La seconde est la formule de Gauss, ou d Ostrogradsky :

Expression locale des lois de l électromagnétismes. Equations de Maxwell. EM 20 Rev c 10/09 Les lois exposées jusqu à présent établissent la connexion entre électricité et magnétisme. Ces lois cependant n apparaissent pas être la forme que Maxwell recherchait pour obtenir une meilleur compréhension des phénomènes EM étudiés plus haut. Une fois de plus son intuition lui montrait le chemin. Ces équations sont des équations intégrales puisque l on parle d intégration sur un parcours fermé, ou de flux à travers une surface, etc. Maxwell pense que la clé pour une compréhension complète des phénomènes EM réside dans les relations mathématiques locales appelée formes différentielles, utilisant les vecteurs du champ EM en un point plutôt que des sommations à travers une surface ou le long d une courbe. Pour cela Maxwell avait besoin de puissantes relations mathématiques vectorielles qui venaient juste d être découvertes... Deux relations jouent un rôle capitale en analyse vectorielle pour passer des grandeurs intégrales aux valeurs locales. La première relation est la formule de tokes : E = E d La seconde est la formule de Gauss, ou d Ostrogradsky : D d = D dv s s Ces formules de transformations vont permettre de trouver les expressions locales des champs et aboutir aux équations de propagation des ondes EM et donc de la propagation de la lumière. La loi de Coulomb ou expression (1) devient en introduisant la notion de densité volumique de charge ρ (Coulomb/m 3 ) tel que Q = ρv pour un ρ constant ou pour un ρ(x, y, z) fonction des coordonnées : Q = ρ(v ) dv Le théorème de Gauss devient donc : E d = V V v E dv = 1 ɛ 0 V ρ(v ) dv Les volumes étants arbitraires, on peut égaler les expressions dans les deux intégrales de volume, d où la première équation de Maxwell (équation source) : E = ρ(v ) ɛ 0 Dans le vide sans charges électriques, ρ = 0 et donc E = 0 1

Loi de Maxwell-Faraday : E dl = E d = D où la deuxième équation de Maxwell (équation interne) : E = B Loi de conservation du flux de l induction magnétique B : B d = 0 = B dv D où la troisième équation de Maxwell (équation interne) : B = 0 V B d Enfin loi de Maxwell-Ampère incluant les courants de déplacement et de conduction : H dl = H d = D d + j c d Dernière équation de Maxwell (équation source) : H = D + j c Dans le vide si aucunes charges ne sont présentes, alors j c = 0 et ρ(x, y, z) = 0 : H = D Ces quatre relations correspondent à la forme moderne des équations de Maxwell, forme publié indépendamment par Heaviside en Angleterre, Helmholtz et Hertz en Allemagne. Ces deux physiciens allemands étaient convaincus de l exactitude de la théorie, avant même la confirmation éclatante des ondes EM par les expériences de Hertz (1887), soit 8 ans après la mort de Maxwell et environ 25 ans après la première publication de la théorie. En effet, à cette époque en Angleterre, l autorité en physique était le célèbre Lord Kelvin, or il ne croyait pas à la théorie de Maxwell, tout simplement parce qu il n y avait plus de modèle mécanique pour soutenir les équations! Donc la suite s est situé naturellement en Allemagne sous la conduite de Hertz. On peut spéculer que sans cette attitude négative de Kelvin les ondes EM aurait pu très bien être découvertes à Cambridge et elle se seraient alors appelées en toute logique ondes Maxwellienne et non Hertzienne. A noter que Maxwell est mort jeune (48 ans) et que c était quelqu un de très discret et très prudent, il savait que l homme est faillible et avait toujours considéré sa théorie comme une hypothèse. Equation de continuité Partant de la deuxième équation source et prenant la divergence des deux membre : ( H) = ɛ 0 E + j c = ( H) = 0 2

