Le théorème de Pythagore.

Fiche n 1 : Le théorème de Pythagore. I- Calculer une longueur. Énoncé : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Application 1 : C 3 cm A 4 cm Application : 7 cm 58 mm B Calculer BC : ABC est un triangle rectangle en A, r, d après le théorème de Pythagore, on a: BC² = AB² + AC² BC² = 3² + 4² BC² = 9 + 16 BC² = 5 BC = BC = 5 cm Le segment [BC] mesure 5 cm. Le triangle MPR est rectangle en M. n donne : PR = 7 cm et MR = 58 mm. Calculer PM. Arrondir au millimètre. Le triangle PMR est rectangle en M. D après le théorème de Pythagore, on a : PR = PM + MR 7 = PM + 5,8 49 = PM + 33,64 PM = 49 33,64 PM = 15,36 PM = PM 3,9 cm La longueur PM est environ égale à 3,9 cm. II- Triangle rectangle? Cas n 1 : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés, alors ce triangle est rectangle. AUTRE FRMULATIN : Si un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC², alors il est rectangle en A. Application. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [BC]. A Calculons : D une part : AB² + AC² = 5² + 1² = 5 + 144 = 169 5 cm 1 cm D autre part : BC² = 13² = 169 n constate que AB² + AC² = BC². Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. C 13 cm B Cas n : Si le carré du plus grand côté d un triangle n est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n est pas rectangle. Application : Le triangle DEF tel que DE = 5 cm ; DF = 4 cm et EF = 10,5 cm, est-il rectangle? Justifier. Le côté le plus long du triangle DEF est [EF] (car 5 8,7 et 4 5,7) Calculons : EF = 10,5 = 110,5 DE + DF = (5 ) + (4 ) = 5 ( ) + 4 ( ) = 5 3 + 16 = 75 + 3 = 107 n constate que EF DE + DF. Donc, d après le théorème de Pythagore, le triangle DEF n est pas rectangle.

Fiche n : Puissances. Définition : a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul. a n désigne le produit de n facteurs égaux à a : a n = a a a n facteurs Attention : Ne pas confondre!!! ( 5) 4 = ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = + 65 5 4 = 5 5 5 5 = 65 Définition : a désigne un nombre relatif non nul. n désigne un entier non nul. a -n désigne l inverse de a n : a -n = Exemple : -3 est l inverse de 3 donc -3 = Formules : a et b désignent deux nombres relatifs non nuls. n et p désignent deux nombres entiers relatifs. a n a p = a n+p = a n-p (a n ) p = a n p (ab) n = a n b n 10 4 10-7 = 10 4+(-7) = 10-3 = 10 0-5 = 10-5 = 10 5-(-9) = 10 5+9 = 10 14 (10 6 ) -8 = 10 6 (-8) = 10-48 [(-8) 4] 5 = (-8) 5 4 5 n dit qu un nombre est en notation scientifique (ou écriture scientifique) lorsqu il est écrit sous la forme «a 10 n» où 1 a < 10 et n est un nombre entier positif ou négatif. 10 000 000 000 = 1, 10 11 0,000 000 000 00 1 =,1 10-1 1 000 000 = 1 10 6 0,000 145 10 13 = 1,45 10-4 10 13 = 1,45 10 9 1 10-5 9 10 9 = 1 9 10-5 10 9 = 108 10 4 = 1,08 10 10 4 = 1,08 10 6 810 Application1 : Écrire A en notation scientifique A = 0,510 10 A = 0,510 44 4 610 110 44 17 44 17 7 8 610 8 610 10 4810 7( 9) 18 17 1610 1610 1,6 10 4 13 4 13 9 110 0,5110 10 310 7 910 810 Application : Écrire B sous forme décimale B = 1810 7 8 7 8 1 910 810 9810 10 710 1 3 B = 410 410 0, 004 1810 1810 1810 8 110 0,1410 Application 3 : Écrire C sous forme fractionnaire simplifiée C = 18 1810 8 17 13. 1 C = 8 1 8 1 0 110 0,1410 1 0,1410 10,9410,94,94 10 100 18 18 18 1810 1810 1810 18 18 94 18 49 6 36 49 3

Fiche n 3 : I- Calculer une longueur. Application 1 : Sur la figure ci-dessous, (CF) et (DE) sont parallèles (les longueurs sont en centimètres). Les droites (CD) et (EF) sont sécantes en B. Calculer les longueurs BD et EF. Donner la valeur exacte puis l arrondi au dixième de cm. D Le théorème de Thalès. Application : Les points X, C, A sont alignés ainsi que les points P, C, B. Les droites (PX) et (AB) sont parallèles. n donne : CX = 4 cm ; CA = 6 cm ; CB = 7,5 cm et PX = 54 mm. Calculer CP et AB. E Réponse : D une part les points B, C, D et d autre part les points B, F, E sont alignés et les droites (CF) et (DE) sont parallèles. r, d après le théorème de Thalès, on a : soit Donc : BD = = 9,3 [BD] mesure cm. Valeur exacte 7 Valeur arrondie à 10-1 près BE = = 10,5 EF = BE BF = 10,5 4,5 = 6 Le segment [BD] mesure 6 cm. 3, F I- Droites parallèles? n donne (en cm) : AN = 11 ; AC = 17 ; AM = 10 et AB = 15. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. C 4,5 4 B Réponse : D une part les points X, C, A et d autre part les points P, C, B sont alignés. Les droites (PX) et (AB) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : soit Donc CP = = 5 cm et AB = = 8,1 cm n donne : AM = cm ; AB = 6 cm ; AN = 1,6 cm et AC = 4,8 cm. Montrer que (MN) et (BC) sont parallèles. Réponse : Les points A, N, C sont alignés. Les points A, M, B sont alignés. n calcule : 0,67 ET 0,65 n constate que. Donc, d après le théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Réponse : n calcule : = ET n constate que =. De plus, les points M, A, B d une part et les points N, A, C d autre part sont alignés dans le même ordre. Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Fiche n 4 : Arithmétique. Définition : Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux entiers. Application : déterminer le PGCD des nombres 48 et 7. Liste des diviseurs de 48 : 1,, 3, 4, 6, 8, 1, 0, 4 et 48. Liste des diviseurs de 7 : 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 18, 4, 36 et 7. Donc PGCD(48 ;7) = 4. Méthode 1 : L algorithme d Euclide (mathématicien de la Grèce antique). Exemple : Calculer PGCD(1053 ; 35) n peut présenter ces résultats sous forme d un tableau (le tableau n est pas obligatoire) : n utilise l algorithme d Euclide : a b reste 1 053 35 78 1053 = 3 35 + 78 35 78 13 35 = 4 78 + 13 78 13 0 78 = 6 13 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD(1053 ; 35) = 13. Méthode : Soustractions successives. Déterminons PGCD(5,360) : 360 5 = 108 5 108 = 144 144 108 = 36 108 36 = 7 7 36 = 36 36 36 = 0 La différence est nulle, on arrête. Donc, PGCD(5 ; 360) = 36 (c est la dernière différence non nulle) Propriété : n dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Définition : n dit qu une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Fractions : 5 5 14 9 7 3 3 3 3 3 3 9 4 7 : 3 9 4 3 7 9 4 4 1 189 84 16 84 173 84 Un problème : En France métropolitaine, les terres agricoles représentent les du territoire. Les du reste, soit 147 000 km, sont occupés par les bois et forêts. Calculer la superficie de la France métropolitaine. Réponse : = = de la superficie de la France métropolitaine représente 147 000 km. de la superficie de la France métropolitaine représente 147 000 : 4 = 36 750 km. 15 36 750 = 551 50 La superficie de la France métropolitaine est de 551 50 km.

