OPTIQUE GEOMETRIQUE SMP-SMC-SMI-SMA Université Hassan II Ain Chock Faculté des Sciences Ain Chock Casablanca Maroc najid.nour_eddine@caramail.com
Chapitre I : Principes de l optique géométrique A-APPROXIMATION DE L OPTIQUE GEOMETRIQUE. L optique géométrique est l étude géométrique des rayons lumineux, c est à dire des rayons visible à l œil nu humain, sans aucun autre moyen supplémentaire. Ce sont des rayons lumineux dont la longueur d onde est comprise entre 0.4 micromètre ( µm ) et 0.8 micromètre (µm). Cette zone correspond aux couleurs de l arc en ciel, de l infrarouge à l ultra violet. En passant à travers un diaphragme de diamètre a, la lumière de longueur d onde λ, subit une diffraction angulaire ( Figure 1 ) de l ordre de α λ/a. Pour satisfaire les conditions de propagation rectiligne de la lumière, on doit avoir α très faible. Pour cela, la longueur d onde λ, doit être très petite par rapport à l ouverture a. Cela est presque toujours réalisé en optique car les longueur d onde sont comprises entre 0.4 µm et 0.8µm, alors que a est de l ordre de quelques millimètres. Moyennant cette approximation, dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite suivant des rayons lumineux perpendiculaires aux surfaces d onde. C est l approximation de l optique géométrique. λ α a Figure 1 α
B-CHEMIN OPTIQUE ET PRINCIPE DE FERMAT. 1 )-Définition du chemin optique. On appelle chemin optique L L AB (AB), entre deux point A et B, le long d une courbe (C) (Figure 2) l intégrale curviligne : B L nds (C) A (C) Figure 2 n étant l indice de réfraction du milieu de propagation. ds est l élément de longueur de la courbe (C). Si la lumière traverse un ensemble de milieux homogènes d indices de réfractions n 1, n 2,, n p suivant les trajets AM 1, M 1 M 2,, M p-1 B ; le chemin optique (AB) est alors exprimé par ( Figure 3 ): (AB) (AM 1 ) + (M 1 M 2 ) + + (M p-1 B) A n 1 n 2 n p u 1 M 1 M 2 M p-1 u 2 u p B Figure 3 (AB) n AM1 + n2m1m 2 +... + npmp-1b 1
(AB) n1 u 1.AM 1 + n2u2.m 1M2 +... + npup.m p-1b uk sont les vecteurs unitaires portées par sens de propagation de la lumière. M k-1m k et dirigés dans le 2 )-Principe de Fermat. «Le trajet réellement suivi par la lumière pour aller d un point A à un point B fixes, correspond au chemin optique stationnaire.» Lorsque le chemin optique est stationnaire, la différentielle totale de L est nulle, nous avons donc dl 0. 3 )-Conséquences du principe de Fermat. Le principe de Fermat permet d établir les résultats suivants : Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite entre deux points A et B fixes. La droite est le plus court chemin entre deux points donnés. La loi du retour inverse de la lumière. (AB) (BA). Si la lumière se propage de A vers B, elle peut aussi le faire de B vers A. Les lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction. C-THEOREME DE MALUS. 1 )-Surfaces d onde. Soit S une source ponctuelle, la surface d onde est le lieu géométrique des points atteints au même instant par les ondes issus de la source S. Lorsque la surface est sphérique on dit que l onde est sphérique, si elle est plane on dit que l onde est plane. Une onde sphérique examinée à très grande distance de la source lumineuse, peut être assimilée à une onde plane.
2 )-Théorème de Malus. Dans un système optique, après un nombre quelconque de réfractions et de réflexions, les rayons lumineux issus d une même source ponctuelle sont perpendiculaires aux surfaces d ondes. Le théorème de Malus, a pour conséquence l égalité des chemins optiques entre deux surfaces d onde.
