LSHS Pré CRPE - Mathématiques Exercice 1 Les différents ensembles de nombres et leurs désignations Corrigés des exercices a) Les différentes significations de l écriture fractionnaire Le partage La notion de fractionnement est spontanément associée à l idée de prélever une partie d un objet donné. C est la raison pour laquelle il n est pas facile pour certains esprits d accepter l idée d une fraction qui dépasse l unité. Avec cette signification peut se traduire de la manière suivante : on partage l unité en 3 parties égales, puis on prend 7 fois une part correspondant à 1 3 de l unité. C est cette signification qui est retenue pour l introduction des fractions simples à l école élémentaire. On partage l unité en b parties égales et on prend a parts. Mais = + + ( 7 fois) peut aussi être traduit par le partage de 7 en 3 parties égales. Intervient alors ici la notion de quotient de deux nombres. C est alors la solution de l équation 3 x? = 7 qui apparaît aussi quand on cherche une des dimensions d un rectangle quand on connaît l autre dimension et la mesure de son aire. Cette signification sera introduite au collège. Et il sera nécessaire de faire le lien avec la signification introduite à l école élémentaire, ce qui n est pas si simple. On peut illustrer ces deux significations par les exemples suivants : Partage du segment unité en 3 parties égales ce qui permet d obtenir un segment de mesure de longueur et ajout de 7 mesures pour obtenir un segment de mesure de longueur 0 1 2 3 = + + + + + + Ou partage du segment de mesure de longueur 7 en 3 parties égales. La mesure de la longueur du segment obtenu est. 0 1 2 3 4 5 6 7 Un opérateur Une fraction peut aussi représenter un opérateur : On veut obtenir l agrandissement d une figure sachant qu un segment dont la longueur est 3 cm sur la figure initiale devient un segment de longueur 7 cm sur la figure agrandie. Les dimensions de la figure agrandie s obtiennent en multipliant les dimensions de la figure initiale par. 1
Une relation partie/tout A C B AC = 3 cm ; AB = 7 cm = b) est le nombre tel que ( )² = 5 est aussi est par exemple la mesure de la longueur du côté d un carré dont la mesure d aire est 5. C est aussi la mesure de la longueur de l hypoténuse d un triangle rectangle dont les mesures des longueurs des côtés de l angle doit sont 1 et 2 (Théorème de Pythagore : 1² + 2² = 5). c) π est par exemple la mesure de la longueur d un cercle dont le diamètre a pour mesure de longueur 1. Exercice 2 a) ; ; 3,14 ; 9 125 ; 0 sont des nombres rationnels décimaux. Un nombre décimal a deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie. ; et sont des rationnels non décimaux. Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est infinie et périodique. π et sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s écrire sous la forme d une fraction. Ils ont une écriture à virgule infinie et non périodique. b) La valeur arrondie de au centième près d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale composée de 2 chiffres maximum. En utilisant une calculatrice, centième près est donc 3,14. 3,142857. Sa valeur arrondie au La valeur approchée par excès au dixième près de chiffre après la virgule. C est 3,2. est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant un La valeur approchée par défaut au millième près de chiffres après la virgule. C est 3,142. est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant trois La valeur arrondie de au centième près est 0,67. La valeur approchée au dixième près de par excès est 0,7. La valeur approchée au millième près de par défaut est 0,666. En utilisant une calculatrice, 1,090909. La valeur arrondie de au centième près est 1,09. 2
La valeur approchée au dixième près par excès de est 1,1. La valeur approchée au millième près par défaut de est 1,09. En utilisant une calculatrice π 3,1415927. La valeur arrondie de π au centième près est 3,14. La valeur approchée de π par excès au dixième près est 3,2. La valeur approchée de π par défaut au millième près est 3,141. En utilisant une calculatrice 2,2360679. La valeur arrondie de au centième près est 2,24. La valeur approchée par excès de au dixième près est 2,3. La valeur approchée par défaut de au millième près est 2,236. c) Encadrement de à 10-2 près : 3,14 < < 3,15 Encadrement de à 10-2 près : 0,66 < < 0,67 Encadrement de à 10-2 près : 1,09 < < 1,1 Encadrement de π à 10-2 près : 3,14 < π < 3,15 Encadrement de à 10-2 près : 2,23 < < 2,24 d) Ces nombres sont 18,45 ; 18,46 ; 18,47 ; 18,48 ; 18,49 ; 18, 51 ; 18, 52 ; 18,53 ; 18, 54. Synthèse autour des exercices 1 et 2 L ensemble des nombres entiers naturels : N = {0, 1, 2, 3,...