A = w 1 (A) w 2 (A) w 3 (A) w 4 (A) A = w i (A) = W(A) K F, W(K) = n [0,N] w n(k) w : X X W(A) = A. x, y X d(w(x), w(y)) sd(x, y) lim.

ÈÁË ¹ ÁÆÊÁ ËÐÝ ¹ Áй¹ÖÒ ¹ ÚÐÝÒºÄÙØØÓÒÒÖºÖ ÕÙÔ»»ÓÑÔÐܺÒÖºÖ» ØØÔ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ØÖØÚ ÒØÙØÓÒ ËËÌÅË ÇÆÌÁÇÆË ÁÌÊË ÇÅÈÊËËÁÇÆ ÊÌÄ w3 ¾ w1 w2 w3 w4 w1 w4 w2 A = w 1 (A) w 2 (A) w 3 (A) w 4 (A) A = w i (A) = W(A) ÚÐÝÒ ÄÍÌÌÇÆ Ä w i ÖØÖ ÒØ Ð ÓÖÑ ÕÙ ØÖØÓÒ Ø A Ø ÒÚÖÒØ ÔÖ W º Ò Ð³ Ô ÓÙ ¹Ò ÑÐ Ù ÔÐÒ ÁË ÁØÖØ ÙÒØÓÒ ËÝ ØÑ ËÝ ØÑ ÓÒØÓÒ ØÖ N ÓÒØÓÒ w n : X X, n {1, 2,...,N} w : X X (X, d) ÙÒ Ô ÑØÖÕÙ ÓÑÔÐØ Ä³ÓÔÖØÙÖ ÀÙØÒ ÓÒ W K F, W(K) = n [0,N] w n(k) ØÓÖÕÙ Ð ØÓÖÑ Ù ÔÓÒØ Ü ÅÓعРØØÖØÙÖ w Ø ÄÔ ØÞ x, y X d(w(x), w(y)) sd(x, y) Ð w Ë n ÓÒØÖØÒØ ÐÓÖ W Ø ÓÒØÖØÒØ Ú ¹¹Ú ÓÒØ ØÒ ÀÙ ÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ØØÖØÙÖ ÙÒÕÙ A Ø Ð W(A) = A dh(a, B) = max[max (min x A y B d(x, y)), max (min d(x, y))] y B x A 0 < s < 1 w Ø ÓÒØÖØÒØ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ Ë Ü ÓÙ ØØÖØÙÖ x 0 ØÐ ÕÙ w(x ÔÓÒØ 0 ) = x 0 x X, lim n w n (x) = x 0 º º º ÓÒ ØÖÙØÓÒ ØÖØÚ Ð³ Ð ØÖÒ ÓÖÑØÓ

ÈÖÓÔÖØ Ð ØÒ ÀÙ ÓÖ Ä ØÒ ÀÙ ÓÖ d H (A, B) = max[max (min d(x, y)), max (min d(x, y))] x A y B y B x A d H (A, B) = max[maxd(x, B), maxd(a, y)] x A y B Ë Ë Ø ÓÒØ ÔÓÒØ A = B d H (A, A) = 0 A B d H (A, B) = d(a, B) ÙØÖ ÒØÓÒ ËÓØ A ǫ = {x tq d(x, A) ǫ} d H (A, B) = inf{ǫ tq A B ǫ et B A ǫ } ε A 000 111 00000 11111 1 1 0000 1111 1 0000 1111 1 0000 1111 0000 1111 0000 1111 1 0000 1111 B 1 0000 1111 1 A 0000 1111 1 00000 11111 0000 1111 ε B ε A A B A B ε B ØÙÖ ÓÒØÖØÒ W Ú Ú Ð ØÒ ÀÙ ÓÖ Ä ØÒ ÀÙ ÓÖ Ø ÔÖÓ ÓÒØÖ¹ÒØÙØÚ 1 0 1 000 111 000 111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0 1 1 0 1 000 111 000 111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 000 111 00 11 0 1 Ä ÓÒØ ÓÒØÖØÒØ Ú max{c i } ËÓØ ǫ = d H B) ÐÓÖ Ø (A, W(A) = w i (A), W(B) = w i (B) w i i, x, y d(w i (x), w i (y)) c i d(x, y) d H (W(A), W(B)) Cd H (A, B) C = A B ǫ B A ǫ i w i (A) w i (B ǫ ) [w i (B)] ci ǫ [ w i (B)] ci ǫ ε W(A) = w i (A) [W(B)] Cǫ ÑÑ ÓÒ ÑÓÒØÖ W(B) [W(A)] Cǫ ÓÑÑ d H (A, B) = inf{ǫ tq A B ǫ et B A ǫ } d H (W(A), W(B)) Cd H (A, B

