METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE

METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE Représentation paramétrique de droite : Il faut un point de la droite ( ; ; ) et un vecteur directeur (,,) = + = + = + où t est un paramètre réel Méthode : Détermination de l équation paramétrique d une droite Déterminer une équation paramétrique de la droite (AB) telle que ( ;3; 8) et ( 3;3; 4) - On détermine un vecteur directeur de la droite par exemple le vecteur ( 3 ( );3 3; 4 ( 8)) soit ( 2;0;4) - Le point ( ;3; 8) appartient à (AB) Une équation paramétrique de (AB) est donc : = 2 =3+0 = 8+4 = 2 soit =3 = 8+4 On aurait très bien pu mettre les coordonnées de B à la place de celles de A nous aurions alors eu une autre représentation paramétrique de (AB). Une représentation paramétrique d une droite n est pas unique!!!! Méthode 2 : Montrer qu un point appartient à une droite = 2 Montrons que le point ( 3;3; 4) appartient à la droite =3 = 8+4 - On remplace x, y et z par les coordonnées de B 3= 2-3=3+0 4= 8+4 2=2 - On calcule t dans chaque équation 0=0 4= 4 = = = - On trouve 3 fois la même valeur de t donc B appartient à la droite Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

2 Equations de plan : Méthode 3 : Montrer que trois points définissent un plan Soient les points (; ;3), (0;3;) et (2;;3). Montrer que ces trois points définissent un plan. Il faut montrer que ces points définissent deux vecteurs non colinéaires donc que ces trois points ne sont pas alignés. - On calcule les coordonnées de deux vecteurs du plan et par exemple - 4 et 2 2 0 - On vérifie que et ne soient pas colinéaires c est-à-dire que ". Ici c est le cas. Les points A, B et C définissent donc un plan Méthode 4 : Montrer qu un vecteur est normal à un plan défini par trois points Soient le plan (ABC) avec (; ;3), (0;3;) et (2;;3). Montrer que $(2; ; 3) est un vecteur normal à (ABC). On montre que $ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan soit par exemple à et à. - On calcule les coordonnées de et : 4 2 et 2 0 - On vérifie que et ne soient pas colinéaires c est-à-dire que ". Ici c est le cas. - On montre que $. =0 et $. =0 $. =2 ( )+( ) 4+( 3) ( 2)= 2 4+6=0 $. =2 +( ) 2+( 3) 0=2 2=0 - $ est orthogonal à et à qui sont deux vecteurs non colinéaires de (ABC) donc $ est normal à (P) Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

3 Equation cartésienne de plan : Une équation cartésienne d un plan (P) est de la forme +++' =0 où $(,,) est un vecteur normal au plan (P). Un vecteur est normal à un plan s il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Méthode 5 : Déterminer l équation cartésienne de plan à l aide d un vecteur normal et d un point méthode : 3 - Soit $ 4 un vecteur normal au plan (ABC) et A le point de coordonnées (;0;2) 2 - Soit ((;;) un point du plan alors ( 0 et (.$=0 donc 2 3 ( )+4 ()+( 2) ( 2)=0 et 3 3+4 2+4=0 - L équation cartésienne du plan cherché est donc : 3+4 2+=0 2 méthode : - L équation cartésienne d un plan de vecteur normal $) * est de la forme +++ ' =0. Ici elle est donc : 3+4 2+' =0. Or A appartient au plan donc ses coordonnées vérifient l équation du plan. On a donc 3 +4 2 +'=0 soit 3 +4 0 2 2+'=0 3 4+' =0 = ' '= - L équation cartésienne du plan cherché est donc : 3+4 2+=0 Méthode 6 : Montrer qu un point appartient à un plan Montrer que le point (;;4) appartient au plan d équation 3+4 2+=0. On calcule donc 3 + +4 + 2 + +=3 +4 2 4+=3+4 8+=7 8+=8 8=0 Donc le point B appartient au plan d équation 3+4 2+=0. Méthode 7 : Déterminer l équation cartésienne de plan à l aide de trois points (détermination d un vecteur normal) Déterminer l équation du plan (ABC) tel que - ;0 ;2., (;;4) et ( ;;). 0 2 et ne sont pas colinéaires car " donc A, B et C définissent un plan. Soit 2 $) * un vecteur normal au plan..$=0 et.$=0. Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

