Classe de Troisième CORRECTION DU BREVET BLANC Année 2012 MATHÉMATIQUE PARTIE NUMÉRIQUE EXERCICE N 1 : Un nombre entier : - Est compris entre 100 et 150 ; - Est divisible par 3 ; - N est pas divisible par 5 ; - N est pas impair ; - Possède la somme des ses chiffres égale à 12 1 Élaborer une stratégie pour trouver ce nombre Je cherche un nombre pair, qui ne se termine pas par zéro et dont la somme des deux derniers chiffres est (12-1) donc 11 (il sera obligatoirement divisible par 3 car la somme de ses chiffres est un multiple de 3) Il doit de plus être compris entre 100 et 150 2 Quel est ce nombre? Le nombre cherché est donc 138 EXERCICE N 2 : Les quatre questions suivantes sont indépendantes les unes des autres 3 1 1 Soit A 4 5 Écrire sous forme de fraction irréductible 1 3 2 7 2 Soit B 2 112 3 28 5 63 Écrire sous la forme où est un nombre entier à déterminer
3 Soit C la copie) 2,1 10 6,3 5 10 2 6 2 10 5 3 Montrer que C est un entier (Les calculs effectués devront être détaillés sur 4 Soit a Développer et réduire b Écrire sous la forme d un produit de deux facteurs EXERCICE N 3 : Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse 1 61 est un nombre premier Vrai : 61 n est divisible que par 1 et par 61, donc c est un nombre premier 2 92 et 146 sont premiers entre eux Faux : 2 est un diviseur commun à 92 et 146 donc il ne sont pas premier entre eux 3 91 est un multiple de 7 Vrai : donc 91 est un multiple de 7 4 Le PGCD de 738 et 1 435 est 41 Vrai : avec l algorithme d Euclide ou la méthode des soustractions successives, on a PGCD(738 ; 1 435) = 41 114 5 La fraction A est irréductible 665 Faux : avec l algorithme d Euclide ou la méthode des soustractions successives, on a PGCD(114 ; 665) = 19 donc je peux simplifier par 19
PARTIE GÉOMÉTRIQUE EXERCICE N 1 : Pour chaque question posée, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte Noter sur votre copie le numéro de la question et la réponse A, B ou C qui vous parait exacte Aucune justification n est demandée Libellé de la question Réponse A Réponse B Réponse C DUR est un triangle rectangle en D On donne RU = 6 ; DU = 3,6 et DR = 4,8 Une valeur au degré près de la mesure 48 41 37 de l angle est : La diagonale d un carré de côté 5 cm mesure : 10 cm cm 7,07 cm Un triangle ABC est isocèle en A L angle mesure 54 Ses angles et mesurent chacun : 126 36 63 Un pentagone est un polygone qui possède : 5 côtés 6 côtés 9 côtés Une pyramide possède une base rectangulaire de longueur 80 cm et de largeur 60 cm Sa hauteur mesure 50 cm Son volume V mesure : 0,08 80 000 80 EXERCICE N 2 : Dans cet exercice, l unité de longueur choisie est le centimètre 1 Construction de la figure en vraie grandeur Tracer un trapèze rectangle ABCD, tel que : - Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ; - Les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires ; - AB = 8 ; AD = 5 et DC = 12 On note I le point d intersection des deux droites (AD) et (BC) On note J le point d intersection des deux droites (AC) et (BD)
2 Calculer la valeur exacte des rapports et Vous expliquerez et justifierez votre calcul donc d après la propriété de Thalès on a : d où d où donc d après la propriété de Thalès on a : d où d où 3 a Calculer la longueur du segment [IA] Soit, d après 2, on a : donc b Calculer la longueur du segment [AC] Dans ADC rectangle en D, d après la propriété de Pythagore on a : c Calculer la longueur du segment [JA] Soit, d après 2, on a : 5 donc
PROBLÈME Dans ce problème, les longueurs sont données en centimètres et les aires en cm² La figure ci-avant est composée d un rectangle ABCD de centre O, noté par la suite, et d un autre rectangle AMNP, noté par la suite On donne AB = 10 ; AD = 6 ; AP = 5 et AM =, avec De plus, on note I le milieu du segment [AD] PREMIÈRE PARTIE Dans cette partie, 1 Calculer : a L aire du rectangle ABCD b L aire du rectangle AMNP c L aire totale de la figure
2 Quel pourcentage de l aire totale de la figure représente l aire du rectangle? Calcul du taux en % : Le rectangle occupe 20% de l aire totale de la figure 3 L objectif de cette question est de comparer les angles et a Dans le triangle APM rectangle en A, calculer En déduire une valeur approchée de l angle arrondie au degré près b Quelle est la nature du triangle IPO? Justifier rapidement votre réponse La droite (IO) est la médiatrice de [AD] donc le triangle IPO est un triangle rectangle en I c Calculer En déduire une valeur approchée de l angle arrondie au degré près d Comparer alors les angles et D après a et c, on a : DEUXIÈME PARTIE Dans cette deuxième partie, est un nombre quelconque compris entre 0 et 10 ( ) 1 Calculer en fonction de : a L aire du rectangle AMNP b L aire totale de la figure c L aire du quadrilatère BMDC Le quadrilatère BMDC est un trapèze donc on a : 2 On considère les trois fonctions suivantes : ; ; Sur une feuille de papier millimétré, tracer dans un repère orthogonal (O, I, J) les représentations graphiques respectives, et des fonctions, et On prendra les unités suivantes : sur l axe des abscisses, un centimètre représente une unité ; sur l axe des ordonnées, un centimètre représente 10 unités
est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est la droite qui passe par l origine et par le point R(3 ; 15) est une fonction affine donc sa représentation graphique est la droite qui passe les points S(0 ; 60) et T(10 ; 110) est une fonction affine donc sa représentation graphique est la droite qui passe les points S(0 ; 60) et V(10 ; 30) 3 Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique obtenu à la question précédente Vous justifierez rapidement chacune des réponses fournies a Combien mesure la distance AM lorsque l aire du rectangle AMNP est égale à 30 cm²? En rouge, je lis que l aire du rectangle AMNP est égale à 30 cm² quand AM est égale à 6 cm car l aire de AMNP correspond à la fonction b Pour quelle valeur de les aires des quadrilatères AMNP et BMDC sont-elles égales? Lire la valeur commune des ces deux aires En bleu, je lis que les aires des quadrilatères AMNP et BMDC sont égales à 37,5 cm² pour x égal à 7,5 cm Ces réponses sont les coordonnées du point d intersection de (D1) et (D3) qui représentent les aires respectives de AMNP et BMDC c Pour quelle valeur de l aire totale de la figure mesure-t-elle 40 cm² de plus que l aire du quadrilatère BMCD? Vérifier votre résultat par un calcul approprié Je trace le segment [S V ] parallèle à [SV] tel que SS = VV = 40 (voir graphique) et je lis en vert que pour x égal à 5 cm, l aire totale de la figure sera supérieurs de 40 cm² à l aire du quadrilatère BMCD Par le calcul, je résous donc