ÜÑÔÐ ÓÒØÓÒ Ò ÓÒØÖØÒØ ÒÖØÓÒ ØØÖØÙÖ ÅØÓ ØÓ ØÕÙ ØÓ ¹ÓÒ ÓÙ Ó ¹Ñ x ËÓØ 1 ÔÓÒØ Ü w Ð 1 ÇÒ ÓÒ ØÖÙØ Ð ÙØ ÔÓÒØ x n ( ai b w i (x, y) = i c i d i )( ) ( ) x ei + y f i x n+1 = w i (x n ) w i Ó ÐØÓÖÑÒØ Ò {1..N} Ú ÔÖÓÐØ p i {xn } ÔÔÖÓÜÑ A ½¼ ÅØÓ ØÖÑÒ Ø ÔÖØÖ ³ÙÒ ÒÓÝÙ S 0 = {x 0 ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ Ð ÙØ ³Ò ÑÐ } {S n } S n+1 = W(S n ) = n w n (S n ) ÉÙÒ n S n A ½¼ ¾¼ ØÖØÓÒ µ ÓÙÖ ÖÒ ÐÝ ÙÐÐ ØØÖØÙÖ Ø Ñ ÙÖ Ð¹ÓÑÓÖÔÕÙ ØØÖØÙÖ Ð¹ ÒÙ ÓÙÜ ½½ x y = t w i (x, y) = a b e c d f g h 1 ( ) x t y t x y 1 ½¾ ( ) a cos x + b siny + e w i (x, y) = c cos x + d siny + f

Í ÓÒØÓÒ ÒÓÒ¹ÐÒÖ ÑÒ ÓÒ ÖØÐ ØØÖØÙÖ ½ ( ) sin (cos 0.90856 log(1 + x )) w1(x, y) = ( sin y ) cos(cos( x )) w2(x, y) = ( cos(log(1 + y )) ) log(1 + cos(log(1 + y + x )) ) w3(x, y) = ( sin0.084698 ) log(1 + sin( 0.565372 ) ) w4(x, y) = 0.81366 ((log(1 + 0.814259 )) cosy) ( ) log(1 + 0.747399 + cosy ) w5(x, y) = sin 0.73624 0.0001+ 0.264553 y+0.581647+x ½ N A = w i (A) Ð w Ë i ØÓÒ ØÐÐ ÕÙ ÓÒØ ØÓØÐÑÒØ ÓÒÒص ÝÒØ Ð ÑÑ ÓÒØ Ð ÓÒØÖØÓÒ λº ØØÖØÙÖ i=1 i, j, i j w i (A) w i (A) = Ð ÑÒ ÓÒ ÓØ Ø Ð ÑÒ ÓÒ ÀÙ ÓÖ ÓÒØ ÐÓÖ D H = D B = logn logλ ÑÒ ÓÒ ÀÙ ÓÖ ÑÒ ÓÒ ÓØ N N H s (A) = H s (w Ñ ÙÖ S¹ÑÒ ÓÒÒÐÐ i (A)) = λ s H s (A) i=1 i=1 dim B (F) = lim δ 0 logn δ (F) logδ d Ð ÑØÖ Ð ÔÐÙ ÔØØ ÓÙÐ B ËÓØ 0 ÖÓÙÚÖ F ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ Ð Ù ÕÙ ÙÚÒØ ÖÓÙÚÖÑÒØ F B0 ½ s = D dim H(A) Ð ÑÒ ÓÒ Ø ÙÔÔÓ Òµ ËÓØ Nλ s = 1 logn + s logλ = 1 s = logn logλ ½ F = w i (F) w i (B0) N 1 (F) = ÒÓÑÖ ÓÒØÓÒ µ Ø N δ 1 = ØÙÖ ÓÒØÖØÒ ÓÑÓ λd ººº F =... w i1 (w i2 (...w ik (F)))... w i1 (w i2 (...w ik (B 0 ))) N k (F) = N k δ Ø k = λ k d klogn dim B (F) = lim k klogλ + logd = logn logλ