Chapitre II : Notions de Stigmatisme- Approximation de Gauss A-ESPACE OBJET-ESPACE IMAGE. 1 )-Système optique. Un système optique est constitué d une succession de milieux isotropes d indices différents, ou la lumière peut subir des réflexions ou des réfractions. On distingues les différents systèmes optiques suivants : -Un système dioptrique est composé de milieux ou la lumière ne subit que des réfractions. -Un système catadioptrique est composé de milieux ou la lumière subit des réfraction et des réflexions. -Un système catoptrique est composé de milieux ou la lumière ne subit que des réflexions. On appelle système optique centré, un système ou tous les éléments sont centrés sur un même axe nommé : axe optique du système. 2 )-Notion d image. Soit A une source lumineuse envoyant des rayons lumineux sur un système optique (S). Si tous les rayons issus de A, convergent en un point A après la traversée de (S), on dit qu A est l image de A par rapport à (S). Par application du principe du retour inverse de la lumière, on dit que A et A sont conjugués par rapport au système optique (S). 3 )-Espace objet-espace image. En optique on distingue différents type d objets et d images. Ils peuvent être réels ou virtuels suivant leurs emplacement dans le système optique ainsi que de la nature de ce dernier. Un objet est réel ou virtuel, une image est réelle ou virtuelle suivant leurs positions par rapport aux faces d entrée ou de sortie du système.
Les figures 4 et 5 donnent les différents cas possibles. Lumière Lumière E S E S Espace objet réel Espace objet virtuel Espace objet virtuel Espace image réel Figure 4 Figure 5 B-STIGMATISME. 1 )-Stigmatisme rigoureux. On dit qu il y a stigmatisme rigoureux, si tout rayon passant par A avant la traversée du système optique (S), converge en A après la traversée du système optique ( Figure 6 ). A Figure 6 (S) A Le stigmatisme rigoureux se traduit par le fait que le chemin optique reliant les points A et A est constant quelque soit le trajet emprunté par la lumière.
2 )-Stigmatisme approché. Le stigmatisme rigoureux, est en général, très difficile à réaliser. Les systèmes optiques usuels n admettent que quelques points réalisant le stigmatisme rigoureux. Il y a des surfaces optiques rigoureusement stigmatiques, mais pour des raisons expérimentales, liées à l usinage et au polissage, elles sont difficiles à réaliser. Pour surmonter ces problèmes on se place dans le cas du stigmatisme approché. Cela est réalisé lorsque le chemin optique reliant deux points A et A est constant au deuxième ordre près. 3 )-Condition d Abbe : Aplanétisme. Soient A et A un couple de points conjugués dans un système optique (S), on dit que A et A sont aplanétiques s il existe deux points B et B tel que l objet AB et l image A B sont perpendiculaires à l axe optique (Figure 7). C est la condition d Abbe qui se traduit par la formule : n. AB.sin u n'.a'b'.sin u' A B n (S) n A u u B E S Figure 7 n et n sont les indices de réfraction ; u et u les angles d ouverture des rayons ; E et S successivement les faces d entrée et de sortie ; (S) un système optique centré.
4 )-Approximation de Gauss - Optique paraxiale. Un système optique centré (S) est utilisé dans les condition de Gauss, si tous les rayons qui le traversent sont faiblement écartés par rapport à l axe optique. On dit aussi que nous sommes dans les conditions de l optique paraxiale.