4 0++2 =0 On a donc le système d équations :/. On a donc un système de 2 équations à trois 2+ =0 inconnues, il nous faut alors fixer arbitrairement une des inconnues. On pose =. On a donc : 0++2=0 +2=0 = 2 = 2 =.5 2+ =0 2+ =0 2= + 2= 2 = 2 = = = = =.5 Donc on a $ 2 3 ou encore 2$ 4 2 On se retrouve donc dans le cas de la méthode 5 avec le cas suivant :. 3 Soit $ 4 un vecteur normal au plan (ABC) et A le point de coordonnées (;0;2). Trouver 2 l équation cartésienne de (ABC). Méthode 8 : Déterminer une équation cartésienne de plan à l aide de trois points (A l aide des coordonnées de trois points) Déterminer l équation du plan (ABC) tel que - ;0 ;2., (;;4) et ( ;;). L équation cartésienne d un plan de vecteur normal $) * est de la forme +++' =0. Les points A, B et C appartiennent au plan cherché. On a donc le système : + + +'=0 + + + + + +' =0 + + +'=0 + 0+ 2+'=0 +2+'=0 + + 4+'=0 ++4+' =0 ( )+ + +' =0 +++'=0 On a un système de 3 équations à 4 inconnues, il faut donc fixer arbitrairement une des inconnues. On a donc : +2+'=0 +2+=0 +2= ++4+' =0 ++4+=0 ++4 = 2 2 2. +++' =0 +++=0 ++= ' = ' = '= On se retrouve donc avec un système de trois équations à trois inconnues que l on sait résoudre. On obtiendra donc les réels a, b, c et d nécessaires pour l équation du plan (ABC). Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

5 Représentation paramétrique d un plan : On caractérise un plan par un point ( 3 ; 3 ; 3 ) et deux vecteurs non colinéaires 4 + 5 et 6) 8 7 *. Le 9 plan est alors l ensemble des points tels que ( = +: 6. = 3 ++;: Une équation paramétrique de ce plan est donc : = 3 ++<: = 3 ++=: Méthode 9 : Montrer qu un point appartient à un plan défini de façon paramétrique =+2 Soient le plan (P) = 3 2? +2 =4 4? 7 et le point (; ;). Montrer que le point B appartient au plan (P) A =+2 =+2 +2? = +2? = @ A = 3 2? +2 = 3 2? +2 3 2? = 3 3 2? = 3 A =4 4? 3 =4 4? 3 4 4? =4 +? = On résoud le système défini par deux des équations / +2? = +? = En additionnant les deux équations membre à membre on obtient le système équivalent : / 3? =0 = 2 /? =0 = 2? = 2 0= =0 /? = On vérifie que les valeurs t et t trouvées sont solutions de 3 2? = 3 3 2? = 3 2 0= 3 Le système a un couple solution donc le point B appartient au plan (P). Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

6 Méthode 0 : Trouver l équation paramétrique d un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs Déterminer l équation paramétrique du plan dirigé par les vecteurs 2 point (;3; ) 3 et 6 0 passant par le 2 Une équation paramétrique de ce plan est donc : Positions relatives dans l espace : = +3 =3+2+0 = ++2 = +3 =3+2 = ++2 Positions relatives de droites : Méthode : Montrer que deux droites sont strictement parallèles Le vecteur directeur de l une doit être colinéaire au vecteur directeur de l autre =2+4 D : =4+0 =8 8 = 2 et D : =3+0 = 8+4 sont parallèles car les vecteurs (4;0; 8) et 6( 2;0;4) sont colinéaires ( = 26) Elles sont strictement parallèles (non confondues) si un point de l une n appartient pas à l autre. Ici soit le point de coordonnées C(2 ;4 ;8) qui appartient à D. Est-ce qu il appartient aussi à D? 2= 2 4=3+0 8= 8+4 2= 3 0= 2 4= 6 = 3 2 B: 'C:DE FD$ =4 Le point C n appartient donc pas à D car nous n obtenons pas trois fois le même t. Les deux droites sont donc strictement parallèles et pas confondues. Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

