Examen d électromagnétisme le 4 janvier 1 Il y a exercices (un au verso) 1. (4 pts) On considère deux charges : Q 1 = 3µC aux coordonnées P 1 (1,-1,-3)m et Q = 4µC aux coordonnées P (3,-3,-)m. (a) Calculer la force (vecteur) sur la charge Q (en coordonnées cartésiennes). F 1 = Q 1Q P 1 P 4πǫ 3 P 1 P P 1 P = P 1 O + OP = OP OP 1 = (3, 3, ) (1, 1, 3) = (,,1) = x ŷ +ẑ P 1 P = 4+4+1 = 9 = 3 F 1 = 9 1 9 3 1 4 4 1 P 1 P (P 1 P ) 3 ( x ŷ +ẑ) = 9 3 4 = ( 8 x+8ŷ 4ẑ)N 7 La force exercée sur la charge Q par la charge Q 1 est donc : F 1 ( 8 x+8ŷ 4ẑ)N F 1 = 1N (1) (b) Quelle est la force (vecteur) sur la charge Q 1? F 1 = Q 1Q 4πǫ P P 1 3 = Q 1Q P 1 P 4πǫ P P 1 3 = F 1 P 1 P puisque P P 1 = P 1 P. L application numérique est donc : F 1 = F 1 = (8 x 8ŷ +4ẑ)N (). (4pts) Considérer une sphère de rayon a avec une distribution volumique de charges ρ(r,θ,φ) = Cr. (a) Calculer la charge totale, Q, de la sphère (en fonction de C et a). a ( Q = ρdv = 4π ) a Cr r dr = 4πC r 4 dr = 4πCa Le résultat est donc Q = 4πCa (3) 1
(b) Calculer le champ électrique, E, dans la région r < a. (En termes de r, Q et a). Par symétrie sphérique E ( r ) = Er (r) r Le flux à travers une surface, S r, de rayon rcentrée sur l origine est donc : E ds = 4πr E r (r) (4) S r Le théorème de Gauss est : E Q int ds = ǫ Pour r < a, la charge à l intérieur d une sphère de rayon r est : Q int (r) = C4π ǫ r r 4 dr = 4πC r ǫ Mettant ensemble les résultats de (4) et (), nous trouvons () 4πr E r (r) = 4πC r ǫ E r (r) = C ǫ r 3 = Q 4πǫ r 3 a où nous avons utilisé le résultat de (3) afin d écrire la constant C en fonction de la charge de la sphère, Q, et le rayon de la sphère, a : C = Q. 4πa Le champ électrique pour r < a est donc : ( E r ) Q r 3 = 4πǫ a r (6) (c) Calculer le champ électrique, E, dans la région r > a. (En termes de r, et Q). Pour r > a, la charge à l intérieur de la surface S r, de rayon r centrée sur l origine est simplement la charge totale de la sphère, Q. Nous avons simplement : ( E r ) Q 1 = 4πǫ r r (7) 3. (4pts) On un condensateur plan (approximation plans infinis) remplit d un matériau diélectrique ayant une permittivité relative ε r (sans dimensions). (a) Calculer la capacité du condensateur en figure 1(a) (en fonction de S, d, ε r,1 ). On se rappel que pour un condensateur plan dans l approximation du plan infini, le champ électrique s écrit E = σ ε rǫ ẑ = Q Sǫ ẑ où ẑ est la direction orthogonale aux armatures et ε r est la permittivité diélectrique relative (sans dimension du matériau). La différence de potentiel est donc U = d E dl = Qd Sε rǫ. Avec la définition de la capacité, U Q, on trouve : C C = Sε rǫ d. (8)
