énoncés des eercices Du mal à démarrer? 3 Corrigés des eercices 5 6 Arithmétique dans Z 3 Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 33 Du mal à démarrer? 36 Corrigés des eercices 38 7 Polynômes, fractions rationnelles 47 Les méthodes à retenir 48 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 57 Corrigés des eercices 58 8 Espaces vectoriels 7 Les méthodes à retenir 7 Énoncés des eercices 73 Du mal à démarrer? 75 Corrigés des eercices 76 9 Applications linéaires 8 Les méthodes à retenir 8 Énoncés des eercices 83 Du mal à démarrer? 86 Corrigés des eercices 88 4 Structures algébriques 3 Les méthodes à retenir 3 Énoncés des eercices 5 Du mal à démarrer? 9 Corrigés des eercices Matrices 95 Les méthodes à retenir 95 Énoncés des eercices 98 Du mal à démarrer? 34 Corrigés des eercices 37 VI

Table des matières Déterminants, systèmes linéaires 39 Les méthodes à retenir 39 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 35 Corrigés des eercices 36 Espaces vectoriels euclidiens 333 Les méthodes à retenir 333 Énoncés des eercices 336 Du mal à démarrer? 34 Corrigés des eercices 343 3 Géométrie plane 353 Les méthodes à retenir 353 Énoncés des eercices 355 Du mal à démarrer? 359 Corrigés des eercices 36 4 Géométrie dans l espace 37 Les méthodes à retenir 37 Énoncés des eercices 374 Du mal à démarrer? 376 Corrigés des eercices 378 5 Courbes du plan 385 Les méthodes à retenir 385 Énoncés des eercices 388 Du mal à démarrer? 39 Corrigés des eercices 39 Inde alphabétique 45 Dunod La photocopie non autorisée est un délit VII

Pour bien utiliser cet ouvrage La page d entrée de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les eercices, ainsi qu un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des eercices Les méthodes à retenir Cette rubrique constitue une synthèse des principales méthodes à connaître,détaillées étape par étape, et indique les eercices auquels elles se rapportent VIII

Énoncés des eercices De nombreu eercices de difficulté croissante sont proposés pour s entraîner La difficulté de chaque eercice est indiquée sur une échelle de à 4 α α α α β Du mal à démarrer? α Des conseils méthodologiques sont proposés pour bien aborder la résolution des eercices α α α α α α β α β γ } { Corrrigés des eercices Tous les eercices sont corrigés de façon détaillée IX

Remerciements Je tiens ici à eprimer ma gratitude au nombreu collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit : Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Jacques Blanc, Gérard Bourgin, Sophie Cohéléach, Carine Courant, Hermin Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, Guillaume Haberer, André Laffont, Ibrahim Rihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier Jean-Marie Monier Dunod La photocopie non autorisée est un délit XI

Les nombres réels CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 5 Corrigés 6 Thèmes abordés dans les eercices Équations, inéquations, systèmes d équations Racine carrée, racines n-èmes Manipulation du symbole de sommation d un nombre fini de termes et du symbole de produit d un nombre fini de facteurs Utilisation de la fonction partie entière Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R Raisonnement par récurrence Définition de la fonction partie entière Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour résoudre une équation ou une inéquation à une inconnue dans les réels On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou du second degré voir cours Toujours tenir compte des particularités de l équation ou de l inéquation proposée : à ce niveau, s il y a une question, c est qu il y a une réponse eprimable Effectuer un changement d inconnue ou un changement de variable pouvant ramener l équation ou l inéquation à une autre plus simple On prendra souvent comme nouvelle inconnue un groupement intervenant plusieurs fois dans l équation ou l inéquation Eercices 3, 8, 9 Reconnaître un développement remarquable, par eemple celui du binôme de Newton Eercice

Chapitre Les nombres réels Montrer que l équation se ramène à f, où f est strictement monotone, ce qui établira que l équation admet au plus une solution Eercice 4 S il y a des radicau, essayer de les chasser par élévations au carré, ou faire intervenir la notion de quantité conjuguée Eercice Pour résoudre un système d équations symétrique ou presque symétrique à deu inconnues,y Essayer de faire intervenir la somme et le produit de et y, en notant S + y et P y, et en considérant S et P comme les nouvelles inconnues Eercice 5 Voir aussi chapitre 7 Effectuer un changement de variable pouvant ramener l inégalité voulue à une autre plus simple Eercice Tenir compte éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent Eercice 6 b Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls souvent des carrés de réels, pour conclure à une positivité Eercices 6, Appliquer convenablement l inégalité de Cauchy-Schwarz ou l inégalité de Minkowski Eercice Voir aussi chapitre 6 Pour établir une propriété faisant intervenir une entier n quelconque Pour résoudre une question portant sur une ou des parties entières Essayer de faire une récurrence sur n Pour y arriver, il faut que la propriété à l ordre n + s eprime simplement en faisant intervenir la propriété à l ordre n Eercice 3 Utiliser essentiellement la définition de la partie entière E d un réel : E Z et E < E +, ou encore : E Z et < E Eercices 7, 5

Énoncés des eercices Pour montrer qu un nombre réel α est irrationnel Raisonner par l absurde : supposer α Q et déduire une contradiction Eercices 7, 8, 9 Énoncés des eercices Eemple de résolution d une équation polynomiale à une inconnue dans R Résoudre l équation d inconnue R : 3 + + 3 Eemple de résolution d une équation avec racines carrées dans R Résoudre l équation d inconnue R : 6 + 3 + 5 + 4 3 3 4 Eemple de résolution d une équation avec racine carrée dans R Résoudre l équation d inconnue R : 3 3 4 + 3 6 Eemple de résolution d une équation avec racines n-èmes dans R Résoudre l équation d inconnue R : 4 3 + 5 4 9 Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 6 7 8 9 Eemple de résolution d un système d équations algébriques dans les réels { + y + y 3 Résoudre le système d équations d inconnue,y R : S y + y + Des inégalités sur des réels a Montrer : a,b R a +, a + b 3a b 4 b En déduire : a,b,c R + 3, a a + b + b b + c + Une partie entière calculable Montrer : n N, E n + n + 4n + c c + a a + b + c Eemple de résolution d une équation polynomiale à une inconnue dans R Résoudre l équation d inconnue R : 7 5 + 4 + 6 68 Eemple de résolution d une équation avec racines n-èmes dans R Résoudre l équation d inconnue R : 4 9 + 9 + 7 Eemple de résolution d une inéquation à une inconnue dans R Résoudre l équation d inconnue R : 4 + 3 3 3