Fiche n 5 : Géométrie dans l espace. Formules à connaître par cœur : Pavé droit :...L l h Cube :...a 3 Prisme :...B h Cylindre :...base hauteur = R h Sphère, boule :...Volume :... 4 3 R3 Aire :...4 R Pyramide :... 1 3 B h ù B est l aire de la base et h la hauteur Cône :... 1 3 base h = 1 3 R h Patron d une pyramide : Calculer un volume : Énoncé : La pyramide SABCD ci-contre a pour base le rectangle ABCD et pour hauteur le segment [SA]. n donne (en cm) : AB = 8, et SA = 4 et AD =. Calculer le volume de la pyramide SABCD. Donner la valeur arrondie à l unité. Réponse : La formule du volume d une pyramide est : V = V = soit V 5 Le volume de la pyramide est environ égal à 5 cm 3.

Fiche n 6 : Agrandissements et réductions. Propriété 1 : Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k, les volumes sont multipliés par k 3. Propriété : Si k > 1 alors il s agit d un agrandissement. Si 0 < k < 1 alors il s agit d une réduction. Les réciproques sont vraies. APPLICATIN 1 : Pour la pyramide SABCD ci-contre : La base est le rectangle ABCD de centre. AB = 3 cm et BD = 5 cm. La hauteur [S] mesure 6 cm. 1) Montrer que AD = 4 cm. Le triangle ABD est rectangle en A. r, d après le théorème de Pythagore, on a : BD = AB + AD 5 = 3 + AD AD = 5 3 AD = 5 9 AD = 16 r, AD > 0 donc AD = ) Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm 3. V(SABCD) = 4 cm 3 3) Soit ' le milieu de [S].n coupe la pyramide par un plan passant par ' et parallèle à sa base. a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue? ABCD étant un rectangle, la section A B C D est aussi un rectangle. b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction. k = = 0,5 V(SA'B'C'D') = V(SABCD) 0,5 3 = 0,15 4 = 3 cm 3. APPLICATIN : n considère le cône de révolution de sommet S et de base le disque de centre et de rayon A. n donne (en centimètres) : S = 8 ; SA = 10 et SI = 4. 1) Montrer que A = 6 cm. ) Calculer le volume V du cône. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. 3) n coupe le cône par un plan passant par I et parallèle à sa base. n obtient ainsi un petit cône, réduction du grand cône. a) Quelle est la nature de la section obtenue? b) Calculer le rapport de cette réduction. c) En déduire le volume V du petit cône. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. Réponses : 1) Le triangle SA est rectangle en. D après le théorème de Pythagore, on a : SA = S + A 10 = 8 + A 100 = 64 + A A = 100 64 = 36 A est une longueur donc A = = 6 cm. ) Volume du cône : V= = 96π cm 3. Valeur exacte : 96π cm 3. Valeur arrondie au dixième : 301,6 cm 3. 3) a) la section obtenue est le disque de centre I. b) k = = 0,5 Le rapport de réduction est de 0,5. c) Dans une réduction les volumes sont multipliés par k 3. Volume du petit cône : V = V k 3 = 96π 0,5 3 = 1π cm 3. Valeur exacte : 1π cm 3. Valeur arrondie au dixième : 37,7 cm 3.

Fiche n 7 : Calcul littéral. Développer un produit, c est l écrire sous la forme d une somme (ou d une différence). a, b et k désignent 3 nombres relatifs. k(a + b) = ka + kb k(a b) = ka kb a, b, c et d désignent 4 nombres relatifs. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd A = 4(x 5) A = -8x + 0 C = 3(7 + x)(5x 8) C = -3(35x 56 + 10x 16x) C = -3(10x + 19x 56) C = -30x 57x + 178 B = (7x 5)(x 8) B = 14x 56x 10x + 40 B = 14x 66x + 40 D = (9x 3)( 7x 5) D = -63x 45x + 1x + 15 D = -63x 4x + 15 Les 3 identités remarquables, sont : (a + b)² = a² + ab + b² (a b)² = a² ab + b² (a b)(a + b) = a² b² A = (3x + 7) A = (3x) + 3x 7 + 7 A = 9x + 4x + 49 B = (8x 1) B = (8x) 8x 1 + 1 B = 64x 19x + 144 C = (4x 15)(4x + 15) C = (4x) 15 C = 16x 5 D = 101 D = (100 + 1) D = 100 + 100 1 + 1 D = 10 000 + 00 + 1 D = 10 01 G = (7x 3) (3x 1)(x ) G = (7x) 7x 3 + 3 (6x 6x x + ) G = 49x 4x + 9 (6x 8x + ) G = 49x 4x + 9 6x + 8x G = 43x 34x + 7 E = 93 307 E = (300 7)(300 + 7) E = 300 7 E = 90 000 49 E = 89 951 F = 97 F = (100 3) F = 100 100 3 +3 F = 10 000 600 + 9 F = 9 409 Factoriser une somme (ou une différence), c est l écrire sous la forme d un produit. A = 6x 18 A = 6 x 6 3 A = 6(x 3) B = 15 6x B = 5 3 3 x B = 3(5 x) C = x 8x C = x x 8 x C = x(x 8) D = 4x 10x D = x x x 5 D = x(x 5) E = (x 3) + (x 3)(x + 1) E = (x 3)(x 3) + (x 3)(x + 1) E = (x 3)[(x 3) + (x + 1)] E = (x 3)(x 3 + x + 1) E = (x 3)(3x ) A = x + 6x + 9 A = x + x 3 + 3 A = (x + 3) D = 4x 5 D = (x) 5 D = (x 5)(x + 5) B = 36x 96x + 64 B = (6x) (6x) 8 + 8 B = (6x 8) E = 5 (x + 4) E = 5 (x + 4) E = [5 (x + 4)][5 + (x + 4)] E = (5 x 4)(5 + x + 4) E = ( x + 1)(x + 9) F = (5 x)(x + ) 3(5 x) F = (5 x)[(x + ) 3(5 x)] F = (5 x)(x + 15 + 3x) F = (5 x)(4x 13) C = 16 + 49x 56x C = 49x 56x + 16 C = (7x) (7x) 4 + 4 C = (7x 4) F = (7x 3) (3x + 7) F = [(7x 3) (3x + 7)][(7x 3) + (3x + 7)] F = (7x 3 3x 7)(7x 3 + 3x + 7) F = (4x 10)(10x + 4)