7 Méthode 2 : Montrer que deux droites sont confondues Le vecteur directeur de l une doit être colinéaire au vecteur directeur de l autre droite et elles doivent avoir un point commun = 2 ( ) =3 = 8+4 2 0 4. = 3 2 et ( ) =3 sont parallèles car elles ont le même vecteur directeur = 4+4 Or le point de coordonnées ( ;3; 8) qui appartient à appartient aussi à. En effet : = 3 2 (? ) 3=3 8= 4+4 2= 2 3=3 = 4=4 Les droites sont donc confondues. Dans le cas où le point de coordonnées ( ;3; 8) qui appartient à n appartenait pas à alors les droites auraient été strictement parallèles. Méthode 3 : Montrer que deux droites sont sécantes ou pas =6 3: Les droites D : = 7+2: = +: = 3+ et D : = 3 sont elles sécantes? = 5+2 6 3:= 3+ - On résout le système 7+2:= 3 +:= 5+2 - On choisit deux des équations / 7+2:= 3 6 3:= 3+ - On résout le système de deux équations à deux inconnues / 2:= 3+7 2:=4 / =6+3 3: =9 3: / :=2 =9 3 2=3 /:=2 =3 - Il nous reste donc l équation 7+2:= 3 - Nous vérifions maintenant que les valeurs de t et s obtenues sont solutions de cette équation : 7+2 := 7+2 2= 3 donc les droites D et D sont sécantes. Les valeurs de t et s n auraient pas été solutions de cette équation les droites n auraient pas été sécantes. - Pour calculer les coordonnées du point d intersection on remplace les valeurs de s ou t dans =6 3 2=0 l une des deux représentations paramétriques : = 7+2 2= 3 = +2= - Le point d intersection a donc pour coordonnées (0 ;-3; ) Attention : si deux droites ont le même paramètre t et qu on veut déterminer si elles sont sécantes alors il faut changer le nom du paramètre d une des deux droites en t par exemple pour avoir un système de trois équations à deux inconnues. Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

8 Méthode 4 : Montrer que deux droites sont orthogonales Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux donc si leur produit scalaire est nul. =2 Les droites D : = 3+2 = =3 et D : =? +2 sont-elles orthogonales? = 3? 2 2 3 3 est un vecteur directeur de D et 6 3 est un vecteur directeur de D Or.6 =2 3+( 3) + ( 3)=6 3 3=0 Les vecteurs et 6 sont donc orthogonaux et donc les droites D et D le sont aussi. Attention!!! Orthogonal ne veut pas forcément dire perpendiculaire. Deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires donc sécantes Méthode 5 : Montrer que deux droites ne sont pas coplanaires Si deux droites ne sont ni sécantes ni parallèles alors elles sont non coplanaires Positions relatives de plans définis de façon cartésienne : Méthode 6 : Montrer que deux plans sont orthogonaux Montrer que les plans (P) : +2 +=0 et (P ) : =0 sont orthogonaux - Un vecteur normal à (P) est $ 2 et un vecteur normal à (P ) est $ - (P) et (P ) sont orthogonaux si $ et $ le sont, soit si $.$ =0 - $. $ = +2 ( )+( ) ( )= 2+=2 2=0 - Les plans (P) et (P ) sont donc orthogonaux Méthode 7 : Montrer que deux plans sont parallèles Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

9 Méthode 8 : Déterminer une représentation paramétrique de la droite d intersection de deux plans Démontrer que les plans (P) et (P ) sont sécants suivant une droite dont on déterminera une équation paramétrique. (P) : +2 4=0 et (P ) : 2+3 2 5=0. Il faut d abord montrer que les vecteurs normaux de ces deux plans ne sont pas colinéaires. Les plans sont donc pas parallèles mais sécants. On résout le système J +2 4=0. Comme il s agit d un système de deux équations à 2+3 2 5=0 trois inconnues et l intersection entre 2 plans si elle existe étant une droite, on introduit un paramètre réel t et on l affecte à l une des inconnues. On a donc le système : +2 4=0 +2=4+ 2 4= 8 2 2+3 2 5=0 2+3=2+5 2+3=2+5 = = = +2=4+ = 6+4+ = 2+ = 3 = =3 = =3 = = 2+ Une équation paramétrique de est donc : =3 = Méthode 9 : Déterminer l intersection de trois plans Soient les plans (ABC) d équation 3+4 2+=0, (P L ):2++2+=0, et (N O ): 2+6=0. L intersection des trois plans si elle existe est la solution du système : 3+4 2+=0 2++2+=0 2+6=0 Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

0 Positions relatives entre droite (définie de façon paramétrique) et plan (de façon cartésienne) : Méthode 20 : Montrer qu une droite est strictement parallèle à un plan (non confondus) = S+P (P): P+Q R+4=0 et (d): =T R =U+R méthode : Une droite (d) est parallèle à un plan (P) si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal du plan. P Ici R R P est un vecteur directeur de la droite et $ Q R est un vecteur normal au plan. Or.$ =P P+( R) Q+(R) ( R)=4 3 = =0 La droite (d) est donc parallèle au plan (P). Le point de coordonnées ( S;T;U) appartenant à (d) appartient n appartient pas au plan (P) car P ( S)+Q T R U+4= 6+2 6+4=5 6+4=3 0 La droite et le plan sont donc strictement parallèles. 2 méthode : 2+3 +4=0 2+3 +4=0 = 8+2 = 8+2 On résout le système 2 2 =7 =7 =6+ =6+ 2( 8+2)+3(7 ) (6+)=0 6+4+2 3 6 =0 = 8+2 = 8+2 2 2 2 =7 =7 =6+ =6+ 0= =+2 = 2 3 = La première équation 0= n a aucune solution donc la droite et le plan n ont aucun point en commun ils sont donc strictement parallèles. Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

