Modules sur un anneau commutatif

Université de Nice Master 1 Mathématiques 2006-07 GAE Modules sur un anneau commutatif 1. Généralités 1.1. On considère un anneau commutatif A. Un module M sur l anneau A (ou A-module) est un groupe abélien (sa loi est notée + et l élément neutre 0) qui a de plus une action de l anneau A avec les propriétés suivantes : pour a et b dans A, m et m dans M, on a a(m+ m ) = am+am, (a+b)m = am+bm, a(bm) = (ab)m et 1m = m. On vérifie alors que 0m = (0 + 0)m = 0m + 0m et il s ensuit que 0m = 0. Une application f : M N entre deux A-modules est un morphisme de A-modules si f est A-linéaire, i.e. si f est un morphisme de groupes abéliens et si pour tout a de A et m de M on a f(am) = af(m) dans N. Un sous-a-module N d un A-module M est un sousgroupe stable par l action de A. Le noyau et l image d un morphisme de A-modules sont des sous-a-modules de la source et du but du morphisme. Voici quatre séries d exemples fondamentaux : Exemple 1.1.1. Si k est un corps, les k-modules sont les k-espaces vectoriels et les morphismes de k-modules sont les applications k-linéaires. Exemple 1.1.2. La multiplication par un entier positif dans Z est une addition itérée. Donc les Z-modules sont les groupes abéliens et les morphismes de Z-modules sont les morphismes de groupes abéliens. Exemple 1.1.3. On considère un k-espace vectoriel E et un endomorphisme u de L(E). Alors (E, u) a une structure de k[t ]-module définie par : P x = P (u)(x) pour P dans k[t ] et v dans E. Réciproquement, tout k[t ]-module est un espace vectoriel muni d un endomorphisme (l action de T ). Vérifier qu un morphisme de k[t ]-modules f : (E, u) (F, v) est une application k-linéaire de E dans F telle que f u = v f. Exemple 1.1.4. Un idéal I d un anneau A est un sous- A module de A (noter que ce n est pas un sous-anneau en général). On considère maintenant un morphisme d anneaux ϕ : A B. Alors B est un A-module : pour a dans A et b dans B, a b := f(a)b. Mieux : tout B-module a une structure de A-module. Exemple 1.1.5. Si k est un corps et A une k-algèbre, les A-modules sont en particulier des k-espaces vectoriels (noter le cas spécial où A est aussi un corps). 1.2. Module quotient. On considère un anneau A, un A-module M et un sous-a-module N de M. Sur le groupe quotient M/N on met une structure de A- module : pour a dans A et m dans M on pose a m := am où m désigne la classe de m dans le quotient M/N (vérifier les diverses compatibilités). Exemple 1.2.1. Un idéal I d un anneau A est un sous- A module de A et le quotient A/I est aussi un A-module. Théorème 1. (Propriété universelle du quotient.) On considère un anneau A, un A-module M et un sous- A-module N de M. Un morphisme de A-modules f : M W se factorise par l application quotient π : M M/N si et seulement si ker f N. L application obtenue g : M/N W est injective si et seulement si ker f = N et surjective si et seulement si f est surjective. M π M/N f g Exemple 1.2.2. On considère un corps k, l anneau de polynômes k[t ] et un polynôme P unitaire de degré d dans k[t ], W P (T ) = T d + a d 1 T d 1 +... + a 1 T + a 0. Le quotient k[t ]/(P (T )) est donc un k[t ]-module que l on peut représenter par le k-espace vectoriel E := Vect(1, T,..., T d 1 ) muni de l endomorphisme u de E induit par la multiplication par T. Quelle est la matrice de l endomorphisme u dans la base (1, T,..., T d 1 )? Quel est le polynôme minimal de u? Quel est son polynôme caractéristique? 1.3. Modules libres. Exemple 1.3.1. Le A-module A r. Pour j de 1 à r, on note e j l élément dont la j-ème coordonnée vaut 1 et les autres 0. Vérifier que tout élément x de A r a une écriture unique x = x i e i. Le système (e 1,..., e r ) est donc un système générateur. Il est aussi A-libre au sens suivant : si 0 = r x ie i alors