Chapitre Les nombres réels Une inégalité du second degré sur des réels Montrer : a,b,c R 3, a + b + c 4a + 4b + c Une inégalité sur des réels Soient n N, a,,a n, b,,b n R Montrer : n n n a k + b k ak k + b k k k 3 Une inégalité sur des réels Soient n N, a,,a n [,+ [ Montrer : n n + a i n + a i i i 4 5 Une inégalité portant sur une sommation Montrer, pour tout n N : < n + n + k k Somme de parties entières n Montrer : n Z, E + E n + 4 + E n + 4 4 n 6 Un entier caché sous des radicau 3 Montrer que le réel A calculer 54 3 + 4 5 3 + 3 54 3 4 5 3 est un entier et le 7 Étude d irrationnalité pour une somme de deu racines carrées Soient,y Q + tels que et y soient irrationnels Montrer que + y est irrationnel 8 a Soit n N tel que n ne soit le carré d'aucun entier Montrer : n / Q b Établir : + 3 / Q 9 Un eemple surprenant de rationnel issu d irrationnels par eponentiation Montrer qu il eiste a,b R + Q tel que a b Q Étude des sous-groupes additifs de R Soit G un sous-groupe de R,+, tel que G / {} Montrer que G R + admet une borne inférieure α dans R, et que α a On suppose ici α > Démontrer : G αz b On suppose ici α Démontrer que G est dense dans R On a donc établi le résultat suivant : Tout sous-groupe additif G de R est soit discret c'est-à-dire qu'il eiste α R tel que G αz, soit dense dans R 4

Du mal à démarrer? 3 Soient ω R et Gω {a + bω; a,b Z } a Vérifier que Gω est un sous-groupe additif de R b On suppose ici ω Q On note p,q le couple de Z N tel que : ω p q et pgcdp,q Démontrer : Gω q Z c On suppose ici ω / Q Démontrer que Gω est dense dans R Du mal à démarrer? Dunod La photocopie non autorisée est un délit Faire apparaître le développement d un cube Essayer de faire disparaître les, par élévations au carré 3 Remarquer la présence, deu fois, de 4 Utiliser un argument de stricte monotonie d une fonction 5 Puisque les deu équations du système se ressemblent, on peut essayer de les additionner, par eemple 6 a Faire tout passer dans le premier membre, et étudier le signe de cette différence b Utiliser a trois fois 7 Revenir à la définition de la partie entière d un réel 8 Essayer de grouper les quatre facteurs du premier membre deu par deu, de manière à faire apparaître une même epression 9 Remarquer la présence, en plusieurs endroits, des epressions 4 9 et 4 Effectuer un changement de variable, en eploitant la présence de /4, /3, / Faire tout passer dans le deuième membre, et étudier le signe de cette différence La présence de carrés et de sommes fait penser à l inégalité de Cauchy-Schwarz 3 Récurrence sur n 4 Récurrence sur n 5 Chacune des trois fractions intervenant dans l énoncé se simplifie si l on connaît la forme de n modulo 4 6 En notant u et v les deu fractions de l énoncé, étudier u + v, u 3 + v 3, u 3 v 3, pour obtenir une équation satisfaite par A 7 Raisonner par l absurde 8 a Raisonner par l absurde et utiliser un argument d arithmétique b Raisonner par l absurde et utiliser le résultat de a Considérer 9 La notation R + Q désigne R + privé de Q, c est-à-dire : R + Q { R + ; / Q} de R Montrer que G R + est une partie non vide et minorée a Montrer α G, en raisonnant par l absurde Pour montrer que tout élément g de G est dans αz, considérer E, ce qui revient à diviser g par α g α b Montrer que G admet des éléments > aussi petits que l on veut 3 a Revenir à la définition ou à la caractérisation d un sousgroupe b Utiliser le théorème de Bezout c Raisonner par l absurde 5

Corrigés des eercices 6 On a successivement, par des calculs dans R, en faisant apparaître le développement de + 3 par la formule du binôme de Newton : 3 + + 3 3 3 + 3 + 3 + 3 + + 3 3 3 + 3 3 + + 3 + 3 On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est { } + D abord, les racines carrées qui interviennent dans l équation de l énoncé, notée, eistent si et seulement si 6, 3, + 5, 4 3 sont tous, ce qui revient à : 5 4 3 On a alors, en élevant au carré, les deu membres étant : 6 + 3 + 5 + 4 3 9 + 6 3 9 + + 5 4 3 6 3 + 54 3 9 + 8 3 + 4 + + + ou Enfin, les deu réels trouvés sont dans l intervalle de définition dégagé plus haut On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est, } { On peut d ailleurs contrôler ces deu résultats en reportant chacune de ces valeurs dans 3 On remarque que n intervient que par le groupement, donc on effectue le changement d inconnue y En notant l équation proposée, on a alors, pour y + 3 : 3y 4 y + 3 6 3y 6 4 y + 3 { 3y 6 3y 6 6y + 3 { y 9y 5y y y 6 ou y 9 y 6, et la valeur 6 trouvée pour y vérifie y + 3 Ensuite : y 6 6 6 3 + On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {, 3} On peut d ailleurs contrôler ces deu résultats en reportant chacune de ces valeurs dans 4 D abord, les deu membres de l équation proposée sont définis si et seulement si : L application [ + [ R, 4 3 + 5 4 9 est strictement croissante, donc l équation proposée admet au plus une solution D autre part, le réel est solution évidente On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule,

5 On a, par addition : S + y + y + + y + y + + y 4n + n + + nn + <4n + { n nn + nn + <n + Notons s + y On a alors : S s + s s s + s ou s Pour s, en remplaçant y par, on obtient : + y + y 3 + + 3 qui n a pas de solution, Pour s, on a y et : S + + 3 3 5 5 3 On déduit : y + 5 3 3 On conclut que l équation proposée admet une solution et une seule, qui est : 5 3, y 3 On peut d ailleurs contrôler ce résultat en reportant ces valeurs dans S 6 a On a, pour tout a,b R + : a a + b 3a b 4a a + b3a b 4 4a + b a ab + b 4a + b a b 4a + b, d où l inégalité voulue b On applique le résultat de a à a,b, b,c, c,a, puis on additionne : a a + b + b b + c + c c + a 3a b + 3b c + 3c a 4 4 4 a + b + c 7 Par définition de la partie entière, puisque 4n + Z, on a : E n + n + 4n + 4n + n + n + < 4n + { n n + n 4n + 4n < 4n + 4n +, et ces deu dernières inégalités sont vraies, ce qui prouve, par équivalences logiques successives, le résultat voulu 8 On remarque que : 7 + 6 4 et 5 + 4 Ainsi, n intervient que par le groupement On effectue donc le changement d inconnue y En notant l équation proposée, on a alors : y 4y 68 y 6y + 3 Le discriminant de cette équation du second degré est : 6 4 3 96 54, d où les solutions en y : y 6 ± 54 y 4 ou y 58 On revient à, en résolvant deu équations du second degré : y 4 4 ± 7 y 58 58 ± 33 On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est : { 7, + 7, 33, + } 33 9 D abord, les deu membres de l équation sont définis si et seulement si 9 et sont, ce qui revient à : 9 On remarque les groupements 4 9 et 4 et leurs carrés On effectue donc un changement de notation, en posant : u 4 9, v 4 On a alors : u 4 + v 4 9 + 7 et, en notant l équation de l énoncé : uv + u + v 7 Puisque u et v interviennent de manière symétrique, posons S u + v et P uv 7

