Corrigé Série Exerie : Centres de masse Centre de masse d'objets omposites. La position du entre de masse d'objets omposites (ave des parties A et ) est donnée par : ri mi i A r... r r m C CA C i A A i Dans le as d'objets plats, mines et d'épaisseurs onstantes, la masse s'érit Sd, où ρ est la densité, S la surfae et d l'épaisseur des objets. On oisit un repère de oordonnées xy ˆ, ˆ entré sur le grand disque. Grâe à la symétrie du système, on n'est pas obligé de onsidérer l'axe ŷ, ar l'effet de la masse d'un ôté du C s'annule ave elui de l'autre ôté. De plus, les objets étant mines, on ne onsidère pas la diretion normale à la page.. Pour le grand disque de rayon, le C est logiquement en r CA =. Le C du petit disque est en r C =/ ˆx. On trouve alors pour le C de es deux objets : d r r r r d d A C CA C C A A r ˆ C r C rc x. Étant donné que la surfae du arré est égale à elle du disque du point a) et que l'on a également r C =/ ˆx, on déduit failement que r C =/ ˆx.. Le problème ave le disque de rayon / déoupé dans le grand disque de rayon peut être traiter de la manière suivante : nous savons que le disque omplet de rayon dont le C est en r CA = peut être onstruit par la superposition du disque de rayon déoupé (dont on ere le C) ave le petit disque de rayon / et dont le C est en r C =/ ˆx : C r C rcc rc rca C C inonnu petit disque d r ˆ CC rc r C rc x C d 6 Une autre manière de résoudre e problème est la suivante : D'abord, nous onsidérons un grand disque de rayon, sans trou, ave son C en r CA =. Le trou dans le grand disque est «ajouté» grâe à un petit disque de rayon / ave une masse «négative»
S d et dont le C est en r C =/ ˆx. La somme des masses est bien nulle là où le grand disque est déoupé. On obtient alors la position du C : r ˆ C r C rc x 6 Enore une autre manière de résoudre e problème : l s'agit simplement de onsidérer le système omme un disque ave deux trous et don de masse / auquel on ajoute un disque sur un des deux trous de masse /. Au final on obtient don : r ˆ ˆ C x x 6 Exerie : Cône Centre de masse et moment d inertie d un ône de révolution. La masse du ône est d On profite de la symétrie axiale de l objet selon l axe pour exprimer le volume infinitésimal d omme l élément de volume d un disque de rayon r et de auteur infinitésimale d : d = πr d. Ce volume infinitésimal d est fontion de ar le rayon du disque r augmente de façon linéaire ave la auteur selon la relation suivante : On obtient don r () r() d d
. Grâe à la symétrie de révolution du ône, on sait que son C sera situé sur son axe de symétrie et sa position dans le système d axe (x,y,) est r C =(,, C ). La distane C du sommet du ône (situé à l origine) au entre de masse vaut dm C par définition. Pour pouvoir aluler ette intégrale, on onsidère à nouveau que le ône est onstitué de disques d épaisseur infinitésimale d. L élément de masse dm de aque disque vaut ave dm d r d ave r( ) omme au point a). On obtient alors : C r d d où l on a utilisé l expression pour trouvée en a). Don C.. Le plus simple est de onsidérer le ône omme un ensemble de disques d épaisseur d et de moment d inertie dm d r où dm d r d. Ainsi d omme préédemment et r d d r d ave r( ) dm ATTENTON : remarque le fateur ½ qui apparaît dans l expression de d r. Cei provient du fait que l on déompose le ône en disques infinitésimaux et que l on utilise diretement l expression du moment d inertie d un disque par rapport à l axe normal à son plan. l ne s agit pas de l expression générale de. Par ontre, si l on n utilise pas la symétrie pour déomposer le ône en disques avant d effetuer l intégrale, on doit utiliser l expression générale r dm r d où l élément de volume infinitésimal en oordonnées ylindriques est d=(rdθ)drd= ave θ l angle de révolution autour de l axe. On obtient alors et finalement r r dm d r dr d d
Exerie : Cylindre reux ) r dm r rdddr r dr r ) r r dm r rd ddr r d ddr Exerie : Cône reux étode : alul omplet On exprime l élément de masse en fontion de l élément de volume en oordonnées ylindriques : dm d dr d rd r() est bornée entre r () et r () : r r r () r () r r l faut faire attention lors de l intégration ar les bornes sont différentes pour entre et et pour entre - et. l y a don ontributions au moment d inertie : r r dm r r rdddr r rdddr dm
La première intégrale s érit : r r r r r rdddr d r dr d d r Cette expression orrespond au moment du petit ône formant la pointe de notre objet. La deuxième intégrale s érit : r r r r rdddr d r dr d r r r d r r La solution s érit don : Cette formule est onsistante ave elle du ône ar quand et tendent vers, on retrouve : one lim, Le volume du ône étant donné par one r
On trouve que la densité vaut one On trouve don bien la relation abituelle pour le moment d inertie du ône : one étode : déomposition en plusieurs solides + = ône eré reux petit petit ône ône grand grand ône ône A l exerie, nous avons alulé le moment d inertie du ône : one Don : Exerie : Cylindre tronqué 6
' ' ' 6 ' ' ' 6 ' r d ' ' r dm r d r r rd drd d ' ' 6 6 6 6 6 6 6 ' ' ' ' ' ' Car et don ' ' et ' Autre métode : tot grand petit le moment d inertie total est la différene entre le moment d inertie du grand ône et elui du petit. Calulons le moment d inertie d un ône quelonque de auteur H et de rayon à la base : ône H H H H r d r dm r d r r rd drd d H Si l on alule maintenant tot : tot grand petit ' 6 6 ' en utilisant les relations préédentes pour et +. 7