La symétrie centrale Cours I. Découverte de la symétrie centrale 1. Figures symétriques par rapport à un point O Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si, en faisant tourner un calque d un demi-tour autour de O, les deux figures se superposent exactement. Ici, les deux poissons sont symétriques par rapport au point O. On dit également : Le poisson 2 est le symétrique du poisson 1 par rapport au point O. Le poisson 1 est le symétrique du poisson 2 par rapport au point O. 2. Construire le symétrique de la figure par rapport au point O à l aide du quadrillage 1- Je suis les lignes horizontales et verticales qui mènent du point O au point dont on veut construire le symétrique. 2- J effectue un déplacement «dans le sens contraire» par rapport à O pour obtenir le symétrique du point. 3- Je fais de même pour les trois autres points. 4- Je n ai plus qu à relier les quatre points obtenus. C.Szetlewski 1
3. Centre de symétrie d une figure Une figure admet un centre de symétrie par rapport à un point O si le symétrique de la figure par la symétrie de centre O est la figure elle-même. Ici, la figure est symétrique par rapport au point O : son symétrique par rapport à O est elle-même. 4. Symétrique d un point par rapport à une symétrie centrale a. Définition Dire que le point A est le symétrique du point A par rapport O au point O signifie que : les points M, O et M sont alignés et que OM = OM Cela revient à dire que le point O est le milieu du segment [MM ]. Si un segment a pour milieu le point O, alors les extrémités de ce segment sont symétriques par rapport à O. Remarque : Dans la symétrie de centre O, le symétrique du point O est lui-même. C.Szetlewski 2
b. Construction d une symétrie centrale Pour construire le symétrique d un point M par rapport à un point O, il faut : Tracer la demi-droite [MO). Tracer le cercle de centre O passant par M. Le cercle coupe la demi-droite ; le point d intersection est le point M cherché. En fait, la plus part du temps, on tracera seulement un arc de cercle de centre O et de rayon OM coupant la demi droite [MO) en M. C. Reconnaître deux points symétriques Voici 3 figures S et T ne sont pas symétriques par rapport à O car SO OT S et T ne sont pas symétriques par rapport à O Car : les points S, O et T ne sont pas alignés S et T sont symétriques par rapport à O car : SO = OT et les points S, O et T sont alignés C.Szetlewski 3
II. Propriétés : 1. figures symétriques Les deux figures MNPRS et M N P R S sont obtenues par un demi-tour autour du point O. Elles sont symétriques par rapport au point O. Elles sont superposables. Elles ont donc le même périmètre et la même aire. Deux figures symétriques par rapport à un point O ont le même périmètre et la même aire. 2. Symétrique d une droite La symétrie conserve l alignement des points. Le symétrique d une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Exemple : C Les points A ; B et C sont alignés donc leur symétriques A ; B et C sont alignés. Les droites (d) et (d ) sont symétriques par rapport au point O, donc les droites (d) et (d ) sont parallèles. C C.Szetlewski 4
3. Symétrique d une demi-droite. Propriété Deux demi-droites symétriques par rapport à un point sont parallèles et de sens contraire. Exemple A, B et I sont trois points du plan non alignés. A et B sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à I. En bleu est tracé la demi-droite [AB). En rouge, le tracé du symétrique de la demidroite [AB). 4. Symétrique d un segment Si deux segments sont symétriques par rapport à un point O, alors les deux segments ont la même longueur. Le segment [ST] et le segment [S T ] sont symétriques par rapport au point O. On remarque qu ils sont superposables. On dit que «la symétrie centrale conserve les longueurs». C.Szetlewski 5
5. Symétriques d un angle. 6. Propriété Deux angles symétriques par rapport à un point O ont la même mesure. On dit que «la symétrie centrale conserve les mesures des angles». 6. Symétrique d un cercle Propriété Deux cercles symétriques par rapport à un point O ont des centres symétriques par rapport à O et des rayons égaux. Exemple : Les deux cercles sont symétriques par rapport au point O. Les centres C et C des deux cercles sont symétriques par rapport au point O. Les deux cercles ont le même rayon : CR = C R. C.Szetlewski 6
Fiche élève : C.Szetlewski 7