Chap. G2 : Algèbre des matrices

Chap. G2 : Algèbre des matrices II Calcul d inverse de matrices, systèmes linéaires inversibles, opérations élémentaires 0) Vue l équivalence AX = Y X = A 1 Y, calculer A 1 équivaut à résoudre un système. On a déjà vu que la méthode générale de résolution est le pivot, sauf pour certains systèmes particuliers : p.ex deux équations à deux inconnues (Cramer), ou bien présentant beaucoup de symétries. On retrouve donc ici les mêmes résultats pour l inversion des matrices, mais aussi des nouvelles liées à l algèbre dans M n(k), puis on montre comment on peut exprimer la méthode du pivot purement matriciellement. 1) Calcul d inverses dans (de nombreux) cas particuliers a) Cas des matrices 2 2, traduction matricielle des formules de Cramer. Retenir A 1 = (1/ det(a)) la matrice où on permute les deux éléments diagonaux et on met des aux éléments non diagonaux. b) Cas des matrices avec beaucoup de symétrie : il est intéressant de regarder L 1 + + L n Exple : calculer l inverse de A = (a i,j ) où a i,j = 1 δ i,j. c) Utilisation de l algèbre dans M n (K) (i) Pour les matrices : I N avec N nilpotente. Identité remarquable : I N r = (I N) (I + N + + N r 1 ) car I et N commutent. (ii) Si on connaît une relation simple du type : A p = a p 1 A p 1 + + a 1 A + a 0 I n, on peut, pour a 0 0 en déduire que A est inversible et avoir A 1. N.. Une telle relation existe toujours car la famille (I, A,..., A n2 ) est forcément liée. (iii) Cas où A est dans une petite sous-algèbre de M n (K) : on peut chercher l inverse dans cet algèbre. 4 1 1 Exemple de A = 1 4 1. Le calcul de l inverse par la méthode du b) donne A 1 = 1 5 1 1 1 5 1. 1 1 4 18 1 1 5 On se demande alors pourquoi A 1 est de la même forme que A. Réponse : A = 3I + E, et A = Vect(I, E) est un sous-algèbre de M 3(K). On cherche alors A 1 A, ce qui donne un calcul rapide. (iv) Remarque : la méthode du (iii) s applique aussi à l exemple du b). (v) Exercice ( ) : validant la méthode du (iii) : montrer que si A est une sous-algèbre de M n (K) et si A A est inversible dans M n (K) alors son inverse est dans A. d) Utilisation du lien avec les endomorphismes : exemple d une matrice de permutation. 2) Pivot de Gauss et traduction matricielle des opérations sur lignes et colonnes a) Opération sur les colonnes : multiplication à droite. Trois opérations autorisées dans la méthode du pivot de Gauss (ici sur les colonnes) : Pour chacune, savoir retrouver les matrices de multiplication, et pourquoi on multiplie à droite. (i) Echange de colonne, notation : C i C j : (pour le choix du pivot). Traduction de l opération en terme d A.L., puis traduction matricielle : multiplication à droite par une matrice P i,j. Cor. (mnémo.) P i,j est simplement la matrice obtenue en permutant C i et C j dans I n. (ii) Multiplication d une colonne par un scalaire non nul, notation : C i αc i. Multiplication à droite par diag(1,..., α,..., 1), avec α à la i-ème place (mnémo. I n ). (iii) Ajout à la colonne C i d un multiple de C j, notation C i C i + λc j. Multiplication à droite par la matrice T j,i,λ = I n + λe j,i (retrouver avec I n ). Remarque : T j,i,λ est inversible d inverse T j,i, λ. b) Opérations analogues sur les lignes : multiplication à gauche. Mêmes résultats avec multiplication à gauche : preuve avec le a) appliqué à t A. 3) Application du pivot matriciel à l inversion de matrices Attention : utilisation du pivot seulement sur les Lignes (Ou seulement sur les colonnes!) 1

