COMPORTEMENT D UNE FONDATION SUPERFICIELLE AU BORD D UNE PENTE -ANALYSE PRATIQUE Behaviour of a shallow foundation near a slope - Practical investigation Ali BOUAFIA et Nabila AIT-IKHLEF Département de génie civil, Université Saâd-Dahleb de Blida B.P : 270 R.P. Blida 09000 Blida E-mail : bouafia1@yahoo.fr RESUME: On se propose dans cette communication d analyser un problème d interaction sol/fondation assez courant. Il s agit de l effet déstabilisateur de la proximité d un terrain en pente sur le comportement d une fondation, qui se traduit par réduction de la capacité portante et amplification des tassements. L étude a comporté une modélisation par éléments finis élastoplastiques à l aide du progiciel PLAXIS, et a été volontairement limitée au cas d une semelle continue ancrée dans un sol argileux saturé homogène en pente. On montre l effet notable de la distance fondation/tête du talus et de l angle de la pente du talus sur la capacité portante et les tassements de la fondation. Une procédure pratique de prise en compte de cet effet déstabilisateur est enfin proposée. Mots-Clefs: Fondation, Talus, Eléments finis, Tassement, Capacité portante, Argile. ABSTRACT: The objective of this paper is to analyse a commonly encountered soil/foundation problem, namely the destabilizing effect of the proximity of a slope on the behaviour of a foundation. This results in attenuation of the bearing capacity and in amplification of the settlements. The study was carried out by using the elastic plastic finite element program PLAXIS and was limited to the case of a strip foundation embedded in a saturated clayey homogeneous slope. It has been shown the significant effect of the distance between the foundation and the slope top as well as the angle of the slope on the bearing capacity and the settlements of the foundation. A practical procedure to account for this destabilizing effect was at last proposed. Keywords: Foundation, Slope, Finite elements, Settlement, Bearing capacity, Clay. 1. INTRODUCTION: Souvent, la conception d un ouvrage nécessite sa réalisation sur un terrain accidenté ou en pente. Outre le problème de stabilité au glissement du terrain d assise, le comportement des fondations portant l ouvrage est influencé par l effet déstabilisateur de la proximité d une pente. Il s agit d un problème d interaction sol/fondation assez courant et assez complexe. La figure 1, extraite de la référence 2, illustre une variété d exemples. Les cas a, b et c correspondent respectivement à un bâtiment construit au sommet d une pente naturelle, d un remblai ou au bord d un talus. Les cas d et e correspondent respectivement au cas d un mur de soutènement en bord d une pente suite au creusement d un talus et à celui d un mur de quai après dragage du sol marin. Les cas f et g correspondent aux engins lourds appelés à circuler
en bord de fouille, d une berge de canal ou sur une digue. Le cas h correspond à celui d un chemin de fer et les cas i et j correspondent respectivement à un barrage construit sous forme d une digue supportant un mur en terre armée et à une pile de pont reposant sur les berges d un canal. Figure 1. Exemples typiques de l effet de la proximité d une pente [2].
