1 ère S arycentres de trois points ou plus I. Définition 1 ) Etude dans le cas général Hypothèses Permutation circulaire des lettres,, et des lettres a, b, c. c,, sont trois points quelconques. a, b, c sont trois réels quelconques tels que a b c 0. a b ut : déterminer la position du point tel que a b c 0. On décompose et en utilisant le point. a b c b c 0 a b c b c : a b c a b c 0 b c a b c a b c 2 ) Définition,, sont trois points quelconques du plan a, b, c sont trois réels quelconques tels que a b c 0. Il existe un unique point tel que a b c 0. e point est appelé le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b) ) énéralisation La définition se généralise à plus de trois points. On obtient : a c a b c a b c a b a b c a b c 2 ) Vocabulaire Les nombre a, b, c sont appelés «coefficients de pondération». On parle parfois du système {( ; a), ( ; b), ( ; c)}. Le nombre a b c est parfois appelé la «masse totale» du système. Le barycentre n existe pas lorsque a b c 0. ) Exercice est un triangle quelconque. : barycentre des points pondérés ( ; ), ( ; 4) ; ( ; 1). onstruire. II. Egalité de position 1 ) Règle D après l une des égalités de position, on a : 1 2. 2 : barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) ( a b c 0 ). b c. a b c a b c 2 1 2 1 2
III. Propriété d homogénéité 1 ) Règle Si est le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) ( a b c 0 ), alors pour tout réel k 0, est aussi le barycentre des points pondérés ( ; ka), ( ; kb), ( ; kc). 2 ) Démonstration Par définition, on a : a b c 0. En multipliant les deux membres de cette égalité par k, on obtient : ka kb kc 0. On a : ka kb kc k a b c. Or a b c 0 et k 0 donc ka kb kc 0. Par suite, cette égalité vectorielle exprime que est aussi le barycentre des points pondérés ( ; ka), ( ; kb), ( ; kc). IV. Relation fondamentale 1 ) Enoncé est le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) ( a b c 0 ). am bm cm a b c M. Pour tout M du plan, on a : 2 ) Démonstration am bm cm a M b M c M am a bm b cm c a b c M a b c 0 Par définition, a b c 0. Donc M P M M M M a b c a b c 4 ) Réduction de la somme vectorielle am bm cm (,, sont trois points fixés et a, b, c trois réels fixés) M est un point quelconque. 2 cas a b c a b c Si a b c 0 M M M M avec est le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c). Si a b c 0 am bm cm est un vecteur constant indépendant de M (ne pas dire que c est le vecteur nul). am bm cm am b M c M a b cm b c 0 b c V. oordonnées dans un repère 1 ) Règle Dans le plan muni d un repère O, i, j, le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) ( a b c 0 ) a pour coordonnées ax bx cx x a b c ay by cy y a b c 2 ) Démonstration a b c 0 ette égalité vectorielle se traduit en coordonnées par : a x x b x x c x x 0 a y y b y y c y y 0 N.. : on pourrait faire un exemple de construction vectorielle permettant de vérifier la relation fondamentale. ) Utilisation La relation fondamentale est une égalité valable pour tout point M. On dit qu il s agit d un énoncé universel ( : «quantificateur universel»). On peut particulariser le point M. Pour M, on obtient l égalité vectorielle b c a b c Pour M, on obtient l égalité vectorielle a c a b c Pour M a b a b c, on obtient l égalité vectorielle ax bx cx a b c x 0 ay by cy a b c y 0 ax bx cx a b c x ay by cy a b c y ax bx cx x a b c ay by cy y a b c On divise les égalités par a b c ( a b c 0 ) 4
VI. arycentre partiel 1 ) Règle du barycentre partiel,, sont trois points quelconque du plan. a, b, c sont trois réels tels que a b c 0 et a b 0. Si est le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) (h 1) et H est le barycentre des points pondérés ( ; a) et ( ; b) (h 2), alors est le barycentre des points pondérés H ; a b Explications 1 ère explication : On «crée» un barycentre. ( ; a), ( ; b), ( ; c) barycentre ( ; a) et ( ; b) barycentre H 2 e explication : Système de points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) ( a b c 0 ) barycentre H ; a b et ( ; c) barycentre «Sous-système» de deux points pondérés ( a b 0 ) ( ; a) et ( ; b) ( a b 0 ) barycentre H (barycentre partiel) On peut dire que est le barycentre des points pondérés H ; a b 2 ) Exemples Exemple 1 (; 1), (; 2), (; ), (D ; 4) ssociations possibles : 1) On prend les deux premiers points puis les deux suivants : ;1, ; 2, ;, D ; 4 H Donc barycentre de (H ; ) et (K ; 7). K 2) On prend les trois premiers points puis on laisse le dernier intact. ;1, ; 2, ;, D ; 4 H Donc barycentre de (H ; 6) et (D ; 4). Il y a d