On a alors : u 4 + v 4 u + v u v S P P S 4 4S P + P { S On déduit : P 7 S 4 4S P + P 7 { P S 7, où : S 4 4S S 7 + S 7 7 car S u + v S 4 + 8 S 3, Ainsi : S 3, P, donc u,v sont les solutions de t 3t +, d où, à l ordre près : u, v { { u 4 9 v 4 { 9 8 6 { { u 4 9 v 4 { 9 6 3 On conclut que l ensemble des solutions de l équation proposée est {3, 8} On peut d ailleurs contrôler ces résultats en reportant chacune de ces valeurs dans D abord, les termes de l inéquation eistent si et seulement si Puisque 4 et 3 interviennent, notons t, de sorte que : 4 t 4 t 3, 3 t 3 t 4, t t 6 On a alors, en notant l inéquation de l énoncé : t 3 + 3t 4 t 6 t 3 t 3 3t t 3 t + t t t 3 t + t + t t 3 t + t Puisque t, on a t + >, donc : t 3 t t 4 96 L ensemble des solutions de l inéquation proposée est donc l intervalle [ ; 4 96] On a, pour tout a,b,c R 3, en considérant qu il s agit d un trinôme en c, que l on met sous forme canonique : 4a + 4b + c a + b + c 3a + 3b + c ab ac bc c a + bc + 3a + 3b ab c a + b a + b + 3a + 3b ab c a b + a + b 4ab c a b + a b, d où l inégalité voulue On a, en développant les carrés comme produits de deu facteurs : n ak k + n n b a k b k k i, j n i, j n a i + b i d ij, où on a noté : d ij k k a j + b j i, j n a i a j i, j n ai + bi aj + b j a i a j b i b j b i b j D après l inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout i, j {,,n} : a i a j + b i b j ai + bi aj + b j, donc d ij, puis, en additionnant d ij, ce qui montre le résultat voulu i, j n 3 Récurrence sur n L inégalité est évidente pour n il y a même égalité Supposons l inégalité vérifiée pour un n N Soient a,,a n+ [ + [ On a : n+ n + a i + a i + a n+ i i hyp réc n + n + a n+ + n a i + a n+ i n n a i + a i a n+ i i 8

Remarquons :,y [ + [, + y + y En effet, pour tout,y [ ;+ [ : + y + y y D où, ici : a n+ + On déduit : i n n a i + a i a n+ i i n+ n + a i n + a i a n+ n+ n + a i, i ce qui montre l inégalité à l ordre n + On a établi l inégalité voulue, pour tout n N, par récurrence sur n 4 Récurrence sur n L inégalité est évidente pour n i Supposons l inégalité vraie pour un n N On a : n+ k n k k Il suffit donc de montrer : k + n + < n + n + + hyp rec n + n + n + + n + On a : n + + n + n + n + n n + n n + n + + n n + + n n + n + + n 4n + n + + nn + 4n + 4 nn + n + nn + n + Ceci montre, par équivalences logiques successives, que l inégalité est vraie, ce qui entraîne l inégalité voulue pour n + On a démontré l inégalité demandée, par récurrence sur n 5 Séparons en cas, selon le reste de la division euclidienne de n par 4, et présentons les résultats dans un tableau : n n + n + 4 n E E E Somme 4 4 4k k k k + 4k 4k + k k k + 4k + 4k + k k + k + 4k + 4k + 3 k + k + k + 4k + 3 Ceci établit le résultat voulu, par eamen de tous les cas modulo 4 6 Notons u On a alors A u + v et : u 3 + v 3 54 3 + 4 5 3 3 u 3 v 3 54 3 + 4 5 3 3 3 54 3 + 4 3 5 54 3 4 5, v 3 3 + 54 3 4 5 3 3 54 3 4 5 3 3 54 3 4 5 343 3 3 7 73 7 3 3, 3 3 donc, comme uv R : uv 7 3 36 D où : A 3 u + v 3 u 3 + 3u v + 3uv + v 3 u 3 + v 3 + 3uvu + v 36 + 7A Ainsi, A vérifie : A 3 7A 36 Une solution évidente est 4, donc: A 4A + 4A + 9 Le discriminant 4 4 9 est <, donc, comme A est réel, A + 4A + 9 n est pas nul, et on conclut : A 4 7 Raisonnons par l absurde : supposons + y Q Comme et y sont des irrationnels, ils ne sont pas nuls, donc + y >, puis : y y + y Comme y Q et + y Q +, et que Q est un corps, on déduit, du résultat précédent : y Q Ensuite, comme Q est un corps : + y + y Q, contradiction 9