Fiche n 8 : Trigonométrie. Formules. cos = ( côté adjacent ) ( hypoténuse) sin = (cot é. opposé) ( hypoténuse ) tan = (cot é. opposé) (cot é. adjacent ) Trois moyens mnémotechniques : CA S T SH CAH TA CAH SH TA H H A Soit ABC un triangle rectangle en A. cos = sin = tan = a) Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et = 50. Calculer KJ. Arrondir au dixième. J Dans le triangle IJK rectangle en K, on a : sin = soit = d où KJ = 8 sin50 KJ 6,1 cm K I b) Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Calculer puis. Arrondir au dixième. M N L Dans le triangle LMN rectangle en N, on a : a) tan = donc tan = A l aide de la calculatrice, on obtient: 65,. nd tan ( 6,5 3 ) b) tan = donc tan = A l aide de la calculatrice, on a : 4,8. nd tan ( 3 6,5 ) c) Soit PQ rectangle en tel que P = 5 cm et QP = 7 cm. Calculer. Arrondir au dixième. P Dans le triangle PQ rectangle en Q, on a : sin = donc sin = A l aide de la calculatrice, on a : 45,6. Q nd sin ( 5 7 ) Deux formules : n note x la mesure d un angle en degré. n a : tan x = et (cos x) + (sin x) = 1

Fiche n 9 : Racine carrée. La racine carrée du nombre a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a. Pour un nombre positif a, = a Pour un nombre positif a, = a a et b désignent deux nombres positifs. Attention : et = Les «non-formules» : a + b a + b et a - b a b = 5 et + = 4 + 3 = 7 Application 1 : Ecrire les expressions suivantes sous la forme a b, où a et b sont des entiers et b le plus petit possible : A = 1 + 7 3 7 B = 15 0 + 6 80 A = A = B = B = A = A B = 5 B = B = 5 Application : A = ( 3 4) = B = (3 + 5) = 3 + 3 + = 9 + 6 + 5 = 14 + 6 C = ( 5 + )( 5) = D = (3 + 3)(4 3) = 1 6 + 4 = 1 = 1 3 = 1-6 = 6 - Application 3 : Rendre entier le dénominateur d un quotient. En général, on évite d avoir une racine carrée au dénominateur d une écriture fractionnaire a) b) si A = et B = 5 alors 3 7 = = = 9 = c)

Fiche n 10 : Équations. n ne change pas une égalité lorsqu on ajoute ou on soustrait un même nombre à chacun de ses membres. n ne change pas une égalité lorsqu on multiplie ou on divise par un même nombre non nul chacun de ses membres. Exemple 1 : Résoudre l équation 3x + = -7x + 5 Exemple : Résoudre l équation : 3x + 7x = 5 - x 4 x 1 3 10x = 3 3 1 4 x = 4( x 4) x 1 9 x = 0,3 1 1 1 La solution de l équation est 0,3. Vérification : pour x = 0,3, on a : Membre de gauche : 3 0,3 + = 0,9 + =,9 Membre de droite : -7 0,3 + 5 = -,1 + 5 =,9 Donc l égalité est bien vérifiée. 4( x 4) x 1 9 4x + 16 - x + 1 = 9 3x + 17 = 9 3x = 9-17 3x = -8 8 x = 3 La solution de l équation est 8 3 Une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 est une équation produit nul d inconnue x. Exemple : Résoudre l équation (x + 4)(x 7) = 0 Si un produit est nul alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. x + 4 = 0 ou x 7 = 0 x = - 4 ou x = 7 Les solutions de l équation sont - 4 et 7. Vérification : Pour x = -4, on a : (x + 4)(x 7) = (-4 + 4) (-4 7) = 0 (-11) = 0 L égalité est bien vérifiée pour x = - 4. Pour x = 7, on a : (x + 4)(x 7) = (7 + 4) (7 7) = 11 0 = 0 L égalité est bien vérifiée pour x = 7. a désigne un nombre relatif. Lorsque a < 0, l équation x = a n admet pas de solution. Lorsque a = 0, l équation x = a admet une solution unique 0. Lorsque a > 0, l équation x = a admet deux solutions et - a) Résoudre : x = 108 x = ou x = x = ou x = x = 6 ou x = Les solutions de l équation sont 6 et b) Résoudre : x = 9 Cette équation n admet aucune solution. Le carré d un nombre est toujours positif. Application : n donne A = (4x + 7) (6 x)(4x + 7) 1) Factoriser A. ) a) Résoudre l équation (4x + 7)(6x + 1) = 0 b) Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux? Justifier. Réponse : 1) A = (4x + 7) (6 x)(4x + 7) A= (4x + 7)[(4x + 7) (6 x)] A = (4x + 7)(4x + 7 6 + x) A= (4x + 7)(6x + 1) ) a) L équation (4x + 7)(6x + 1) = 0 est une équation produit nul. Si un produit est nul alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. 4x + 7 = 0 ou 6x + 1 = 0 4x = -7 ou 6x = -1 x = ou x = Les solutions de l équation sont et. b) = -1,75 = Le nombre est un nombre décimal. -0,166 Le nombre n est pas un nombre décimal. C est un nombre rationnel.