Ñ ÙÖ ÒÚÖÒØ (w Ä i, p i Ø ÖÔÖ ÒØ ÔÖ ÙÒ Ñ Ò ÒÚÙÜ Ö ) ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÜÐ (i, j) ØÐÐ ÓÒ Ú ÔÖÓÐØ ÌÓ w i ØÖ Ú Ð ÔÖÓÐØ p Ø i º ÁÑ Ò ÒÚÙÜ Ö Å ÙÖ ÒÚÖÒØ N i=1 p i = 1 ÇÒ Ó ÙÒ ÔÖÓÐØ p i ÕÙ w i ÇÒ ÒØ Ð ÙØ Ñ ÙÖ ν n ÙÚÒØ B ν n+1 (B) = N i=1 p i ν n (wi 1 (B)) A(i, j) = N k=1 p k A(w 1 k (i, j)) ½ ν 0 ν n µ ½ µ Ø Ð Ñ ÙÖ ÒÚÖÒØ ØÐÐ ÕÙ µ(b) = N i=1 p i µ(wi 1 (B)) A(i, j) Ø ÒÙÐРгÜØÖÙÖ Ð³ØØÖØÙÖ w i A(i, j) ÓÐÓÖ Ð³ÒØÖÙÖ Ð³ØØÖØÙÖ w i º Ä ÙÔÔÓÖØ Ð Ñ ÙÖ ÒÚÖÒØ Ø Ð³ØØÖØÙÖ w i supp(µ) = Aº ÜÑÔÐ ÐÓÖØÑ ÒÖØÓÒ Ñ ÙÖ ÒÚÖÒØ ÅÑ ÔÖÒÔ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ØØÖØÙÖ º p w ( ν ) ÅØÓ ÐÓÐ ÓÒ ÖÕÙ Ð ÙØ Ñ ÙÖ ν n Ñ µ ÕÙ ØÒ ÚÖ µº n n ½ ¾¼... p w ( ν ) 2 2 + ν p w ( ν ) 1 1 n n+1 ν ÓÒ ÓÑÔØ Ð ÒÓÑÖ Ó Ó Ð³ÓÖØ x n ÔÖ ÕÙ ÔÓÒØ Ð³Ñ Ô ÓÐÓÖØÓÒ Aº

Ð ÔÖÓÐØ ÔÒÒØ Ð ÔÓ ØÓÒ Ò Ð³ Ô p Ë i ÓÒ ÔÙØ ÒÖÖ ÙÒ ÖÒ (x) ØÜØÙÖ º ÚÖØ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÒÐÐ Ð ØÒ ÈÖÓÐØ ÒØÖ Ð³Ñº Ù ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÒ ØÖÓÙÚÖ Ð³Ò ÑÐ ÓÒØÓÒ ÓÒØÖØÒØ ÓÒØ Ð³Ø ÈÓÙÖ ÔÔÖÓÜÑ Ù ÑÙÜ ØØ ÓÖÑ Ù Ò ³ÙÒ Ñ ÙÖ ³ÖÖÙÖ ÔÖÒ ØÙÖ ÈÖÓÐÑ ÒÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÁË ÔÔÐØÓÒ Ð ÝÒØ ØÜØÙÖ ÜÑÔÐ Ú Ð³ÁË ÖÑÔÐ ÒØ Ð ÖÖ w 1 (x, y) = (0, 5x + 0, 5, 0, 5y + 0, 5) w 2 (x, y) = (0, 5x + 0, 5, 0, 5y 0, 5) w 3 (x, y) = (0, 5x 0, 5, 0, 5y + 0, 5) w 4 (x, y) = (0, 5x 0, 5, 0, 5y 0, 5) ÒÓ ÓÖÑ Ð³ ØÖ ÔÙ ÔÖÑØÖ º ¾¾ ¾½ Ó Ò³ÑÔÓÖØ ÕÙÐÐ Ðк ÈÖÓÐÑ ÜØÖÑÑÒØ ÓÑÔÐܺ ÈÖÓÐØ ÔÓÐÝÒÑÐ Ò Ü Ø Ý ÌÓÖÑ Ù ÓÐÐ Ä ÔÖÓÐÑ ÒÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÁË ÑØÓ Ö ÓÐÙØÓÒ A гØØÖØÙÖ Ð³ÁË W ËÓØ K X, d H (K, W(K)) < ε d H (K, A) < ε 1 c Ô ÖÖ ÓÒØÓÒ Ò Ò ÒÓÑÖ Ü ËØÖØ ØÖÑÒ Ø ÖÙØ ÑÙ c = max{c i } ØÒØ Ð ÔÐÙ ÖÒ ØÙÖ ÓÒØÖØÒ c i w i º ÐÓÖØÑ ÚÓÐÙØÓÒÒÖ ÓÒØÓÒ Ò Ò ÒÓÑÖ ÚÖÐ ¾ ËÙÔÔÓ ÓÒ d H (K, W(K)) ǫ ÐÓÖ d H (W(K), W 2 (K)) cd H (K, W(K)) cǫ ¾ ÓÒØÓÒ ÒÓÒ¹Ò Ò ÒÓÑÖ ÚÖÐ ÓÒØÓÒ ÓÔØÑ Ö ÓÒ ÙÖ Ð ØÓÖÑ Ù ÓÐÐ d H (K, A) d H (K, W(K)) + d H (W(K), W 2 (K)) +... + d H (W m (K), A) ǫ + cǫ +... + c m 1 ǫ + d H (W m (K), A) (1 + c + c 2 +... + c m 1 )ǫ + d H (W m (K), A) 1 cm 1 c ǫ + d H(W m (K), A) ÈÓÙÖ m d H (W m (K), A) 0 d H (K, A) < ε 1 c m ÓÒ ÙÖ Ð ÐÙÐ ÖØ Ð³ØØÖØÙÖ ØÓ ¹ÓÒµ ÓÒØÖÒØ Ð w i ØÖ ÓÒØÖØÒØ ÓÚÒØ ÓÒØÖÒØ ØÓÒÒÐÐ ÔÓÙÖ ÖÙÖ Ð ÐÙÐ Ð ÔÓÒØ Ü w i ÓÚÒ Ð Ðº ÔÖØÒÖ

