L objectif de ce cahier de vacances est de vous aider à revoir des notions de seconde, ce qui est indispensable pour réussir votre année de première S en mathématiques. L idée est de parcourir chaque exercice de ce cahier : selon vos besoins, vous les travaillerez dans leur intégralité ou partiellement. Si certains exercices vous semblent difficiles, nous vous encourageons à utiliser vos cours ou tout autre aide pour combler vos lacunes. Le niveau de difficulté des exercices vous est donné par un nombre croissant d étoiles. Une correction de ce cahier au format pdf est disponible sur l ent, si vous rencontrez des problèmes de connexion vous pouvez envoyer votre demande à quesnel.laurence@bbox.fr Bon Courage et Bonnes Vacances!! Partie I : Calcul Littéral n est un entier naturel, A = 1 (1 )n 1 1 B = 3 n+1 3 n Exercice 5 * Réduire au même dénominateur les expressions suivantes après en avoir déterminé l ensemble sur lequel elles étaient définies. A = + 5 x+1 B = 3 x x 5 C = 3x + 1 x+ 3x 1 Exercice Résoudre les équations suivantes sur R 3 1) x = 3 x + 7 * 5 ) (x 1)(3x + 9) = x 1 ** Exercice 7 Résoudre les inéquations suivantes, en utilisant un tableau de signes, si nécessaire : 1 1) x + 3 < 4x * ) 3 x 1 4 ** 3 x a, b et c étant des réels, on se propose de calculer A = b 4ac puis de simplifier A de façon à avoir le plus petit entier possible sous la racine. Exemple : Pour a = 4; b = ; c = 1 alors A = ( )² 4 4 ( 1) = 0 Et A = 0 = 4 5 = 4 5 = 5 1) a = 1; b = 3; c = ) a = ; b = 4; c = 1 3) a = 10; b = 1; c = 48 4) a = 3; b = 3; c = 5 Exercice * On considère la fonction f définie par : f(x) = x(x 4) (x 3) 1) Développer f(x) et montrer que f est une fonction affine dont on donnera la valeur du coefficient directeur. ) En déduire le tableau de variations de f. 3) Déterminer le tableau de signe de f. Exercice 3 Factoriser les expressions suivantes *A = 4x x **B = (x 5) 3(5 x) *C = (3x + 4) 9 Partie II : Droites et systèmes Le plan est muni du repère orthonormal (O ; i ; j ). Soient A et B les points de coordonnées respectives ( ; 3) et (-1 ; 1), et soit (d) la droite d équation y = 3x + 4. 1) Déterminer une équation de la droite (AB). ) Les droites (AB) et (d) sont-elles parallèles? Justifier la réponse. 3) Déterminer les coordonnées du point d intersection I de (AB) et (d). 4) Sur un graphique, construire (AB) et (d) et retrouver vos réponses précédentes. Exercice ** Résoudre les systèmes suivants Exercice 4 *** Simplifier les expressions suivantes, x + 3y = 1) { 3x + 4y = 7 500a + 5b + 1 = 0 ) { 140b + 1000a + 1000 = 0 De la seconde à la première S Page 1
Exercice 3 * Dans le repère orthonormal ci contre, sont tracées 4 droites. Déterminer graphiquement l équation réduite de chacune d entre elles. La fonction f est définie sur D f par f(x) = 9 (x ). Par calcul, (re)trouver : a) les images de 4 et - par f. b) les coordonnées des points d intersection de la courbe avec les axes du repère. Exercice * On ne connaît d une fonction f que son tableau de variation : x 4 0 4 3 5 f(x) 1 Partie III : Fonctions On considère la fonction f dont on donne la représentation graphique ci-contre. Par lecture graphique : 1) Donner l ensemble de définition de f, noté D f f(4) et f( ). Les coordonnées des points d intersection de la courbe avec les axes du repère. ) Compléter les phrases suivantes : L image de 5 par f est. a pour image,5 par f. Les antécédents de 5 par f sont.. Le maximum de f est. Il est atteint pour x = 3) Résoudre f(x) > 5 4) Dresser le tableau de signes de f. 5) Dresser le tableau de variations de f. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si le tableau ne permet pas de savoir (justifier chaque réponse) : 1) f(1) f(3) ) f( 1) 5 3) f(3) est positif 4) f(4,5) > f(5,) ; 5) Si x [ 4 ; ], alors f(x) 0; ) Le maximum de f sur [ 4 ; ] est 3. Exercice 3 *** La courbe représentative ci-dessus est celle de la fonction f définie sur R par f(x) = 4 x +1. De la seconde à la première S Page