Ce raisonnement par l absurde établit que + y est un irrationnel Par eemple, comme et 3 sont irrationnels cf eercice 8 a, on déduit : + 3 / Q 8 Raisonnons par l'absurde ; supposons qu'il eiste p,q N tel que : p n q et pgcdp,q On a alors nq p Par unicité de la décomposition d'un entier en produit de nombres premiers, il en résulte que les eposants des facteurs premiers figurant dans la décomposition de n sont tous pairs, et donc n est le carré d'un entier, contradiction On conclut : n / Q Eemples : / Q, 3 / Q, 5 / Q, 6 / Q b Raisonnement par l'absurde Notons α + 3, et supposons α Q On a alors : α + 3 5 + 6, d'où 6 α 5 Q, contradiction, d'après a Finalement : + 3 / Q Notons u,v 9 On sait cf eercice 8 a: R + Q Séparons en deu cas, selon que v est rationnel ou irrationnel Si v Q, alors le couple a, b convient Si v / Q, alors, comme : v Q, le couple a v, b convient Ceci montre qu il eiste a,b R + Q tel que a b Q : en effet, l un des deu couples,,, convient Mais on ne sait pas décider lequel au moins convient! Puisque G / {}, il eiste G tel que / Si >, alors G R + Si <, alors G R + Ainsi, G R + est une partie non vide et minorée par de R, donc théorème de la borne inférieure dans R G R + admet une borne inférieure α dans R Puisque est un minorant de G R + dans R, on a : α a Raisonnons par l'absurde : supposons α / G Puisque α > α, α n'est pas un minorant de G R + dans R ; il eiste donc β G tel que α < β < α De même, puisque β > α, β n'est pas un minorant de G R + dans R ; il eiste donc γ G tel que α < γ < β On a alors : β γ G R + et β γ < α, ce qui contredit la définition de α Ceci prouve : α G Comme G est un sous-groupe de R,+, il en résulte : n Z, nα G, c'est-à-dire : αz G g Soit g G En notant n E, on a nα g <n + α α et g nα G car g G, α G, n Z Si g / nα, alors g nα G R + et g nα < α, contradiction avec la définition de α Donc g nα αz Ceci montre G αz Finalement : G αz b Soit,y R tel que < y Puisque α, il eiste g G tel que < g < y ; notons n E + On a g alors n < n, d'où : g < ng n g + g + g < y et ng G Ceci montre que G est dense dans R 3 a + ω Gω Soient,y Gω Il eiste a,b,c,d Z tels que a + bω et y c + dω On a : y a c + b dω et a c, b d Z, donc : y Gω On conclut : Gω est un sous-groupe de R,+ b Soit a,b Z On a : a + bω aq + bp q q Z Puisque pgcdp,q, d'après le théorème de Bezout, il eiste u,v Z tel que : up + vq Alors : up + vq q q puis : q Z G ω On conclut : Gω q Z v + uω Gω, c Raisonnons par l'absurde : supposons que Gω ne soit pas dense dans R D'après, Gω est alors discret, c'est-à-dire qu'il eiste α R tel que Gω αz Comme + ω Gω et ω + ω Gω, il eiste p,q Z tel que : αp et ω αq Il est clair que α / et p /, et on a : ω αq αp q p Q, contradiction Ceci montre que Gω est dense dans R Par eemple, en admettant que π est irrationnel cf eercice 69, la partie {a + bπ; a,b Z } est dense dans R

Les nombres complees CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir Énoncés des eercices 4 Du mal à démarrer? 8 Corrigés 9 Thèmes abordés dans les eercices Calcul algébrique sur les nombres complees : sommes, produits, quotients, puissances, conjugués, modules, forme algébrique et forme trigonométrique Équations algébriques simples, systèmes d'équations algébriques Inégalités portant sur des modules, souvent en liaison avec une interprétation géométrique Utilisation des nombres complees pour la trigonométrie, formule d'euler, formule de Moivre Utilisation des nombres complees pour la géométrie plane, utilisation des rotations et des similitudes directes Manipulation des racines n-èmes de dans C Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Calcul dans C, en particulier les propriétés algébriques de la conjugaison et du module Résolution des équations du premier et du second degré dans C Propriétés de la forme trigonométrique d'un nombre complee non nul Définition et propriétés des racines n-èmes de dans C Formule d'euler et formule de Moivre Traduction sur les affies d'une translation, d'une rotation, d'une similitude directe Les méthodes à retenir Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complee présenté comme puissance d'un nombre complee Pour résoudre une équation à une inconnue dans les complees Utiliser la forme trigonométrique des nombres complees Eercice De manière générale, l'écriture algébrique + i y,,y R, est conseillée pour des calculs additifs, et l'écriture trigonométrique ρ e i θ,ρ,θ R + R, est conseillée pour des calculs multiplicatifs On sait résoudre les équations du premier degré ou du second degré voir cours Toujours tenir compte des particularités de l'équation proposée : à ce niveau, s'il y a une question, c'est qu'il y a une réponse eprimable Eercices, 3, 5

Chapitre Les nombres complees Effectuer un changement d'inconnue ou un changement de variable pour ramener l'équation à une autre équation plus simple On prendra souvent comme nouvelle inconnue un groupement intervenant plusieurs fois dans l'équation Eercice 8 Utiliser les formules, pour tout z C : Pour traduire qu'un nombre complee est réel, qu'un nombre complee est imaginaire pur Ainsi : Ré z z + z, Im { z R z z z z z i z i R z z Eercice 4 Essayer d'utiliser l'inégalité triangulaire : z,z C, z + z z + z ou l'inégalité triangulaire renversée : z,z C, z z z z Pour établir une inégalité portant sur des modules de nombres complees De manière générale, il est conseillé de partir du membre le plus compliqué Eercices 6,,, 3 Essayer de faire intervenir des carrés de module au lieu des modules eu-mêmes, de façon à pouvoir utiliser la formule : z C, z zz Eercice Si des modules de produits ou des modules de carrés interviennent, essayer d'appliquer l'inégalité de Cauchy et Schwarz Eercice 9 On peut être amené à séparer en cas et à traiter les différents cas par des méthodes différentes Eercice Pour résoudre un système d'équations symétrique à deu inconnues,y Pour traduire, en géométrie plane, qu'un point est sur un cercle Essayer de faire intervenir la somme et le produit de et y, en notant S + y et P y, et en considérant S et P comme de nouvelles inconnues Eercice 7 Par les nombres complees, si les points A,M ont pour affies respectives a,z, alors : M est sur le cercle de centre A et de rayon R si et seulement si z a R Eercice 9

Les méthodes à retenir Essayer d'utiliser, pour tout z C : Pour faire des calculs sur des nombres complees de module z z z, ce qui permet, lorsque z, de remplacer z par, ou inversement z Eercices, 3, 6 Pour résoudre une question portant sur des cosinus et des sinus Pour déterminer l'image dans C, par une application f, d'une partie P de C Pour calculer une epression faisant intervenir des coefficients binomiau Pour établir une propriété faisant intervenir un entier n quelconque Essayer de faire intervenir les nombres complees, en utilisant la formule : R, cos + i sin e i Pour transformer + e i θ ou e i θ,θ R, mettre e iθ en facteur : + e i θ e iθ cos θ, ei θ i e iθ sin θ Eercice 5 Essayer, si possible, en notant Z f z, d'eprimer z en fonction de Z, puis remplacer z en fonction de Z dans les conditions définissant P Eercice 7 Essayer d'appliquer la formule du binôme de Newton Si les coefficients binomiau sont régulièrement espacés de trois en trois, par eemple, faire intervenir des racines par eemple cubiques de dans C Eercice 8 Essayer de faire une récurrence sur n Pour y arriver, il faut que la propriété à l'ordre n + s'eprime simplement en faisant intervenir la propriété à l'ordre n Eercice 4 Dunod La photocopie non autorisée est un délit Pour calculer une somme faisant intervenir une ou des racines n-èmes de dans C Essayer d'appliquer la formule du binôme de Newton : n N n, a,b C, a k b n k a + b n k k ou la formule sur la sommation d'une progression géométrique : n N, z C {}, k z k zn+ z Eercices 5, 3 3