autres associations possibles Exemple 2 On a un barycentre de points : : ( ; 1), ( ; 2), ( ; ) Donc on va regrouper les deux premiers points pondérés en un seul point pondéré. On va additionner les coefficients et on va créer un nouveau point. On l appelle (H ; ). Du coup, ça sera le premier point et le deuxième point pondéré ça sera ( ; ) (celui qu on n a pas «touché»). ) Démonstration (h 1) : est le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) (h 2) : H est le barycentre des points pondérés ( ; a) et ( ; b) Démontrons que est le barycentre des points pondérés H ; a b (h 1) permet d écrire a b c 0. relation de hasles en introduisant H ah H bh H c 0 a bh a H bh c 0 0 d'après h 2 Donc : a bh c 0. On en déduit que est le barycentre des points pondérés H ; a b barycentre 5 6
4 ) utre formulation de la propriété du barycentre partiel (ou d associativité du barycentre) et généralisation On peut regrouper certains points du système dont la somme des coefficients est non nulle, remplacer les points choisis par leur barycentre partiel, affecté de cette somme et garder les autres points tels quels sans changer le barycentre. L associativité du barycentre marche pour deux points que l on peut regrouper ou trois points que l on peut regrouper. 5 ) Utilisation du théorème d associativité du barycentre pour - construire des barycentres - démontrer des alignements de points - démontrer que des droites sont concourantes - exprimer un point comme barycentre de points pondérés (voir exercices) 6 ) Exemple de construction d un barycentre à l aide du barycentre partiel : barycentre des points pondérés ( ; 1), ( ; 2), ( ; 2) 1 2 0 On note H le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2). D après la règle du barycentre partiel (ou d associativité du barycentre), est aussi le barycntre des points pondérés (H ; ) et ( ; 2). onstruction : 2 H 2 H H 5 VII. Isobarycentre de trois points 1 ) Définition, et sont trois points quelconques. a est un réel non nul. Le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; a), ( ; a) est appelé l isobarycentre des points,,. 2 ) Théorème Mêmes coefficients Sans pondération L isobarycentre de trois points non alignés,, est le point de concours des médianes du triangle. est donc le centre de gravité du triangle. ) Position du centre de gravité est situé sur chaque médiane aux deux tiers à partir du sommet. 4 ) Démonstration Hypothèses est un triangle. est l isobarycentre des points,, c est-à-dire des points pondérés ( ; 1), ( ; 1), ( ; 1). : milieu de [] : milieu de [] : milieu de [] Figure codée N.. : D autres regroupements sont possibles. H Démontrons que ' 2 et ' 2 ' et ' 2 ' et ' 7 8
est le milieu de [] donc est le barycentre de ( ; 1) et ( ; 1). D après le théorème du barycentre partiel, est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2). 2 Donc ' et '. est le milieu de [] donc est le barycentre de ( ; 1) et ( ; 1). D après le théorème du barycentre partiel, est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2). 2 Donc ' et '. est le milieu de [] donc est le barycentre de ( ; 1) et ( ; 1). D après le théorème du barycentre partiel, est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2). 2 Donc ' et '. Observer la permutation circulaire des lettres : 2 e partie : chaîne d équivalences M E si et seulement si M 4M 7 si et seulement si 7M 7 si et seulement si 7 M 7 si et seulement si 7 M 7 si et seulement si M e partie : conclusion ; identification de l ensemble E est le cercle de centre et de rayon. onstruction : 4 7 Retenir le schéma E isobarycentre de,, centre de gravité du triangle barycentre de ( ; 1), ( ; 1), ( ; 1) si,, ne sont pas alignés VIII. Ensembles de points 1 ) Exemple 1 défini par 0 et sont deux points distincts. est le barycentre des poins pondérés ( ; ) et ( ; 4) 4 0. Déterminer l ensemble E des points M du plan P tels que : M 4M 7. N.. : - On ne place pas M sur le cercle. - Noter l analogie entre une équation avec des x et la recherche de ce type d ensemble où l on cherche des points. - On ne parle pas de M dans la conclusion. 1 ère partie : réduction de la somme vectorielle D après la relation fondamentale, M P M 4M 7M 9 10
