Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

. Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37

Plan de l exposé 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 2/37

Introduction Le modèle Modèle AR(1) : Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, Y n R d, d 1. (a n, b n ) va sur Gl(d, R) R d, d 1. séries chronologiques, processus de branchement, marches en milieu aléatoire, modèles AR(d), GARCH... Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 3/37

Introduction Solution stationnaire BRANDT 1986, BOUGEROL et PICARD 1992, (a n, b n ) stationnaire Si et α = lim 1 n log a 1 a n < 0 E log + b 0 <, unique solution stationnaire R n = k=1 a n 1 a n k b n k 1, Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 4/37

Introduction Moments (a n, b n ) i.i.d. s > 0, E R 1 s k=0 E a 0 a 1 a k+1 s E b k s si s < 1, (E R 1 s ) 1/s k=0 (E a 0 a 1 a k+1 s ) 1/s (E b k s ) 1/s si s 1. Si b 0 a des moments à tout ordre, R a un moment d ordre s si k(s) = lim n (E a 1 a 2 a n s ) 1/n < 1 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 5/37

Introduction Convexité s log k(s) est convexe 3 cas possibles : Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 6/37

Introduction Références KESTEN 1973, 1974 : dimension d, matrices positives LE PAGE 1983 : dimension d, matrices quelconques GOLDIE 1991 : dimension 1 E R s 1 < si et seulement si k(s) < 1 Si k(κ) = 1, queue polynômiale : P( R 1 > t) Ct κ Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 7/37

Introduction Théorème en dimension 1 Théorème 1 (Goldie) (a n, b n ) iid, κ > 0 vérifiant E a 0 κ = 1, E [ a 0 κ log + a 0 ] <, E b 0 κ <, loi conditionnelle de log a 0 sachant a 0 0 non-arithmétique. Premier cas : a 0 0, alors t κ P(R 1 > t) t + C +, t κ P(R 1 < t) t + C, C + 0 et C 0 constantes. Deuxième cas : P(a 0 < 0) > 0 alors mêmes limites les limites avec C + = C 0. Dans les deux cas, C + + C > 0 ssi P(b 0 = (1 a 0 )x) < 1. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 8/37

Régime markovien 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 9/37

Régime Markovien Définition Auto-régression à régime markovien : (a n ) est une chaîne de Markov Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, Séries chronologiques qui changent de régime au cours du temps séries économiques données climatiques Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 10/37

Régime Markovien Exemple de Hamilton (1) Exemple de HAMILTON 1989 v a r 2 4 3 2 1 0-1 - 2-3 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 i Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 11/37

Régime Markovien Exemple de Hamilton (2) Modèle : X n = a n (0) + a n (1)X n 1 + + a n (4)X n 4 + b n - X n = 100 log PIB n PIB n 1 - a n = (a n (j), j = 0,.., 4) chaîne de Markov à deux états (909, 265, 29, 126, 110)/1000 ( 420, 216, 628, 73, 97)/1000 - Matrice de transition ( 0.882 0.118 0.286 0.714 ) Interprétation des états : 1=croissance, 2=récession = Cycles économiques Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 12/37

Régime Markovien Hypothèses Processus auto-régressif à régime markovien scalaire : Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, (a n ) : chaîne de Markov irréductible, apériodique, stationnaire sur E = {e 1,..., e p } R +, matrice de transition P = (p ij ), loi stationnaire µ. (b n ) i.i.d. non nulles, indépendantes de (a n ) Si E log(a 0 ) = log(e i )µ(e i ) < 0 et E log + (b 0 ) < unique solution stationnaire : R n = k=0 a n 1 a n 2 a n k b n 1 k, n Z Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 13/37

Régime Markovien Théorème Théorème 2 1. il existe κ > 0 tel que la matrice P κ = diag(e κ i ) t P soit de rayon spectral 1, 2. les log e i ne sont pas tous multiples entiers d un même nombre, 3. E b 0 κ <, alors pour x { 1, 1} on a : t κ P(xR 1 > t) t L(x), où L(1) + L( 1) > 0. Si b 0 0, alors L( 1) = 0, et L(1) > 0. Si b 0 0, alors L(1) = 0, et L( 1) > 0. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 14/37