Méthode 2 : Montrer qu une droite est incluse dans un plan : =R+P (P): V+R+W+3=0 et (d): = P Q = R R méthode : Une droite (d) est parallèle à un plan (P) si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal du plan. P Ici Q R V est un vecteur directeur de la droite et $ R W est un vecteur normal au plan. Or.$ =P V+( Q) R+( R) W=8 3 5=0 La droite (d) est donc parallèle au plan (P). Le point de coordonnées (R; P; R) appartenant à (d) appartient aussi au plan (P) car V R+R ( P)+W ( R)+3=4 2 5+3=2 5+3= 3+3=0 2 méthode : On résout le système 4++5+3=0 2 =+2 = 2 3 = 4(+2)+( 2 3)+5( )+3=0 4+8 3 5 5+3=0 2 =+2 =+2 2 = 2 3 = 2 3 2 = = 0=0 =+2 = 2 3 = La première équation 0=0 a une infinité de solutions donc la droite et le plan sont confondus (la droite est incluse dans le plan). Méthode 22 : Montrer qu une droite est orthogonale à un plan Une droite est orthogonale à un plan si le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal au plan sont colinéaires. Si est un vecteur directeur de la droite et $ est un vecteur normal au plan alors =" $. Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

2 Méthode 23 : Déterminer le point d intersection d une droite et d un plan Déterminer le point d intersection du plan (P): 2+2 =0 et de la droite =2 (d): = = 3 - On résout le système d équations 2+2 =0 (2 ) 2 +2 ( 3) =0 =2 =2 2 2 = = = 3 = 3 = L \ [ [ [ =L \ 2 2+2 6=0 Y 6= Y =2 =2 =2 L 2 Y = ]O \ ^ = Z = Z = L Z= L \ \ = 3 Y= 3 Y X X= 3 L Y \ X= L O - Le point de coordonnées _ ]O ^ ;L \ ;L est le point d intersection de la droite et du plan. O` Positions relatives avec les plans définis de façon paramétrique : Pour trouver des intersections entre droite et plan ou entre plan et plan lorsque le plan est défini de façon paramétrique, on se ramènera de la même façon que précédemment à la résolution de systèmes d équations. Méthode 24 : Montrer qu un plan et une droite sont parallèles ou confondus =+5" Montrer que la droite (D) = " =2+" =++ et le plan (P) = 2+ sont parallèles =2 + 5 Soit un vecteur directeur de (D) et 6 et a deux vecteurs directeurs de (P). Montrons que les vecteurs, 6 et a sont coplanaires c est-à-dire qu il existe deux réels a et b tels que = 6 + a 5=+ On résoud donc le système = = + dernières équations sont les mêmes.. Celui-ci est équivalent à / 5=+ car les deux = / 5=+ = / 4=2 =+ /=2 =3 donc =2 6 + 3a. La droite et le plan sont donc parallèles ou confondus. Ils sont confondus si le point (;0;2) appartenant à (D) appartient aussi à (P) (cf méthode 9) et strictement parallèles sinon. Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com

3 Méthode 25 : Montrer qu un plan et une droite sont sécants =2" Montrer que la droite (D) =" = 2" = 3+2+ et le plan (P) = + =2 3+ 2 Soit 2 2 un vecteur directeur de (D) et 6 3 et a deux vecteurs directeurs de (P). Montrons que les vecteurs, 6 et a sont non coplanaires c est-à-dire qu il n existe pas deux réels a et b tels que = 6 + a 2=2+ On résout donc le système = 2= 3+. On résout le système formé par les deux premières équations : / 2=2+ = / 3=3 = /= =0 On vérifie que les valeurs de a et b trouvées sont solutions de la troisième équation : 3 += 3 +0= 3 2 Les vecteurs, 6 et a ne sont donc pas coplanaires la droite et le plan sont donc sécants. Si l on veut trouver les coordonnées du point d intersection I, il faut résoudre le système : 2" = 3+2+ " = + 2"=2 3+ 2"+2+? =3 "+? = 2"+3? =2 b =2" Les coordonnées de I sont donc b =" où k est solution du précédent système. b = 2" Marilyn Zago 205 : www.cours-maths-avignon.com