2 ) Exemple 2 est un triangle. est le barycentre des poins pondérés ( ; ) et ( ; 4) 4 0. Déterminer l ensemble E des points M du plan P tels que M 4M soit colinéaire à. PPENDIE Définition de la médiatrice d un segment La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. 1 ère partie : réduction de la somme vectorielle D après la relation fondamentale, M P M 4M 7M 2 e partie : chaîne d équivalences M E si et seulement si M 4M colinéaire à si et seulement si 7M colinéaire à si et seulement si M colinéaire à (N.. : - On pourrait aussi écrire M k mais cela ne sert pas - On peut dire M = ou M et (M)//()) (on cherche M tel que cette condition soit vérifiée) aractérisation des points de la médiatrice d un segment [] Version de 6 e aractérisation des points de la médiatrice d un segment en 2 énoncés séparés formulés par des «Si, alors» Version de 2 e aractérisation des points de la médiatrice d un segment en un seul énoncé formulé par un «si et seulement si» Version de 1 ère Formulations en ensemble de points Reconnaissance d ensembles de points où il y a équidistance. Formulation Si M appartient à la médiatrice de [], alors M = M. Réciproquement, si M = M, alors M appartient à la médiatrice de []. M appartient à la médicatrice de [] si et seulement si M = M. La médiatrice du segment [] est l ensemble des points M tels que M = M. Ou La médiatrice du segment [] est le lieu des points M tels que M = M. e partie : conclusion ; identification de l ensemble E est la droite passant par et qui est parallèle à (). E Version de 6 e Version de 2 e Définition d un cercle La ligne formée par tous les points du plan qui sont situés à la distance R du point O est appelée cercle de centre O et de rayon R. Le cercle de centre O et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que OM R. Définition d un disque ) Lieux géométriques liés aux vecteurs et aux distances - lieu des points M tels que M = R ( : point fixé, R > 0) : cercle de centre et de rayon R. - lieu des points M tels que M = M ( et fixés distincts) : médiatrice de []. - lieu des points M tels que M et sont colinéaires (,, fixés tels que ) : droite passant par et parallèle à (). Version de 6 e Version de 2 e La région du plan limitée par le cercle de centre O et de rayon R est appelée disque fermé de centre O et de rayon R. Le disque fermé de centre O et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que OM R. ttention, on dit bien que R est le rayon du disque. - lieu des points M tels que M et M sont colinéaires ( et fixés distincts) : droite (). 11 12
Rayon d un cercle ; rayon d un disque Le mot rayon pour un cercle a deux sens : - il désigne tout segment joignant le centre du cercle à un point du cercle ; dans ce cas, on parle d un rayon (article indéfini). On utilise la notation d un segment avec des crochets. - il désigne la longueur commune de tous les segments joignant le centre du cercle à un point quelconque du cercle ; dans ce cas, on parle du rayon (article défini). Le mot rayon pour un disque a un seul sens : c est la longueur des segments joignant le centre du disque à un point du cercle associé au disque. On parle aussi bien du rayon d un cercle que du rayon d un disque. Idem avec le mot diamètre. Ensemble où il y a équidistance médiatrice. Egalité vectorielle de définition Egalité de position Propriété d homogénéité Relation fondamentale arycentre partiel (ssociativité) oordonnées dans un repère Isobarycentre FORMULIRE REPITULTIF 2 points points a b 0 a b c 0 b b c a b a b c a b c barycentre de ( ; ka) et ( ; kb) barycentre de ( ; ka), ( ; kb), ( ; kc). k 0 k 0 M P am bm a b M M P am bm cm a b c M Si est le barycentre des points pondérés ( ; a), ( ; b), ( ; c) et H est le barycentre des points pondérés ( ; a) et ( ; b), alors est le barycentre des points pondérés H ; a b x y ax bx a b ay by a b Milieu de [] x ax bx cx a b c ay by cy y a b c entre de gravité du triangle (si,, ne sont pas alignés) FIHE METHODE omment construire un barycentre de trois points - vec une égalité de position - vec des barycentres partiels e qu apporte le barycentre : outil qui enrichit considérablement le champ des outils d étude de configuration dans le plan (et dans l espace). est ce qui motive l introduction du barycentre de trois points en géométrie. Problème simple qui revient tout le temps en géométrie : comment définir un point omme intersection de deux droites Par une égalité vectorielle Par ses coordonnées dans un repère. omme barycentre de deux, trois ou plus de points. Exemple : Le centre de gravité d un triangle est : - le point d intersection des trois médianes (c est la définition) - le point situé sur une médiane aux deux tiers à partir du sommet - l isobarycentre des sommets (qui équivaut à une égalité vectorielle) 1 Penser maintenant à voir un centre de gravité comme isobarycentre. 14