Fiche n 11 : Statistiques. Étendue : L étendue d une série statistique est un nombre qui précise la dispersion des données. C est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de la série. Médiane : La médiane d une série de données est un nombre qui partage cette série en deux séries de même effectif. Pour déterminer les médianes, il faut ordonner les séries. Interprétation : Il y a autant de valeurs inferieures ou égales à la médiane que de valeurs supérieures ou égales à la médiane. Quartiles : Pour déterminer les quartiles, il faut ordonner les séries. Le premier quartile est la donnée de la série se trouvant au quart de l effectif. Interprétation : Au moins un quart (soit 5%) des valeurs sont inferieures ou égales au premier quartile Q 1. Le troisième quartile est la donnée de la série se trouvant au trois-quarts de l effectif. Interprétation : Au moins trois-quarts (soit 75%) des valeurs sont inferieures ou égales au troisième quartile Q 3. Les quartiles sont des caractéristiques de dispersion. Ex 1 : Voici les notes obtenues par Laurine : 1 17 11 18 10 8 13 19 rdre croissant : 8-10-11-1-13-17-18-19 Compléter le tableau : Explication pour l étendue : 19 8 = 11 Étendue 11 Moyenne : 13,5 Médiane : 1,5 1er quartile : 10 3ème quartile: 17 Ex 3 : Voici les tailles, en mètres, de 1 personnes : 1,51 1,81 1,75 1,84 1,61 1,71 1,61 1,59 1,49 1,85 1,77 1,73 1,49-1,51-1,59-1,61-1,61-1,71-1,73-1,75-1,77-1,81-1,84-1,85 Compléter le tableau : Explication pour la médiane : Il y a 1 valeurs. La médiane est donc située entre la 6 ème et la 7 ème valeur (1,71 + 1,73) : =1,7 Étendue 0,36 Moyenne : 1,69 Médiane : 1,7 1er quartile : 1,59 3ème quartile: 1,77 Ex 5 : Voici les notes obtenues par une classe de 5 élèves. Note : 1 3 4 5 Effectif : 3 3 3 Note : 6 7 8 9 10 Effectif : 3 4 1 Compléter le tableau : Il y a 5 valeurs, donc la médiane est la note du 13 ème élève soit 5 Étendue 9 Moyenne : 5, Médiane : 5 1er quartile : 3 3ème quartile: 7 Ex 7 : Les gendarmes ont effectué un contrôle de vitesse sur le bord d'une route nationale. vitesse [50;70[ [70;90[ [90;110[ [110;130[ effectif 15 90 35 5 Centre de 60 80 100 10 classe (50+70) :=60 Calculer la vitesse moyenne V m des automobilistes contrôlés. V m = V m 84 km.h -1 Ex : Voici les notes obtenues par Marc : 14 1 11 18 7 7 13. 7-7-11-1-13-14-18 Compléter le tableau : Explication pour le 1 ème quartile : 7 = 1,75 Donc le 1 ème quartile est la ème valeur soit 7. Étendue 11 Moyenne : 11,71 Médiane : 1 1er quartile : 7 3ème quartile: 14 Ex 4 : Voici les notes obtenues par Natacha : 11 8 5 15 18 3 14 15 16 8 8 3-5-8-8-8-11-14-15-15-16-18 Compléter le tableau : Explication pour le 3 ème quartile : 11 = 8,5 Donc le 3 ème quartile est la 9 ème valeur soit 15. Étendue 15 Moyenne : 11 Médiane : 11 1er quartile : 8 3ème quartile: 15 Ex 6 : Il y a deux correcteurs au brevet des collèges: le premier a 11 de moyenne avec 55 candidats et son collègue n'a que 9,5 de moyenne avec 45 candidats. Quelle est la moyenne générale? = 10,35 Ex 8 : n a relevé la nationalité des vainqueurs des 85 premiers Tours de France cyclistes entre 1903 et 1998.Le tableau ci-dessous donne le nombre de victoires par nationalité. Compléter le tableau : France Belgique Italie Espagne Autres Total Nombre de victoires 36 18 9 9 13 85 Fréquence f 0,4 0,1 0,11 0,11 0,15 1 Angle ( ) 15 76 38 38 55 360 Formule pour les fréquences : f =

Fiche n 1 : Classes de 6 ème et 5 ème. Classe de 6 ème : Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est perpendiculaire à l autre. La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Le périmètre d'une figure est la longueur du bord de cette figure. Pour un polygone il faut ajouter les longueurs de tous les côtés. Classe de 5 ème : Médiane d un triangle : Droite passant par un sommet d un triangle et par le milieu du côté opposé. Hauteur d un triangle : Droite passant par un sommet d un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé. Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu. Les trois médiatrices des côtés d un triangle se coupent en un même point. n dit qu elles sont concourantes en ce point. Ce point de concours est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle. Propriété : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment des angles alternes-internes et correspondants de même mesure. Alternes-internes Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors elles sont parallèles. Correspondants Trapèze Parallélogramme Parallélogrammes particuliers Rectangle Losange Carré Les côtés en gras sont parallèles. Pour les quatre parallélogrammes ci-dessus, est le centre de symétrie, les droites en pointillés sont les axes de symétrie et enfin, les côtés opposés sont parallèles. Définition (classe de 4 ème ) : Tangente vient du latin tangere, toucher. En géométrie, la tangente est une droite qui «touche» une courbe en un point sans la couper. La tangente au cercle ( C ) en A est perpendiculaire au rayon [A].

Fiche n 13 : Classe de 4 ème. 1) Droite des milieux. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle. Si, dans un triangle, un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Si une droite passe par le milieu d un des cotés d un triangle et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté de ce triangle. ) Triangle rectangle et cercle circonscrit. Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. 3) Cercle inscrit. La bissectrice d un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles de même mesure. Le point de concours des 3 bissectrices des angles d un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle. M A P L 4) Aire (6 ème,5 ème et 4 ème ) à connaître. b h Triangle : Quadrilatères : Rectangle :...Ll B K C Carré :... a Parallélogramme :...bh Losange :... D d Disques : Trapèze :... (B + b) h Périmètre :...R Aire :... R 5) Vitesse moyenne. Vitesse moyenne (en km/h) = ou v = Remarque : km/h se note également km.h -1 m/s Trois exercices : Convertir : Marie est partie de chez elle à 10h10 et a) 180 minutes en heuresminutes. 1h5 après avoir parcouru 47,5 km est arrivée à son lieu de vacances à b) 19,6 km.h -1 en m.s -1. en voiture. Calculer sa vitesse moyenne. s m En roulant à une vitesse moyenne de 96 km.h -1. Calculer la distance parcourue en 43 min. a) 180 = 1 60 + 0 Donc 180 min = 1 h 0 min b) 19,6 km = 19 600 m et 1 h = 3600 s = 61 Donc 19,6 km.h -1 = 61 m.s -1. 1h5 10h10 = h15 =,5h v = = = 110 Sa vitesse moyenne est 110 km.h -1. 96 km d km 60 min 43 min d = = 68,8 La distance parcourue en 43 minutes est 68,8 km.