MPSI 1 Programme de colles Semaine 24, du 27 au 30 avril 2015 a) Méthode : présentation sur deux colonnes : au départ A à gauche, I à droite, à chaque étape, on répercute les opérations sur les lignes des deux côtés, à l arrivée I à gauche et A 1 à droite. b)mise en oeuvre de la méthode du pivot sur les lignes : on peut voir le pivot en deux temps. Si le pivot est l entrée (1, 1) on commence par créer des zéros sous la diagonale en retranchant à chaque ligne une C.L. de lignes inférieures. Puis, quand la matrice est TS, on utilise au contraire les lignes du bas (les plus simples), pour mettre des zéros au dessus de la diagonale 1 2 2 Un exemple : inverser A = 3 1 2. Résultat : A 1 = 2 1 2 0 1 1 1/3 1 4/3. 1/6 1/2 5/6 c) Ce qui valide la méthode : mêmes opérations signifie multiplication par la même matrice. d) Attention : si on veut agir à la fois sur les lignes et le colonnes : on obtient I = T 1 AT 2 à gauche et T 1 T 2 à droite! III Changement de bases, matrices équivalentes, matrices semblables 1) Effet d un changement de base sur la matrice d une application linéaire a) Matrice de passage (i) Déf P, la matrice dont les colonnes sont les coord. des vecteurs de dans la base. (ii) Interprét. géom. P, = Mat, (id E ) (écriture non usuelle pour id E endomorphisme). Conséquence : la matrice P, est inversible, d inverse P,. x 1, et [x] = X alors : (iii) Changement de base pour les vecteurs : si [x] = X = X = P, X. (iv) Moralité : si (nouvelle base) est donnée en fonction de (ancienne base), alors la matrice de passage qui est donnée sans calcul, i.e. P,, ne permet pas de calculer les coordonnées d un x dans la nouvelle base. Il faut inverser P,. Exemple de calcul en dim. 2. (v) Preuve de la formule du (iii) : simplement x = id E (x) avec id E (E, ) (E, ). b) Formule de changement de base pour les application linéaires (i) Si f L(E, F ) avec notations usuelles on a la relation : x n Mat C, (f) = P C,C Mat C, (f)p,. (ii) Preuve par la composition des applications : (E, ) f (F, C) (E, ) (F, C ) (ii) En pratique, si et C sont les anciennes bases, et et C les nouvelles exprimées en fonctions des anciennes, alors sont données sans calculs les matrices P = P, et Q = P C,C et la relation du (i) devient : id E M = Q 1 MP. c) Cas des endomorphismes (i) Relation : Mat (f) = P, Mat (f)p, (ii) Avec la même convention qu au b) (ii), M = P 1 MP 2) Matrices équivalentes et classification par le rang a) Matrices équivalentes : (i) Déf. Pour (M, N) M m,n (K) 2, on dit que N est équivalente à M ssi (Q, P ) GL m (K) GL n (K), N = QMP. (ii) Prop. : La relation du (i) est une relation d équivalence : R.S.T. (iii) Rem. Pour les calculs de rang d une famille de vecteurs, on avait déjà introduit la r- équivalence (équivalence à droite) : M et N sont r-équivalentes ssi il existe un P GL n (K) tel que M = NP. De même on peut introduire la l-équivalence : M = QN. f id F 2

L équivalence du (i), moins exigeante, pourrait s appeler RL-équivalence. N.. : Toutes ces terminologies r-équivalences, l-équivalence, et rl-équivalences ne sont hélas pas dans la lettre du programme. Le seul mot figurant au programme est matrices équivalentes, ce qui désigne la rl-équivalence. (iv) Caract. géométrique : Deux matrices sont équivalentes ssi elles représentent la même A.L. à deux changements de bases près : un au départ et un à l arrivée. Enoncé précis : Soit M et M dans M m,n(k). Soit f L(K n, K m ) tel que M = Mat C, (f) où, C sont les bases can. resp. Alors : M et M sont équivalentes si, et seulement si, il existe une base de K n et une base C de K m telles que M = Mat C, (f). b) Petite excursion sur la r-équivalence et la l-équivalence : (i) Convention : pour M M m,n (K), on désigne par ker(m) et Im(M) le noyau et l image de l application lin. can. associée à M qu on peut voir aussi comme l appl. X M.X. (ii) Prop. : deux matrices r-équivalentes ont même image. Deux matrices l-équivalentes ont même noyau. c) Rang d une matrice (rappels et compléments) (i) Prop. déf. du rang d une matrice : Soit A M m,n (K). (1) rg(c 1,..., C n ) (rang de la famille des col. de A) On