La capacité portante d'une fondation superficielle en bord d un terrain en pente est un problème traditionnel de la mécanique des sols qui a suscité d importants travaux de recherche. Il existe une diversité d'approches de calcul, dont les plus courantes sont : - La théorie de poussée/butée des terres sur un écran avec superposition approchée des effets [1], [2], [3]. - La théorie du champ des lignes de glissement (ou méthode des caractéristiques de contraintes), limitée aux problèmes plans ou axisymétriques [4], [5], [11]. - Le calcul à la rupture ou analyse limite. La solution est donnée sous forme d'intervalle bornée par des valeurs limites statiquement et cinématiquement admissibles [6], [7]. - Les méthodes empiriques, basées sur la corrélation entre les résultats d'essais de chargement de fondations en vraie grandeur ou en modèles centrifugés, et ceux des essais in-situ ou en laboratoire [8], [9]. - La méthode des éléments finis. Il s agit d une alternative intéressante d analyse, bien que le problème nécessite un calcul non linéaire afin d aborder simultanément les deux aspects classiques de comportement des fondations, à savoir le tassement et la capacité portante. Les logiciels courants de calcul géotechnique par éléments finis permettent en principe de mener une telle analyse [10]. On se propose dans ce qui suit d étudier l effet de la proximité d un terrain purement cohérent en pente sur le comportement d une semelle continue sous un chargement vertical centré. Telle que montrée à la figure 2, la fondation est ancrée de D par rapport à la surface, a une largeur B et une longueur infinie, et est distante de d de la tête du talus. Ce dernier est incliné de β par rapport à l horizontale, a une hauteur H, et est formé d un matériau purement cohérent homogène, caractérisé par une cohésion non drainée C u, un poids volumique γ et un angle de frottement interne nul (ϕ =0). On se limite à présenter deux approches souvent utilisées. La première, appartenant à la catégorie 1, est celle due à Giroud & Tran-Vô-Nhiem (1971) qui ont montré que la proximité d'un sol en pente d'angle β par rapport à l'horizontale a pour effet de réduire la capacité portante du sol. En outre, la hauteur du talus n a pas d effet sur la capacité portante. Selon Cassan (1978), il existe une distance limite d lim entre la fondation et la tête du talus au-delà de laquelle la présence d'un talus n'a aucun effet sur la portance de la semelle. Le tableau1 donne les valeurs de cette distance en fonction de l'angle de frottement [16]. La pression verticale limite ou capacité portante du sol sous une fondation en tête du talus (d= 0) est donnée par : q l 0 = 0.5x γ 2 B.N γβ + γ 1 D.N qβ.cosβ + C.N cβ Pour une distance d intermédiaire (0 d d lim ), il y'a lieu d'interpoler la pression verticale q l entre celle donnée par cette méthode et celle correspondant à un sol horizontal q l. Les valeurs de N γβ sont tabulées et le reste des facteurs de portance se calcule comme suit [2]: N qβ (1+ sin ϕ)cos β = exp[( 1 sin ϕ.cos( Γ δ') π + δ' Γ 2β ). tg ϕ] N cβ N qβ 1 cosβ = tgϕ sinβ tgδ ' = C.cot gϕ cosβ + γdcosβ
Figure 2. Configuration sol/fondation étudiée sinγ= sin δ ' sinϕ En cas d un sol fin saturé (ϕ =0), N γβ =0, N qβ = cos β et N cβ = π+ 1 + cosω -ω -2β (angles exprimés en radians) avec sinω = γ.d.sinβ.cosβ/c. Le facteur de réduction de la capacité portante i β est défini dans le cas général comme suit : ql ( β, d/ B, D/ B) iβ = i( β, d/ B, D/ B) = ql (0,, D/ B) La deuxième approche, du type empirique, est proposée par Baguelin et al (1978) à la base de l essai pressiométrique. En cas d un sol homogène vis-à-vis de la pression limite nette P l *, ou en cas où l élancement D/B de la fondation dépasse 1, i β est indépendant des caractéristiques du sol et est donné par [18]: 1 d / B+ (1+ D).cotgβ B β = (1 arctg ) 2, arctg étant exprimée en degrés. i 90 1 On se propose dans ce qui suit de présenter les résultats d une modélisation par éléments finis, faisant partie d un travail de recherche mené à l université de Blida [15]. Le logiciel PLAXIS a été utilisé à cette fin pour étudier la courbe de chargement de la fondation ancrée à différentes fiches, et à différentes distances de la tête du talus. L interprétation a permis de proposer une loi de variation de la capacité portante et du tassement avec la distance d. Outre l étude comparative, une procédure pratique de calcul d une fondation en bord d une pente est proposée, suivie d un exemple illustratif. 2. MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS 2.1. Présentation du modèle PLAXIS est un progiciel courant de modélisation par éléments finis des problèmes d interaction sol/ouvrages géotechniques. Il a été utilisé pour concevoir un modèle d éléments finis en déformations planes décrivant l interaction d une semelle continue avec un sol en pente. Le maillage est formé d éléments triangulaires à 15 nœuds pour le sol et d éléments poutres pour la fondation. Un dimensionnement préalable a été mené afin de retenir les dimensions minimales du maillage assurant la stabilité des déplacements de la fondation (voir figure 3).