2 tous les x i sont nuls. On l appelle A-base canonique de A r. Si f : A r A s est un morphisme A-linéaire, il est entièrement déterminé par la donnée des images des e i, i de 1 à r dans la base canonique de A s, autrement dit par sa matrice M dans les bases respectives de A r et A s. La matrice M est un élément de M r,s (A). Théorème 2. On considère deux entiers naturels r et s, un anneau A non réduit à 0 et une application A-linéaire f : A r A s. (1) Si f est injective, alors r s. (2) f est un isomorphisme de A-modules si et seulement si r = s et le déterminant de la matrice de f est inversible dans A. Démonstration. Supposons r > s et désignons par m i,j (pour i de 1 à s et j de 1 à r) les coefficients de la matrice M de l application f dans les bases canoniques de A r et A s. Soit p la taille maximum d un mineur non nul de la matrice M. Quitte à renuméroter les bases canoniques, on peut supposer que le mineur construit sur les p premières lignes et p premières colonnes n est pas nul. Considérons alors, pour i de 1 à s, la matrice (p + 1) (p + 1) extraite de M en sélectionnant les termes situés sur les colonnes 1,..., p, p + 1 et les lignes 1,..., p, i. Le déterminant de cette matrice est nul par hypothèse. En le développant par rapport à sa dernière ligne, on obtient la relation p+1 j=1 ( 1)j j m i,j = 0 où j est le mineur de M construit sur les colonnes de numéro 1,..., p + 1 sauf j et sur les lignes de numéro 1,..., p. On en déduit l égalité suivante p+1 ( 1) j j e j ) = ( 1) j j f(e j ) = 0. p+1 f( j=1 j=1 Le vecteur p+1 j=1 ( 1)j j e j n est pas nul puisque sa coordonnée sur e p+1 est le mineur. L application f n est donc pas injective. Si f est un isomorphisme on a r = s. Désignons par M et M les matrices respectives de f et f 1 dans la base canonique de A r. On a MM = M M = I r. La matrice M est donc inversible dans M r (A). Le déterminant étant multiplicatif, on en déduit que det M det M = 1 dans A. Réciproquement, si det M est inversible dans A, la formule t Com(M) M = M t Com(M) = det MId calcule un inverse dans M r (A) de la matrice M. On dira qu un A-module L est libre de rang r s il existe un isomorphisme de A-modules φ : A r L. La donnée d un tel isomorphisme équivaut à la donnée d une A- base de L, i.e. d une famille (e 1,..., e r ) d éléments de A telle que tout élément x de L se décompose de manière unique en x = x i e i avec x i dans A. Pour cela il suffit que (e 1,..., e r ) soit une famille génératrice qui est aussi A-libre, i.e. telle que l élément 0 de L se décompose de manière unique sur les (e 1,..., e r ). Exemple 1.3.2. Dans Z, la famille (2) est Z-libre mais n engendre pas Z. Dans Z 3, la famille ((2, 3, 1), ( 1, 1, 2)) est Z-libre, mais ne peut pas être complétée en une Z-base de Z 3. À quelle condition nécessaire et suffisante sur les entiers n et m, la famille ((n, m)) de Z 2 peut-elle être complétée en une Z-base de Z 2? 1.4. Somme et somme directe. On considère deux A-modules M et N. Le produit M N est un groupe abélien et on le munit de la structure de A-module induite par l action suivante de A : pour tout a de A et tout couple (m, n) de M N on pose a(m, n) := (am, an). On note M N le A-module ainsi obtenu. On l appelle la somme directe de M et N. Supposons maintenant que M et N sont des sous-modules d un A-module W. La somme M +N est l ensemble des éléments de W qui se décomposent en m+n avec m M et n N. C est un sous-a-module de W. Il est isomorphe à M N si et seulement si M N = {0} dans W. 1.5. Modules de morphismes. On considère deux A- modules M et N. L ensemble des morphismes de A modules de M dans N est noté Hom A (M, N). Vérifier que c est un A-module. 1.6. Générateurs et relations. On considère un anneau A, un A-module M et une partie S de M. Le sous- A-module engendré par S est l ensemble des combinaisons linéaires finies a i m i. i I,I fini où m i est dans M et a i dans A. Un A-module M est dit de type fini s il est engendré par une partie finie. Cela revient à dire qu il existe un entier naturel r et un morphisme surjectif de A-modules φ : A r M. Le noyau du morphisme φ est un sous-a-module de A r. C est le module des relations entre les générateurs de M. Plus précisément, si (g 1,..., g r ) est une famille génératrice de M et si (f 1,..., f r ) appartient à ker φ, alors f i g i = 0 dans M.