Fiche n 14 : Angles inscrits Polygones réguliers. C est un cercle de centre. A, B, et M sont trois points distincts du cercle C. M C B A Définition 1 : n dit que l angle un angle inscrit dans le cercle C. est Définition : Un angle au centre du cercle C est un angle dont le sommet est le centre du cercle C. Ici est un angle au centre. Propriété : Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors la mesure de l angle inscrit est égale à la moitié de celle de l angle au centre. Propriété : Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure. N M M N N M M B A N B A A B B A = 40 = 60 = 140 = 50 = 0 = 10 = 70 = 50 = 0 = 60 = 70 Un polygone est dit «régulier» quand tous ses côtés ont la même longueur, et tous ses angles ont la même mesure. Figures à connaître : 7 60 45 10 90 Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier ctogone régulier PUR CALCULER L ANGLE AU CENTRE, N UTILISE LA FRMULE : n écrit : Exemple : le pentagone régulier à 5 côtés, donc l angle au centre mesure : 360 : 5 = 7.

Fiche n 15 : Système d équations. Résoudre le système : Résolution par substitution : n exprime l une des inconnues en fonction de l autre dans une des équations : n remplace l inconnue dans l autre équation. Elle devient une équation du premier degré à une seule inconnue : Résoudre le système : Résolution par addition : ÉTAPE 1 : ÉLIMINER x. n multiplie chaque équation par un nombre afin de que les coefficients de x soient opposés : n obtient un nouveau système équivalent : n développe la nouvelle équation : n isole l inconnue : n réduit chaque membre : n résout : n remplace y par 3 dans la première équation, puis on calcule : n ajoute membre à membre les deux équations, pour éliminer x : + 0x - y = 8 n obtient une équation du premier degré à une inconnue, qu on résout : y = -8 y = - 8 donc y = - 4 11 ÉTAPE : ÉLIMINER y.n multiplie ce qu il faut afin de que les coefficients de y soient opposés : n obtient un nouveau système équivalent : Verification: La solution de l équation est le couple ( ; -3). n ajoute «membre à membre» les deux équations, pour éliminer y : + 11x + 0y = 1 n obtient une équation du premier degré à une inconnue, qu on résout : 11x = 1 x = 1 11 Résolution d un problème. Dans une boulangerie, Fabien achète 3 pains au chocolat et croissants ; il paie,80. Dans la même boulangerie, Bob achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; il paie,10. Calculer le prix d un pain au chocolat et d un croissant. Choix des inconnues : x le prix d un pain au chocolat. y le prix d un croissant. Mise en équations : La solution de ce système est le couple ( ; ). Résolution du système : + -7y = -3,5 donc y = = 0,5 + 7x = 4, donc x = soir x = 0,6 Le prix d un pain au chocolat est de 0,60 et le prix d un croissant est de 0,50.

Fiche n 16 : Pourcentage et inéquation. 1) Pourcentage. Augmenter un nombre de p% revient à multiplier ce nombre par 1 +. Ex : pour augmenter un nombre de 30 %, on multiplie le nombre par 1 + 0,30 = 1,30. Diminuer un nombre de p% revient à multiplier ce nombre par 1 Ex : Pour diminuer un nombre de 3 %, on multiplie le nombre par 1-0,3 = 0,77. Applications. 1) En 014 une ville comptait 400 000 habitants. Entre 014 et 015 la population a augmenté de 5 %. Calculer la population de cette ville en 015. Augmenter de 5%, revient à multiplier par 1 + 0,05 = 1,05. Donc 400 000 1,05 = 40 000 En 015, la ville compte 40 000 habitants. ) Sur les 10 élèves de 3 èmes d un collège, 108 ont obtenu le Brevet. Calculer le pourcentage de réussite. = 0,9 = 90 % Le pourcentage de réussite est de 90 %. 3) Après un rabais de 15%, le prix d un ordinateur est de 680. Quel était son prix initial? -15% Soit x le prix initial. n a : x 680 Diminuer de 15 % revient à multiplier par 1 0,15 = 0,85 Donc x = = 800 Le prix initial était de 800 euros. 4) Vrai ou Faux? : Augmenter un prix de 0% puis effectuer une remise de 0% sur le nouveau prix revient à redonner à l article son prix initial. Faux. Prenons par exemple un prix de 100, ce prix après une augmentation de 0% serait de 10. Ce prix de 10 après une remise de 0% serait de 10 0,8 = 96, donc il ne retrouve pas son prix initial, il subit une baisse de 4% (autre méthode : 1,0 0,80 = 0,96) ) Inéquation. Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les valeurs de l inconnue qui rendent vraie l inégalité. Ces valeurs de l inconnue sont appelées les solutions de l inéquation. Pour trouver ces valeurs, on procède comme pour la résolution d une équation, c est à dire en isolant l inconnue. Exemple : résoudre l inéquation 3x + 4-3x 4 3x 6 6 x 3 x Attention à ce passage. Les solutions de l inéquation 3x + 4 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à. Il reste ensuite à représenter l ensemble de ses solutions. Cette représentation consiste à tracer un axe gradué et orienté sur lequel on souligne les parties représentant les nombres qui sont solutions. Représentation des solutions de l inéquation : 3x + 4 - Solutions Exemples : a) 5x - 10 0 5x 10 x Solutions b) 1-6x < 0-6x < -1 x > Solutions