Tableau 1: Valeurs de la distance limite d lim [16] ϕ 0 25 30 40 d lim /B 1.0 1.5 2.0 5.0 Le matériau sol a été supposé suivre une loi d élastoplasticité parfaite caractérisée par un module de déformation E s et un coefficient de Poisson ν s =0.50, et obéissant au critère de rupture de Mohr-Coulomb avec un angle de frottement ϕ u =0. La fondation, en forme de U, a une largeur B de 1 m, est supposée infiniment rigide (E b /E s = ), et est en parfaite adhérence avec le sol. Le chargement se fait par des pressions verticales uniformes q imposées à la base de la fondation et les déplacements verticaux s correspondants en sont déduits du calcul par éléments finis. 2.2. Etude paramétrique 2.2.1. Méthodologie d analyse L analyse dimensionnelle par le théorème des π conduit à la formulation suivante du problème de comportement d une semelle continue à proximité d une pente: q H s g(,,,, d / B, s, b, ) = 0 u B s β ν ν C B E E b Les calculs ont porté sur des distances d variant de 0 à 15B, et deux angles β du talus, à savoir 26.6 (tgβ=1/2) et 45 (tgβ=1). Les valeurs étudiées de la hauteur relative H/B du talus ont été fixées à 3, 5 et 7. La courbe adimensionnelle de chargement de la fondation q/c u =f(s/b), où q/c u représente pression adimensionnelle et s/b est le tassement relatif de la fondation, a l allure typique de la figure 4, avec tendance vers une asymptote pour les grands déplacements, correspondant ainsi à la capacité portante q l, et une variation linéaire pour les petits déplacements, caractérisée par une pente α (kpa/mm) [15], [18]. Figure 3. Maillage du modèle en éléments finis (cas d/b=0)
1600 1400 chargement (kn/m 2 ) 1200 1000 800 600 400 200 0 essai n 35 d/b = 15 d/b = 7 d/b = 5 d/b = 3 d/b = 1 d/b = 0-200 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 tassement (m) 2.2.2. Analyse de la capacité portante Figure 4. Courbes typiques de chargement des fondations La figure 5 montre une variation typique de la capacité portante en fonction de la distance d, toutes choses étant par ailleurs égales. La proximité d une pente se traduit par une réduction non négligeable de la capacité portante. A titre d exemple, en tête du talus, le facteur de réduction i β est en moyenne de 0.87 pour β égal à 26.6 ( réduction de q l de 13 %) et de 0.75 pour β égal à 45 (réduction de q l de 25%), ceci quelle que soit la fiche de la fondation. Comme le montre la figure 6, ces valeurs sont en bonne concordance avec celles trouvées par d autres études [18]. Pour une distance infinie, la courbe converge vers une valeur asymptotique q l correspondant au cas d un sol horizontal. Ces valeurs asymptotiques ont été comparées, à la figure 7, à celles données par la théorie classique de capacité portante de Terzaghi: q l = C u.n c +γ.d.n q, avec N c = 5.14 et N q =1. Comme le montre la figure 7, les calculs par éléments finis aboutissent à des valeurs de la capacité portante supérieures à celle donné par le calcul classique. L explication vient du fait que ce dernier repose sur l hypothèse de la superposition approchée des effets, ce qui mène à la formulation ci-dessus. D ailleurs, la large utilisation du calcul classique vient du fait qu il mène à une sous-estimation de la capacité portante, donc à une évaluation sécuritaire. 1,0 280 0,9 q l (kpa) 270 260 250 240 230 220 210 Sol argileux saturé C u =50 kpa Semelle continue B=1 m, D=0 m β=26,6 β=45 Facteur iβ (d/b=0) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 d/b=0 CHARTAL Giroud & Tran-Vô-Nhiem Plaxis 200 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 d/b 0,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 angle β Figure 5. Variation de q l en fonction de d/b Figure 6. Effet de l angle β sur i β
