Module 3: Corrigé des Cas Pratiques Exercices Intérêts Composés Exercice 1 : Calculer la valeur acquise par un capital de 6 750 placé à intérêts composés durant 13 années entières au taux de 2,8% annuel Exercice 2 : n 13 C = C 1+i = 6 750 1+0,028 = 9 665,28 Calculer la valeur actuelle d un capital de 11 365,70 placé à intérêts composés durant 8 années entières (taux d actualisation annuel : 4,1%) Exercice 3 : n 8 C = C 1+i = 11365,70 1 0,041 = 8 241,20 0 n Calculer l intérêt acquis par un capital de 125 000 placé pendant 6ans et 4 mois à intérêts composés au taux d'intérêt annuel de 1,5%. Calculons tout d abord la valeur acquise par le capital : 4 n 6 12 C = C 1+i = 125 000 1 0,015 = 137 360,42 L intérêt est obtenu par différence entre valeur acquise et valeur initiale : I = C - C = 137 360,42-125 000 = 12 360,42 n Exercice 4 : En combien de temps un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 7% quintuple-t-il? n n C = C. 1+i 5 = 1 0,07 5 = 1,07 Cette équation est résolue grâce aux logarithmes : ln 5 = ln 1,07 n Page 1 sur 7 ln 5 n = 23,78761546 ln 1,07 Un capital quintuple au bout de 23,78761546 années. Soit : 23 ans, 9 mois et 14 jours. n
Exercice 5 : Un capital de 20 000 000 placé à intérêts composés pendant 9 années entières a acquis la valeur de 31 026 564,32. A quel taux d intérêt annuel était-il placé? i i C = C. 1+i 31 026 564,32= 20 000 000 1 1,551328216 = 1 n 9 9 Cette équation est résolue grâce à la racine neuvième : 9 i = 1,551328216-1 = 0,05 Le taux recherché est de 5% Exercice 6 : Soit un taux annuel de 3,00%. Calculer le taux, bimestriel, trimestriel et semestriel proportionnels i = = 0,0025 0,25% 12 i = = 0,005 0,5% bimestriel 6 i = = 0,0075 = 0,75% trimestriel 4 i = = 0,015 = 1,5% semestriel 2 Calculer le taux, bimestriel, trimestriel et semestriel équivalents 1 12 12 i = 1,03-1 = 1,03-1 0,00246627 0,246627% 1 6 6 i = 1,03-1 = 1,03-1 0,004938622 0,4938622% bimestriel 1 4 4 i = 1,03-1 = 1,03-1 0,007417072 0,7417072% trimestriel semestriel 1 2 i = 1,03-1 = 1,03-1 0,014889157 1,4889157% Page 2 sur 7
Exercice 7 : Soit un taux de 1,5 %. Calculer le taux annuel équivalent et le taux annuel proportionnel. L énoncé nous fournit : i = 0,015 le taux annuel équivalent est : 12 12 i = 1 + 0,015-1 = 1,015-1 = 0,195618171 19,5618171% le taux annuel proportionnel est : i' = 0,015 12 = 0,18 = 18,00% Exercice 8 : Soit T, le taux d'intérêt trimestriel de 2,4% : i = T = 0,024 trimestriel Calculer le taux annuel équivalent à T et le taux annuel proportionnel à T le taux annuel équivalent est : 4 4 i = 1 + T - 1 = 1,024-1 = 0,099511628 = 9,9511628% le taux annuel proportionnel est : i' = 0,024 4 = 0,096 = 9,60% Calculer le taux équivalent à T et le taux proportionnel à T le taux équivalent est : 1 3 3 i = 1,024 1= 1,024 1 0,00793684 0,793684% le taux proportionnel est : 0,024 i = = 0,008 = 0,8% 3 Page 3 sur 7