(b) Donner la valeur de l énergie stockée dans le condensateur. A.N. : S = 1m, U g = 1V et d = 1cm ε r = 3. S C = ǫ ε r d = 4πǫ S 4πd ε 1 1 r = 3 = 1 9 1 9 4π1 1π 1 6,7µF (Farads) W e = 1 C equ = 1,7 1 6 1 1,3µJ (Joules) (9) On considère maintenant que le volume entre les deux condensateurs est remplit par deux matériaux diélectriques (constantes diélectriques relatives ε r,1, et ε r, ), chacun replissant la moitié du volume entre les armatures. (c) Calculer la capacité du condensateur en figure 1(b) (en fonction de S, d, ε r,1, et ε r, ). Il s agit de deux condensateurs en parallèle (ayant la même différence de potentiel U g ). C eq = Q = Q 1 + Q = C 1 +C = S 1ǫ ε r,1 + S ǫ ε r, U g U g U g d d = ǫ S d εr,1 +ε r, (d) Calculer la capacité du condensateur en figure 1(c). (en fonction de S, d, ε r,1, et ε r, ) Il s agit de deux condensateurs en série (1) U g = Q C eq = U 1 +U = Q C 1 + Q C 1 C eq = 1 C 1 + 1 C = d 1 Sǫ ε r,1 + d Sǫ ε r, = d ǫ S ( 1 + 1 ) = d ε r,1 ε r, ǫ S C eq = ǫ S d εr,1 ε r, = ǫ S ε r,1 ε r, ε ε r,1 +ε r, d r,1 +ε r, εr,1 +ε r, ε r,1 ε r, (11) 4. (4pts) Trouver la force de Laplace, F L, sur un fil, l = m de long orientée sur l axe z et parcouru par un courant de I = A (Ampères) immergé dans un champ magnétique constant de B = x+6ŷt (Teslas) La Force de Laplace sur un segment dl du fil est : ( dl ) df L = I B = Idl[ẑ ( x+6ŷ)] = Idl(ŷ 6 x) La force de Laplace totale est : F L = l l df L = I(ŷ 6 x) dl = Il(ŷ 6 x) = 8(ŷ 3 x)n (1). (4pts) Un rectangulaire (dimensions, 1m 1m) placé dans le plan xoy se dirige vers l origine avec une vitesse v = ŷm/s (voir la figure) dans un champ Le a une résistance R =,Ω. B =,8e y/ẑt (Teslas). 3
z + v=-vy i R,m,6m + 1,m y x - - (a) Calculer le courant dans le à l instant où les deux grands cotés du rectangle sont respectivement à y =,m et y =,6m en utilisant l expression fondamentale de la force électromotrice ( E e(t) = + v fil B) dl On prend L = 1m et l =,1m. Puisque le cadre est rigide et n est pas en train de tourner, la vitesse, v fil = vŷ, est le même sur tout le. Le champ B est partout dans le même sens, mais il n est pas uniforme (il dépend sur y). On a donc : ( v fil B) = vb(y)(ŷ ẑ) = vb(y) x La force électromotrice est donnée par l intégrale curviligne : ( e(t) = v fil B) dl = vb(y) x dl Puisque dl est parallèle à ŷ sur les coté courts, il n y a de contribution à e(t) sur ces cotés. Sur les cotés longs dl = ±dx x et il y a une f.é.m. totale, e(t), non nulle puisque le champ B n est pas le même sur les deux cotés longs. On obtient : e(t) = vb(,) (ŷ ẑ) xdx vb(,6) = v[b(,) B(,6)] = v 8 [ e / e ] l / [ ] 1 =,8 e 1/4 e 3 1 7,6V (ŷ ẑ) xdx i(t) = e(t)/r 3,4A (13) (b) Obtenir le même résultat en faisant appel à la loi de Faraday. e(t) = dφ dt 4
Suivant le sens choisit pour i positif, nous avons donc ds = dxdyẑ. Φ(t) = B ds = l = 8 l 1 L dye y/ dy 1 L [ e y/] l 1 L [ e l / e / ] dx,8e y/ = 8 l dy 1 1 L [ e (l )/ 1 ] e / 1 L [ e (l )/ 1 ] e ( vt)/ dxe y/ où nous avons choisit d appeler t =, l instant d intérêt où =,m et l =,6m. Avec ce choix, la position du coté du cadre le plus prêt à l axe s écrit : l(t) = vt On remarque que le flux Φ est négatif puisque B et ds sont anti-parallèles. On calcul e(t) maintenant avec la loi de Faraday : dφ dt = 8 t= 1 vl [ e (l )/ 1 ] e ( vt)/ t= e(t = ) = dφ dt = 4 t= vl [ 1 e ] (l )/ e l1/ = 4 vl [ e l1/ e ] l / 7,6V i(t = ) = e(t = )/R 3,4A (14)