La figure 6 nous enseigne que la réduction de la capacité portante est pratiquement proportionnelle à l angle β. On a constaté en outre que la capacité portante, pour toutes le distance étudiées, varie peu avec la hauteur H du talus, ce qui est en accord avec la théorie de Giroud et Tran-Vô-Nhiem. L analyse des courbes q l =f(d/b) montre qu au delà d une certaine distance d lim, on retrouve la capacité portante d un sol horizontal, soit q l. Pour une fondation en surface par exemple, cette distance limite est égale à 0.5B et 2B pour des angles β du talus de 26.6 et 45 respectivement. Cette distance limite augmente sensiblement avec l élancement D/B de la fondation. Pour les besoins de la pratique, la prise en compte de l influence de la proximité du talus sur la capacité portante peut être schématisée par les courbes hyperboliques des abaques 8 et 9, selon la formulation suivante: d i B β = iβ(0) + a+ b d B Le facteur de réduction en tête du talus i β (0) est pris égal 0.87 et 0.75 pour β égal à 26.6 et 45 respectivement. 1,10 q l (éléments finis) kpa 1600 1400 1200 1000 800 600 400 Sol argileux saturé β=45 β=26 Facteur de réduction iβ 1,05 1,00 0,95 0,90 Sol: argile saturée (ϕ = 0) Talus: Hauteur indéfinie, Angle β=26,6 i β =q l (d/b)/q l (οο) i β (0)= 0,870 D/B=0 D/B=1 D/B=2 200 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 q l (Terzaghi) kpa 0,85 0 5 10 15 20 25 30 35 40 d/b Figure 7. Comparaison des valeurs de q l Figure 8: Abaque du facteur de réduction pourβ =26.6 Facteur de réduction iβ 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 Sol: argile saturée (ϕ= 0) Talus: Hauteur indéfinie, Angle β=45 i β =q l (d/b)/q l (οο) i β (0)= 0,750 D/B=0 D/B=1 D/B=2 0,70 0 5 10 15 20 25 30 35 40 d/b Figure 9: Abaque du facteur de réduction pourβ =45
Une interpolation linéaire est à effectuer pour des valeurs intermédiaires de β. Le facteur b est donné par l expression suivante : b= 1 1 iβ(0) Il prend ainsi les valeurs de 7.7 et 4.0 pour des angles β de 26.6 et 45 respectivement. Le facteur a est donné par les tableaux 2 et 3 en fonction de l élancement et de l angle β. 2.2.3. Analyse des tassements de la fondation La courbe de chargement a été interprétée pour obtenir la pente initiale (ou raideur) α (kpa/m) telle que : q = α.s s et q étant respectivement le tassement uniforme de la fondation et la pression verticale appliquée. Il est évident que la connaissance de α permet de calculer directement le tassement à partir de la formule ci-dessus. Il a été constaté que α dépend peu de l angle β de la pente, et comme le montre la figure 10, cette raideur augmente selon une allure hyperbolique avec la distance relative d/b et se stabilise au-delà d une certaine distance, de l ordre de 3 à 4 fois la largeur B de la fondation, vers une valeur asymptotique notée α. Le facteur d amplification des tassements (ou de réduction de la raideur α) µ H est défini dans le cas général comme suit: α( β, d / B, D/ B, H / B) µ H = µ ( β, d/ B, D/ B, H / B) = α (0,, D/ B, ) A titre d exemple, en cas d une fondation en tête du talus (d/b=0), le facteur µ H (0) est égal à 0.94, 0.97 et 0.97 pour des élancements D/B de 0, 1 et 2 respectivement, ce qui correspond à une augmentation des tassements de 3 à 6%. On conclut de cet exemple extrême que l influence de la proximité du talus sur les tassements est minime. L analyse statistique des valeurs de µ en bord de pente (d/b=0) a montré qu il prend les valeurs moyennes de 0.98 et 0.96 pour les pentes de 26.6 et 45 respectivement, avec des coefficients de variation de 7% au plus. Vu le caractère approximatif du calcul pratique des tassements, il est donc illusoire de tenter relier le facteur µ aux différents facteurs géométriques vus ci-dessus du fait de sa faible variation. On recommande pour les besoins de la pratique d amplifier les tassements, calculés dans le cadre d un sol horizontal, de 3% pour des fondations distantes de moins de 4B de la tête du talus. Tableau 2 : Valeurs du facteur a pour β=26.6 D/B 0 1 2 a 2.10 8.74 24.67 Tableau 3 : Valeurs du facteur a pour β=45 D/B 0 1 2 a 1.53 8.23 19.00
Raideur α (kpa/m) 9000 8500 8000 7500 7000 β=26.6 β=45 Sol: argile saturée ν=0,50 Τalus: H/B=3 α pente de la courbe de chargement q=f(s) 6500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 d/b Figure 10. Variation de la raideur avec d/b 3. PROCEDURE DE CALCUL PRATIQUE La procédure suivante permet de tenir compte d une manière simple de l effet de la proximité du talus sur la capacité portante et les tassements d une fondation continue rigide, implantée dans un massif argileux saturé. 1. Calculer la capacité portante de la fondation en la supposant dans un sol horizontal, soit q l, 2. A partir de la figure 8 ou 9, déterminer le facteur de réduction i β en fonction de β, D/B et d/b. On peut aussi utiliser l équation hyperbolique de i β en adoptant les valeurs de a des tableaux 2 et 3, et de b en fonction de i β (0). Ce dernier est pris égal 0.87 et 0.75 pour β égal à 26.6 et 45 respectivement. 3. La capacité portante à proximité du talus est: q l =q l. i β, 4. Estimer les tassements de la fondation à la base des méthodes classiques, 5. Amplifier la valeur obtenue du tassement par un facteur de 1.03. 4. EXEMPLE ILLUSTRATIF On reprend le cas d de la figure 1, schématisant un mur de soutènement en béton armé, supposé très long et ayant une largeur de 2.0 m. Suite à des travaux de creusement d un talus routier haut de 2.5 m et incliné de 60 par rapport au plan vertical, la base du mur, ancrée à 2.0 m, se trouve implantée à 2.0 m de la crête de ce talus. Le sol est formé d un horizon argileux saturé assez homogène. Les essais de compression simple des échantillons intacts ont pu caractériser la résistance à la compression simple par une valeur moyenne de 250 kpa. Le poids volumique sec est de 14.5 kn/m 3. On demande d analyser la capacité portante de cette fondation. Le calcul le plus défavorable correspond au comportement à court terme, caractérisé par une cohésion non drainée de 125 kpa et un angle de frottement nul. Le poids volumique saturé est de 19 kn/m 3. q l = 0.5x γsat.b.n γ + γ sat.d.n q + C u.n c = γ sat.d.1 + C u x5.14= 661.5 kpa. Le problème est caractérisé par H/B=2.5/2.0=1.25, D/B= 2.0/2.0=1, d/b=2.0/2.0=1 et β = 30. A partir des tableaux 2 et 3, l interpolation de a donne 8.64. L interpolation du facteur de réduction en tête du talus donne i β (0)=0.847 et b= 1/(1- i β (0))=6.53. d i = ( 0) + B 1 β iβ = = 0.847+ 0.066= 0.910 a+ b 8.64+ 6.53x1 B d
