DM n 9 : Phénomènes de propagation unidimensionnels

DM n 9 DM n 9 : Phénomènes de propagation unidimensionnels A rendre pour le Jeudi 16 Mars L énoncé comporte deux problèmes : Problème I : Modes propres d une corde de guitare avec et sans raideur. Problème II (facultatif) : Le Millenium bridge - parties II et III (d après Mines 016). Ce problème ne sera pas corrigé si le problème I n a pas été entièrement cherché. 1 PSI, lycée de l Essouriau, 016/017

Problème I : Modes propres d une corde de guitare avec et sans raideur Ce problème traite de l un des instruments de musique à cordes le plus répandu : la guitare. 1

On cherche dans un premier temps à modéliser la dynamique d une des cordes de la guitare. Pour cela, on utilise un modèle simplifié où la corde, de masse linéqiue µ, est fixée d une part au sillet du chevalet (en x=0) et d autre part au sillet de tête (en x=l), les deux sillets étant distants de L=65cm. La corde, à ce stade considérée comme infiniment souple et donc sans raideur, est constamment tendue de part et d autre par une tension notée T o. La pesanteur étant négligée, la corde est confondue avec l axe Ox à l équilibre. Lors de son mouvement, un point de la corde d abscisse x est repéré à la date t par son déplacement y(x, que l on suppose perpendiculaire à Ox. Par ailleurs on note α(x, l angle que fait à la date t la tangente à la corde à l abscisse x avec l axe Ox. Cet angle est supposé petit de sorte qu il est légitime par la suite d effectuer un développement limité d ordre 1 par rapport à cet angle. z Question 1. Montrer que, dans le cadre des approximations effectuées, la tension est uniforme le long de la corde. Question. Montrer alors que y(x, vérifie l équation aux dérivées partielles suivante : x y 1 c t y 0 avec c T o Que représente la grandeur c?

On cherche à déterminer les modes propres de la corde. Pour cela on recherche une solution de la forme y( x, yo coskx cos(. Question 3. Justifier le choix d une telle solution et donner sans démonstration la relation de dispersion. Question 4. Montrer que les conditions aux limites entraînent que la fréquence doit prendre les valeurs suivantes : nc f n où n désigne un entier naturel non nul, appelé rang du mode propre L Question 5. Faire une représentation graphique des modes propres de rang 1, et 3 de la corde. Question 6. A partir de l analyse des documents, expliquer de manière très concrète dans quelle(s) circonstance(s) la dépendance de ω 1 par rapport aux paramètres T o, µ et L apparaît dans l utilisation d une guitare. En pratique les cordes de la guitare sont pincées par l un des doigts du joueur à proximité de la rosace, à une distance l du sillet du chevalet, comme l illustre la figure ci-dessous. Le joueur doit alors exercer une force F j pour déplacer la corde d une distance d<< l. On suppose que la tension T o reste inchangée. Question 7. Calculer la force F j, en newton, que doit exercer un joueur de guitare classique sur une corde de mi aigu (E4) s il désire la déplacer de 1 mm, sachant que la corde a un tirant égal à 30 et que le joueur la pince au niveau du centre de la rosace. La réponse à cette question nécessite de l initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche, à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées tout autant que le résultat final. 3

Le joueur lâche la corde sans vitesse initiale dans les conditions de la question précédente. Les figures présentées ci-dessous sont une simulation numérique de la forme de la corde à différents instants répartis de manière régulière, le tout sur une demi-période d oscillation. L abscisse est la grandeur adimensionnée x/l et l ordonnée est exprimée en cm. Question 8. Expliquer sans calculs comment cette simulation peut être être réalisée à partir de l étude des modes propres. D après les figures, le mouvement de la corde traduit-il la propagation d une onde progressive? stationnaire? Justifier. 4

En réalité, à cause de l élasticité du matériau constituant une corde, il faut prendre en compte sa raideur. Il nous faut donc affiner le modèle adopté jusqu à présent. On considère toujours que les mouvements de la corde sont transversaux, et contenus dans le plan vertical xoy. La théorie de l élasticité montre que la tension T ( x, n est plus tangente à la corde et que pour permettre la courbure de la corde, il faut prendre en compte un couple de moment dont l expression est donnée par : r ( x, 4 4 y E x Où r désigne le rayon de la corde, E (appelé «module d Young»), traduit les propriétés d élasticité du matériau constituant la corde et s exprime en Pascal. La portion de corde comprise entre les abscisses x et x + dx est donc soumise aux forces de tension et aux couples : T g ( x, To ux Ty ( x, u y ( x, uz en x T d ( x, To ux Ty ( x dx, u y ( x dx, u z en x+dx On s intéresse à un élément infinitésimal de corde situé entre les abscisses x et x+dx. On appelle A l extrémité située en x, B l extrémité de la corde située en x+dx, G le barycentre de cet élément de corde. Question 9. Donner les expressions des vecteurs GA et GB dans le référentiel barycentrique de y repère (G, u x, u y, u z ) en fonction de dx et. x Question 10. En appliquant le théorème du moment cinétique barycentrique par rapport à l axe (Gz) à un élément de corde situé entre les abscisses x et x+dx, établir une équation faisant y intervenir, et Ty ( x, t ). On fera l approximation que le moment d inertie de l élément x x de corde par rapport à (Gz) est nul. y T y Question 11. Rappeler la relation qui existe entre et établie à la question. En déduire t x l équation de propagation suivante : y T t o y r x 4 4 4 y E 0 4 x 5

