INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D ASSURANCES Etude Quantitative d un Plan d Epargne Retraite Collectif Piloté Mémoire présenté devant l Institut de Science Financière et d Assurances pour l obtention du diplôme d actuaire de l Université de Lyon par Terry ETHUIN Membre du jury I.A. : M. Florent PERNOUD Mme Florence PICARD Membres du jury I.S.F.A. : M. Areski COUSIN Mme Anne EYRAUD-LOISEL Entreprise : Milliman Directeur de mémoire en entreprise : M. Eric SERANT Directeur de mémoire Ecole : M. Nicolas LEBOISNE
Problématique Le PERCO (Plan d Épargne Retraite Collectif) Évolution du système de retraite : loi Fillon du 21 août 2003 création de nouveaux produits dont le PERCO Dispositif très attrayant : évolution des encours de +35% en 2010, +25% en 2011 et +34% en 2012 La gestion pilotée Epargne investie en actions, obligations et produits monétaires Aucune garantie en capital mais mécanisme de désensibilisation de l épargne à l approche de la retraite Grilles d allocation plus ou moins rentables/risquées Étude quantitative du PERCO Pour le gestionnaire, il s agit d une obligation réglementaire imposée par l AMF : Mener des études quantitatives sur la rentabilité et les risques des produits qu il commercialise Communiquer ses résultats de façon claire et précise Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 2
Plan de la présentation 1. L offre PERCO dans le groupe CM-CIC Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 3
MODÉLISATION ET PREMIERS Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 4
Le PERCO Se constituer une épargne accessible au moment du départ à la retraite sous forme de rente ou de capital Versements libres issus de l épargne personnelle du salarié, de l intéressement, de la participation ou d un CET Avantages fiscaux pour l employé et l employeur Les grilles d allocation de la gestion pilotée Désensibilisation de l épargne lors des dix dernières années du contrat Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 5
Modéliser les flux Evolution de l épargne Où l on désigne par : - k = 0..N les dates de versements/rebalancements de l épargne - F k les versements - V k - et V k + la valeur de l épargne avant et après versements/rebalancements - X k l évolution du portefeuille entre k-1 et k Formule récursive avec Où ω i,k désigne les poids définis dans les grilles d allocation et S i,k est la valeur du sous-jacent i Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 6
Mesurer la rentabilité Mesures de rentabilité Le rendement à échéance R : Le taux annualisé X : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 7
Construire un histogramme Effectuer des simulations de Monte-Carlo afin de construire un histogramme des fréquences de X Où K est le nombre de simulations et h = (x max x min ) / n la largeur des classes C i, i=1..n Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 8
Les actifs sous-jacents Les actifs sous-jacents suivent des processus lognormaux corrélés Où est un mouvement brownien multidimensionnel à composantes corrélées L évolution du PERCO est donc une somme pondérée d évolutions lognormales Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 9
Mise en œuvre d une méthode de Monte-Carlo On a besoin de simuler N réalisations de : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 10
Définition d un scénario-test Scénario-test de l AFG : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 11
Analyse des distributions Le rendement à échéance R Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 12
Analyse des distributions Le taux annualisé X Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 13
PARTIE II : RÉDUCTION DU Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 14
Convergence de l erreur Densité de référence 10 8 simulations 4h37 en temps de calcul Histogramme à 171 classes Erreur Décroît avec le nombre de simulations Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 15
Approximation comonotone Les bornes de l approximation comonotone La borne inférieure réalise une très bonne approximation des sommes de v.a. lognormales Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 16
Approximation comonotone Résultat obtenu avec les hypothèses du scénario-test, densité de X : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 17
Convergence de l approximation comonotone L approximation comonotone permet d accélérer la convergence des simulations numériques : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 18
Formules analytiques pour les moments de R On détermine des formules analytiques pour le calcul des quatre premiers moments de R : On calcule par récurrence Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 19
Comparaison des résultats Comparaison avec les moments empiriques obtenus après 10 7 simulations : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 20
Densité de Gram-Charlier Expression de la densité : Illustration : polynôme Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 21
Condition de positivité Le polynôme peut être négatif pour certaines valeurs de (γ 1,γ 2 ) Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 22
Relation entre les moments de R et les paramètres de GC Si l on fait l hypothèse que X suit une alors : où est une suite de réels positifs e ntièrement déterminés par la donnée des versements F k On a donc établi un lien entre les quatre premiers moments de R et les quatre paramètres de On détermine grâce à un algorithme d optimisation sous contrainte Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 23
Mise en œuvre et résultats Approximation de GC avec et sans contrainte de positivité : Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 24
Conclusion Étude d un PERCO piloté Modélisation des flux du PERCO Mesures de rentabilité Méthode de Monte-Carlo Hypothèses régissant la dynamique des sous-jacents Simulations numériques Approximation comonotone Accélération des simulations Approximation de Gram-Charlier Calcul théorique des moments de R Optimisation Étude Quantitative d un Plan d Épargne Retraite Collectif Piloté 25
Merci de votre attention