3 Une question importante : est-ce que le module des relations d un module de type fini est lui-même de type fini? La réponse n est pas toujours oui. Elle est positive si A est un anneau principal et c est l objet du prochain chapitre. 1.7. Modules noethériens. On dit qu un A-module M est noethérien si tout sous-a-module de M est un A-module de type fini. Le résultat principal concernant les A-modules noethériens est le suivant : Théorème 3. On considère un anneau noethérien A et un A-module de type fini M. Alors M est noethérien. Démonstration. Montrons d abord par récurrence qu un A-module libre de rang fini est moethérien. S il est de rang 0, il n y a rien à montrer. Considérons alors un entier n, n 1. On se donne un sous-a-module N de A n et on étudie le morphisme de A-modules l qui associe à un élément de A n sa dernière coordonnée. Si N ker l, alors N est un sous-a-module de ker l, libre de rang n 1, donc noethérien par hypothèse de récurrence. On en déduit que N est de type fini. Sinon, on choisit des générateurs (f 1,..., f s ) de l idéal l(n) qui sont en nombre fini puisque A est noethérien. On choisit ensuite des antécédents (g 1,..., g s ) de (f 1,..., f s ) par φ. Par hypothèse de récurrence, le module N ker l est de type fini. En concaténant une famille génératrice de N ker l avec (g 1,..., g s ) on trouve une famille génératrice de N (le vérifier). Venons-en au cas général et considérons un A-module M de type fini. Il existe donc un entier naturel n et un morphisme surjectif φ : A n M. Le module A n est noethérien. Considérons un sous-module N de M. L image inverse φ 1 (N) est un sous-module de A n donc de type fini. On en déduit que N est lui aussi de type fini. 2. Modules sur un anneau principal A désigne désormais un anneau principal, c est-à-dire un anneau intègre dans lequel tout idéal peut être engendré par un seul élément. Un anneau euclidien est principal. Les anneaux Z et k[x] sont euclidiens donc principaux. Une conséquence immédiate de la définition est : Théorème 4 (Bézout). Dans un anneau principal A on considère deux éléments a et b premiers entre eux. Il existe alors u et v dans A tels que ua + vb = 1. Théorème 5. Un anneau principal est noethérien et factoriel. Tout idéal premier non nul est un idéal maximal. Démonstration. Remarquons d abord que si a et b sont deux éléments non nuls de A on a l équivalence a b (b) (a). Un idéal de A est de type fini puisqu on peut l engendrer par un seul élément. Considérons un élément irréductible p de A et l idéal engendré (p). Un idéal (a) contient (p) si et seulement si a divise p. Si (p) est distinct de (a) c est que a est inversible. L idéal (p) est donc maximal, par suite premier. Considérons une suite croissante d idéaux de A : I 1 I 2... I n... La réunion n 1 I n est un idéal de A, engendré par un élément a. Il existe donc un n 0 tel que a I n0. La suite (I n ) n stationne donc à partir de n 0. Considérons maintenant un élément c de A non nul et non inversible. On lui associe un arbre binaire de la manière suivante : si c est irréductible l arbre J (c) a un seul sommet c et pas d arête. Sinon il existe deux éléments d et e eux-mêmes non nuls et non inversibles tels que c = de. L arbre de c est alors obtenu en reliant les racines des arbres J (d) et J (e) à c. On construit ainsi un arbre binaire de racine c qui a pour sommet des diviseurs de c. À une branche de cet arbre correspond une suite croissante d idéaux de A qui est donc stationnaire. On en déduit que l arbre est fini. Les feuilles de l arbre sont associés aux idéaux maximaux, donc aux facteurs irréductibles de c. Conclusion : L anneau A est factoriel. Remarque. La preuve du caractère stationnaire d une suite croissante d idéaux (et donc celle de l existence d une décomposition en facteurs irréductibles) s étend à tout anneau noethérien. Théorème 6. Un sous-a-module d un A-module libre de rang r est libre. Son rang s est au plus égal à r. Exemple. Les sous A-modules de A sont les idéaux. Comme ils peuvent être engendrés par un élément, ils sont de rang 1, sauf 0, de rang 0. Démonstration. Considérons un A-module L, libre de rang r, une A-base B = (e 1,..., e r ) de L et un sous- A-module M de L. Pour j de 1 à r, on désigne par L j le sous-a-module libre de L engendré par (e 1,..., e j ) et par M j le sous-a-module de L j intersection de M et L j. La démonstration se fait par récurrence sur r. Pour r = 0 il n y a rien à prouver. Supposons maintenant r 1. Considérons la restriction à M de la r-ème application coordonnée g : M A x x r. Son noyau est le sous-a-module M r 1 qui, par hypothèse de récurrence, est libre de rang au plus égal à r 1. Son image est un idéal de A, qui est donc engendré par un élément a r. Si a r = 0 c est que M = M r 1 et M est libre de rang au plus égal à r 1. Si a r n est pas nul on choisit un élément z dans M tel que z r = a r (il y en a au moins