1) Prouver que pour tous réels a et b tels que 0 < a < b, f(a) > f(b). Que peut-on en déduire? ) Comparer de même f(a)et f(b) pour a < b < 0. 3) Dresser alors le tableau de variation de f sur R. 4) Résoudre graphiquement l équation f(x) =. 5) On considère l équation f(x) = x + 3. Vérifier qu elle est équivalente à l équation (x + 1)((x + 1) ) = 0. ) Résoudre alors cette équation et donner une interprétation graphique du résultat. 7) Prouver que pour tout réel x, f(x) est toujours inférieur à 4. a) Les segments [AC] et [BD] ont même milieu. 4) a) Le symétrique du point A par rapport au point C est le point de coordonnées (-10 ; -3). b) Le point E est le symétrique du point B par rapport à C. b) Le point E est le symétrique du point A par rapport à la droite (CD). c) Le quadrilatère ACED est un parallélogramme. c) Le point B est le symétrique du point E par rapport à la droite (CD). Partie IV : Pour se détendre A vous de mimer les différentes courbes vues en seconde! Partie V : Géométrie Pour chaque question, donner la ou les bonne(s) réponse(s), après avoir effectué les calculs nécessaires! Dans un repère orthonormé, on considère les points A( ; 1), B(1 ; 4), C( ; 1), D(3 ; 4) et E( 5 ; ). 1) Parmi les points suivants, le(s)quel(s) a(ont) une ordonnée positive? a) A b) B c) C ) a) Le triangle ABC est rectangle. b) Le quadrilatère ABCD est un carré. c) Le triangle ACE est isocèle. Exercice ** Soit ABC un triangle quelconque : 1) Construire les points M et N tels que AM = 3AB + CA et AN = 3AC AB. ) En utilisant, après l avoir justifié, l égalité MN = AN AM, démontrer que MN = 4BC Que peut-on en déduire pour les droites (MN) et (CB)? 3) Soit I le milieu de [BC]. a) Justifier l égalité : AB + AC = AI. b) Construire le point P tel que AP = AM + AN. c) En utilisant les questions 1) et 5), montrer par un calcul que AP = kai où k est un réel à déterminer. Que peut-on en déduire? Exercice 3 ** Le plan est muni d un repère (O ; i ; j ) 1) Réaliser une figure et placer les points A(4 ; ), B( ; 1) et C( 3 ; 5) ) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC. 3) a) Représenter le vecteur AM = 1 AB AC. b) Calculer les coordonnées du vecteur AM ; et en déduire les coordonnées du point M. 4) On considère le point D(0 ; 4/3). Les points A, B et D sont-ils alignés? Justifier par le calcul. De la seconde à la première S Page 3
Exercice 4 *** 1) Calculer les distances BD, DE et EB. ) Que dire du triangle EBD? 3) Pourquoi la droite (EO) est-elle perpendiculaire à la droite (BD)? Calculer EO. 4) On considère la pyramide de sommet E et de base le carré ABCD. Calculer le volume de cette pyramide. Partie VI : Statistiques et Probabilités Voici le dessin en perspective cavalière d un parallélépipède rectangle de 8 cm de longueur. La face ABCD est un carré de 4 cm de côté et de centre O. Exercice 3 * Une usine fabrique des aérosols. En fin de chaîne de production, une machine place le bouton pulvérisateur et l étiquette de l aérosol. Si la machine est mal réglée, les aérosols peuvent présenter deux types de défaut : avoir un bouton pulvérisateur mal posé ou avoir une étiquette mal posée. Lors du contrôle qualité, on teste un lot de 1 000 aérosols pris au hasard dans la production. On obtient les résultats suivants : 30 aérosols ont une étiquette mal posée, 50 ont un bouton pulvérisateur mal posé, 10 ont les deux types de défaut. 1) Rassembler ces données en complétant le tableau suivant. Le bouton pulvérisateur de l aérosol est mal posé Le bouton pulvérisateur de l aérosol est bien posé L étiquette de l aérosol est mal posée L étiquette de l aérosol est bien posée Total A. Statistiques Voici le diagramme en bâtons des résultats à la fin d un trimestre d une classe de seconde. 1) Vérifier cette classe compte 35 élèves. ) Donner la note médiane, l étendue, la moyenne et les quartiles de cette série. (on pourra utiliser la fonction stats de la calculatrice) 3) Quel est le pourcentage d élèves ayant obtenu au moins 10 au contrôle? Exercice * Un groupe de sportifs est composé de 8 filles et 1 garçons. 