Chp.9 Les fonctions polynômes du second degré () Forme développée Forme cnonique Polynôme du second degré Forme fctorisée Polynôme du second degré f x x x c ( ) Forme développée réduite 3 ) Exemples f x 3x 5x Coefficients : 3 ; 5 ; c f x 4x 9x Coefficients : 4; 9 ; c f x 4x Coefficients : 4 ; ; c. f x x 3x f x x x 3 Coefficients : ; ; c 3 4 ) N.B. polynômes incomplets Forme cnonique x Rcines Une forme fctorisée en fcteurs du premier degré Signe Il est importnt de disposer de plusieurs formes d une expression qui ont chcune leur intérêt suivnt le prolème qu on à triter. I. Générlités ) Définition On ppelle fonction polynôme du second degré une fonction f vérifint les deux conditions : C : D f C : il existe trois réels,, c vec tels que x f x x x c. ) Voculire L expression x x c est ppelée polynôme ou trinôme du second degré en x. Les réels,, c sont ppelés coefficients du polynôme (c : coefficient constnt). x est l vrile du polynôme. Dns l définition, on doit voir mis ou c peuvent être égux à. Dns ce cs, on dir que le polynôme est incomplet. 5 ) Contre-exemples * f x 3x 5x D f x (c n est ps constnt) f x x 4 x 7 D f (ps de vleur solue) A prtir du moment où il y des inverses, des vleurs solues ou des rcines, l fonction n est ps polynôme. II. Forme cnonique d une fonction polynôme du second degré ) Démonstrtion (R.O.C) f x x x c ( ) x c f x x x on trville sur ce polynôme ère étpe : mettre en fcteur 4
4 4 c f x x x c f x x 4 4 c f x x 4 4 4c f x x 4 4 4c f x x 4 e étpe : fire pprître le crré d une somme 3 e étpe : réduire 3 ) Exemples Ex. f f x x 3x 4 f 3 4 Donc est une rcine («évidente») du polynôme ( 4 ussi) Ex. f x x 9 f x. ) Définition du discriminnt On ppelle discriminnt du polynôme 4c. 3 ) Règle (forme cnonique) f x x x c x. f x x 4 x x c le nomre Forme cnonique : écriture dns lquelle l vrile n pprît qu une fois. III. Rcine d un polynôme du second degré ) Définition Les solutions de l éqution x x c ( ) sont ppelées - les rcines de l éqution - les rcines du polynôme x x c ) Voculire Rcine Solution Polynôme Eqution Eqution (uniquement) Cherchons les rcines de ce polynôme. On résout l éqution x 9 x 3 ou x 3 Les rcines de ce polynôme sont 3 et 3. Ex. 3 f x x 4x Cherchons les rcines de ce polynôme. On résout l éqution x 4x x x 4 x ou x 4 x ou x 4 Les rcines de ce polynôme sont et 4. IV. Equtions du second degré ) Méthode de résolution (dmise sns démonstrtion) f x x x c On cherche les rcines de f x dns. On doit résoudre dns l éqution f x. L éqution f x est équivlente à x 4 x 4 3 4
er cs : x Identité remrqule x x x x x ou x x ou x x ou x solutions réelles e cs : x x solution réelle 3 e cs : x 4 quntité quntité < impossile ps de solution réelle ) Règle x x c 4c er cs : L éqution dmet rcines distinctes dns : x et x. e cs : L éqution dmet rcine doule dns : x. 3 e cs : L éqution n ps de rcine dns. 3 formultions équivlentes dns le 3 e cs : Si, - l éqution f x n ps de solution dns - le polynôme f x n ps de rcine dns - pour tout x, f x est non nul. ) Exemples Résoudre dns l éqution 3x 5x. Considérons le polynôme 3x 5x. 3 ; 5 ; c Clcul du discriminnt 4c 5 43 3 On : donc le polynôme dmet rcines distinctes dns : x x 5 3 5 3 x x 6 6 5 3 5 3 S ; 6 6 5 6