ÇÔØÑ ØÓÒ ÓÖÑ ÑÒÕÙ ÖÔÖ ÒØ ÔÖ Á˺ Ø ÑÓÒØÖ Åº Òµ ÕÙ ÓÙ ÁÐ ÝÔÓØ ÙÖ Ð ÓÒØÓÒ ÖØÒ ÔÓÒØ Ü ÓÒØ ÔÐ ÙÖ Ð ÖÓÒ¹ Ð Aº ØÖ ÁË ÒÓÒ¹Ò ÓÒØ ÖÔ Ä ÔÐÙ ÒØÖ ÒØ º ÑÒØ Ð³ Ô ÙÜ ÁË Å Ø ØÖ ÔÖ º ÐÒÖ Ï ÔÖ ÖÖ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÚÓÐÙØÓÒ ÒØÖ ÔÐÑÒØ ÔÓÒØ Ü Ä ÔÓÒØ Ü w i ÁÐ ÔÔÖØÒÒÒØ ÓÖÑÒØ Ð³ØØÖØÙÖ {w i }º A = w i (A) y A i Ø x A ØÕ y = w i (x) ¾ ¾ Ò ÔÖØÙÐÖ ÔÓÙÖ Ð x i ØÐ ÕÙ x i = w i (x i )º ÍÒ ÐÖ ÑÓØÓÒ ÙÖ Ð ÓÒØÓÒ ÓÒÒ ØØÖØÙÖ ÓÖÑ ÚÓ Ò ÔÔÐØÓÒ Ò ÝÒØ ³Ñ ÔÔÐØÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ ÒÙÜ Ø ³Ñ º ËÝÒØ ³Ñ ÑÓÖÔÒ ÓÖÑ º ÊÔÖ ÒØØÓÒ ÓÒØÓÒÒÐÐ ÒÙÜ ÔÖÓк ¾ ¾ ÒÖØÓÒ ÒÙÜ ÖÙÐÖØ ÔÖ ÖØ ÖØÐ ÔÖ ÁË ÒÖÐ µº ÒØÖÔÓÐØÓÒ = Ò ÖÔÕÙ ÓÒ ÙÖ ÏØÖÑÖÒº