Chapitre Les nombres complees Essayer de faire apparaître des rotations ou, plus généralement, des similitudes directes C B Pour traduire une configuration de géométrie plane par les nombres complees A θ Figure Rappelons que, si A,B,C sont trois points du plan, d'affies respectives a,b,c, et si θ R, alors : C Rot A,θ B AC Rot θ AB c a e i θ b a Eercices 7, 8 Énoncés des eercices Eemple de calcul de la partie réelle et de la partie imaginaire d'un nombre complee donné par une puissance + i 3 5 Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complee A + i Eemple de résolution d'une équation particulière du 3 e degré dans C a Résoudre l'équation d'inconnue z C : z 3 6 iz + 89 6 iz + 89 i b Quelle particularité présente le triangle formé par les trois points dont les affies sont les solutions de? 3 Eemple de résolution d'une équation particulière du 4 e degré dans C Résoudre l'équation, d'inconnue z C : E z + 4z + + 3z + 5 4 Étude de conjugaison et de module + z Soit z C {} Montrer : i R z z 4

Énoncés des eercices 5 6 Résolution d'une équation dans C faisant intervenir un conjugué Résoudre l équation d inconnue z C : z z 3 Étude d'inégalités sur des modules de nombres complees a Montrer, pour tout z C : z + i z 4 + b Traduire géométriquement le résultat de a 7 8 9 Eemple de résolution d'un système de deu équations à deu inconnues dans C { y + y 6 Résoudre le système d équations, d'inconnue,y C : S 3 + y 3 9 Eemple de résolution d'une équation particulière du 4 e degré dans C Résoudre l équation d inconnue z C : zz + z z 3 63 Étude de cocyclicité pour quatre points du plan Est-ce que les points A,B,C,D d'affies respectives 9 + 3i, 6 + i, 4 + 4i, + i sont cocycliques? Si oui, déterminer le centre et le rayon du cercle qui les contient Étude de conjugaison et de modules de nombres complees Montrer : u U, z C, u u z z z Dunod La photocopie non autorisée est un délit 3 4 Inégalités sur des modules de nombres complees Soit a,b C tel que a < et b < Montrer : a b ab < Un eemple d'involution d'un disque Montrer que l'application f : z z z est une involution de z D { z C ; z < } Propriétés des fonctions symétriques élémentaires de quatre nombres complees de modules égau à Soient a,b,c,d U On note σ,σ,σ 3,σ 4 les fonctions symétriques élémentaires de a,b,c,d a Montrer : σ σ 3 σ 4 et σ σ σ 4 b En déduire : σ σ 3 σ 4 R + et σ σ 4 R + Eemple d'intervention de la géométrie dans la résolution d'une équation faisant intervenir des nombres complees Résoudre l'équation e i + e i y + e i z, d'inconnue,y,z R 3 5

Chapitre Les nombres complees 5 6 Un calcul important et utile : somme des cosinus et somme des sinus de réels en progression arithmétique Pour n N et a,b R, calculer C cosa + kb et S sina + kb k k Utilisation de la conjugaison pour des nombres complees de module Soient a,b,c U tels que b / c On note A bc a ac b Montrer : A R + 7 8 Un eemple d'image d'un quart de plan par une fonction homographique Déterminer l'image par l'application f : z z + du quart de plan z { } P z C ; Ré z > et Imz > Calcul de sommes de coefficients binomiau de trois en trois Calculer, pour n N tel que n 3, les sommes : n n n n n n A + + +, B + + +, 3 6 4 7 n n n C + + + 5 8 9 Eemple d'obtention d'inégalités portant sur des modules de nombres complees Soient n N, z,,z n C, M R + tels que : z k et z k M Montrer : k k n k {,,n}, z k M n Eemple d'inégalité portant sur des modules de nombres complees Montrer, pour tout z C : z z + z Calcul d'une borne supérieure faisant intervenir des nombres complees Déterminer Sup z 3 + i z z Étude d'inégalité sur des sommes de modules de nombres complees z Soient n N, z,,z n C k On suppose z k k a Montrer : z C, z k z k z z k z k k k b En déduire : z C, z k z k z k k 6

Énoncés des eercices 3 Obtention d'inégalités portant sur des modules de nombres complees a Montrer, pour tout u,v C : u + v u + v + u v b En déduire, pour tout z,z,z 3,z 4 C 4 : z + z + z 3 + z 4 z + z + z + z 3 + z + z 4 + z + z 3 + z + z 4 + z 3 + z 4 4 5 6 7 Eemple d'utilisation du raisonnement par récurrence pour l'obtention d'une inégalité portant sur les modules de plusieurs nombres complees Soient n N, D { z C ; z }, a,,a n, b,,b n D Montrer : n n a k b k a k b k k k Eemple de calcul d'une somme faisant intervenir des racines n-èmes de Soient n N {,}, z C On note ω e iπ n n et S n z + ω k n Calculer S n Étude de cocyclicité ou alignement de quatre points du plan Soient A,B,C,D quatre points du plan deu à deu distincts, a,b,c,d leurs affies respectives On suppose : a + bc + d ab + cd k Montrer que A,B,C,D sont cocycliques ou alignés Triangle équilatéral dans le plan Soient A,B,C trois points du plan affine euclidien, d'affies respectives a,b,c k a Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a + jb + j c b En déduire que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si : a + b + c ab + ac + bc Dunod La photocopie non autorisée est un délit 8 9 3 Eemple d'utilisation des nombres complees pour la résolution d'une question de géométrie plane Dans le plan affine euclidien orienté, on construit, etérieurement à un parallélogramme ABCD, les triangles équilatérau BCE et CDF Montrer que le triangle AEF est équilatéral Eemple de traduction d'une configuration géométrique par une condition sur des nombres complees Soit z C On note u,v les racines carrées complees de z Déterminer l'ensemble des z C tels que les points d'affies z,u,v forment un triangle rectangle de sommet le point d'affie z Eemple de calcul d'une somme double faisant intervenir des racines n-èmes de dans C Soit n N On note ω e iπ n n q n et S n ω p+q Calculer S n p p qp 7