Chapitre III : Systèmes optiques dioptriques Les systèmes dioptriques sont constitués principalement par le dioptre sphérique, le dioptre plan qui en est un cas particulier et la lame à faces planes et parallèles. A-DIOPTRE SPHERIQUE. 1 )-Définition. Un dioptre sphérique est l association de deux milieux transparents d indices différents, séparés par une surface sphérique, de centre C et de sommet S (Figure 8). n n C S CS est l axe optique du dioptre sphérique. n et n sont les indices de réfraction des milieux objet et image. Figure 8 2 )-Etude du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss. a-introduction. Dans n importe quel système optique, il est nécessaire de trouver une relation liant les positions de l objet à celle de l image par rapport à des points particuliers du système. Cette relation est appelée formule de conjugaison. Dans presque tous les cas, on établi cette relation dans les conditions de Gauss ; car le stigmatisme rigoureux n est pas toujours vérifié. b-formule de conjugaison. C est la relation liant un point objet A à son image A. Avec origine au sommet S : n SA n' SA' n n' SC
Avec origine au centre C : n' CA n CA' n' n CS c-foyers objet F et foyer image F. Lorsque A tend vers l infini, A se trouve en F : SF n n SC n' Lorsque A tend vers l infini, A se trouve en F : SF' n' SC n' n d-formule de Newton. C est la formule de conjugaison avec origines aux foyers F et F : FA.F'A' SF.SF' e-grandissements. Ce sont des grandeurs algébriques caractérisant l aspect de l objet par rapport à son image. Cela peut se faire de plusieurs point de vu : angulaire, linéaire -Grandissement linéaire ou transversal : D une façon générale, elle est définie par le rapport de la taille de A'B' l image à celle de l objet : γ. AB Pour le dioptre sphérique : Avec origine au sommet : Avec origine au centre : γ γ n SA' n' SA CA' CA Avec origines aux foyers : γ SF FA F'A' SF' -Grandissement axial :
D une façon générale, si on déplace l objet d une quantité dp, l image est déplacée en conséquence d une quantité dp. Le grandissement dp' axial g est donnée par : g. dp Pour le dioptre sphérique : p'² g n avec p SA ; p' SA' n' p² g est toujours positif pour un dioptre sphérique; objet et image se déplacent toujours dans le même sens. -Grandissement angulaire ou grossissement. C est le rapport entre l angle u sous lequel on voit l objet à travers le dioptre sphérique à l angle u sous lequel on voit l objet à l œil nu (Figure 9). G u' u B B A u A u S C Figure 9 f-formule de Lagrange-Helmholtz(L-H). La formule de Lagrange-Helmholtz est donnée par ( Figure 9 ) n.ab.u n'.a'b'.u' On vérifie que les trois grandissements sont liés par :
g.g γ B-DIOPTRE PLAN. Le dioptre plan est un dioptre sphérique de rayon infini ( son centre C est rejeté à l infini ). La formule de conjugaison, dans les conditions de Gauss est : n HA n' HA' 0 Dans la figure 10, A est réel, A est virtuelle.. Si n > n, il y a éloignement apparent de l objet.. Si n < n, il y a rapprochement apparent de l objet H A A I n > n n Figure 10 -Le Grandissement linéaire est donné par : γ n HA'. n' HA H est le sommet du dioptre plan, il joue le rôle de S dans le cas du dioptre sphérique. C-LAME A FACES PLANES ET PARALLELES. Une lame à faces parallèles est l association de deux dioptres plans parallèles. On ne considère que le cas ou la lame baigne dans un même milieu qui est l air d indice de réfraction égal à l unité. Dans les conditions de Gauss, l action d une lame à faces parallèles sur un objet est une translation (Figure 11) ayant pour valeur :
H AA' HH'.(1 1 ) n H A n La Figure 11, suppose que la A lame baigne dans l air. A 0 est l image de A à travers le Figure 11 premier dioptre et A est A 0 l image de A 0 à travers le second dioptre. Une lame à faces parallèles est caractérisée par son indice de réfraction n et son épaisseur e HH. Les grandissements axial et linéaire sont égales à l unité.