ÔÙØ ÓÒ ÒÖÖ ÙÒ Ò ÑÐ ÓÒØÓÒ ÒØÖÔÓÐÒØ Ð (x ÇÒ n, y n )º c Ä n ÔÖÑØÖ ÕÙ ÔÖÑØØÒØ ³Ù ØÖ Ð ÑÒ ÓÒ ÖØÐ Ð ÓÒ ÓÒØ ÁÆÌÊÈÇÄÌÁÇÆ ÊÌÄ ÅÓÖÔÒ ³ÁË ÔÖØÖ ³ÙÒ Ò ÑÐ ÔÓÒØ ÖØÖ ØÕÙ {(x i, y i ) [0, 1] [a, b], i = 0, 1,...,N ÓÒ ÒØ Æ ÓÒØÖØÓÒ w i ÙÖ [0, 1] [a, b]( < a < b < + ) w i (x, y) = (L i (x), F i (x, y)) ¾ ¼ L i Ø Ð ÓÒØÖØÓÒ ÕÙ ÒÚÓ [0, 1] ÙÖ [x i 1, x i ] F i : [0, 1] [a, b] [a, b] Ø ÙÒ ÓÒØÖØÓÒ ÐÓÒ y ØÐÐ ÕÙ ÔÖØÖ ÙÜ ØØÖØÙÖ {v i } Ø {w i } ÓÒ Ö Ð ÙØ ³ØØÖØÙÖ α [0, 1] {αv i + (1 α)w i } F i (x 0, y 0 ) = y i 1 et F i (x N, y N ) = y i ijØØÖØÙÖ Ø ÁË Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖØÐ ÓÒØÒÙ ÕÙ ÒØÖÔÓÐ Ð (x i, y i ) ÁÒØÖÔÓÐØÓÒ ÖØÐ ÁÒØÖÔÓÐØÓÒ ÖØÐ Ò b ÓÒ Ð ÈÖØÕÙÑÒØ w ÓÒ Ö n Ð ÓÖÑ ÓÙ ( ) ( ) ( ) ( ) x an 0 x un w n = + y b n c n y v n Ú c n < 1 ½ ÇÒ ÓÑÔÖÑ ÙÚÒØ x Ú L n º ÇÒ ÖÓÔ Ð ÒØÐÐÓÒ Ò n Ñ ÒØÖÚÐÐ ÓÒ Ð ¾ ( ) ( ) x0 xn+1 w n = y 0 y n+1 ( ) ( ) xn xn w n = y N y n ÚÖÒØ Ø a L n Ð ÓÒØÒÙØ Ò x ÓÒ ÖÚÖ n Ø x n+1 º a n u Ø n Ò ÙÒÕÙÑÒØ ÔÖ ÓÒØ a n = x n 1 x n x 0 x n u n = x n 1 a n x 0 b n v Ø n c ÔÒÒØ n 0 x n x n+1 1 ÒØÖÔÓÐÒغ

ÅÑ ÔÖÒÔ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð³ÒØÖÔÓÐØÓÒ ÖØÐ ÚÙØ ÖÕÙÖ ÙÒ ÒÔÔ Ø ÒÓÒ ÙÒ ÑÐ ÕÙÐÓÒÕÙº ÓÒ ÑÒ ÓÒ ÓØ Ð ÓÒØÓÒ ÒØÖÔÓÐÒØ Ë Ð ÔÓÒØ ÓÒØ ÕÙ ØÒØ x n = n N n [0, N] ÐÓÖ a n = 1 N Ø u n = n 1 N Ä w n ³ÖÚÒØ w n ( x y ) ( 1 = N 0 b n c n ) ( ) ( x n 1 ) + N y v n ÇÅÈÊËËÁÇÆ ³ÁÅË ÑÒ ÓÒ ÓØ Ð ÓÙÖ ÒØÖÔÓÐÒØ Ø Ä dim B (F) = 1 + log(c 1 +... + c N ) logn ÓÑÔÖ ÓÒ ÖØÐ ³Ñ ÔÖÓÐÑ ÒÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÁË Ò ÓÑÔÖ ÓÒ ÁË ÔÖÒÔ ÈÖÒÔ Ö ÓÙ ÙÒ ÔÖÓÐÑ ÒÚÖ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò ÒÚÙÜ Ö º NG Ó Ö ÓÐÙØÓÒ Ù ÔÖÓÐÑ ÒÚÖ ÑÔк 000 111 000 111 00000 11111 1 00 11 00 11 00 11 0 1 0 1 000 111 j Ä³Ò ÑÐ ÔÔÖÓÜÑÖ Ø Ò R 3 º Ó ÔÖÑØÖ ÒØÓÒ ÓÒØÓÒ Á˺ ÐÙРгØØÖØÙÖ ÔÖ ØÖØÓÒ ÔÖØÖ Ò³ÑÔÓÖØ ÕÙÐÐ Ñ Ó K A = lim W n (K) n i ÀÝÔÓØ Ö ØÖØÚ ÔÓÙÖ ÑÔÐÖ Ð ÔÖÓÐÑ ÒÚÖ º