Fiche n 17 : Notion de fonction. La fonction f qui, à un nombre, associe son carré se note : f : x x. La fonction f associe, au nombre x, le nombre f(x) = x. n a : f(5) = 5 = 5 n dit que l image de 5 par la fonction f est 5. Cette image est unique. L image de 5 par la fonction f se note f(5). n dit aussi que 5 est un antécédent de 5 par la fonction f. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. f(-5) = (-5) = 5 f : 5 5 f : -5 5 Antécédent de 5 image de 5 Antécédent de 5 image de -5 5 et -5 sont deux antécédents de 5 par la fonction f. Application 1 : Soit h la fonction définie par : h : x x + n peut aussi écrire h(x) = x + 1) Calculer l image de 15 par la fonction h. h(15) = 15 + = 5 + = 7 l image de 15 par la fonction h est 7. ) Calculer le ou les antécédent(s) de 83 par la fonction h. Pour calculer le ou les antécédents de 83 par la fonction h, il faut résoudre l équation h(x) = 83 soit : x + = 83 x = 83 x = 81 x = ou x = x = 9 ou x = -9 Application : Les antécédents de 83 par la fonction h sont 9 et 9. Dans un repère orthogonal d unité 1 cm sur chaque axe, représenter graphiquement la fonction f pour x compris entre 1 et 4,5 : f : x 5x x Utilisons un tableau de valeurs : x 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 f(x) 5 1-1 = 4 5,5 6 6,5 6 5,5 4,5 Représentation graphique : f(x) C x Application 3 : Soit g une fonction. n considère le tableau de valeurs suivant : x 4 1 5 10 g(x) 4 1 4 5 1) Quelle est l image de 1 par la fonction g? L image de 1 par la fonction g est 4. ) Donner g( ) = 1 3) Donner un antécédent par la fonction g du nombre 1. Un antécédent par la fonction g du nombre 1 est. 4) Donner deux antécédents par la fonction g du nombre 4 : Deux antécédents par la fonction g du nombre 4 sont 4 et 1. Exploitation du graphique de l application : n lit graphiquement que l image de par la fonction f est 6, on écrit f() = 6 Deux antécédents de 4 par la fonction f sont 1 et 4, on écrit f(1) = 4 et f(4) = 4

Fiche n 18 : Fonctions linéaire et affine. Définitions. a) Fonction affine. a et b désignent deux nombres relatifs donnés. Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b. Si f désigne cette fonction, on la note f : x ax + b. n dit que ax + b est l image de x et on note f(x) = ax + b. b) Cas particuliers. Pour b = 0, la fonction x ax + b devient x ax + 0, donc x ax. Une fonction affine pour laquelle b = 0 est une fonction linéaire. Pour a = 0, la fonction x ax + b devient x 0 x +, donc x b. Par cette fonction, tous les nombres ont la même image. n dit que cette fonction est une fonction constante. Exercice 1 : Déterminer la fonction linéaire f par laquelle l image de 15 est 45. n sait que l image de 15 est 45 donc f(15) = 45. f est une fonction linéaire donc f est de la forme f(x) = ax f(15) = a 15 on en déduit : 15a = 45 d où a = = 3. Conclusion : f : x 3x Exercice : Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. n considère les points A (-3 ; ) et B (1 ; 4). La droite (AB) est la représentation graphique d une fonction affine f. 1) Déterminer f. f est une fonction affine donc elle est de la forme f(x) = ax + b Il faut calculer a puis b. Calcul du nombre a : A(-3 ; ) signifie que l image de -3 par la fonction f est donc f(-3) =. B(1 ; 4) signifie que l image de 1 par la fonction f est 4 donc f(1) = 4. a = donc f(x) = 0,5x + b Calcul du nombre b : n sait que f(1) = 4 d où f(1) = 0,5 1 + b = 4 0,5 + b = 4 b = 4 0,5 = 3,5 Conclusion : f : x 0,5x + 3,5 ) Le point C( ; 4) appartient-il à la représentation graphique d une fonction affine f? Calculons f() = 0,5 + 3,5 = 1 + 3,5 = 4,5 n constate que f() 4 donc le point C n appartient pas à la représentation graphique de la fonction f. 3) Le point D(-100 ; -46,5) appartient-il à la représentation graphique d une fonction affine f? Calculons f(-100) = 0,5 (-100) + 3,5 = -50 + 3,5 = -46,5 n constate que f(-100) = -46,5 donc le point D appartient à la représentation graphique de la fonction f. Propriété : La représentation graphique d une fonction affine est une droite. n dit que y = ax + b est une équation de cette droite. Le nombre a est appelé le coefficient directeur de cette droite. Le nombre b est appelé l ordonné à l origine de cette droite. Dans un repère la représentation graphique d'une fonction axe des ordonnées affine est une droite d'équation y = ax + b y a est le coefficient directeur : si a > 0, la fonction est croissante. si a < 0, la fonction est décroissante. si a = 0, la fonction est constante. b a b est l ordonnée à l origine 1 (en effet, si x = 0, alors y = a 0 + b = b ; la droite coupe donc l'axe des ordonnées en b) 0 1 x axe des abscisses

Fiche n 19 : Fonction affine : représentation graphique. Un exemple : n considère la fonction f définie par f(x) = x 1. -) f est une fonction affine car elle est de la forme f(x) = ax + b avec a = et b = -1. -) f étant une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite, c est la droite d équation y = x 1. -) Méthodes pour construire la droite : Méthode 1 : Trouver les coordonnées de deux points : y n choisit «au hasard» deux nombres dont on calcule les images, par exemple 0 et 3 : f (0) = 0 1 = 0 1 = -1 n obtient un premier point de coordonnées (0 ; -1) f (3) = 3 1 = 6 1 = 5 x n obtient un second point de coordonnées (3 ; 5) x 0 3 f(x) -1 5 Méthode : n utilise le coefficient directeur de la droite a = et l ordonnée à l origine b = -1. Autre méthode pour déterminer une fonction affine : Énoncé : g est une fonction affine telle que g() = 4 et g( 5) = 17. Déterminer g. g est une fonction affine donc g(x) = ax + b. g() = a + b = a + b et g() = 4 donc a + b = 4 g(-5) = a (-5) + b = -5a + b et g(-5) = -17 donc -5a + b = -17 + n obtient deux équations à deux inconnues. 7b = -14 donc b = = - n remplace b par - dans la première équation du système : a + (-) = 4 a = 4 + a = 6 a = a = 3 La solution du système est le couple (3 ; -). Conclusion : la fonction g est définie par g(x) = 3x