Chapitre Les nombres complees Du mal à démarrer? Utiliser la forme trigonométrique des nombres complees a Grouper les deu termes contenant 6 et les deu termes contenant 89 3 Remarquer que, pour tout a,b C : 4 5 6 Utiliser : a + b a + i ba i b A C, A i R A A Passer par la forme trigonométrique de z Faire apparaître z + i dans z 4,et utiliser l'inégalité triangulaire et l'inégalité triangulaire renversée 7 Eploiter les rôles symétriques de et y, en prenant comme nouvelles inconnues la somme et le produit de et y 8 En groupant les facteurs z et z 3 d'une part, z + et z d'autre part, faire apparaître la même epression z 3z et utiliser alors un changement d'inconnue 9 Résoudre ΩA ΩB ΩC ΩD, d'inconnue Ω d'affie z + i y,,y R Remarquer que, puisque u U ensemble des nombres complees de module, on peut remplacer u par u Après avoir vérifié l'eistence de l'epression proposée, mettre des modules au carré Se rappeler qu'une involution d'un ensemble D est, par définition, une application f : D D telle que f f Id D 3 Par définition, les fonctions symétriques élémentaires de a,b,c,d sont : σ a + b + c + d, σ ab + ac + ad + bc + bd + cd, σ 3 abc + abd + acd + bcd, Eploiter : z U, z z 4 5 σ 4 abcd Traduire par une configuration géométrique Passer par les nombres complees, en formant C + i S, puis faire apparaître une progression géométrique 6 Utiliser l'égalité u, pour tout u U, ensemble des u nombres complees de module Pour établir A R +, on peut essayer de faire apparaître A comme carré du module d'un nombre complee 7 Pour traduire z P par une condition portant sur f z, eprimer z en fonction de Z f z, puis passer à la partie réelle et à la partie imaginaire de z 8 Puisque les coefficients vont de trois en trois, on peut penser au racines cubiques de dans C, d'où l'idée de former A + B + C, A + jb + j C, A + j B + jc 9 Puisque des carrés de modules interviennent, essayer d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz Appliquer judicieusement l'inégalité triangulaire et séparer en cas selon la position de z par rapport à, à cause de la présence de z et de z Obtenir une majoration convenable, par l'inégalité triangulaire, puis choisir z pour réaliser l'égalité dans l'inégalité obtenue a Partir du membre le plus compliqué, le second b Utiliser l'inégalité triangulaire 3 a Utiliser convenablement l'inégalité triangulaire b Appliquer le résultat de a à z,z, à z 3,z 4, puis à z z, z 3 z 4 4 Récurrence sur n 5 Utiliser le binôme de Newton, une propriété de permutation de deu symboles et enfin la sommation d'une progression géométrique 6 Utiliser la caractérisation de quatre points deu à deu distincts cocycliques ou alignés : d a c a : d b c b R 7 a Traduire la configuration à l'aide d'une rotation, par eemple de centre B b Un triangle est équilatéral si et seulement s il est équilatéral direct ou équilatéral indirect 8 Passer par les nombres complees Traduire la configuration à l'aide de rotations 9 Se rappeler que le produit scalaire de deu vecteurs d'affies complees a,b est donné par Ré ab 3 Utiliser une propriété de permutation de deu symboles de sommation, le binôme de Newton, et enfin la sommation d'une progression géométrique 8

Corrigés des eercices Mettons + i 3 et + i sous forme trigonométrique : + i 3 + 3 4, donc : + i 3 + i 3 D où : Puis : e i π 3, + i, donc + i + i + i 3 + i ei π 3 e i π 4 e i π 4 e i π π 3 4 e i π A e i π 5 5 e i 5π On calcule cette dernière eponentielle complee : e i 5π e i 5π e i π π ie i π ie i π π 4 3 ie i π 4 e i π 3 On obtient : i + i i 3 i + 3 + 3i 3 + 3 + i A 6 3 + 6 3 + i et on conclut que la partie réelle de A est 6 3 et que la partie imaginaire de A est 6 3 + a On a : z 3 + i z 6z + i z + 89z + i z z + i 6zz + i + 89z + i z 6z + 89z + i z 6z + 89 ou z i Le discriminant de l'équation du second degré est : 6 4 89 56 356 i Les solutions de dans C sont donc : 6 i 8 5i et 6 + i 8 + 5i On conclut que l'ensemble des solutions de est { i, 8 5i, 8 + 5i } b On peut éventuellement commencer par faire un schéma situant les trois points en question, pour deviner quelle réponse apporter à cette question y 5 5 i 8 + 5i 8 8 5i Puisque { 8 + 5i i 8 + 6i 8 + 6 8 + 5i 8 5i i, le triangle formé par les trois points dont les affies sont les solutions de est isocèle, de sommet d'affie 8 + 5i 3 On a : E z + 4z + + i 3z + 5 ou z + 4z + i 3z + 5 9

z + 4 + 3iz + + 5i ou z + 4 3iz + 5i L'équation est du second degré Son discriminant est : 4 + 3i 4 + 5i 6 9 + 4i 4 i 3 + 4i On remarque que 3 + 4i + i, ou bien on calcule les racines carrées complees de 3 + 4i par la méthode habituelle On en déduit les solutions de : 4 + 3i + i 6 4i 3 i 4 + 3i + + i i i D'autre part, un nombre complee z est solution de si et seulement si son conjugué z est solution de, donc les solutions de sont les conjuguées des solutions de Finalement, l'ensemble des solutions de est : 6 Soit z C tel que z + i On a : z 4 z + i + 3 + i z + i + 3 + i + z 4 z + i 3 i z + i + 3 i + On conclut : z 4 + b Le résultat de a se traduit géométriquement par : le disque fermé de centre + i et de rayon est inclus dans la couronne fermée de centre 4 et de rayons et + qui est d'ailleurs tangente au disque précédent en deu points y { 3 i, i, 3 + i, + i } i + i 4 Notons A + z z On a : O 4 A i R A A + z + z z z + z z + z z 5 + z z z + z zz zz z z Remarquer que le nombre est solution Soit z C Notons z ρ e i θ, ρ R +, θ R On a : ρ e i θ ρ 3 e 3i θ { ρ { ρ ρ 4θ [π] θ θ 3θ [π] [ ] π On conclut que l'ensemble des solutions de est {,, i,, i } 7 Puisque et y jouent des rôles symétriques, notons S + y et P y On a : { { PS 6 PS 6 S S 3 3PS 9 S 3 9 + 8 7 { { { S 3 S 3j S 3j ou ou P P j P j Connaissant S et P, d'après le Cours, et y sont les solutions de l'équation du second degré t St + P, d'inconnue t C S, P Équation en t Solutions en t S 3, P t 3t + t, t S 3j, P j t 3jt + j t j, t j S 3j, P j t 3j t + j t j, t j Finalement, l'ensemble des solutions de S est : {,, j,j, j,j,,, j,j, j,j }