ÕÙ ÓÙÔÐ (D ÈÓÙÖ i, R i ÓÒ ÔÙØ ÐÙÐÖ Ð ÔÖÑØÖ Ð ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ò ) ÔÖ ÐÙÐ ÓÑØÖÕÙ ÔÓÙÖ v i a i, b i, c i, d i, e i, f i µ ÙÒÓÖÑ ÖÙÐÖ ÈÖØØÓÒÒÑÒØ R Ð i Ó ÔÐÙ ÔØØ ÕÙ Ð d ÓÒØ i º Ò ØÖÒÐ ÈÖØØÓÒÒÑÒØ ÐÙÒݵ ÈÁË ÁË ÔÖØØÓÒÒ ÓÑÔÖ ÓÒ ³Ñ г ÈÁË w i (x, y, z) = (v i (x, y), t i (z)) Ú v i Ø t i ÓÒØÓÒ Ò º Ä ÔÖØ ÓÑØÖÕÙ v i Ø ÐÓÐ ÈÁ˵ v i : D i R Ð ÖÒ i R i Ð ÓÑÒ D Ø i ÖÖ Ò ÒÖк ÓÒØ w i x y = z a i b i 0 c i d i 0 0 0 s i x y + z e i f i o i ÇÒ Ö ÙÒ ÁË ÑÔÐ z = ÒÚÙÜ Ö º w i Ö ØÖÒØ D i I w i (D i ) = R i ÚÓÖ Ñ ÕÙ ØÖØÓÒ Ð³ÓÔÖØÙÖ ÀÙØÒ ÓÒ W ÓÒ ÓØ Ú ÈÓÙÖ ÙÒ Ri Ø = I i j, R i Rj = ËØÖØ ÔÖØØÓÒÒÑÒØ Ê ÓÐÙØÓÒ Ù ÔÖÓÐÑ ÒÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÈÁË ÔÖ Ð³ÖÖÙÖ ÙÜ ÑÓÒÖ ÖÖ ÔÓÙÖ Ð ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÙÖ Ð ÒÚÙÜ ÑÒÑ ØÓÒ Ö (s i, o i ) = argmin{ (si(x, y) + o I[wj(x, y)]) 2 } (x,y) D j ¼ ÀÎ ÈÖØØÓÒÒÑÒØ R Ð i Ð D Ø i ÖØÒÐ ÓÒØ ÁÐ Ö Ø ØÖÓÙÚÖ Ð ÓÙÔÐ (D i, R i ) ØÐ ÕÙ Ð {R i } ÓÖÑÒØ ÙÒ ÔÖØØÓÒ Ð³Ñº ÙÒ ÓÑÒØÓÖ ÓÒ ÑÒÑ ³ Ø ÓÔØÑ ØÓÒ Err(D i, R i ) = (s i I(x, y) + o i I[wj(x, y)]) 2 (x,y) D j

ÈÓÙÖ ÕÙ R i ÓÒ Ö ÙÒ ÓÑÒ D i ÖÒ Ø ÙÒ t ÔÐÙ i ØÖÒ ÓÖÑ ÓÖÖع ÕÙ Ð ÒÚÙÜ Ö D ÑÒØ i ÙÜ R Ò i ÙÜ ÑÓÒÖ ÖÖ µº ÖÖÙÖ Ë³Ð Ò³Ü Ø Ô D i Ð ÓÒØÓÒ R ÖÑÔÐ ÒØ i Ú Ò ÐÓ ÔÐÙ ÔØØ Ø Ð Ø ÔÓÙÖ Ùغ ÖÖ ÊØÒÙÐÖ ÀÎ ÈÖØØÓÒÒÑÒØ Ò ÕÙØÖ ÈÖÒÔ ÔÖØØÓÒÒÑÒØ ØÝÔ ÕÙØÖ ÉÙØÖ ¾ ½ ÌÖÒÙÐÖ ÈÓÐÝÓÒÐ Ä ÓÑÔÖ ÓÒ Ø ÜØÖÑÑÒØ ÖÔ ÑÐÓÖØÓÒ ÈֹРØÓÒ ÐÓ ÙÚÒØ Ð ØÝÔ R i ÓÒØÓÙÖ ÖÙÐÖ ÓÒØÓÙÖ ÖÖÙÐÖ ÔÔÐØÓÒ Ù Ú Ð ØÖÒÓÖÑØÓÒ W ÔÖØÖ Ò³ÑÔÓÖØ ÕÙÐРѺ ØÜØÙÖ ÙÒÓÖѵ ÓÒ ÖÖ ÐÓ D i ÑÑ ØÝÔº ÍØÐ ØÓÒ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ò ÒÚÙÜ Ö ÒÓÒ ÐÒÖ Ð ÐÙÐ ÐÓÐ ÓÑÔÐÕÙº ÓÑÒ ÓÒ ÐÒÖ ÒÓÖÑØÓÒ ÔÖÓÚÒÒØ ÔÐÙ ÙÖ ÐÓ º ÀÝÖØÓÒ Ú ÙÒ Ì ÓÙ ÙÒ ØÖÒ ÓÖÑ Ò ÓÒÐØØ º