On s intéresse à l influence de la raideur sur les fréquences propres de la corde. On se place donc dans un mode propre de vibration et on suppose que y( x, yo coskxcos t. La corde est toujours fixée à ses deux extrémités. Question 1. Déterminer la relation de dispersion ω(k) d un tel mode. Question 13. Montrer que les modes propres de la corde s écrivent sous la forme : nc f n 1 Bn, où B est une constante à déterminer. L Question 14. Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de f n avec et sans raideur de la corde. Commenter. Question 15. Calculer le rang n du mode dont la fréquence f n est plus élevée d un demi-ton que celle de la corde idéale déterminée à la question 4 et dans le cas de la corde de Mi aigu (E4). *** Fin du problème I 6

A 016 - PHYSIQUE I PSI CONCOURS COMMUN MINES PONTS École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP). CONCOURS 016 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé. Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international). Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - PSI L énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

Le Millennium Bridge Le Millennium Bridge Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle a été construite au dessus de la Tamise à Londres pour un coût total de plus de 0 millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on remarqua très vite qu elle se balançait latéralement et verticalement en cas de forte affluence. Avec un grand nombre de piétons, son mouvement oblique était tel que la plupart d entre eux s arrêtaient et s accrochaient aux rampes. Des images et des vidéos ont montré que ces mouvements latéraux pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm et qu ils se produisaient avec des fréquences de l ordre du hertz. Le pont fut donc fermé deux jours après son ouverture au public. Dixhuit mois de recherches furent nécessaire pour résoudre le problème et faire les modifications préconisées par les ingénieurs qui furent donc finalement consultés. L objectif de ce problème est la modélisation de plus en plus fine d une passerelle piétonne et la compréhension de certains problèmes posés par le Millennium Bridge de Londres. Les vecteurs sont surmontés d un chapeau s ils sont unitaires û x ou d une flèche dans le cas général v. A l exception de i tel que i = 1, les grandeurs complexes sont soulignées : z C. Un point sur une grandeur indique la dérivée par rapport au temps de cette grandeur : ẋ = dx dt. I. Oscillateur simple Un oscillateur est constitué d une masse m dont le centre d inertie G est repéré par la position x dans le référentiel galiléen (O, û x ) voir figure 1. L origine O se situe au niveau du sol. L oscillateur est relié à un support fixe par l intermédiaire d un ressort linéaire de raideur k et de longueur à vide l 0 ainsi que d un amortisseur linéaire de viscosité α, exerçant sur m une force de frottement F f = αẋû x, avec α > 0. À tout instant t, on assimile la distance OG à la longueur l( du ressort. L ensemble est soumis à l accélération de la pesanteur g = g û x avec g = 9,81 m s. Fig. 1 Oscillateur 1 En appliquant la relation fondamentale de la dynamique établir l équation différentielle Ẍ + ξω 0 Ẋ + ω0x = 0 dans laquelle on a introduit la fonction X ( = x ( x où x est une constante que l on déterminera en fonction de g, ω 0 et l 0. On précisera les expressions et significations de ω 0 et ξ. Dans le régime libre, le système est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles X(0) = X 0 0 et Ẋ (0) = V 0 0. Déterminer les solutions du régime libre (en fonction de ω 0, ξ, X 0, V 0 et pour les cas ξ = 0 et 0 < ξ < 1 et préciser leur comportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le système une force proportionnelle au vecteur vitesse que l on écrit F v = βẋû x, avec β > 0. Quelle peut-être la conséquence de ce phénomène? Différents cas peuvent être examinés pour l excitation (ou forçage) F ( de l oscillateur étudié lors des deux premières questions. Nous nous placerons dans l optique d une passerelle piétonne. Page /7