Chapitre IV :Les éléments réfléchissants A-MIROIR SPHERIQUE. 1 )-Définition. Un miroir sphérique est une surface réfléchissante de forme sphérique. Si la surface réfléchissante se trouve à l extérieur de la sphère ( Figure 12a ) le miroir est convexe. Si la surface réfléchissante se trouve à l intérieur de la sphère le miroir est concave ( Figure 12b ). Le miroir sphérique est caractérisé par son centre C et son sommet S. S C C S (a) Figure 12 (b) 2 )-Etude du miroir sphérique dans les conditions de Gauss. a-formule de conjugaison. -origine au sommet : 1 + 1 2 (1) SA SA' SC Cette relation est aussi connue sous le nom de formule de Descartes. -Origine au centre : 1 + 1 2 CA CA' CS b-foyer objet et image. Le foyer objet est obtenu en faisant tendre A vers l infini, soit :
SF SC 2 Le foyer image est obtenu en faisant tendre A vers l infini, soit : SF' SC 2 Dans un miroir sphérique, les foyers objet et image sont confondus et situés au milieu de SC. c-formule de Newton. C est la formule de conjugaison avec origine au foyer : FA.FA' SF² d-grandissements. -Grandissement linéaire ou transversal. C est le rapport de la taille de l image à celle de l objet : Origine au sommet : γ SA' SA γ A'B' AB Origine au centre : γ CA' CA Origine au foyer : FA' γ SF SF FA -Grandissement axial. Si l objet subit un déplacement dp suivant l axe optique, l image subit, en conséquence un déplacement dp. Le grandissement axial est en dp' général donné par : g. dp Pour le miroir sphérique : p'² g avec p SA ; p' SA' p² On remarque que g γ ².
Dans un miroir sphérique, le grandissement axial est toujours négatif. Cela se traduit par le fait que l objet et l image se déplacent toujours en sens contraires. e-relation de Lagrange-Helmholtz. Les mêmes formules pour le dioptre sphérique, conduisent aux relations ( Figure 13 ) : AB.u A'B'.u' γ G 1 G est le grandissement angulaire. Remarque : Toutes le formules du miroir sphérique s obtiennent à partir de celles du dioptre sphérique en remplaçant n par «-n». B A Figure 13 u A u B B-MIROIR PLAN. 1 )-Définition. Un miroir plan est une surface réfléchissante de forme plane. Un miroir plan est aussi un miroir sphérique de rayon infini. 2 )-Caractéristiques. -Stigmatisme : Le miroir plan est le seul système optique, rigoureusement stigmatique pour tout point de l espace. Si A est un point objet, son image A est le symétrique de A par rapport au plan médiateur du miroir ( image d une personne ). -Nature : L objet et l image sont toujours de natures différentes. -Rotation : Lorsqu on fait tourner un miroir plan d un angle θ autour d un axe quelconque, un rayon réfléchi issu d un rayon incident quelconque, tourne d un angle 2 θ, autour du même axe et dans le même sens ( Miroir de Pogendorf ).
-Translation : Si on déplace un objet d une distance d, l image se déplace de la même quantité, mais dans le sens contraire. -Association : L association de deux miroirs plans faisant entre eux un angle de π / q, ou q est un entier naturel, donne d un point objet A, (2q-1) images distincts ( Kaléidoscope ).