ÓÙØÖ ÔÖ¹ ÐØÖ µ Ø ÔÓ Ø¹ØÖØÑÒØ ÓÑÔÖ ÓÒ Öµ ÔÖÑØØ Ò Ð ØÐÐ Ö ÓÑÔÖÑ º ÖÙÖ Ä Ö ÓÑÔÖÑ ÓÑÔÖ ÓÒ Ä Ö ÓÑÔÖÑ Ø ÙÒ Ó Ð³ÁË Ð ÓÒØÒØ Ð ÔÖØØÓÒ R i Ð D i ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÒÜ µ ÅØÓ ÂÕÙÒ ÔÖØØÓÒ ÖÖµ Ð ÔÖÑØÖ t i ÙÜ ÚÐÙÖ ÖÐÐ µº ÈÖØØÓÒ Ò ØÖÒÐ ÓÑÔÖ ÓÒ Ú ÙÐÐ ØÙÜ ÓÑÔÖ ÓÒ 58 ÓÑÔÖ ÓÒ ËÆÊ Ú ³ÙØÖ ÑØÓ ÓÑÔÖ ÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó ÖØÐ ÅØÓ ÛØ Ì Ò ÏÚÐØ Ö Ø Ð ËÈÁ ¾ ¼ ½º

Ð ÓÑÔÖ ÓÒ»ÓÑÔÖ ÓÒ Ð ØÖÒ Ñ ÓÒ ÙÜ ØÓÖ ÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÒØÒØÓÒÒÐÐ ÓÙ ÒÓÒµ ÙÜ ÖÙØ Ø ÐØÖ Ð Ø ³ØØÖ ÙÒ ÑÖÕÙ ÙÜ ÓÒÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð³ÒØ ÏØÖÑÖÒ ÖÓØ ³ÙØÙÖ º ÔÖÓÔÖØÖ Ð Ø Ð Ö ÙÒ ÑÔÖÒØ ÕÙ Ó ÕÙ Ð ÓÒÒ ÓÒØ ÐÙ ÒÖÔÖÒØÒ ÙÚ ³Ñ ØØÓÒ ÔÖصº Ó Ð³ÖØ Ö Ñ Ò ÒÖÐ Ð Ñ ÔÓÖØÙÖ Ø ÓÒ ËØÒÓÖÔ ÓÒØÓÒ Ù Ñ µº Ò ÓÓÑ ÖØÐ ÓÓÑ ÖØÐ ÓÓÑ ÁÑÅ 2 4 ¼ ÏÌÊÅÊÃÁÆ 16 ÎÓÙÐÖ ÏØÖÑÖÒ ¹ ÔÖÒÔ ÙØ ÒØÖ Ð ÔÖÓÔÖØÖ ÓÒÒ ÒÙÑÖÕÙ º ½ Ð Ñ Ð ÑÖÕÙ ÓØ ØÖ ÈÓÙÖ ÒÓÒ ÐÓÐ ÖØÖ ÓÐÓÖÔÕÙµ ÒÐÐ Ú ÙÐÐÑÒØ ÖÓÙ Ø ¾ ÓÙ ÒØÙÖ ØÐ Ö Ð ÔÖÙÚ ÕÙ Ð Ñ ÖÙ ÔÖÚÒØ ÙØØÒØØÓÒ ÖØÒ ÜÔØÙÖ ÓÒØÓÒ µº ³ÙÒ ÙÜ ØØÕÙ ÖÙÙÐÙ º