8 On a : zz 3 z + z 63 z 3zz 3z 63 En notant Z z 3z, on a donc : ZZ 63 Z Z 63 Il s'agit d'une équation du second degré Le discriminant est : + 4 63 56 6 Les solutions en Z sont donc : 6 7 et + 6 D où : z 3z 7 ou z 3z 9 9 z 3z + 7 ou z 3z 9 3 Il s'agit maintenant de deu équations du second degré Le discriminant de est 9 56 47, donc les 3 i 47 3 + i 47 solutions de sont et 4 4 Le discriminant 3 de 3 est 3 9 + 7 8 9, donc 3 9 les solutions de 3 sont 3 4 et 3 + 9 3 4 Finalement, l'ensemble des solutions de est { 3, 3, 3 i 47, 3 + i } 47 4 4 9 Soient Ω un point du plan, z son affie,,y R tel que z + i y On a : ΩA ΩB ΩC ΩD 9 + y 3 6 + y + 4 + y 4 + + y + y 8 6y + 9 + y y + 36 + y + 8 8y + + y + y + 4 6 4y + 46 8y + 76 4 + 6y + 3 3 7y + 3 5 y + 9 7 + 3y + 5 { 3 7y + 3 5 + 5y 4 7 3 { 9 + 87 9y 58 { 3 y Ceci montre qu'il eiste un point Ω du plan et un seul, celui d'affie 3 + i, tel que Ω soit équidistant de A,B,C,D Autrement dit, A,B,C,D sont cocycliques, sur un cercle de centre Ω Le rayon de ce cercle est ΩA ou ΩB, ou ΩC, ou ΩD On a : ΩA 3 9 + 3 + 45, donc le rayon du cercle est 45 On peut d'ailleurs contrôler : ΩB 3 6 + 9 + 8 8 + 64 45, ΩC 3 + 4 + 4 + + 44 45, ΩD 3 + + 8 + 9 64 + 8 45 Par ailleurs, la notion de nombre complee n'intervient pas de manière essentielle dans cet eercice Puisque u U, on a u u, donc u u, d où : u z u z z u uz z u u z u z z Montrons d'abord que l'epression proposée eiste On a, pour tout a,b C tel que a < et b < : ab ab a b ab, eclu, car a b <, ce qui montre que ab /, donc a b ab eiste On a, pour tout a,b C tel que a < et b < : a b ab < a b < ab a b < ab a ba b < ab ab aa ab ba + bb < ab ab + abab + a b a b > a b >, et cette dernière inégalité est vraie, car a < et b <

On conclut : a b ab < 4 y Remarque : Le même calcul permet, plus généralement, d'obtenir la position stricte de a b ab par rapport à en fonction des positions strictes de a et de b par rapport à B A Soit z D On a alors z /, donc f z z z z eiste, et : f z z z z z z z z z z <, z G O donc f z D Ceci montre que f est une application de D dans D C Pour montrer f f Id D, on va calculer f f z pour tout z D On a, pour tout z D : f f z f f z f z f z f z z z + z z z z + z z z z z z + z zz z z z + z zz z z On obtient f f Id D et on conclut que f est une involution de D 3 a σ a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d bcd + acd + abd + abc abcd σ ab + ac + ad + bc + bd + cd ab + ac + ad + bc + bd + cd ab + ac + ad + bc + bd + cd cd + bd + bc + ad + ac + ab abcd b Il s'ensuit : σ σ 3 σ 3 σ σ σ σ R + σ 4 σ 4 σ σ 4 σ σ σ 4 σ σ σ R + σ σ 4 σ 3 σ 4 Notons A,B,C les points d'affies respectives e i, e i y, e i z Ainsi, A,B,C sont sur le cercle de centre O et de rayon L'affie du centre de gravité G du triangle ABC est e i + e i y + e i z Ainsi,,y,z est solution de si et seulement si G O 3 Si G O, c est-à-dire si le centre de gravité G de ABC est confondu avec le centre O du cercle circonscrit à ABC, alors les médiatrices et les médianes du triangle ABC sont confondues, donc ABC est équilatéral La réciproque est évidente On conclut que,y,z est solution de si et seulement si le triangle dont les sommets ont pour affies e i, e i y, e i z est équilatéral Autrement dit, l'ensemble des solutions de est : {, + π3 +kπ, + 4π3 } +lπ ;,k,l R Z Z 5 {, + 4π3 +kπ, + π3 } +lπ ;,k,l R Z Z On a : C + is e ia+kb e ia k Si b / πz, alors e ib /, donc : C + is e ia ein+b e ib in+b e e ia e ia+ nb e ib k k e in+b e in+b e ib e ib e ib i sin n + b i sin b

On déduit C et S en prenant la partie réelle et la partie imaginaire Si b πz, l'étude est immédiate On conclut : cos a + nb n + b sin C sin b si b / πz n + cos a si b πz sin a + nb n + b sin S sin b si b / πz n + sin a si b πz 6 Remarquer d'abord que l'epression proposée eiste, puisque a / et c / b Notons z c a On a, puisque a,b,c U : c b z c a c b c a c a c bc ca b c b a z b D où : bc a ac b b c a b a c b a z b a z z zz z R + 7 Eprimons, pour tout z C {}, z en fonction de Z f z On a : Z z + Zz Z z + z en remarquant que Z / Zz z Z + z Z + Z, Notons z + i y,,y R, Z X + i Y,X,Y R Calculons,y en fonction de X,Y : d où : On a alors : z P On conclut : + i y X + i Y + X + i Y X + + i Y X i Y X + i Y X i Y X + Y i Y X + Y, X + Y X + Y, y Y X + Y { > y > X + Y X + Y > et Y X + Y > { X + Y { > X + Y > Y > Y < { { X + Y } > f P Z X + i Y ; X,Y R, Y < Ainsi, f P est la partie du plan etérieure au cercle de centre O et de rayon, et située au-dessous de l'ae des abscisses Voir schémas ci-dessous y y P O f O fp 3

8 En utilisant la formule du binôme de Newton : n n n n A + B + C + + + + 3 A+j B +j C k n n + n n k +j n j k k k n n +j + + 3 +j n j n n j n n A+j B+jC +j n j n n j n On résout ensuite un système d'équations, en utilisant les coefficients indiqués : A + B + C n A + jb + j C n j n j j A + j B + jc n j n j j d'où les valeurs de A,B,C : A n + n j n + n j n 3 n + n cos nπ 3 3 B n + n j n+ + n j n+ 3 n + n cos 9 C 3 3 n + n j n+ + n j n+ 3 Soit k {,,n} Puisque z k n + n cos z p, on a : p p n, p / k z p n + π 3 n π 3 D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, appliquée à z p p n,p / k et p n, p / k, on a : p n, p / k z p p n, p / k n p n, p / k p n, p / k z p z p D où : + z k z k + n n donc : z k + z k et finalement : p n, p / k M + n p n, p / k z p n M, n n z k M n z p z p M, p Soit z C On a, par l'inégalité triangulaire : z z z + z z z + z z z + z Si z, on déduit le résultat voulu : z z + z Si z, alors z z, donc a fortiori : z z + z On a, pour tout z C tel que z, en utilisant l'inégalité triangulaire : z 3 + i z z 3 + i z z 3 + z 3 Voyons si on peut choisir z de façon qu'il y ait égalité dans chacune des deu inégalités précédentes On sait qu'il y a égalité dans l'inégalité triangulaire ici si et seulement si z 3 et i z sont positivement liés, c'est-à-dire : z 3 i λz, λ R + Pour z, on déduit, en passant au modules, λ, λ Puis : z 3 i λz z 3 i z z i, car z / Une racine carrée complee de i e i π est e i π 4 + i En prenant z + i, on a : z, z i, z 3 i z, z 3 + i z 3i z 3 z 3 On conclut : Sup z 3 + i z 3 z a On a, pour tout z C : k z k z z k z k k z k z k z k z k z k k zz k z k z k z k k k z k 4

