EXAMEN DU BACCALAUREAT Epreuve : MATHEMATIQUES SESSION DE JUIN 07 Durée :4H ****** Coefficiet : 4 Sectio : Mathématiques SESSION DE CONTRÔLE Corrigé proposé par : FARID ABIDI ****** Lycée Ib Rachic - Ezzahra Eercice : A U B A U B A U B a b c A U B Eercice : AIC est u triagle direct et rectagle e I et E milieu de [AC] doc I est le cetre du cercle circoscrit au triagle AIC Aisi le triagle AIC est équilatéral direct Il e résulte que : EA = EI et EA, EI CA, CI a) ABI est u triagle direct, isocèle et rectagle e I doc AB AI doc SI B f E S S E SI B b) O a 4 et AI, AB f A S S A S A A et f S S est la composée d ue similitude directe et de rapport idirecte de rapport et d ue similitude idirecte de rapport doc f est ue similitude et de cetre A c) f f est l homothétie de cetre A et de rapport O a : f f E f f E f B Posos f f E E', AE ' AE AC doc E = C https://mathsecodairesitewordpresscom/ Page - 0
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle Par suite, f(b) = C d) (BJ) est la droite perpediculaire à la droite (AE) passat par B doc f((bj)) est la droite perpediculaire à f((ae)) = (AB) passat par f(b) = C Or la droite (CK) est perpediculaire à (BK) doc f((bj) = (KC) CK AB K J (BJ) doc f(j) (CK) et J (AE) doc f(j) (AB) Comme alors f(j) = K g est la similitude idirecte telle que g(c) = A et g(k) = I a) Posos g(b) = B, BCK est u triagle direct, isocèle et rectagle e K doc so image par g est le triagle B AI idirect, isocèle et rectagle e I Or BAI triagle idirect, isocèle et rectagle e I, doc B = B d où g(b) = B Aisi, B est le cetre de g b) Soit D = g(a), A (BK) doc D (BI) CB,CA 6 AB, AD 6 c) O a :, g(c) = A, g(b) = B et g(a) = D doc AB, AT 6 Désigos T u poit du pla distict de A telle que, la demi droite [AT) coupe la droite (BI) e D (Voir figure ci-dessous) 4 a) est la composée de deu similitudes idirectes doc est ue similitude directe A g f A g f A g A D et b) AB, DA AB, AD 5 Soit le cetre de B g f B g f B g C A 7 doc l agle de 6 6 a) E g f E gb B A D est 7 6 7 7 alors 6 cetre et d agle Comme Il e résulte que E, D est ue similitude directe de b) O pose F J, comme D E alors FD, JE c) F J g f J gk I D autre part, B A D et doc FD JE E g f E g B B A Soit k le rapport de la similitude directe, comme IB = IE alors FD = k IB = k IE = FA Aisi, FD = FA F est le poit d itersectio de la médiatrice du segmet [AD] et de la perpediculaire à (JE) issue de D https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page - 8
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle, Soit M,M P / ME,MD et M,M P / MJ,MF Eercice : a) Soit l équatio (E) : z i z 0 9 5 Le discrimiat de (E) est i 4 i 4 i 0 4 4 l équatio (E) admet deu racies distictes z et z doc z z i Comme z z est pas réel, alors z et z e sot pas cojuguées b) https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page - 8
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle a) C est milieu de [AB] doc z z zc i i e 4 4 i 6 b) z z z z z z z z z z 4z z z z 4z z z C 4 4zC 4 4 zc z z z z 4 z z z 4 z z 4 c) z C C C C zc z z z z z z z z zc z z zc z z C C doc arg arg 4 arg arg AB,CI AB,CJ 0 doc JC, AB AB, IC AB, IC AB, JC 0 CI, AB AB, CJ AB,CI AB,CJ 0 doc (AB) porte la bissectrice itérieure de l agle ICJ doc CI, CJ CI, AB AB, CJ CI, AB a) ( ) est le cercle circoscrit au triagle IAJ et K so cetre doc K appartiet à la médiatrice de [IJ] Comme O, v b) O pose zk iy, y Soit M u poit d affie z, M( ) est la médiatrice de [IJ] alors K appartiet à O, v KM KI KM KI z zk zk z iy iy D où M( ) z iy iy z iyz iy iy iy zz iyz iyz y y zz iyz z c) A ( ) zz iyz z zz iyz z z z z z iyz z iy iy z z z z zz zz zz Doc B( ) iy z z zz iy z z https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page 4-8
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle 4 a) O a : z C e i 6 b) K le cetre du cercle ( ) est le poit d itersectio de la médiatrice du segmet [IJ] et la droite O, v 4 i 4 4 Eercice 4 : Pour tout 0, f l A- a) lim 0 doc lim f 0 0 https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page 5-8
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle La droite O, j est asymptote à (Cf ) b) lim lim doc lim f O a : l l f lim lim lim Or lim doc Doc ( Cf ) a) Pour tout b) l lim 0 et lim 0 O, i doc f lim 0 admet ue brach e parabolique de directio au voisiage de 0, f 0 f + f 0 a) c) f est cotiue et strictemet croissate sur 0, doc f réalise ue bijectio de 0, sur J = f 0,,0 0 Le discrimiat est 5 doc les solutios de l équatio sot 5 et 5 Par suite, l esemble des solutios de l équatio est 5 5, https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page 6-8
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle b) Soit 5, 5 5 5 4 c) Pour tout > 0, f 0 l 0 0 0 0 0 Doc la courbe (Cf) coupe l ae des abscisses au poit A d abscisse f 0 d) O a : et doc Aisi, ue équatio de la tagete T à (Cf) au poit A est y f f e) Soit B0, 4 a) et b) 0, doc T passe par B https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page 7-8
Mr FARID ABIDI Corrigé Bac 07 Sectio Mathématiques Sessio de cotrôle B- Soit u etier o ul, O pose pour tout, G f t dt a) Pour tout etier et pour tout, t t f f t f l f t f l dt f t dt f dt Doc doc l f t dt f d où l G f b) O pose u() = f t v (t) =, v(t) =, u (t) = t t t t f t t t t G f t dt tf t dt f l dt dt t t O pose f l dt t J dt t a) lim l lim e 0 e b) l G f Comme c) lim alors lim l 0 l l e e lim lim l lim l Or lim l 0 et doc e lim doc lim l 0 l G 0 lim G 0 et par suite d) O a : G f l dt l J t doc J l G l G Par suite, lim J l lim lim G l l l 5 https://mathsecodairesitewordpresscom/ 07 Page 8-8