} C est un ensemble infini : après un nombre quelconque, on peut toujours en trouver au moins un autre : tout nombre entier naturel a un successeur. C est un ensemble discret : les nombres entiers naturels ne permettent que de graduer une demi-droite et entre deux graduations successives, il n en existe pas d autre qui puisse représenter un nombre entier. Dans cet ensemble, il existe des équations qui n ont pas de solution : par exemple 4 +? = 2 n a pas de solution dans N. Plus généralement, l équation a +? = b avec a > b n a pas de solution. L ensemble Z des entiers relatifs Z complète l ensemble des entiers naturels : il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés : Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} N Z Ces nombres ne sont étudiés qu au collège. Ils sont utilisés dans différents contextes. Ils permettent de graduer la droite de manière plus complète que les nombres entiers naturels, mais l ensemble Z est un ensemble discret : entre deux graduations successives représentant deux nombres relatifs, il n en existe pas d autre qui puisse représenter un nombre entier relatif. Dans cet ensemble, l équation a +? = b a toujours une solution même si a > b, mais certaines équations comme 2 x? = 5 n a pas de solution dans Z. L ensemble Q des nombres rationnels Cet ensemble est composé des nombres solutions d équations du type a x? = b avec a et b entiers relatifs et b 0. C est donc l ensemble des nombres écrits sous forme de fractions a / b (b 0). Ce sont des nombres qui sont quotients de deux entiers relatifs. N Z Q Entre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre ; autrement dit, l intervalle [a, b] comporte une infinité de nombres. 3
Par exemple, entre les nombres 4 7 et 5 7, on peut placer le nombre 9 14 : l amplitude de l intervalle [ 4 7, 5 7 ] est égale à 5 7-4 7 =. Le milieu de l intervalle est situé à 1 14 de, c est 4 7 + 1 14 soit 9 14. Parmi les nombres rationnels, il en existe des particuliers : les nombres décimaux que l on désigne par la lettre D. On peut approcher un nombre rationnel par un nombre décimal avec une précision aussi grande que l on veut. Les nombres décimaux permettent de graduer la droite numérique de manière plus fine que les nombres entiers relatifs mais moins fine que les nombres rationnels. N Z D Q Les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent pas. Il existe encore de nombreux trous : π et ne sont pas des nombres rationnels mais ils désignent une graduation de la droite numérique. Ce sont des nombres irrationnels L ensemble R des nombres réels: L ensemble R des nombres réels est la réunion de l ensemble des nombres rationnels et de celui des nombres irrationnels N Z D Q R L ensemble des nombres réels remplit la droite : il est continu. Tout nombre réel peut être approché d aussi près que l on veut par un nombre décimal. Un ordinateur aussi puissant qu il soit ne gère des calculs que sur des valeurs approchées de nombres réels. L ensemble des nombres décimaux est dense dans l ensemble des nombres réels : entre deux nombres réels, on peut trouver une infinité de nombres décimaux. Quelques éclairages historiques Les nombres naturels sont nés de collections finies, dont la nature offre une infinité d exemples. On peut croire qu ils ont été les premiers, dans la nuit des temps, à être conçus et utilisés par les hommes. Les fractions doivent être venues ensuite dans la pratique de l artisanat et du commerce pour exprimer les grandeurs que l on débite en morceaux et que l on mesure. Les choses en seraient peut-être restés là si les Pythagoriciens (VIème siècle avant J-C), s emparant des nombres pour en faire le principe de la Science, n avaient échoué dans la tentative de mesurer un simple segment : la diagonale d un carré (en prenant le côté pour unité de longueur). Cette mésaventure invraisemblable conduisit Eudoxe à la théorie des grandeurs et des proportions. Sur la base de ces deux concepts purement géométriques, les Grecs de l époque classique ont construit toute une mathématique ignorant les nombres autres que 1, 2, 3... Il fallut plus de deux millénaires ensuite pour que les hommes admettent l idée puis construisent la théorie de ces nombres partiellement insaisissables (les réels positifs), capable d exprimer la longueur d un segment quelconque» 1 Ainsi donc, c est d abord du projet et de la difficulté de mesurer les grandeurs que les nombres (autres que naturels) sont nés à travers une longue histoire. Les fractions sont connues depuis longtemps : les Egyptiens utilisaient déjà les fractions inverses des nombres entiers et les artisans, commerçants, arpenteurs ont appris à transformer toute fraction en une somme de fractions unitaires dont le dénominateur ne dépasse pas dix. Il faut attendre le IX ème siècle pour que les mathématiciens arabes Al Uqlidisi puis Al Kashi utilisent les nombres décimaux de manière explicite.ils ont ainsi contribué à la généralisation du concept de nombre aux rationnels et aux irrationnels positifs. Mais il fallut encore attendre pour que ces travaux pénètrent en Occident. Il faut en effet attendre le XV ème siècle avec Simon Stévin (1548-1620) pour que le premier ouvrage La Disme concernant le concept de nombre décimal