Et comme E = ρ(v )/ɛ 0, nous obtenons la relation : ρ + j c = 0 qui est appelé l équation de continuité, traduisant la conservation de la charge électrique. Il est plus évident de le voir en intégrant la relation dans un quelconque volume V bordé par une surface : V j c dv = j c d = ρ dv V Ce qui traduit le fait que si du courant quitte une surface, il doit être compensé par un apport de charges intérieures par unité de temps - un flux de charge doit venir d un générateur. Note : certains auteurs introduisent le courant de déplacement à partir de l équation de continuité. Cela est parfaitement légitime. Cependant historiquement, c est l ajout du courant de déplacement par Maxwell qui a permit d obtenir l équation correcte de continuité, non l inverse. Potentiels Il y a quand même un peu plus à dire pour représenter ou/et calculer le champ EM. Mais qu est ce que la représentation de la réalité? Quels sont réellement ces champs EM? comme nous l avons vu tous ces concepts sont plutôt abstraits mais le point de départ a bien été - en analogie avec la mécanique - les forces agissantes sur un agent détecteur, c est à dire une charge électrique e. Une fois la force connue, en suivant Newton, son équation F = m γ nous permet de calculer la trajectoire de la charge dans le champ EM et ce mouvement peut se vérifier facilement par expériences en laboratoire. Introduisant l impulsion (anciennement quantité de mouvement et momentum en anglais), l équation du mouvement s écrit, avec la modification d Einstein pour des particules approchant la vitesse c : d P dt = F (forme plus générale de l équation du mouvement) Avec pour l EM F = e( E + v B) ce qui nous a permis d introduire les champs E et B avec P = m v 1 v2 /c 2 (Einstein) Maintenant il y a une autre façon de calculer les champs E et B en introduisant la notion de potentiel. Considérant en premier l électrostatique, peut-être plus facile, mais aussi qui correspond au développement historique. Poisson dans son fameux Mémoire, démontre que beaucoup de problèmes d électrostatique peuvent être simplifiés par l introduction d un potentiel scalaire électrostatique φ, qui satisfait son équation : ρ(x, y, z) φ = ɛ 0 La force du champ électrique étant donné dans un deuxième temps par la relation : E = φ (avec φ en Volt) 3

A noter qu une telle approche existe pour la force de gravitation (mais en plus simple), l expression du potentiel gravitationnel étant dans ce cas U = mgh avec h = hauteur de la masse m sur la verticale Oz. Ici l expression de la force est simplement : F z = U = d(mgz) r a dz = mg (gradient sur Oz uniquement) Expression bien connu (le signe moins indiquant que la force est dirigée vers les potentiels décroissants). L équation du mouvement est telle que : m d2 z dt 2 = mg qui en intégrant une première fois donne la vitesse v z = gt+v 0 et une deuxième fois l espace z = 1/2gt 2 + v 0 t + z 0. Maintenant revenons au potentiel Electrique. Il est évident que partant de la première équation de Maxwell et remplaçant la valeur de E par le gradient de φ, nous retrouvons l équation de Poisson puisque la divergence d un gradient donne le Laplacien de φ. Il est toutefois important d en comprendre la signification physique. Les potentiels sont relatifs au travail à fournir pour transporter une charge d un point à un autre point. Le travail à fournir contre la force électrique pour déplacer la charge sera négatif et égal à : W = b a F d et pour une charge unité : b W = E d a or il apparaît que la valeur de cette intégrale pour le champ E est indépendante du chemin parcourue. Physiquement, c est parce que le champ a une symétrie radiale. Cela ne dépend pas du fait de la décroissance en 1/r 2, il pourrait être une quelconque dépendance vis-à-vis de r. En effet un chemin de A à B peut toujours être décomposé en une succession d arcs de cercle (ou le travail de E est nul) et de parties radiales dont le travail n est pas nul, comme l addition de ces parties radiales donne la même longueur, le travail sera identique pour les points A et B considérés. Le résultat ne dépend que des points de départ et d arrivée, d où : W = b a E d = φ(b) φ(a) Considérons deux points sur l axe Ox, x et x + x, mais les deux aux même coordonnées y et z, le travail est la différence dans le potentiel aux deux points : W = φ(x + x, y, z) φ(x, y, z) = φ x x Mais le travail fournie contre le champ pour le même x est : W = E ds = E x x Nous voyons donc que E x = φ x 4