b D'après a, z k z z k z k z k R +, k et, par l'inégalité triangulaire : z k k k k z k z z k z k z k z z k z k k z k z z k z k z k z k k On a, en notant A n k n a k, B n k n b k : k n+ n+ a k b k A n a n+ B n b n+ k A n a n+ b n+ + A n B n b n+ A n a n+ b n+ + A n B n b n+ 3 a En utilisant l'inégalité triangulaire : u u + v + u v u + v + u v v u + v u v u + v + u v, D'une part, A n, car : k {,,n}, a k D'autre part, d'après l'hypothèse de récurrence : A n B n a k b k k 4 d'où, en additionnant puis en simplifiant par : u + v u + v + u v b D'après a appliqué à z,z et à z 3,z 4 à la place de u,v, on a : et puis en additionnant : z + z + z 3 + z 4 z + z z + z + z z z 3 + z 4 z 3 + z 4 + z 3 z 4, z + z + z 3 + z 4 + z z + z 3 z 4 D'après a appliqué à z z,z 3 z 4 à la place de u,v, on a : z z + z 3 z 4 z z + z 3 z 4 + z z z 3 + z 4 z + z 3 z + z 4 + z + z 4 z + z 3 d où le résultat voulu : z + z + z 3 + z 4 z + z 3 + z + z 4 + z + z 4 + z + z 3, z + z + z + z 3 + z + z 4 + z + z 3 Raisonnons par récurrence sur n La propriété est triviale pour n + z + z 4 + z 3 + z 4 Supposons la propriété vraie pour un n N, et soient a,,a n+, b,,b n+ D Enfin : b n+ n+ n+ On déduit : a k b k a n+ b n+ + k k ce qui montre la propriété pour n + a k b k k n+ a k b k, On a établi la propriété voulue, pour tout n N, par récurrence sur n 5 On a, en utilisant le binôme de Newton, puis une permutation de deu symboles de sommation : n n S n z + ω k n k n l k k l n ω kl z n l l n ω k l z n l l l k n n z n l ω l k l On calcule cette dernière somme portant sur l'indice k, en séparant en cas selon que ω l est égal à on non : k n si l ou l n, alors ω l, donc ω l k n si l / ou l / n, alors, comme <l<n, on a ω l /, d où : k k n ω l ωl n ωn l ω l ω l Ainsi, dans S n, il ne reste que les termes d'indices l, n n l n,d où : S n z n n + z n nz n + n 5

6 On a : a + bc + d ab + cd ac + ad + bc + bd ab + cd ac + bd ab cd ab + cd ad bc F a dc b a cb d a d a c b d b c a d a c : b d a d b c a c : b d b c R, D C E 7 ce qui montre que les quatre points A,B,C,D sont cocycliques ou alignés a ABC est équilatéral direct si et seulement si A se déduit de C par la rotation de centre B et d'angle π 3, c'est-à-dire : On a : A BCE équilatéral indirect BE Rot π 3 BC B B a b e i π 3 c b + π 3 A C e b e iπ 3 c b jc b e b jc b + jb jc j b jc, cf aussi l'eercice 7 De même, puisque CDF est équilatéral indirect, on a : f j c jd Pour montrer que AEF est équilatéral direct, on calcule : f + ja + j e j c jd + ja + j j b jc j c jd + ja jb c Mais e i π 3 j, donc : a b + j c b a + jb + j c ABC équilatéral direct b ABC est équilatéral ou ABC équilatéral indirect a + jb + j c ou a + jc + j b a + jb + j ca + j b + jc a + b + c ab + ac + bc 8 Notons a,b,c,d les affies complees de A,B,C,D respectivement Puisque ABCD est un parallélogramme, on a : a + c b + d ja jb + j c jd ja jb + jc jd ja b + c d On conclut que AEF est équilatéral direct 9 Première méthode algébrique Puisque u,v sont les racines carrées complees de z, on a: v u et z u On a : z,u,v rectangle en z Ré u zv z Ré u u u u u u u u +u u u u uu+u u uu +u u uu uu +u u+u u u + u 4 u eclu ou u u z 6

On conclut que l'ensemble cherché est U, ensemble des nombres complees de module Deuième méthode géométrique y M Q 3 On a, en utilisant une permutation de deu symboles et la formule du binôme de Newton : n n S n p qp q p q p n q ω p+q q p n q q ω p ω q p n q + ωω q q ω p+q p n + ω q ω q q O Pour calculer cette sommation de progression géométrique, voyons si + ωω peut être égal à ou non On a : P Notons M,P,Q les points d'affies respectives z,u,v Pour que le triangle MPQ soit rectangle en M, il faut et il suffit que M soit sur le cercle de diamètre PQ, ce qui équivaut à OM OP Et : OM OP z u u u u eclu ou u z + ωω ω + ω ω ± 5 Mais + 5 et 5 ne sont pas des racines n-èmes de dans C car de modules différents de, donc + ωω / On a alors, par sommation d'une progression géométrique et puisque ω n : S n + ωω n + ωω + ωn ω ω 7

Suites numériques 3 CHAPITRE Plan Les méthodes à retenir 9 Énoncés des eercices 3 Du mal à démarrer? 36 Corrigés 37 Thèmes abordés dans les eercices Convergence, divergence d une suite, détermination de son éventuelle limite Séparation d une suite en termes d indices pairs, d indices impairs, et, plus généralement, étude de suites etraites Montrer que deu suites réelles sont adjacentes Calcul du terme général pour une suite usuelle, en particulier le cas des suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants et sans second membre Étude d une suite du type u n+ f u n Points essentiels du cours pour la résolution des eercices Propriétés des suites convergentes et des suites de limite infinie, pour les opérations algébriques et l ordre usuel, en particulier le théorème d encadrement Calcul du terme général pour les suites usuelles : suites arithmétiques, suites géométriques, suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants et sans second membre Définition et propriétés des suites etraites, en particulier le cas des suites formées par les termes d indices pairs, d indices impairs Définition et propriétés des suites réelles monotones, des suites adjacentes Plans d étude des suites du type u n+ f u n Dunod La photocopie non autorisée est un délit 9