paraisse en Occident. On peut expliquer cette lenteur concernant l utilisation des nombres décimaux par une grande résistance au changement et par une difficulté conceptuelle à étendre le système de numération décimale positionnelle aux nombres inférieurs à l unité. L ensemble des nombres réels tel que nous le connaissons aujourd hui a été rigoureusement construit dans la seconde moitié du XIX ème siècle grâce aux mathématiciens Dedekind, Weierstrass et Cantor. L ensemble des nombres réels a été obtenu en complétant l ensemble des nombres rationnels avec des limites de suites convergentes de tels nombres. Ces limites de suites de nombres rationnels sont les nombres irrationnels. Ainsi construit, l ensemble R des nombres réels est la réunion de l ensemble des nombres rationnels et de celui des nombres irrationnel. 1 Rouche N., Le sens de la mesure, Didier-Hatier, 1992. 4
Les différentes écritures des nombres : Un nombre rationnel a deux écritures : - une écriture fractionnaire, - une écriture décimale ou à virgule. Un nombre rationnel décimal a une écriture décimale ou à virgule finie. Un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale ou à virgule infinie et périodique. Un nombre décimal est un nombre rationnel particulier. Il peut s écrire sous la forme d une fraction décimale, c est-à-dire par une fraction dont le dénominateur est une 314 puissance de dix, par exemple 100. Il peut aussi s écrire sous la forme d une fraction irréductible dont le dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de 2 et/ou de 5. 132 Par exemple, n est pas une fraction irréductible mais si on divise le numérateur et le dénominateur par 11, on 55 trouve une fraction irréductible 12 5 = est un nombre décimal. qui lui est égale et qui est un nombre décimal.. Attention : Il faut être prudent : en effet, une calculatrice ou un ordinateur aussi puissants soient ils ne donnent qu une approximation de ce type de nombre, si bien que la plupart du temps, il est impossible de caractériser un nombre à l aide de son écriture à virgule. Il est alors préférable d utiliser les écritures fractionnaires pour déterminer si un nombre est rationnel décimal ou non. Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique Valeur arrondie La valeur arrondie à 10 ( ) d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. Cas particulier où la décimale à supprimer est un 5 : la valeur arrondie au dixième de 17,25 est 17,3. Valeur approchée par défaut, par excès La valeur approchée à 10 par défaut d un nombre réel est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. La valeur approchée à 10 par excès d un nombre réel est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. Encadrement Encadrer à 10 un nombre réel r consiste à déterminer deux nombres décimaux, l un inférieur à r et l autre supérieur à r tels que leur différence soit égale à 10 Exemple : Un encadrement à 10 de est 2,236< <2,237, car 2,237 2,236 = 0,001= 10. Exercice 3 On pourrait écrire un nombre composé de dix chiffres «1» : 1 111 111 111 Mais il ne serait pas le plus petit. Remplaçons le chiffre des centaines de millions par 0 et celui des dizaines de millions par 2 : 1 021 111 111. Ce nombre est plus petit que le précédent. On peut continuer de la même façon en remplaçant le chiffre des dizaines de millions par 0 et celui des millions par 3 : 1 003 111 111. Ce nombre est plus petit que le précédent. En continuant de la même manière jusqu au chiffre des unités, on trouve le nombre 1 000 000 009. Exercice 4 Pour numéroter les pages de 1 à 9, on utilise une fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 10 à 59, on utilise 5 fois le chiffre 6. 5
Pour numéroter les pages de 60 à 69, on utilise 11 fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 70 à 99, on utilise 3 fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 1 à 99, on utilise 20 (1 + 5 + 11 +3) fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 100 à 159, on utilise 6 fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 159 à 169, on utilise 11 fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 170 à 176, on utilise 1 fois le chiffre 6. Pour numéroter les pages de 100 à 176, on utilise 18 (6 + 11 + 1) fois le chiffre 6. Pour numéroter toutes les pages du livre, on utilise 38 fois (20 + 18) le chiffre 6. Exercice 5 Trois cent et trois centièmes : 300 + = 300, 03 Mille six cent vingt, trois dixièmes et huit millièmes : 1620 + + = 1620,308 Vingt-deux, un centième et six millièmes : 22 + + = 22,016 Vingt- deux et neuf millièmes. = 22 + = 22,009 Exercice 6 1 unité vaut 100 centièmes. 