peut définir rg(a) de manière équivalente comme : (2) rg(f) où f L(K n, K m ) est l A.L. can. ass. à f, (3) rg(f), f L(E, F ), A = Mat C, (f) (ii) Propriété : deux matrices équivalentes ont même rang. Deux preuves : (1) Preuve géométrique : Avec le a) (iv). (2) Preuve en décomposant via la r et la l équivalence, qui toutes deux conservent (plus que) le rang. (iii) Prop. (rappel) si A M m,n (K) alors rg(a) min(m, n). d) Classification par le rang : théorème de réduction par équivalence, pv. géom. (i) Théorème géométrique : réduction par deux changements de bases f L(E, F ) est de rang r, si et seulement si, il existe un choix de base, C de E, F tel que : Mat C, (f) = ( I r 0 (ii) Reformulation matricielle : théorème de réduction par équivalence si A M m,n (K), A est de rang r si, et seulement si, elle est équivalente à ( I r 0 (iii) Le sens est évident. (iv) Corollaire de la prop. (transitivité) deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang. Pour les exercices du type A et sont elles équivalentes?, regarder simplement le rang (v) Preuve du (i) : C.N. sur les vecteurs de la base recherchée... puis on ajuste à l arrivée. e) Obtention de la même réduction par la méthode du pivot matriciel (i) Idée : si on reprend la méthode du pivot matriciel qu on a appliquée aux matrices inversibles au II 3), et qu on l applique à une matrice rectangulaire quelconque, mais cette fois en agissant d abord sur les lignes, mais aussi ensuite sur les colonnes (ou l inverse!) on arrive aussi à la matrice : ( I r 0 2 4 6 0 2 1 1 2 3 3 Résultat vu seulement sur un exemple : Soit A = 2. 3 6 7 1 2 1 2 5 3 4 3 3

1 2 0 0 1 4 Par pivot sur les lignes (de haut en bas puis de bas en haut), on arrive à A 5 0 0 1 0 = 12 0 0 0 1 1. 6 0 0 0 0 0 (Cette réduction à elle seule est intéressante et implémentée en Scilab.) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Par pivot sur les colonnes : on se ramène alors à puis à ( I 3 0 0 0 0 1 0 0 0 ). 0 0 0 0 0 (ii) En répercutant toutes les opérations sur les lignes dans une matrice qui vaut I m au départ et celles sur les colonnes dans une matrice qui vaut I n au départ, on obtient les deux matrices Q et P 1 telles que : QAP 1 = ( I r 0 f) Application au rang de la matrice transposée (i) Théorème Pour tout A M m,n (K), on a rg( t A) = rg(a). (ii) Reformulation : rang des lignes égale au rang des colonnes! (iii) Preuve avec le thm. de réd. par équivalence. g) Conséquence très forte : le théorème principal sur le systèmes d équations (i) Traduction matricielle d un système linéaire : Si E = K n et qu on considère un s.e.v. F défini par m équations ϕ 1 (x) = = ϕ m (x) = 0, on peut écrire en identifiant K n à M n,1 (K), X F AX = 0. (ii) En notant a L(K n, K m ) l endo. can. associé à A, F = ker(a) et par théorème du rang dim(f ) = n rg(a) = n rg(a) = n rg( t A) = n rg(ϕ 1,..., ϕ m ). Scholie : On vient de démontré le résultat attendu depuis longtemps : m équations indépendantes définissent un s.e.v. de dim. n m. h) Rang des matrices extraites et caractérisation du rang par les matrices extraites (i) Déf. (matrice extraite) Soit A = (a i,j ) M m,n (K). On appellera sous-matrice de A obtenue avec les lignes L i1,..., L ip et les colonnes C j1,..., C jq (où i 1 < < i p sont dans 1, m et j 1 < < j q sont dans 1, n ) la matrice A = (a k,l ) M p,q(k) définie par (k, l) 1, p 1, q, on a l égalité d entrées : a k,l = a i k,j l. (ii) Prop. Si A est un sous-matrice de A alors rg(a ) rg(a). (iii) Prop. si rg(a) = r il existe une sous-matrice A de A qui est une matrice carrée de taille r inversible. (iv) Caract. du rang par les matrices extraites : le rang d une matrice A M m,n (K) est le plus grand entier r tel qu il existe une sous-matrice de A carrée de taille r inversible. 