Fiche n 0 : Probabilités. Vocabulaire : Une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans savoir avant l expérience le résultat qu on obtiendra est appelée expérience aléatoire (lancer une pièce de monnaie, lancer un dé ) Chacun des résultats possibles lors d une expérience aléatoire est un événement (pile ou face). La probabilité d un événement A représente les chances que l événement se réalise lors d une expérience aléatoire. Cette probabilité se note p(a). C est un nombre compris entre 0 et 1. Si tous les événements d une expérience aléatoire ont la même probabilité on dit que les événements sont équiprobables. (exemple : lancer un dé). Exemple 1 : Dans une boîte, il y a 4 jetons bleus, 5 jetons verts et un jeton jaune. Tirer, au hasard, un jeton dans la boîte et noter sa couleur est une expérience aléatoire. n note B l événement «le jeton tiré est bleu» La probabilité de l événement B est : p(b) = = 0,4 L événement «le jeton tiré n est pas bleu» est l événement contraire de B. n le note «non B» ou n a p( ) = 0,6 ou p( ) = 1 p(b) = 1 0,4 = 0,6 Exemple : Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l évènement : «n obtient au moins une fois la face PILE.» n utilise un arbre de probabilité. 1 P 1 1 F 1 1 1 P F P F (P ; P) (P ; F) (F ; P) (F ; F) 1 1 = 1 (probabilité d obtenir deux piles) 4 1 1 = 1 (probabilité d obtenir pile puis face) 4 1 1 = 1 (probabilité d obtenir face puis pile) 4 1 1 = 1 (probabilité d obtenir deux faces) 4 Sur un même chemin, on multiplie les probabilités. p(e) = La probabilité que l évènement E se réalise est de 3 4. Il y a donc trois chances sur quatre d obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu on lance deux fois de suite une pièce de monnaie. L événement est : «n n obtient pas la face PILE». Calculer p( ) = 1 p(e) = 1 - =

Fiche n 1 : Le tableur. Exemple 1 : n a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par une fonction affine f et par une autre fonction g. Une copie de l écran obtenu est donnée ci-dessous. 1) Quelle est l image de -3 par f? L image de -3 par f est. ) Donner l expression de f(x). n observe que la formule qui a été entrée dans la cellule C est : = 5*C1+7 Donc la fonction affine f est définie par f(x) = 5x + 7 3) Calculer f (7). f(7) = -5 7 + 7 = -35 + 7 = -8 L image de 7 par f est -8. 4) n sait que g (x) = x² + 4. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules C3: H3. Quelle est cette formule? La formule saisie est =B1^+4 ou =B1*B1+4 Exemple : Un sac contient 0 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. n considère l expérience suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d être tiré. 1) Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l expérience avec un tableur. Il a représenté ci-dessous la fréquence d apparition des différentes couleurs en fonction du nombre de tirages. b) Le professeur a construit la feuille de calcul suivante : a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac? Aucune justification n est attendue. La couleur le plus présente est le jaune. Définition d un tableur : Un tableur est un programme informatique capable de manipuler des feuilles de calcul. À l'origine destinés au traitement automatisé des données financières, les logiciels tableurs sont maintenant utilisés pour effectuer des tâches variées, de la gestion de bases de données simples à la production de graphiques (on peut alors parler de tableurgrapheur), en passant par diverses analyses statistiques. Exemples de tableurs : Microsoft Excel, penffice Calc, Numbers Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C avant de la recopier vers le bas? La formule saisie dans la cellule C est : =B/A ) n sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de 5 1. Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac? 1 4 L expérience étant aléatoire, il y a 5 0 donc 4 boules rouges dans le sac.

Fiche n : Fonction linéaire : ce qu il faut savoir faire. I) Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire. f est la fonction linéaire qui à x associe 7x. a) Calculer l'image de 3 par la fonction f. n a f(x) = 7x donc f(3) = -7 3 = -1 L image de 3 par la fonction f est -1. b) Calculer f(-9). f( 9) = 7 ( 9) = 63 L image de -9 par la fonction f est 63. II) Calculer un antécédent d un nombre par une fonction linéaire. Soit la fonction linéaire h : x 5x. a) Quel est l antécédent de 10 par la fonction h. n a h(x) = 5x. n cherche x tel que h(x) = 10 5x = 10 x = L antécédent par la fonction h de 10 est. b) Trouver m tel que h(m) = 8. h(m) = 5m donc 5m = 8 et m = 8 L antécédent par la fonction h de -8 est 5 III) Déterminer une fonction linéaire connaissant un nombre et son image. a) g est une fonction linéaire. n sait que g() = 3 Quel est le coefficient de la fonction g? g est une fonction linéaire donc g(x) = ax n a g()=3 et g() = a donc a = 3 soit a = 3: = 1,5 g est une fonction linéaire de coefficient 1,5. Donner l'expression de l'image de x par g. n a : g : x 1,5x b) Déterminer la fonction linéaire l telle que 4 7. l est une fonction linéaire donc l(x) = ax. n a l(4)=7 et l(4) = 4a donc 4a = 7 soit a = 4 7 = 1,75 Conclusion : l : x 1,75x c) Déterminer la fonction linéaire i telle que : i : 4-14. i est une fonction linéaire, donc elle est de la forme i(x) = ax. n a i(4) = a 4 = 4a et on sait que i(4) = -14, 14 7 donc : 4a = -14 soit a = = -3,5 Conclusion : i : x -3,5x 4 8. 5 IV) Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire. La droite (d) représente une fonction linéaire f. a) Lire l'image de 3. L image de 3 par la fonction f est 1, c est-à-dire f(3) = 1. 1 d b) Lire l antécédent de. L antécédent de est 6. 1 c) Déterminer graphiquement f. f : x 1 x 3