Physique I, année 016 filière PSI L action de la marche d un piéton est caractérisée par un contact continu sur la surface du sol puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendrée comprend une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie. Charge par pied 1,5 1,0 [unités arbitraires] 0,5 Pied droit Pied gauche Charge combinée,0 1,0 [unités arbitraires] 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1,8 Temps [seconde] 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1,8 Charge Figure Forçage d une passerelle par la marche d un piéton. Dans le cadre d un modèle simplifié, nous représenterons cette force, appelée charge, par un vecteur périodique F ( = F 0 + F 1 cos (πf. Le vecteur F 0 correspond à la force statique, c est-à-dire au poids du piéton, la fréquence f correspond à celle d une marche normale. Nous considérerons que F 1 = 0,4 F 0. Ces deux vecteurs seront supposés constants et orientés comme û x. On note F 0 = F 0 le module de la force statique, Y = X + F 0 la réponse en déplacement de l oscillateur et Y = Y m e iωt sa représentation complexe. 3 Que devient l équation de l oscillateur en Y sous le forçage piéton? Déterminer la fonction de transfert H(ω), rapport de la représentation complexe de la réponse en déplacement Y sur la représentation complexe de l excitation E= 1 m F 1. On exprimera H= Y /E en fonction de ξ, ω 0 et Ω = ω ω 0. 4 Sous quelle condition portant sur ξ, un phénomène de résonance peut-il se produire? Pour quelle pulsation ω r obtient-on alors ce phénomène? Exprimer le gain en amplitude à la résonance H (ω r ) dans la limite ξ 1. 5 En se plaçant dans l hypothèse ξ 1 et à partir d une analyse de la courbe 1 de la figure 3, déterminer un ordre de grandeur de ξ ainsi que la valeur de la pulsation propre ω 0 de l oscillateur modélisant le Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseurs harmoniques. 6 Pourquoi est-il important de déterminer les fréquences de résonance d une structure soumise à une action périodique? Afin d étudier précisément les propriétés du forçage que constitue la marche d un piéton, on réalise l acquisition en laboratoire du signal correspondant à cette sollicitation. 7 Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d utiliser pour obtenir un signal électrique issu de la marche d un piéton? mω 0 Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Le Millennium Bridge Etage d amortissement harmonique 10 5 3 5 7 9 11 13 15 17 19 [db] j0 jj Courbe avec amortisseur harmonique 0-5 Courbe 1 sans amortisseur harmonique [rad.s-1] 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Figure 3 Schéma et réponse d un amortisseur harmonique appliqué au modèle du Millennium Bridge. L acquisition est effectuée sur des durées allant de quelques secondes à quelques minutes. Les signaux ainsi obtenus sont similaires mais pas parfaitement identiques. Chacun de ces signaux présente les caractéristiques essentielles du signal de la charge combinée représentée sur la figure. On calcule alors le spectre de ces signaux en les échantillonnant en N = 300 points équidistants sur un intervalle [t min,t max ]. Les différents spectres obtenus sont rassemblés sur la figure 4. 8 Analyser et interpréter aussi précisément que possible ces différents spectres. Sont-ils tous exploitables? Lequel vous paraît le plus pertinent? En déduire la (ou les) fréquence(s) caractéristique(s) de la marche étudiée. Etait-ce qualitativement prévisible? 10 0 1 = 300 ; min = 1,0 s ; max = 180,0 s = 300 ; min = 1,0 s ; max = 7,0 s 10 - [Hz] 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 10 0 = 300 ; min = 1,0 s ; max = 90,0 s 3 4 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 [Hz] = 300 ; min = 1,0 s ; max = 10,0 s 10 - [Hz] 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 [Hz] 0 4 6 8 10 1 14 Figure 4 Spectres des signaux correspondants à la marche d un piéton 9 À partir d une exploitation des données fournies dans le sujet, expliquer l origine du problème concernant le Millennium Bridge et justifier que l installation d amortisseurs harmoniques ait pu le résoudre. FIN DE LA PARTIE I Page 4/7