Chapitre V : Systèmes Centrés dans l Approximation de Gauss A-SYSTEMES CENTRES DIOPTRIQUES. 1 )-Eléments cardinaux d un système centré. -Foyers : Le foyer image F d un système centré, est le conjugué d un point objet situé à l infini. Le foyer objet F est le point ayant pour conjugué, un point à l infini. -Plans Principaux :Ce sont deux plans conjugués P et P tels que leur grandissement linéaire est égal à l unité. Les plans principaux sont perpendiculaires à l axe optique et passent par les point principaux objet et image H et H. On appelle distances focales objet et image respectivement : f HF ; f ' H'F' -Plans Antiprincipaux : Ce sont deux plans conjugués dont le grandissement linéaire est égal à 1. Si on note A et A les points antiprincipaux objet et image : FA HF ; F'A' H'F' Les plans antiprincipaux sont perpendiculaires à l axe optique et passent par A et A. -Plans Nodaux : Ce sont deux plans conjugués tels que leur grandissement angulaire est égal à l unité. Les plans nodaux objet et image, sont perpendiculaires à l axe optique et passent par les points nodaux objet et image respectivement, N et N. Nous avons : FN H'F' ; F'N' HF ; HN H'N' HF + H'F'
-Plans Antinodaux :Ce sont deux plans conjugués dont le grandissement angulaire est égal à 1. Les plans antinodaux sont perpendiculaires à l axe optique et passent par les points antinodaux. Les points antinodaux sont symétriques des points nodaux par rapport aux foyers correspondants. 2 )-Construction géométrique. P P n n F N N F H H Figure 14 A un rayon incident parallèle à l axe optique correspond un émergent passant par F, le lieu d intersection de ces deux rayons définit le plan principal image P. D une façon analogue, on obtient le plan principal objet P ( Figure 14 ). A tout rayon incident passant par N correspond un émergent qui lui est parallèle et passant par N. Nous avons toujours : HN H' N'
3 )-Formules de conjugaison-grandissements. -Origine aux plans principaux : HF H'F' + 1 HA H'A' avec HF H'F' n n' n et n sont les indices des milieux objet et image. n' n n' On obtient : H'A' HA H'F' n H'A' -Grandissement linéaire : γ n' HA Avec les mêmes définitions que le dioptre sphérique, on a : γ g.g -Origine aux foyers : FA.F'A' HF.H' F' ; γ HF FA F'A' H'F' B-ASSOCIATION DE DEUX SYSTEMES CENTRES. Les foyers et les points principaux du système équivalent à l association de deux systèmes centrés sont donnés par : f1f1' FF ; F'F' 1 2 f2f2' H'F' f 1'f 2' ; HF f 1f 2 F'1F2 est l intervalle optique. Formule de Gullstrand : C C1+ C2 C1C 2 N e Avec : N indice du milieu intermédiaire ; e H' 1 H' 2
C1 N ; C n' N 2 f' 1 f n et C sont respectivement les 1 f' 2 f2 vergences des systèmes 1, 2 et du système équivalent. n et n sont les indices des milieux extrêmes. C-SYSTEMES CATADIOPTRIQUES. Un système catadioptrique est une suite de surfaces dioptriques et d un miroir de sommet S et de centre C. Tout système catadioptrique est équivalent à un miroir sphérique de sommet Σ et de centre Ω. Sommet Σ : C est le conjugué du sommet S du miroir réel à travers le système dioptrique dans le sens de la lumière réfléchie. Centre Ω : C est le conjugué du centre C du miroir réel à travers le système dioptrique dans le sens de la lumière réfléchie. D-LENTILLES. 1 )-Lentilles épaisses. Une lentille épaisse est l association de deux dioptres dont l un aux moins est sphérique, la distance séparant les deux dioptres est quelconque. Une lentille épaisse se traite comme l association de deux systèmes centrés. Nous n étudierons que les lentilles pour lesquelles les milieux extrêmes sont identiques. On appelle centre optique d une lentille épaisse, le point O tel que pour tout rayon intérieur à la lentille et passant par O, correspond un incident et un émergent parallèles ( Figure 15). n S 1 N S 2 N O Figure 15 Le centre optique est repéré par les relations : OS 1 1 1 1 S C OC OS2 S2C2 OC2 C 1, C 2 sont les centres des deux dioptres. O est l image du point nodal objet N, à travers le premier dioptre. Le point nodal image N est le conjugué de O à travers le deuxième dioptre.
2 )-Lentilles minces. Une lentille est considérée comme mince, si on peut négliger l épaisseur S 1 S 2 par rapport à S 1 C 1, S 2 C 2 et la valeur absolue de ( S 1 C 1 S 2 C 2 ). Il existe deux types de lentilles minces : Les lentilles minces convergentes, pour lesquelles les foyers sont réels. Les lentilles minces divergentes, pour lesquelles les foyers sont virtuels. La formule de conjugaison est dans les deux cas donnée par : 1 OA' 1 OA 1 OF' 1 OF Le grandissement linéaire est donné par : OA' γ OA Le centre optique est confondu avec les points principaux et les points nodaux.