гÓÙÐ ØÖØÑÒØ ÒÙÑÖÕÙ ÔÖ Ð ÑÖÕÙ ØÖÙØÓÒ Ú ÔÐÙ ÙÖ Ñ ÑÖÕÙ ÖÑÑ ÓÐÐ ÓÒ ÚÐÙØÓÒ ØÒÕÙ ÛØÖÑÖÒ ËÑ ÓÒÒ ÑÖÕÙ Image ou signal marque ÊÓÙ Ø ¹ ØÓÖ ÓÒ ÖÙØ ÓÑÔÖ ÓÒ»ÓÑÔÖ ÓÒ Transmission ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÁÒÐÐØ Compression avec perte Distorsions geometriques Filtrages et traitements divers Conversions N/A et A/N ÔØ ÓÐÓÖÔÕÙ ÒÓÒ ÐÓÐ ÑÖÕÙ ³ÙÒ ÔÖØ ÙÐÑÒØ Ð³Ñ ÙØÐ ØÓÒ Distorsions ou attaques classiques Transmission ÙØÒØØÓÒ ÖØØÙ ÔÖ Ò ÓÙ ³ Ò ÑÖÕÙº Image ou signal marque et distordu Ê ØÒ ÙÜ ÖÙ ÑÙÐØÔÐ ÑÖÕÙ Ñ ÑÕÙ ÙÜ ÖÒ ÑÐÐ ÑØÓ ÏØÖÑÖÒ ÓÑÔÖ ÓÒ ÖØÐ Ä ÑØÓ ÔØÐ Ø ÔØÛÓÖ º Ð Ú ¹¹Ú ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÓÑØÖÕÙ Ø ÙÜ ÐØÖ ÐÓÖØÑ ÑÖÕÙ Ä ÑØÓ ÖÕÙÒÐÐ Ð ÑÖÕÙ Ø Ò Ö ÙÖ Ð ØÖÒÓÖÑ ÓÙÖÖ ÇÒÐØØ Ìµº ÍÒ ÑÐÐÙÖ ÖÓÙ Ø Ä³Ñ Ø Ú Ò ÐÓ ØÐÐ Ü R i ØÐÐ n nº Ä D i ÓÒØ ØÐÐ 2n 2nº Ä Ó ÖØÐ Ð ÕÙ Ó ÕÙ R i Ð D j ÕÙ ÑÒÑ Err(R i, D j )º ÈÓÙÖ ÕÙ R i Ð ÖÖ Ù D j Ø Ö ØÖÒØ ÙÒ ÚÓ Ò ÓÒÒ Image X(i,j) Transformee en frequence Insertion de la marque Transformee inverse Image marquee X (i,j) Di Ri V Marque

ÙØÒØØÓÒ ÁÒÐÙ ÓÒ Ð ÑÖÕÙ ÇÒ ÙÜ R i ÓÒÒ ÔÖ Ð³ÙØÐ ØÙÖº ËÓØ S = {s 0,...s 31 } ÙÒ ÑÖÕÙ ¾ Ø ÒÐÙ Ú ÙÒ ÖÓÒÒ Uº ÕÙ Ø s ÈÓÙÖ k Ð ÑÖÕÙ ÓÒ Ó Ø ÐØÓÖÑÒØ U ÐÓ R i ÓÜ Ø ÔÖ ÙÒ ÑØÓ ÓÒÒÙ ÙÐÑÒØ ÔÖ Ð³ÙØÐ ØÙÖ Ð Öصº Ð ËÙÚÒØ Ð ÖÓÒ Ò ÐÕÙÐÐ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ð³ÒØÒØ R i ÓÒ ÔÙØ ÖÓÒ ØØÙ Ri V0 V1 Ä ÚÓ Ò ÐÓÐ V Ø Ú Ò ÙÜ ÓÙ ÓÑÒ V 0 Ø V 1 ØÐ ÕÙ V 0 V1 = V º s k = 0 D j ÖÖ Ò V 0 Ø s k = 1 D j ÖÖ Ò V 1 Ø ÔÓÙÖ Ð ÙØÖ ÐÓ D j ÖÖ Ò V º Ø ÒØÙÖ Sº s k Ø ØÑ 0 ÓÙ 1 Ò ÓÒØÓÒ Ù ÒÓÑÖ ÐÓ ÖÓÒÒØ ÒØÕÙ ÙØÐ ØÓÒ ³ÙÒ Ùеº Ä³Ñ ÑÖÕÙ Ø ÐÓÖ Ð³ØØÖØÙÖ Ø Á˺ ÐÐ Ö Ð³Ñ ÓÖÒк ÊÓÙ Ø Ì Ø Ú ÐÓ ØÐÐ n = 4 Ø ÖÓÒÒ U = 50 ÓÙ n = 8 Ø U = 25º ÊÓÙ Ø ÙÒ ÓÑÔÖ ÓÒ»ÓÑÔÖ ÓÒ ÂÈ ÖÖÙÖ Ù ÕÙ³ ¼±µ ÐØÖ ÐÙÖÖÒ 3 3µ Ð ¾ Ø Ð ÑÖÕÙ ÓÒØ ÓÖÖØÑÒØ ÖØÖÓÙÚ Ô ¹ ËÒØÙÖ ¾ Ø ÙÖ ÄÒ 256 256º Ö ÙÐØØ ÙÒ ÔÙ ÑÐÐÙÖ ÔÓÙÖ n = 8µº Å Ð ÑØÓ Ò Ö Ø Ô ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÔÖØ ÐÓ µº ÑÐÓÖØÓÒ Ò ÑÔÐÓÝÒØ ÙÒ ÔÖØØÓÒÒÑÒØ ØÖÒÙÐÖ ÒÖ ÙÖ ÔÓÒØ ³ÒØÖغ