1 centaine vaut 100 unités. Pour avoir une centaine, il faut donc 100 fois plus de centièmes que pour avoir une centaine, soit 10 000 centièmes. Synthèse autour des exercices 3, 4, 5 et 6 Notre système de numération décimale permet avec un alphabet de dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 d écrire une infinité de nombres entiers et décimaux en respectant les conventions suivantes : Les chiffres s utilisent dans l ordre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pour écrire tous les nombres. Chaque chiffre a une valeur différente selon la position qu il occupe dans l écriture d un nombre. Dix unités d un ordre donné constituent une unité de l ordre immédiatement supérieur (par exemple, dix centaines constituent une unité de mille, dix centièmes constituent un dixième) Notre système de numération décimale repose sur l organisation des collections d objets dont on veut désigner le nombre d éléments en utilisant la règle de groupement par dix que l on réitère. Une fois les groupements effectués, on note pour chaque ordre le nombre d unités restantes (inférieur à dix) que l on désigne par un chiffre. Le chiffre 0 indique l absence d une unité d un certain ordre. Il y a donc nécessité d utiliser dix chiffres pour désigner tous les nombres en utilisant le principe précédent. On dit aussi que la numération décimale de position correspond à écrire des nombres en base dix. La décomposition d un nombre en base dix se fait selon les puissances de dix : Tout nombre décimal est égal à la somme formée par chaque chiffre multiplié par la puissance de 10 indiquée par la position de ce chiffre : c est la décomposition du nombre selon les puissances de dix, ou décomposition décimale. Exemple : 3 825 = 3 x 10 3 + 8 x 10 2 + 2 x 10 1 + 5 x 10 0 3,825 = 3 x 10 0 + 8 x 10-1 + 2 x 10-2 + 5 x 10-3 Exercice 7 a) Le point peut être remplacé par 8 et 9. 27, 488 et 27,498 sont compris entre 27, 48 et 27,5. Pour les obtenir, il était possible d écrire tous les nombres compris entre 27,48 et 27,5 dont la partie décimale comporte trois chiffres. b) Voici des nombres écrits avec 5 des chiffres 0, 1, 4, 5, 8, 9 et compris entre 18 et 19 : 18,045 ; 18,049 ; 18,054 ; 18,059 ; 18,094 ; 18,095 ; 18,405 ; 18,409 ; 18,459 ; 18,495 18,504 ; 18, 509 ; 18,549 ; 18,594 18,904 ; 18,905 ; 18,945 ; 18,954. On pouvait en choisir 8 parmi ces derniers dont les quatre premiers qui sont plus proches de 18 que de 19. 6
Exercice 8 a) Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s écrivent avec deux chiffres après la virgule. On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée : 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment compris entre deux graduations successives et en agrandissant l échelle pour le partager en 10 parties égales. Par exemple, si on procède de cette manière avec l intervalle [0 ; 0,01], le segment d extrémité 0 et 0,01 de longueur sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit. Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui s écrivent avec 3 chiffres après la virgule 0,001 ; 0,002 ;. ; 0,009. Il y en a 9. On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 ; 0,02] ;.. ; [0,09 ; 0 ;1]. Il y a donc 90 nombres ayant 3 chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1. b) Il n est pas possible d écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une infinité d autres. Synthèse autour des exercices 7 et 8 Les relations inférieur ou égal à ( ) ; supérieur ou égal à ( ) ; inférieur à (<) ; supérieur à (>) sont des relations d ordre. Dans N, tout nombre a un successeur et un prédécesseur (sauf 0). Ce n est plus vrai dans D, Q et R. Exemples : dans N, 3 a un successeur à savoir 4. Dans D, 3 n a pas de successeur. Ce n est pas 4 puisqu il y une infinité de nombres décimaux entre 3 et 4 (3,1 ; 3,01 ; 3,001...). Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un décimal : ainsi entre 3,1 et 3,2, on peut intercaler 3,11. Entre deux entiers, on ne peut pas toujours intercaler un entier. Ainsi, entre 3 et 4, on ne peut pas intercaler d entier. Pour comparer des nombres décimaux, on compare leur partie entière. Si les parties entières sont les mêmes, on compare les parties décimales de même rang. 245,268 est plus petit que 245,69 parce que 2 dixièmes est plus petit que 6 dixièmes. Les nombres entiers ne permettent pas de graduer la droite numérique : entre deux graduations successives, il n en existe pas d autres qui puissent représenter un nombre entier. Les nombres décimaux et plus généralement, les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent pas. L ensemble des nombres réels remplit la droite : à tout point de la droite on peut associer un nombre réel et un seul et réciproquement. Exercice 9 30,5 x 19,9 est proche de 30 x 20 soit de 600. Le produit doit avoir deux chiffres après la virgule. De plus le dernier chiffre de la partie décimale du produit 30,5 x 19,9 doit être 5 puisque 9x5 = 45. Le seul nombre de la liste qui convient est donc 606,95. Exercice 10 Au lieu de multiplier 321 par 2 puis par 100, l élève a multiplié 321 par 2 puis par 1. Il a donc multiplié 321 par 3 au lieu de le multiplier par 102. Comme 102 3 = 99, il faut ajouter 321 x 99 = 31 779 au résultat trouvé par l élève pour obtenir le résultat correct soit 963 + 31 779 = 32 742. 7