4 un) et on considère la somme directe M r 1 A avec le morphisme M r 1 A M (x, a) x + az qui est injectif et surjectif (le vérifier). Le A-module M est isomorphe à M r 1 A libre de rang au plus égal à r. Précisons le théorème précédent. Théorème 7. On considère un anneau principal A, un A-module libre L de rang r et un sous-a-module M non réduit à {0}. Il existe une A-base B de L, un entier s, 1 s r, des éléments e 1,..., e s de B et des éléments a 1,..., a s non nuls dans A tels que (1) Les éléments (a 1 e 1,..., a s e s ) forment une A-base de M. (2) Les a i sont ordonnés pour la relation de divisibilité a 1 a 2... a s. (3) La famille (a 1,..., a s ) ne dépend que de la donnée de M dans L. C est la famille des facteurs invariants de M dans L. Le quotient L/M est isomorphe au produit A r s A/(a 1 )... A/(a s ). Démonstration. Existence. La démonstration se fait par récurrence sur le rang de M. On note L le A-module Hom A (L, A) des formes A-linéaires sur L. On remarque que par restriction, toute forme f induit une forme de M dans A. L image f(m) est aussi un idéal, contenu dans f(l). Parmi tous les éléments de L, il en est dont la restriction à M n est pas identiquement nulle puisque M n est pas réduit à {0}. L ensemble des idéaux f(m) pour f dans Hom A (L, A) est ordonné par l inclusion. On choisit un élément maximal dans cet ensemble, noté (a 1 ). C est l idéal f(m) pour une forme non nulle. On choisit également un élément x 1 de M tel que f(x 1 ) = a 1. Considérons une A-base B 0 de L. Toute forme A-linéaire sur L prend sur x 1 une valeur qui est un multiple de a 1 (sinon (a 1 ) ne serait pas maximal). Les formes coordonnées dans la base B 0 ont cette propriété, ce qui montre que les coordonnées de x 1 dans la base B 0 sont divisibles par a 1. Il existe donc un élément e 1 de L tel que x 1 = a 1 e 1 et f(e 1 ) = 1. Montrons que L est isomorphe à la somme directe A ker f. Pour cela considérons le morphisme φ : A ker f L (a, x) ae 1 + x. Il est injectif : si 0 = φ(a, x) = ae 1 + x, on considère f(ae 1 + x) = a qui est donc nul et par suite x est nul. Il est surjectif : soit y dans L et son image b par f. On pose x = y be 1 et on vérifie que f(x) = f(y) b est nul. Il s ensuit que f(b, x) = y. Noter que ker f est un A-module libre de rang rgl 1 (théorème 6). De manière analogue, le morphisme ϕ : A (M ker f) M (a, x) ax 1 + x. est aussi un isomorphisme et M ker f est un sous-amodule de ker f libre de rang s 1. Si s = 1 on a terminé. Sinon, par hypothèse de récurrence, on peut trouver une A-base B 1 de ker f, une partie (e 2,..., e s ) de B 1 et des entiers a 2,..., a s tels que (a 2 e 2,..., a s e s ) est une A-base de M ker f. On termine la preuve en prenant pour B la A-base obtenue en adjoignant e 1 à B 1. Unicité. Le sous-a-module M est donc libre de type fini. Se donner un tel A-module, c est se donner une famille génératrice V de t éléments de L. Leurs coordonnées dans une base B 0 de L sont les colonnes d une matrice S de M r,t (A). L existence d une base B de L avec les propriétés du théorème équivaut à l existence (1) d une matrice P inversible dans M r (A) (la matrice de passage de la base B à la base B 0 ), (2) d une matrice Q de M t,s (A) (la matrice des coordonnées des vecteurs de la famille (a 1 e 1,..., a s e s ) sur la famille génératrice V), (3) d une matrice R de M t,s (A) (la matrice des coordonnées des vecteurs de la famille V sur la base (a 1 e 1,..., a s e s )), telles que le produit P SQ est la matrice a 1 0 0 0 a 2 0..... P SQ = 0 0 a s 0 0 0.. 0 0 0 Montrer que le pgcd des coefficients de S divise le pgcd des coefficients de P S, puis qu ils sont égaux. Montrer la propriété analogue pour S et SQ (Remarquer que si SQ = S, alors S R = S). Conclure que le plus petit des invariants de S est le pgcd de ses coefficients. Plus généralement, on se donne un entier n s, un sousensemble I de n éléments extraits de {1,..., r} et un sous ensemble J à n éléments extraits de {1,..., s}. On note S I la matrice n s extraite de S et formée des lignes de S dont l indice est dans I. On note Q J la matrice s n extraite de Q et formée des colonnes de Q dont l indice appartient à J. On considère alors le produit B IJ = S I Q J dans M n (A). Remarquer que toute colonne du produit B IJ est combinaison linéaire des colonnes de S I. En déduire que le déterminant det(b IJ ) appartient à l idéal engendré par les n n mineurs de S I donc à l idéal

5 engendré par les n n mineurs de S. Montrer enfin que l idéal de A engendré par les n n mineurs de S est égal à l idéal engendré par les n n mineurs de SQ. Formuler et montrer la propriété analogue pour S et P S lorsque P est dans GL(s, A). Conclure que le n-ème invariant de S est le pgcd de ses n n mineurs.