Résoudre dns l éqution x 3x 4. Exemples : Considérons le polynôme x ; 3; c 4 Clcul du discriminnt 9 6 7 3x 4. On : donc le polynôme n dmet ucune rcine dns. S Résoudre dns l éqution 5x x 5. Considérons le polynôme 5x x 5. 5 ; ; c 5 Clcul du discriminnt On : donc le polynôme dmet une rcine doule dns. x x x S x x x x x S x x x x ou x S ; x 6x x x 6 x ou x 6 S ; 6 Les formules vec donnerient ien sûr les mêmes résultts mis il serit mldroit de les utiliser. Qund on otient, c est qu on est pssé à côté d une identité remrqule. V. Discriminnt réduit ) Définition x x c On suppose que est pir. On pose '. L éqution s écrit lors x x c 4c ' 4c 4 ' 4c 4 ' 4 c On pose ' ' On 4 '.. c (discriminnt réduit). 3 ) Remrques (importnte) Le signe de permet de donner le nomre de rcines réelles (d où le nom de «discriminnt»). x x c ; 4c. Lorsque et c sont de signe contrire, c, 4c d où. On n utilise ps les formules vec qund on sit résoudre une éqution du second degré directement, en prticulier dns le cs d équtions incomplètes. 7 8
) Différents cs possiles er cs : ' équivlent à L éqution dmet rcines distinctes dns : x ' 4' ' ' ' ' ' ' e cs : ' équivlent à x ' 4' ' ' ' ' ' ' 3 ) Utilistions x 7x 6 7 j'utilise ( impir) c 6 x 6x 7 6 ' 3 ; j'utilise ' c 7 x 3x 4. 3 ' 3 ; j'utilise ' c 4 L éqution dmet rcine doule dns : x ' ' 3 e cs : ' équivlent à L éqution n dmet ucune rcine dns. ) Règle x x c ' ' ' c er ' ' ' ' cs : ' L éqution dmet rcines distinctes dns : x et x. e ' cs : ' L éqution dmet rcine doule dns : x. 3 e cs : ' L éqution n ps de rcine dns. (N.B. : si on utilise, on otient les mêmes solutions près simplifiction pr qu vec!) Qund utilise-t-on le discriminnt réduit? On clcule. Si on trouve un trouve un nomre simple (il ne fut ps que ce soit une frction pr exemple), on utilise le discriminnt réduit. (Mis si on utilise le discriminnt norml, on trouve heureusement les mêmes solutions.) Sinon on utilise le discriminnt norml. VI. Somme et produit des rcines ) Règle f x x x c Le polynôme. f x dmet deux rcines, x et x distinctes ou confondues dns. c On : x x et xx. 9
) Démonstrtion (ROC) On pose : x et x. On : x x xx 4 4 4c 4 4c 4 c 3 ) Appliction ux rcines évidentes Résoudre dns l éqution x 3x 4 sns clculer. On remrqule est une rcine de l éqution. L éqution dmet donc une utre rcine dns (distincte ou confondue). 4 On : 4 S ; 4 VII. Fctoristion d un polynôme du second degré ) Etude des différents cs possiles f x x x c ( ) x 4c er cs : x f x x (Forme cnonique) 4 f x x 4 identité remrqule f x x x On posé : x et x. donc x et x d où f x x x x x (Une forme fctorisée de e cs : f x x 3 e cs : f (repsser en rouge l vrile x qui pprît cette fois à deux endroits) x en fcteurs du premier degré). Le polynôme ne peut s écrire comme produit de fcteurs du premier degré. Remrque : on pourrit ussi utiliser l formule sur l somme (mis on ne le fit ps en prtique).