1) Lors d un concours de saut en hauteur, les filles ont franchi en moyenne 1,1 m et les garçons 1,33m. Calculer la hauteur moyenne franchie par ces sportifs. ) La moyenne des garçons sur 100 m est de 13 s et celle du groupe 14, s. Calculer la moyenne des filles sur 100 m. Total 1 000 ) On prélève un aérosol au hasard parmi les 1 000 aérosols testés. On considère les événements suivants : événement E : «l étiquette de l aérosol prélevé est mal posée», événement B : «le bouton pulvérisateur de l aérosol prélevé est mal posé». a) Calculer la probabilité P(E) de l événement E et la probabilité P(B) de l événementb. b) Définir par une phrase l événement E B, puis calculer (E B). c) On considère l événement «l aérosol présente au moins un défaut.» Exprimer cet événement en utilisant les événements E, B et les symboles necessaires, puis calculer sa probabilité. De la seconde à la première S Page 4
Partie VII : Géogébra pour conjecturer Soit ABC un triangle équilatéral de côté cm. M est un point du segment [AB] distinct de A et de B. On pose AM = x. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en Q. Les points N, H et P sont les points du segment [BC] tels que (PQ), (AH) et (MN) sont perpendiculaires à (BC). Le but de l exercice est d étudier les variations de l aire de NMQP en fonction de la position de M sur [AB]. Partie I * Réalisation de la figure sous géogébra pour émettre une conjecture. 1) Construire les points A, B et C de façon à ce que le triangle ABC soit équilatéral de côté cm. Vous ne ferez pas apparaitre les objets crées pour cette construction en sélectionnant «ne pas afficher». ) Placer le point M libre sur le segment [AB], vous vérifierez qu il est mobile. 3) Poursuivre la construction de la figure en la rendant la plus lisible possible (couleurs, pointillés,..) 4) Faire afficher dans une zone texte sur la figure l aire du rectangle NMQP. 5) Pour quelle valeur de x, l aire semble-t-elle maximale? Aide : N hésitez pas à consulter l aide en ligne du logiciel Géogébra. Partie II ** Etude de l aire du rectangle NMQP 1) Justifier les égalités suivantes : a) BM = x b) MQ = x c) AH = 3 3 d) MN = 3 ( x) ) Soit f la fonction qui associe à la longueur x la valeur de l aire de NMPQ. a) Quel est l ensemble de définition de f? b) Démontrer que f(x) = 3 (x x). Partie III * Visualisation de la courbe de f 1) Entrer la fonction f dans votre calculatrice. ) Completer la fenêtre graphique permettant une bonne visualisation de la courbe. 3) A l aide du tableau de valeurs, donner une valeur approchée au millième de l aire maximale. 4) Déterminer des arrondis au millième des valeurs de AM pour lesquelles l aire de NMQP est égale à 3 cm². Partie IV *** Démonstration de la conjecture 1) Montrer que f(x) = 3 (x 3) + 9 3. ) A l aide d une suite d inégalités, démontrer que pour 0 x, on a 0 f(x) 9 3 Calculer f(3) et en déduire la valeur exacte de l aire maximale. Partie VIII : Pour se détendre Claudine veut acheter des viennoiseries. Si elle en achète 8, il lui reste 1 mais il lui manque 75 centimes pour en acheter 9. Combien a-t-elle d argent sur elle? Partie IX : Le tableur et des algorithmes pour simuler. FENETRE Xmin : Xmax : Xgrad : Ymin : Ymax : Ygrad : On lance trois dés équilibrés et on ajoute les trois résultats sortis. On s intéresse à la probabilité des évènements : N : «obtenir une somme égale à 9» D : «obtenir une somme égale à 10» Léa et Sacha ne sont pas d accord. Léa :»Pour obtenir 9 en ajoutant trois entiers entre 1 et, il y a possibilités : ++1 ; 5+3+1 ; 5++ ; 4+4+1 ; 4+3+ ; 3+3+3 ; Pour obtenir 10, on trouve aussi possibilités : +3+1 ; ++ ; 5+4+1 ; 5+3+ ; 4+4+ ; 4+3+3 ; Sacha : «Peut-être, mais en simulant l expérience un très grand nombre de fois sur le tableur, il me semble bien que j obtiens plus souvent 10!» On cherche à départager Léa et Sacha. De la seconde à la première S Page 5