Exercice 9 : Deux capitaux dont la somme s'élève à 82 000 sont placés dans les conditions suivantes : - Le premier (C1) est placé à intérêts simples pendant 120 jours au taux d'intérêt annuel de 6%. Il rapporte un intérêt I1. - Le second (C2) est placé à intérêts composés pendant 2 ans au taux d'intérêt annuel de 5%. Il rapporte un intérêt I2 A la fin des périodes respectives de placement, la différence entre les intérêts (I1 moins I2) rapportés s élève à 415. Déterminer la valeur de C1 et C2. Nous devons mettre en place un système de deux équations à deux inconnues (C1 et C2); La somme s'élève à 82 000 : C1 + C2 = 82 000 Le premier (C1) est placé à intérêts simples pendant 120 jours au taux d'intérêt annuel de 6%. Il rapporte un intérêt I1. C t n C1 0,06 120 I1 = = = 0,02 C1 360 360 Le second (C2) est placé à intérêts composés pendant 2 ans au taux d'intérêt annuel de 5%. Il rapporte un intérêt I2. 2 2 La valeur acquise par C 2 est : C2. 1 + 0,05 = C2 1,05 = 1,1025 C2 Donc l'intérêt I2 est : I2 = 1,1025 C2 - C2 = C2 (1,1025-1 ) = 0,1025 C2 A la fin des périodes respectives de placement, la différence entre les intérêts (I1 moins I2) rapportés s élève à 415. Ce qui nous permet d écrire : I1 - I2 = 0,02 C1-0,1025 C2 = 415 On peut donc formaliser le système : C1 + C2 = 82 000 0,02 C1-0,1025 C2 = 415 Résoudre ce système de deux équations à deux inconnues ne pose aucun problème particulier. On utilise la méthode de son choix. Page 4 sur 7
On peut par exemple, utiliser la méthode de substitution. L'équation (1) nous permet d'écrire : C2 = 82 000 - C1 Portons la valeur de C2 dans l'équation (2) : 0,02C1-0,1025 82 000 - C1 = 415 C'est une équation du premier degré qui, une fois résolue nous donne la valeur de C1 : 72000 La valeur C2 est obtenue par soustraction : C2 = 82000-72000 = 10000 C1 = 72 000 et C2 = 10 000 Page 5 sur 7
Exercice 10 : Un capital de 10 000 est placé à intérêts composés durant deux années entières sur un compte rémunéré au taux d intérêt annuel i. A l issue de ces deux années de placement, on verse sur ce même compte une somme supplémentaire de 2 900. Le nouveau capital obtenu est maintenant placé durant deux années entières au même taux i. A l issue de cette nouvelle période de placement, la valeur acquise finale s élève à 18150. Déterminer la valeur de i. A l'issue de la première période, la valeur acquise est : 10 0001+i 2 On verse sur ce même compte une somme supplémentaire de 2900, le nouveau capital obtenu est : 2 10 000 1+i +2 900 Cette somme est placée deux années entières au même taux i : 10 0001+i +2 9001+i 10 0001+i +2 9001+i 2 4 2 A l issue de cette nouvelle période de placement, la valeur acquise finale s élève à 18150. 4 2 10 0001+i +2 9001+i = 18 150 4 2 On obtient donc l'équation finale : 10 0001+i +2 9001+i - 18 150 = 0 Si nous posons le changement de variable suivant : 1+i 2 = x, nous nous trouvons devant la résolution d'une équation du deuxième degré en x : 2 10 000 x + 2 900 x - 18 150 = 0 Le discriminantδ vaut : 2 2 Δ = 2 900-4 10 000-18 150 = 734 410 000 = 27 100 Le discriminant Δ est positif, l'équation en X admet deux solutions réelles distinctes : -2 900-73 441 000-2 900-27 100 x 1= = = - 1,5 2 (10 000) 20 000-2 900 + 73 441 000-2 900 + 27 100 x 2= = = 1,21 2 (10 000) 20 000 Page 6 sur 7
La première solution étant négative, elle n'est pas acceptable. La solution unique est donc : x 2 = 1,21 On obtient donc : 1+i 2 = 1,21 i = 1,21-1 = 1,1-1 = 0,1 = 10% Il est facile de vérifier que ce placement a été réalisé avec un taux d'intérêt annuel de 10 %. Page 7 sur 7