Régime Markovien Exemple de 2 régimes (1) ( p 1 p ) 2 états : E = {e 1, e 2 }, matrice de transition P = et p + q 0 1 q q, p < 1, q < 1 loi invariante : µ = 1 2 p q (1 q, 1 p) Condition de stationnarité : e 1 1 q e 2 1 p < 1 Matrice P s : P s = ( e 1 s p e 1 s (1 q) e 2 s (1 p) e 2 s q ) Rayon spectral : ρ s = e 1 s p+ e 2 s q+ s 2, avec s = e 1 2s p 2 + e 2 2s q 2 + 2 e 1 e 2 s (pq 2p 2q + 2) Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 15/37

Régime Markovien Exemple de 2 régimes (2) Condition d existence de κ : Pas de κ : moment à tout ordre si : e 1 1 et e 2 1, p = 0 et 1 < e 1 e 2 1, q = 0 et 1 < e 2 e 1 1. κ : queue polynômiale si : e 1 > 1 et p 0, p = 0 et e 2 1 < e 1 < e 2 1/1 q, e 2 > 1 et q 0, q = 0 et e 1 1 < e 2 < e 1 1/1 p. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 16/37

Régime Markovien Exemple de 2 régimes (3) e2 e2 1 1 1 1 e1 1 1 e1 1 1 Queue exponentielle Queue exponentielle Queue polynomiale Queue polynomiale ex : p = 0.5, q = 0.7 ex : p = 0, q = 0.7 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 17/37

Régime Markovien Equations de renouvellement (1) LE PAGE 1983, GOLDIE 1991 z(x, t) = e t e t 0 u κ P(xR 1 > u)du. x = ±1, même comportement asymptotique que t κ P(xR 1 > t). z(x, t) = p i=1 Z i(x, t), où : Z i (x, t) = e t e t 0 u κ P(xR 1 > u, a 0 = e i )du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 18/37

Régime Markovien Equations de renouvellement (2) R 1 = a 0 R 0 + b 0 = P(xR 1 > u, a 0 = e i ) = P(xa 0 R 0 + xb 0 > u, a 0 = e i ) = P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ) + ψ i (x, t) On note e t G i (x, t) = e t u κ ψ i (x, u)du 0 e t = e t u κ (P(xR 1 > u, a 0 = e i ) P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ))du. 0 Alors e t Z i (x, t) = e t u κ P(xe i R 0 > u, a 0 = e i )du + G i (x, t). Changement de variable 0 Z i (x, t) = e (t log e i) e κ i e t log e i 0 u κ P(xR 0 > u, a 0 = e i )du + G i (x, t). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 19/37

Régime Markovien Equations de renouvellement (3) Propriété de Markov et stationnarité P(xR 0 > u, a 0 = e i ) = p j=1 P(xR 1 > u, a 0 = e j )p ji. On obtient le système : Z i (x, t) = e κ i = p j=1 p j=1 [ ] p ji Z j (x, t log e i ) + G i (x, t) Z j (x, t u)f ij (du) + G i (x, t), avec F ij (t) = e κ i p ji 1I t log ei. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 20/37

Renouvellement 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 21/37

Renouvellement Introduction F = (F ij ) 1 i,j p matrice de distributions. G = t (G 1,..., G p ) vecteur de fonctions réelles, bornées sur les compacts. Z = t (Z 1,..., Z p ) vecteur de fonctions inconnues qui vérifie Z i (t) = G i (t) + p k=1 Z k (t u)f ik (du), = comportement asymptotique de Z en +. FELLER 1971 : p = 1, F 11 probabilité : CRUMP 1970, ATHREYA et RAMA MURTHY 1976 : p > 1, F ij : R + R + Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 22/37

Renouvellement Notations Produit de convolution matriciel F H : H matrice p r de fonctions réelles mesurables (F H) ij (t) = p k=1 H kj (t u)f ik (du). Espérance de F : Γ = (γ ij ) 1 i,j p avec γ ij = uf ij (du). F (0) (t) = diag(1 t 0,...,1 t 0 ). F (n) (t) = F F (n 1) (t). Fonction de renouvellement U(t) = n=0 F (n) (t). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 23/37

Renouvellement Arithméticité F est arithmétique si : pour tout i j, F ij est concentrée sur un ensemble de la forme b ij + λ ij Z, pour tout i, F ii est concentrée sur λ ii Z, les λ ii sont multiple entiers d un même nombre, λ le plus grand de ces nombres, pour tous a ij, a jk, a ik points d accroissement de F ij, F jk et F ik, a ij + a jk a ik est un multiple entier de λ. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 24/37