Il en est de même pour les composantes E y et E z, d où E = φ Vous pouvez penser comme Hertz et Heaviside, pourquoi tout ce développement sur le potentiel électrique, à quoi cela sert-il? En fait pour le calcul des champs électriques, (indispensable en particulier pour la tenue diélectrique des matériels électriques) il est généralement plus facile de les calculer depuis le potentiel (une intégrale scalaire et trois dérivations) plutôt que directement le champ E (trois intégrales et chacune plus compliquée que l intégrale du potentiel). Mais il y a aussi une raison théorique profonde qui les justifie et rend leur utilisation indispensable en physique moderne. Equation de propagation des ondes EM. Il y a maintenant suffisamment de relations pour trouver qu une équation de propagation du champ EM existe en régime variable. Partant par exemple de l équation de Maxwell-Faraday E = B/ et prenant le rotationel membre à membre : ( E) = ( B) = ( E) E Maintenant remplaçant B par ɛ 0 µ 0 E/ et tenant compte que dans le vide E = 0 nous obtenons une équation de propagation d ondes : En effet l analyse en dimension donne : E = 2 E x + 2 E 2 y + 2 E 2 z 2 = ɛ 0µ 0 2 E 2 E L = ɛ E 0µ 2 0 ou encore (LT 1 ) 2 = 1 = v 2 T 2 ɛ 0 µ 0 or nous savons que par la valeur des constantes électrique et magnétique v = c, l équation de propagation s écrit donc : 2 E x + 2 E 2 y + 2 E 2 z 2 = 1 c 2 2 E 2 Avec c = 1/ ɛ 0 µ 0 = 3.10 8 m/s, ou vitesse de la lumière dans le vide. Retour sur les potentiels. Quelle est la réalité physique des champs EM? Poisson a démontré l existence d un potentiel électrique, Maxwell introduit formellement que le champ magnétique B dérive aussi d un potentiel et complète le potentiel électrique pour les champs variables. Par analogie avec la mécanique, Maxwell voie dans les potentiels une profonde réalité physique tandis qu Oliver Heaviside et Heinrich Hertz considèrent les potentiels sans intérêt et décident de les ignorer complètement dans leurs publications. De la relation B = 0, mathématiquement on peut écrire que B dérive d un potentiel vecteur A tel que : B = A (à un gradient près) 5

Ceci est purement des maths, mais Maxwell y voyait une signification profonde, en particulier il montrait que le champ électrique induit est dépendant de A. En effet l équation de Maxwell-Faraday peut s écrire : d ou E ind = ( A) E ind = A et Maxwell propose donc la formule complète du potentiel du champ électrique E en régime variable : E = φ A cependant, Maxwell qui recherchait les analogies en sciences, rapprochait la formule de Newton F = d P dt avec F = q E = q d A dt d A/dt pouvant être considéré comme un momentum ou impulsion, mais de quoi? De l onde EM en mouvement. Puisque E se propage, A également se propage et nous pouvons conclure que les ondes EM transportent une impulsion (elles poussent sur tout ce qu elles rencontrent) d où la notion de pression de radiation, que Maxwell explicitera à partir de la formule de la densité d énergie d une onde EM. Cette pression de radiation est bien réelle et rendrait possible une sorte de navigation à la voile dans l espace, poussée par les radiations solaires. Maxwell appelé d ailleurs A L electromagnetic Momentum (treatise, Vol 2, 590). Il est facile de démontrer que les potentiels satisfont aux mêmes équations de propagations d ondes que les champs E et B. D où la question, quelle est la réalité physique du champ EM? est-ce les champs des forces E et B ou est-ce les potentiels? Est-ce que le potentiel vecteur A, comme le potentiel scalaire φ, uniquement utile pour simplifier les calculs? Pour éclairer cette question nous devons d abord définir ce que l en entend par champ réel. Un champ réel est une fonction mathématique que l on utilise pour éviter l idée d action à distance. i nous avons une particule chargée à un point P, elle est affectée par les autres charges localisés aux environs de P. Une façon de décrire l interaction est que les autres charges produisent en P une condition dans l environnement de P. si nous connaissons cette condition, que nous décrivons en donnant les champs électrique et magnétique, alors on peut prédire le comportement de la particule. En résumé ce qui ce passe au point P dépend uniquement d un certain nombre de paramètres connu au point P et seulement à ce point. Maintenant en mécanique classique dans des domaines ou B peut être nul et A différent de zéro, il n est pas possible de discerner un quelconque effet. Cependant il apparaît en mécanique quantique des phénomènes où A apparaît comme le réel champ au sens explicité plus haut. Ce sera l objet du paragraphe suivant. De plus dans la formulation de l EM en relativité depuis le principe de moindre action, les potentiels jouent un rôle capital, ce qui sera l objet du développement ultérieur selon Landau et Lifchitz. 6