) Règle VIII. Signe d un polynôme du second degré f x x x c ( ) ) Différents cs possiles f x x x c On veut étudier le signe de f x suivnt les vleurs de x. rcines distinctes dns, x et x. une rcine doule dns, x f x x x x x 3 ) Exemple f x 3x x 5 Donner une fctoristion de f f x x x x en fcteurs du premiers degré. ucune rcine dns Ps de fctoristion en fcteurs du premier degré. Méthode er cs : On v utiliser une forme fctorisée en fcteurs du premier degré lorsque On v utiliser l forme cnonique lorsque Le polynôme dmet deux rcines distinctes x et x dns. (On suppose que x x ). x f x x x x x 3 ; ; c 5 4 3 5 64 impossile x x x x x x x x On : donc l éqution dmet rcines distinctes dns, x et x. x 64 x 3 5 x 3 x 64 x 3 x x x x x x + + x x + e cs : f x SGN contrire de + 3 f x x x x x 5 f x 3x x 3 (une forme fctorisée en fcteurs du premier degré) x f x x 3 5 f x x x (une utre forme fctorisée en fcteurs du premier degré) impossile x x x 3 4
x x + + f x 3 e cs : x f x x 4 positif ou nul positif strict positif strict x f x Clcul du discriminnt 4c 4 4 5 36. On : donc l éqution dmet rcines distinctes dns, x et x. x 4 36 x x 5 x 4 36 x x x 5 x 4x 5 + + ; 5 ; S Résoudre dns l inéqution x x. ) Règle du signe du trinôme f x x x c ( ) Considérons le polynôme x x. ; ; c rcines distinctes dns, x x. une rcine doule dns, x x x x SGN SGN SGN SGN de f x de contrire de de On dit que le polynôme est toujours du signe de suf pour x entre les rcines. * x f x 3 ) Exemples Résoudre dns l inéqution x Considérons le polynôme x 4x 5. 4x 5. x x SGN SGN SGN de f x de de ucune rcine dns * Clcul du discriminnt 4c 4 7. On : donc le polynôme est du signe de c est-à-dire strictement négtif. S 4 ) Cs prticuliers (pour ggner du temps) N.B. : résolution d inéqutions du second degré incomplètes Ne ps utiliser de discriminnt. x 9 3 et 3 sont rcines évidentes. Donc x 3 3 x 9 + + + ; 4 ; c 5 5 6
x 5 x x 5 x x = x 5 x x ) Exemple Résoudre dns l inéqution On pose X x. 4 x x 9 x 5 x x 5 x x 4x 5 est un polynôme du second degré. 5 et sont rcines évidentes. Donc x 5 x 5 + + x L inéqution s écrit : Considérons le polynôme X X X 9. X 9. est rcine évidente donc le polynôme dmet une utre rcine dns (distincte ou confondue). 9 9 Les rcines du polynôme sont X et X 9. IX. Equtions et inéqutions icrrées ) Exemple 4 Résoudre dns l éqution x 4x 5 Polynôme icrré (4 e degré mis incomplet en x et en x 3 ) On pose X x (chngement d inconnue). L éqution s écrit : X 4X 5 (c est l éqution «résolvnte»). Considérons le polynôme X 4X 5 (du second degré en X). est rcine évidente donc le polynôme dmet une utre rcine dns (distincte ou confondue). 5 5 Les rcines du polynôme sont X et X 5. Or X x. ère fçon : X 9 X X 9 + + Donc X ; 9. Or X x. Donc x 9. x x 9 x x 9 x est un polynôme du second degré dont les rcines sont et. x 9 est un polynôme du second degré dont les rcines sont 3 et 3. Donc x ou soit x ou x. S ; x 5 impossile dns x x + + x 3 3 x 9 + + S ; ; S 3; 3 7 8
S S S 3 ) Etude de l condition suffisnte S 3 ; ; 3 3 S 3 S Si deux nomres sont solution de l éqution x Sx P, S P lors leur somme est égle à S et leur produit est égl à P. 4 ) Appliction Déterminer deux nomres dont l somme est égle à 7 et dont le produit est égl à l. e fçon : L inéqution s écrit X X Or X x. Donc x x 9 9. x 3 3 x + + + + x 9 + + x x 9 S 3 ; ; 3 + + + X. Complément sur somme et produit des rcines ) Introduction Ecrire une éqution du second degré dont les rcines sont et. x x x x ) Etude de l condition nécessire et sont deux réels. et sont solutions de l éqution x x Conclusion : x x x x x S P ère méthode : système e méthode : ppliction de ce qui précède x 7x (éqution résolvnte). Considérons le polynôme x ; 7; c Clcul du discriminnt 4c 49 48 7x. On : donc le polynôme dmet rcines distinctes dns : x x 4 Les nomres cherchés sont 3 et 4. x x 3 et sont solutions de l éqution x Sx P d inconnue x vec S et P. 9