Renouvellement Hypothèses sur F 1. Mesures finies : 1 i, j p, F ij ( ) = lim t F ij (t)<. 2. Transience : t R, U(t) <. 3. F( ) irréductible à puissances bornées en norme. 4. Rayon spectral : ρ(f( )) = 1. m et u vecteurs propres de Perron-Frobenius : F( )m = m, p i=1 m i = 1, t uf( ) = t u, p i=1 u i m i = 1. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 25/37

Renouvellement Résultats Théorème 3 Première forme : hypothèses 1-4 F non arithmétique espérance Γ existe alors, γ = t uγm > 0 et U ij (t + h) U ij (t) t m i u j γ h. Deuxième forme : Mêmes hypothèses G directement Riemann intégrable Z = U G existe, alors lim t Z i(t) = 1 γ m i p j=1 [u j ] G j (u)du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 26/37

Renouvellement Preuve Incréments de U uniformément bornés = (t n ) + et V ij mesures t.q. U ij (t n + dt) V ij (dt) Identification des V ij G = t (0,..., G k,..., 0) avec G k continue à support compact t n + dans l équation de renouvellement solutions de Z = F Z = V ij multiples de la mesure de Lebesgue : V ij = a ij l Identification des coefficients de proportionnalité G = t (0,..., G k,..., 0) avec G k (t) = 1I [0, 1] (t) = a ij = cm i u j G(t) = ( F( )1I t 0 F(t) ) m = c = γ 1 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 27/37

Preuve 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 28/37

Preuve Equations de renouvellement Rappel : Z i (x, t) = e κ i = p j=1 p j=1 [ ] p ji Z j (x, t log e i ) + G i (x, t) Z j (x, t u)f ij (du) + G i (x, t), avec et G i (x, t) = e t e t 0 F ij (t) = e κ i p ji 1I t log ei, u κ[ ] P(xR 1 > u, a 0 = e i ) P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ) du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 29/37

Preuve Application du th de renouvellement F ij mesures finies, F ij ( ) = e κ i p ji = P κ de rayon spectral 1. Espérance de F : Γ ij = e κ i p ji log e i. Les log(e i ) ne sont pas multiples entiers d un même nombre, donc F non arithmétique. Finitude de U : U ij (t) = F (n) ij (t) e κt 2 (P κ 2 )n ij série convergente par convexité de s log ( ρ(p s ) ). Z = U G : itérer l équation de renouvellement, et F (n) Z 0 G est directement Riemann intégrable : utiliser E b 0 κ < +. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 30/37

Preuve Théorème de renouvellement Théorème de renouvellement pour les systèmes : Limite non nulle? lim t tκ P(xR 1 > t) = lim z(x, t) t = lim t = 1 γ p j=1 p i=1 Z i (x, t) [u j ] G j (x, s)ds. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 31/37

Preuve Cas particulier Si b 1 est de signe constant : Alors e t G i (x, t) = e t u κ( P(u xb 0 < xa 0 R 0 u, a 0 = e i ) 0 P(u < xa 0 R 0 u xb 0, a 0 = e i ) ) du. de signe constant sur R, car l une des de ces deux probabilités est nulle. Si b 1 0, alors R 1 0 donc z( 1, t) t 0, et limz(1, t) > 0. Si b 1 0, alors R 1 0 donc z(1, t) t 0, et limz( 1, t) > 0. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 32/37

Preuve Limite non nulle Première étape : GRINCEVICIUS 1980, GOLDIE 1991 P( R 1 > t) C P(sup n Inégalité de symétrisation de Lévy Lemme de Feller Chung a 0 a 1 n > 2t ε ). Deuxième étape : Evaluer P(sup n a 0 a 1 n > 2t ε ). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 33/37

Preuve Etude du produit a 0 a 1 n Marche aléatoire à pas markovien : S 0 = 0, S n = n k=1 log(a 1 k ) = log(a 0 a 1 n ). Etude du processus d échelle S τn où : τ 1 = inf{n 1 : S n > 0}, τ n = inf{k > τ n 1 : S k > S τn 1 }. Arjas et Speed 1973 + Renouvellement = e κt P(max(S n ) > t) = e κt P(max(S τn ) > t) C > 0, C > 0 constante explicite. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 34/37

Autres Résultats 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 35/37

Autres Résultats En dimension 1 On peut affaiblir l hypothèse d indépendance entre (a n ) et (b n ). Résultat analogue lorsque les a n changent de signe Diffusion continue à régime markovien En dimension supérieure Chaîne à espace d états fini inclus dans les matrices positives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 36/37

Perspectives Dimension d et chaîne de Markov à support fini quelconque Chaînes de Markov plus générales Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 37/37