4) Matrices semblables et propriété de la trace (matrices carrées uniquement) a) Matrices semblables (i) Déf. : si A, M n (K), on dit que est semblable à A ssi P GL n (K), = P 1 AP. (ii) La relation être semblable est une relation d équivalence. On notera (non stand.) A s. (iii) Si A et sont semblables alors elles sont équivalentes, récip. fausse : Toutes les matrices inversibles sont équivalentes à I n, la seule matrice semblable à I n est elle-même! (iv) Deux matrices carrées sont semblables ssi elles représentent le même endomorphisme avec un seul changement de base! (v) La relation de similitude (plus fine) est celle qui traduit vraiment les prop. géom. des endomorphismes. Remarque sur les produits : A = P 1 AP et = P 1 P donne A = P 1 (A)P. Utile aussi pour A n.. 4

(vi) Exemple : M de rang r est semblable à ( I r 0 ) si, et seulement si, M est la matrice d un 0 0 projecteur de rang r. (N.. M matrice de projecteur M 2 = M). b) Trace d une matrice, d un endomorphisme (i) Déf. trace d une matrice, Tr(A) = n i=1 a i,i. (ii) Prop. T r est une forme linéaire de M n (K). (iii) Prop. (A, ) M n (K) 2, Tr(A) = Tr(A). (iv) Cor. deux matrices semblables ont même trace. La récip. est fausse. La trace donne une C.N. de similitude, pas une CNS. (v) Cor-déf. de la trace d un endomorphisme (attention : pourquoi Tr(f) bien définie!) (vi) Exemple : trace d un projecteur. Si p est un projecteur alors Tr(p) = rg(p). c) Comment montrer que deux matrices sont semblables La relation A s se montre en général géométriquement avec les A.L. can. ass. Exercice type corrigé : comment montrer qu une matrice donnée est semblable à une matrice diagonale, donnée : 2 1 1 Soit A = 0 0 2. 0 1 3 Montrer que A est semblable à D = diag(2, 2, 1) et donner une matrice P telle que A = P DP 1. Remarque : Il s agit d un exemple de diagonalisation : on montre que A est semblable à une matrice diagonale, ce qui simplifie bien l étude de A... Solution Méthode standard Soit la base can. de E = R 3 et f can. assoc. à A. On cherche = (e 1, e 2, e 3) telle que Mat (f) = D. Les conditions sur e 1, e 2, e 3 sont les suivantes : f(e 1) = 2e 1, de même f(e 2) = 2e 2 et f(e 3) = e 3. L essentiel : on cherche l expression de e 1, e 2, e 3 dans la base. On travaille dans, et on utilise l expression de f donnée par la matrice A pour traduire les conditions sur e 1, e 2, e 3. On cherche donc e 1 et e 2 dans {v E, f(v) = 2v}. 2 1 1 Or pour v y, on a f(v) = 2v ssi 0 0 2. y = 2 y, ce qui équivaut à : 0 1 3 2x + y + z = 2x, 2z = 2y i.e. à y + z = 0. y + 3z = 2z Donc on peut choisir e 1, e 2 deux vecteurs de base du plan d équation y = z, par exemple : 1 0 e 1 0 et e 2 1. 0 1 De même, on cherche e 3 dans {v E, f(v) = v}. 2 1 1 Or pour v y, on a f(v) = v ssi 0 0 2 y = y, ce qui équivaut à : 0 1 3 2x + y + z = x, 2z = y i.e. à { x + y + z = 0 y = 2z y + 3z = z 1 On choisit e 3 un vecteur directeur de la droite ainsi définie p.ex. e 3 2. 1 On remarque que si on note E 1 = Vect(e 1, e 2) et E 2 = Vect(e 3) on a pour x E 1 E 2 f(x) = 2x et f(x) = x ce qui force x = 0. Vue les dim. on a donc E 1 E 2 = E. Ainsi = (e 1, e 2, e 3) est une base de E. Par construction Mat (f) = diag(2, 2, 1). 5

En outre, par la formule de changement de base, on a A = P, DP,, donc A = P DP 1 avec 1 0 1 P = 0 1 2. 0 1 1 Il n est pas de brouillards, comme il n est point d algèbres, Qui résistent, au fond des nombres ou des cieux, A la fixité calme et profonde des yeux ; Je regardais ce mur d abord confus et vague, Où la forme semblait flotter comme une vague, Où tout semblait vapeur, vertige, illusion ; Et sous mon oeil pensif, l étrange vision Devenait moins brumeuse et plus claire, à mesure Que ma prunelle était moins troublée et plus sûre. Victor Hugo, La légende des siècles cité par J.P. ourguignon dans Les Déchiffreurs, Voyage en mathématiques. 6