La capacité portante à proximité du talus est q l =q l.i β = 661.5x0.91=602 kpa. La contrainte admissible est q adm = 19x1 +(602-19x1)/3=213 kpa. 0 Notons que la méthode de Giroud et Tran-Vô-Nhiem donne q l =517.5 kpa. A partir du tableau 1, on déduit que i β doit être égal à 1 et q l =q l = 661.5 kpa. Enfin, selon la méthode de Baguelin, le facteur de réduction d après la formule est égal à i β = 0.98 1.0. 5. CONCLUSIONS L effet de la proximité d un talus sur la capacité portante d une semelle continue ancrée dans un sol argileux saturé a été étudié à travers une étude paramétrique par éléments finis par le biais du progiciel Plaxis. Il a été montré l influence notable de la distance de la fondation à la tête du talus et de l angle du talus sur la capacité portante. L interprétation des résultats a permis de la définition d un facteur de réduction de la capacité portante et d un facteur d amplification des tassements, ce dernier variant faiblement avec les différents paramètres géométriques de ce problème. Une procédure pratique de calcul simplifié a été proposée et un exemple illustratif a permis de concrétiser l approche proposée. Des études sont en cours pour l extension des résultats obtenus à d autres configurations sol/fondation et à d autres matériaux. 6. BIBLIOGRAPHIE 1. Meyerhof G (1957) Ultimate bearing capacity of foundations on slopes, Proceedings of the 4 th Intl. Conf. on Soil Mech. and Found. Eng., Vol. 1, London, pp: 384-386. 2. Giroud J-P, Tran-Vô-Nhiem (1971) Force portante d une fondation sur une pente, Annales de l ITBTP N 283-284 Juillet-Août 1971, Série théories et méthodes de calcul N 142, pp: 132-179. 3. Narita K, Yamagushi H (1990) Bearing capacity analysis of foundations on slopes by use of log-spiral sliding surfaces, Japanese Journal of Soil. Mech. and Found. Eng., Vol. 30, N 3, pp : 144-152. 4. Sokolovski V.N (1942) Statique des massifs lâches (en Russe), Moscou, Russie. 5. Graham J, Andrews M, Shields D-H (1988) Stress characteristics for shallow footings in cohesionless slopes, Canadian Geotechnical Journal, Vol. 25, pp: 238-249. 6. Salençon J (1983) Calcul à la rupture et analyse limite, Presses de l ENPC Paris, 359 p. 7. Fikrat S (1191) Calcul de la capacité portante d une fondation superficielle à proximité d un talus, mémoire de stage de fin d études, Laboratoire LMS, Ecole polytechnique, Palaiseau, France, 51 p. 8. Gamperline M.C (1988) Centrifugal modelling of shallow foundations, Report to Spring convention Nashville, Tennessee, US department of the interior, Bureau of reclamation Denver, Colorado, 26 p. 9. Bakir N (1993) Etude sur modèles centrifuges de la capacité portante de fondations superficielles, Thèse de doctorat en génie civil de l Ecole Centrale de Nantes ECN, 193 p. 10. Potts D.M, Zdravcovitch L (1999) Finite element analysis in geotechnical engineering, st 1 edition Thomas Telford Books, Vols. 1 and 2. 11. Bouafia A, Mokrani L (1987) Calcul de la charge verticale limite au bord du talus, mémoire de mini-projet de recherche sur les méthodes numériques appliquées au calcul des massifs en plasticité parfaite, Ecole Centrale de Nantes, France. 12. Absi E. (1984) La théorie de la plasticité et l équilibre limite en mécanique des sols, Annales de l ITBTP N 421, série: sols et fondations 185, pp :66-123.
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