Physique I, année 016 filière PSI II. Système élastique continu Les systèmes réels sont rarement discrets. Ainsi la poutre de structure d une passerelle est déformable en tout point. Nous sommes donc en présence d un problème de dynamique des milieux continus mais d un point de vue pratique l étude des systèmes continus se ramène finalement à celle liée aux systèmes discrets : c est la discrétisation des systèmes continus. On négligera dans la suite du problème l action de la pesanteur. On considère un solide homogène, de masse volumique ρ constante, qui a la forme d un cylindre de section S et d axe (O,û x ) horizontal, le long duquel on étudie les petits mouvements de déformation. Dans le domaine d élasticité du matériau, la norme F de la force de traction permettant à un solide de longueur L de s allonger de L est donnée par la loi de Hooke : F = ES L où E est L une constante appelée module d Young du matériau. 10 Quelle est l unité d un module d Young? On motivera sa réponse pour laquelle on utilisera une seule unité du système international. 11 On note X(x, le déplacement par rapport à la position de repos d une section plane d abscisse x. Calculer la variation relative de longueur d une tranche élémentaire du cylindre de longueur au repos dx et en déduire la force de traction F (x, = F (x,û x exercée par la partie droite (du côté des x croissants) sur la partie gauche (du côté des x décroissants) en fonction de E, S et X. Écrire l équation du mouvement de la tranche de longueur dx et en x déduire l équation aux dérivées partielles vérifiée par X(x,. Afin de prendre en compte le mouvement transverse de la passerelle on introduit un axe vertical dirigé selon le vecteur unitaire û y et on adopte le modèle de la corde. Dans ce modèle bidimensionnel, la passerelle est représentée à l instant t par une ligne d équation y (x, de masse linéique µ uniforme. En un point M (x,y) de la passerelle, on définit ( +, ) le vecteur unitaire tangent û τ à la passerelle tel ( + ) que û τ (x, = cos [α (x,] û x + sin [α (x,] û y. Les déplacements sont contenus dans un plan vertical et sont de faible amplitude. On suppose donc (, ) ( ) qu à chaque instant α (x, y(x, 1. Sous (, ) x b ces hypothèses, la longueur de la corde ne varie + pas et chaque tronçon infinitésimal de la passerelle n est déplacé que selon la verticale. En chaque b Figure 5 Tronçon de corde élastique point M (x,y) de la passerelle règne à chaque instant t une tension T (x, portée par û τ. Un tronçon de corde est représenté sur la figure 5. 1 En appliquant un théorème de mécanique à un tronçon de corde infinitésimal de longueur dl = dx + dy, montrer que, sous les hypothèses effectuées, le module de la tension de la corde est indépendant de x. On le notera T 0. 13 Montrer alors que l on peut écrire y t T 0 et µ. = c l FIN DE LA PARTIE II y x où l on exprimera c l en fonction de Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Le Millennium Bridge III. Modèle de la poutre élancée Dans un modèle couramment utilisé, on peut assimiler une passerelle à une poutre homogène de section rectangulaire de largeur b selon (O,û z ) et de hauteur h selon (O,û y ). Pour des contraintes modérées, induisant un déplacement vertical petit devant les dimensions transversales de la poutre, c est-à-dire y(x) très petit devant h ou b, on peut alors se placer dans une extension du modèle de la corde. On considère une passerelle de section S, de masse volumique ρ, de module d Young E et dont le moment quadratique de la section droite par rapport à l axe (O,û z ) est I = 1 1 bh3. L écriture des contraintes conduit alors à une équation aux dérivées partielles de la forme ρs y t + IE 4 y x 4 = 0 14 On cherche des solutions sous la forme y (x, = f (x) g (. De quel type d onde s agit-il? Sous quelles hypothèses de telles ondes apparaissent-elles dans ce genre de structure? 15 Déterminer les équations différentielles vérifiées par f (x) et g (. En déduire que g ( est une fonction périodique de pulsation ω constante. Combien de constantes d intégrations sont nécessaires à la détermination complète de la solution y (x, correspondant à la situation étudiée? 16 Justifier précisément que l on puisse écrire f(x) = A cos (βx) + B sin (βx) + C ch (βx) + D sh (βx) où A,B,C et D sont des constantes d intégration, on précisera l expression de β en fonction des données du problème. On se place dans l hypothèse d une passerelle de longueur L en appui simple à ses extrémités, les conditions aux limites s écrivent y x=0,t = y x=l,t = 0 et y x = y x=0,t x = 0. x=l,t 17 Déterminer les pulsations propres ω n de vibration transversale d une poutre en appui simple en fonction de L, E, I, ρ, S et d un entier n caractérisant le mode. 18 Différents modes de vibrations d une passerelle ont été représentés sur la figure 6, quels sont ceux correspondants à l étude proposée dans cette section? Identifier de façon argumentée pour chacun de ces modes, l entier n le caractérisant. La passerelle du Millennium Bridge est globalement une poutre en aluminium de 3 m de longueur, d épaisseur h = 1,07 m (4 pouces) et de largeur b = 4 m (158 pouces). Elle repose sur 4 appuis en créant 3 travées solidaires de L 1 = 70 m, L = 144 m et L 3 = 108 m. On donne la masse volumique de l aluminium ρ = 700 kg m 3 et son module d Young E = 69 10 9 SI. 19 Dans le cadre du modèle de la poutre sur appui simple, existe-t-il des modes de vibration transversale du Millennium Bridge susceptibles d entrer en résonance avec un forçage par des piétons? Discuter également de la possibilité d une excitation résonante de certains modes de vibration latérale, c est-à-dire dans le sens de la largeur b. On motivera ses réponses par une argumentation précise. Page 6/7

Physique I, année 016 filière PSI Mode a Mode b Mode c Mode d Mode e Mode f Mode g Mode h Figure 6 Différents modes de vibration d une passerelle en appui libre aux deux extrémités FIN DE LA PARTIE III FIN DE L ÉPREUVE Page 7/7