Théorie quantique et potentiels (Feynman - Lectures on Physics Vol II). En mécanique quantique seuls les potentiels du champ EM permettent d expliquer les phénomènes physiques. En mécanique quantique le concept de force (et de trajectoire) disparaît graduellement alors que les concepts d énergie et d impulsion deviennent prépondérants. Probabilité d amplitudes le l onde associée à la particule se substitue à la trajectoire de la particule en mouvement. Dans ces amplitudes, les longueur d ondes sont associes à l impulsion ( P = m v = h/λ et les fréquences aux énergies (W = hν). C est en fait parce que impulsion et énergie jouent un rôle central que A et φ procurent la voie la plus directe aux effets EM en mécanique quantique. Quelle est donc la loi qui remplace la force de Lorentz F = e( E + v B)? La loi est la suivante : la phase de l onde via une quelconque trajectoire est altérée par la présence du champ magnétique par une quantité égale à l intégrale du vecteur A le long de la trajectoire multiplié par la charge de la particule et divisé par la constante de Planck avec ( = h/2π). A savoir : Déphasage dû au champ magnétique = e A ds Pour un champ électrique, la loi utilisant le potentiel scalaire φ est la suivante : Déphasage dû au champ électrique = e φ dt Maintenant il est possible de décrire une expérience d interférence avec des électrons, où le champ B est pratiquement nul aux endroits où il est probable de trouver les électrons tel qu il n est pas possible que B est une action directe sur eux! Pour réaliser l expérience il faut se rappeler qu un long et étroit solénoïde possède un champ B intérieur important tel que B = µ 0 ni mais nul à l extérieur, tandis que le potentiel vecteur A qui crée B circule à l extérieur dans un plan perpendiculaire à B (voir figure 1 extraite du livre de Penrose, The Road to Reality). En effet si l on remarque que la relation B = A est équivalente à dire que la circulation Figure 1. Expérience d interférence d électrons. de A θ sur un contour fermé de rayon R est égale au flux de B à travers le solénoïde de rayon a, on a 2πR A θ = πa 2 B. (Ce calcul est formellement identique à celui du champ B = µ0 H crée par un fil cylindrique circulaire parcouru par un courant de densité uniforme j c ; il suffit de transposer H = B/µ 0 en A et j c en B). i on place le solénoïde de façon que les électrons se trouvent à l extérieur du solénoïde ou se trouve A uniquement, il y aura une influence sur le mouvement selon les équations 7

ci-dessus. Classiquement c est impossible, la force dépend uniquement de B. Mais en mécanique quantique il est possible de détecter un champ magnétique à l intérieur d un solénoïde simplement en se plaçant autour de ce solénoïde! Ainsi dans l expérience d interférences d électrons on trouve que lorsque l on active le solénoïde par un courant, il y a déplacement des interférences, bien que B ne soit pas dans la trajectoire des électrons, uniquement par influence du potentiel vecteur A (effet Aharonov-Bohm). Equations de Maxwell et spéciale relativité d Einstein. Comme les équations de Maxwell définissent une vitesse de propagation des ondes, cette vitesse a besoin d être définie par rapport un repère. D où l introduction d un éther qui est supposé remplir l espace tout entier et dans lequel les ondes EM se propagent avec la vitesse c. Le concept d éther en état de repos absolue fut introduit par Fresnel en 1818 dans une célèbre lettre à Dominique François Jean Arago afin d expliquer l effet de l aberration de la lumière. En effet à cause de la vitesse v = 30 km/s de la terre, une étoile qui serait au zénith si la terre était au repos, est en fait vue sous un angle α avec la verticale, tel que : tan α = v/c α = 10 4 ou 20 d arc soit pour une année un déplacement d environ 40 d arc (découvert par Bradley).- A noter que la parallaxe de l étoile la plus proche est < à 1 d arc. Cette angle serait nul si l éther était en mouvement avec la terre, donc la seule explication est que la terre se déplace par rapport à l éther. Une autre expérience impliquant l éther et prédit par Fresnel est telle que si un liquide (indice de réfraction n) est en mouvement dans un tube avec la vitesse v par rapport à l éther, et si un rayon de lumière traverse le tube dans la même direction, alors la vitesse de la lumière c mesurée dans le laboratoire est donnée par la formule : c = c n + v(1 1 n 2 ) La présence du facteur (1 1 ), connue comme le coefficient de traînée de Fresnel, exprime n2 le fait que la lumière ne peut acquérir la totale vitesse v puisqu elle est partiellement retenue par l éther dans le tube. Il était donc logique de penser, que l on pourrait détecter depuis la terre le vent d éther. Bien que Maxwell dans son article sur l éther dans l Encyclopedia Britannica de 1878 ne pensait pas possible de mettre en oeuvre une expérience d une précision de l ordre de (v/c) 2 Michelson alors à Berlin avec Helmholtz et au courant de la lettre de Maxwell se mis au travail et concevait l expérience d interférence qui porte son nom. Michelson fut le premier Américain à obtenir le prix Nobel. Cependant l expérience négative de Michelson en 1887 confirme qu il n est pas possible de mettre en évidence le vent d éther et donc confirme l indépendance de la vitesse de la lumière vis-à-vis de la vitesse de la source. En clair c + v = c, comme les équations de Maxwell le suggère. Pour résoudre ce dilemme, Lorentz établi finalement les formules de transformation qui portent son nom ainsi que la formule F = e( E+ v B) pour l électron en 1895. Néanmoins, les hypothèses pour les établir sont nombreuses et discutables et le tout est centré sur la théorie de l électron. Henri Poincaré produit également un remarquable article sur la mesure du temps crucial pour le développement de la relativité. Pendant ce temps, un jeune employé au bureau des brevets de Berne travaille sur le même sujet depuis 1898. Il développe une 8