Fiche n 3 : Fonction affine : ce qu il faut savoir faire. I) Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine. f est la fonction affine qui à x associe 7x + 4. Calculer l'image de 3 par la fonction f. f(3) = -7 3 + 4 = -1 + 4 = -17 L'image de 3 par la fonction f est -17. II) Calculer un antécédent d un nombre par une fonction affine. Soit la fonction affine h : x 5x 7. a) Calculer l antécédent de 13 par la fonction h. (autre formulation : quel est le nombre dont l image est 13?) L antécédent de 13 par la fonction h est la solution de l équation : 5x 7 = 13 5x = 0 x = 5 0 x = 4 L antécédent de 13 par la fonction h est 4. b) Trouver m tel que h(m) = 8. h(m) = 5m 7 = - 8 n obtient ainsi une équation qu il faut résoudre. 1 5m = -8 + 7 5m = -1 m = L antécédent de -8 par la fonction h est 5 III) Déterminer graphiquement les équations des droites d 1 et d. 1. 5 a) Pour la droite (d 1 ), l ordonnée à l origine est b = -1 et le coefficient directeur est a = -3 (en se décalant d une unité vers la droite, on descend de 3 unités). d 1 : y = 3x 1 donc f 1 : x 3x 1 b) Pour la droite (d ), l ordonnée à l origine est b = et le coefficient directeur est a = (en se décalant d une unité vers la droite, on descend de 3 unités). d : y = x + donc f : x x + IV) Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images. h est une fonction affine telle que h(8) = 7 et h(11) =. Déterminer la fonction h. h est une fonction affine donc elle est de la forme ) Je calcule b. h(x) = ax + b. n sait que h(11) = 1) Je calcule a. r, h(11) = 3 11 + b = 33 + b h(8) h(11) 7 9 Donc on a : 33 + b = soit b = 33 b = -31 a = 3 8 11 3 3 3) Conclusion. Donc h(x) = 3x + b h : x 3x 31 V) Méthode pour démontrer qu un point appartient à la représentation graphique d une fonction. a) n considère i la fonction telle que i(x) = x + 7 Le point A(- ; -37) appartient-il à la représentation graphique de la fonction i? i(-) = (-) + 7 = -44 + 7 = -37 Donc Le point A(- ; -37) appartient à la représentation graphique de la fonction i b) Le point B(-4 ; 10,1) appartient-il à la droite (d) d équation y = x +? - (-4) + = 8 + = 10 r, 10 10,1 Donc, le point B(-4 ; 10,1) appartient à la droite (d) d équation y = x +.

Fiche n 4 : Exemple 1 : Programme A Choisir un nombre ; Lui ajouter 1 ; Calculer le carré de la somme obtenue ; Soustraire au résultat le carré du nombre de départ. 1) n choisit 5 comme nombre de départ. Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes? ) n choisit comme nombre de départ. 3 Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes? 3) Démontrer que quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux. 3) Pour le nombre x on obtient : Programme A : (x + 1) x = x + x + 1 x = x + 1 Programme B : x + 1 Programme de calcul. Programme B Choisir un nombre ; Ajouter 1 au double de ce nombre. n remarque que quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux. Exemple : n considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre ; Ajouter 1 ; Calculer le carré de la somme obtenue ; Soustraire le carré du nombre de départ ; Ecrire le résultat final. Quelle est la nature de la fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme? Réponses : En choisissant x le programme donne l expression (x + 1)² x². En développant, on obtient : (x + 1)² x² = x + x 1 + 1 x = x + x + 1 x = x + 1 La fonction f définie par f(x) = x + 1 est une fonction affine, car elle des de la forme f(x) = ax + b où a = et b = 1. Exemple 3 : n donne le programme de calcul : Choisir un nombre ; Lui soustraire 8 ; Multiplier la différence obtenue par le nombre choisi ; Ajouter 16 à ce produit ; Ecrire le résultat. 1) Effectuer ce programme en choisissant le nombre 3. ) Effectuer ce programme en choisissant le nombre x. Développer l expression obtenue. 3) Factoriser l expression P = x 8x + 16. 4) Quels nombres faut-il choisir pour obtenir 36 comme résultat? Réponses : 1) Pour le nombre 5 on obtient : Programme A : (5 + 1) 5 = 6 5 = 36 5 = 11 Programme B : 5 + 1 = 10 + 1 = 11 ) Pour le nombre on obtient : 3 3 Programme A : ( +1) ( ) = ( ) 3 3 3 3 4 1 4 1 4 3 1 = ( ) = = 9 3 9 9 9 9 3 4 3 1 Programme B : + 1 = 3 3 3 3 Réponses : 1) 3 8 = 5 ; 5 3 = 15 ; 15+16 = 1 n obtient 1. ) (x 8) x + 16 = x 8x + 16 3) P = x 8x + 16 = x 4 x + 4 = (x 4) 4) Les nombres qu il faut choisir pour obtenir 36 sont les solutions de l équation (x 4) = 36 x 4 = ou x 4 = - x 4 = 6 ou x 4 = - 6 x = 6 + 4 ou x = - 6 + 4 x = 10 ou x = - Les solutions de l équation sont - et 10. Donc, pour obtenir 36, on peut choisir - ou 10.

Fiche n 5 : Questionnaire à choix multiple (QCM). Choisir la bonne réponse (A, B ou C). N Question : Réponse A Réponse B Réponse C 1 5 543 et 3 151 sont-ils premiers entre eux? ui Non n ne peut pas le savoir L écriture décimale de -4² + 10 3 10-1 + (-3)² est : 93 15 75 3 L écriture scientifique de est : 0,75 10 3 7,5 10-6 7,5 10 4 L expression factorisée de A = 81 (4x ) (11 4x)(4x + 7) (83 4x)(79 + 4x) 9(4x ) est : 5 L écriture décimale de 9 10 - + 7 10-3 est : 63 10-5 0,000 63 0,097 6 L expression factoriser de B = (9x ) (7x + 5)(9x ) est : (9x )(x 7) (9x )(16x + 3) (9x )(x + 3) 7 L expression développée de B = (9x ) (7x + 5)(9x ) est : 18x 67x + 14 81x 5x + 14 18x 5x 7 8 Pour x = 5 l expression x² 3x 3 est égale à : -38 6 33 9 4 1 14 6 5 5 3 15 3 0 10 5 ( 3) 75 45 15 11 Combien font 5% de 650? 3,5 645 13 000 1 Quelle est la masse approximative de la terre? 3 tonnes 6 10 4 kg 7 10-15 g 13 3 410 510 est égale à 0,0000008 8 0,8 14 Pour x =, l expression 5x² + x 3 est égale à : 13 7 17 15 Quelle est l expression qui est égale à 10 si on x(x + 1) (x + l)(x ) (x + 1) choisit la valeur x = 4? 16 Quelle est l expression développée de (3x + 5)? 3x + 5 9x + 5 9x + 30x + 5 17 Quelle est la valeur exacte de? 4 3,464 3 18 Quel est le nombre qui est solution de l'équation 10 10 x (8 + 3x) =? 19 En 3e A, sur 30 élèves, il y a 40% de filles. En 3e B, sur 0 élèves, il y a 60% de filles. Lorsque les 36% de filles. 48% de filles. 50% de filles. deux classes sont réunies, quel est le pourcentage de filles dans le groupe? 0 Après un rabais de 15%, le prix d un ordinateur est de 680. Quel était son prix initial? 695 800 78 Réponses : 1) B ) A 3) C 4) A 5) C 6) A 7) A 8) B 9) A 10) C 11) A 1) B 13) B 14) A 15) B 16) C 17) C 18) A 19) B 0) B