Partie I * Simulation à l aide d un tableur 1) A l aide d un tableur, simuler le lancer de trois dés et faire calculer la somme des trois résultats obtenus. ) A l aide de la poignée de recopie, réaliser la simulation de 5 000 expériences. Dénombrer les résultats 9 et les résultats 10, et faire afficher leurs fréquences. Partie III : Algorithmique 1) Compléter l algorithme suivant qui permet de simuler une partie du jeu de «Passe-dix». ) Vous pouvez programmer cet algorithme sur votre TI en utilisant l instruction entaleat(1,) pour simuler le lancer d un dé. Algorithme : Jeu du Passe-dix Variables : A, B, C, : entiers Début Entier au hasard entre 1 et A Entier au hasard entre 1 et B Entier au hasard entre 1 et C A + B + C S Si alors Afficher «Gagné» sinon Afficher «Perdu» Fin du Si Fin Aide : N hésitez pas à consulter l aide en ligne proposée par le site Texas Instrument 3) Conjecturer une réponse à apporter au débat entre Léa et Sacha. Aide : La saisie de =ALEA.ENTRE.BORNES(1;) permet de générer un nombre entier aléatoirement tiré entre 1 et. La saisie de =NB.SI(plage;critère) compte, dans la plage saisie, le nombre de cellules vérifiant le critère saisi. Partie II ** Modélisation 1) Imaginez un univers Ω modélisant le lancer de trois dés où toutes les issues sont équiprobables. ) Quel est le nombre d issues de Ω? 3) Dénombrer les issues appartenant à l événement N puis dénombrer les issues appartenant à D. 4) Conclure en comparant les probabilités de N et de D. Ce problème est connu sous le nom de problème du «Grand Duc de Toscane.» Il est en relation avec un jeu pratiqué à la cour de Florence au début du XVIIème siècle : le jeu de «Passedix» où il fallait passer dix en ajoutant les résultats obtenus par le lancer de trois dés équilibrés. C est Galilée, connu comme brillant astronome, qui résolut ce problème dans un mémoire au grand duc de Toscane. L algorithme ci-contre simule la répétition de 150 parties et compte le nombre de parties perdues. Ce nombre est stocké dans la variable P et la variable I indique le numéro de la partie. Algorithme : 150 parties de Passe-dix Variables : A, B, C, P, I : entiers Début 0 P Pour I allant de 1 à 150, Nombre au hasard entre 1 et A Nombre au hasard entre 1 et B Nombre au hasard entre 1 et C A + B + C S Si S < 10 alors P + 1 P Fin du Si Fin du Pour Afficher P Fin 3) Compléter les 1ères lignes du tableau où des valeurs vous sont données pour A, B et C. I A B C S P initialisation 0 1 3 7 1 5 5 1 5 3 3 1 4 De la seconde à la première S Page
Aide : Lors de la 1 ère partie, les résultats des lancers de dés sont ; 3 et. La somme est donc égale à 7, le jeu est perdu. Le test «Si S < 10» est vrai le compteur P prend donc la valeur 0+1=1. 4) Modifier l algorithme pour qu il affiche la fréquence de parties gagnées. Partie IX : Trigonométrie Cette partie du programme de seconde est parfois traitée très rapidement. Ces notions seront intégralement reprises en classe de 1 ère S. Exercice * Partie X : Découverte de la notion de suites numériques Exercice 1 : Compléter logiquement les suites de nombres suivantes par trois termes. a) -8-5 - 1 b) 1 4 8 1 c) - -18 54 d) 1 1 3 5 8 e) 5 11 3 47. Exercice : 1 er essai : On a construit une suite de nombres en commençant par -4 et en appliquant le principe «un terme est la somme du triple du terme précédent et de 5» Le ème terme de cette suite est donc -7. Donner les 3 termes suivants. (Vérifiez votre réponse et si vous n avez pas transformé l essai, voici une deuxième chance ) ème essai : On a construit une suite de nombres en commençant par et en appliquant le principe «un terme est le quotient du carré du terme précédent par 4» Le ème terme de cette suite est donc 1. Donner les 3 termes suivants. (alors, vous êtes devenu champion?) 1) Placer sur ce cercle trigonométrique, les points M et M, associés respectivement au réels π π et 3 4 Exercice n 3 : Des nouvelles notations Voici les 10 premiers termes d une suite : 4-1 3 7 4 5 11 On note u 1 le 1 er terme, on a u 1 = 4 On note u le ème terme, on a u = 1 1) Donner la valeur de u 5 et u ) Quels sont les termes égaux à? ) Déterminer graphiquement la valeur de leur sinus et de leur cosinus. 3) Le point M étant associé au réel la ou les bonnes réponses) π, alors il est également associé à (entourer a) 49π b) 11π c) 11π d) 7π De la seconde à la première S Page 7