nouvelle cinématique qui va expliquer l électrodynamique des corps en mouvement par une nouvelle analyse des propriétés de l espace et du temps. En 1905 il annonce que les équations de Maxwell-Lorentz sont exactes et que la théorie de Newton est à réviser, après plus de 200 ans de domination newtonienne! Il dérive la transformation de Lorentz sur la base de deux principes généraux ou postulats : Le premier postule que les lois de la physique (non seulement la mécanique mais aussi l EM, etc.) sont les mêmes dans tous les référentiels d inertie ou galiléen. Le deuxième postule que la vitesse de la lumière dans le vide est constante et indépendante du mouvement de la source émettrice de lumière. Le concept clé est la notion d invariance : les lois de la physique sont identiques dans n importe quel laboratoire en mouvement uniforme les uns part rapport aux autres. Et le second concept conduit directement à la théorie de la relativité restreinte. Les deux principaux arguments sont convaincants et acceptés sans trop de résistances par les scientifiques (du moins comparé au quanta de lumière... ). Ces concepts bouleversent complètement notre perception de la nature du temps et de l espace et l éther est mis au rebus. De plus en modifiant la mécanique de Newton pour la rendre invariante relative aux transformations de Lorentz, Einstein y dérive la plus célèbre formule de toute la physique à savoir E = mc 2! Entre deux repères galiléen R et R, en mouvement uniforme dans la direction Ox avec une vitesse V e, la transformation du temps et de l espace est donné par les formules de Lorentz : ( ct = γ ct x V ) e, c x = γ(x V e t), y = y, z = z avec γ = (1 V ) e 2 1/2 c 2 Notons que dans le cas limite où c, on retrouve le système de transformation de Galilée : t = t, x = (x V e t), y = y, z = z Pour la loi d addition des vitesses, nous considérons un point M se mouvant, par rapport au système O,x,y,z, conformément à l équation x = wt. D après la première et quatrième équation de la transformation de Galilée, on peut exprimer x et t au moyen de x et de t, et l on obtient ainsi : x = (V e + w)t Cette équation n exprime rien d autre que la loi du mouvement du point M par rapport au système O,x,y,z. Nous désignerons cette vitesse par W, nous obtenons donc le principe de 9

l addition des vitesses en mécanique classique : W = V e + w Maintenant le même raisonnement utilisant les formules de Lorentz conduisent à la loi de composition des vitesses telle que : ( x = γ(x V e t) = w t = wγ t x V ) e c 2 Ce qui devient : ( x 1 + wv ) e = (V c 2 e + w)t et enfin : x t = W = V e + w 1 + V ew c 2 Formule qui donne la composition des vitesses en cinématique relativiste. On voit que si l on fait w = c, la formule donne W = c qui correspond bien au postulat de départ de la théorie. Cette formule permet de retrouver la vitesse c de la formule de Fresnel mentionnée en début du paragraphe en substituant w = c/n et V e = v puis en négligeant les termes en (v/c) et (v/c) 2, soit, c = v + c/n 1 + v nc Multiplions le numérateur et le dénominateur par (1 v ), nous obtenons : nc Finallement : c = (v + c/n)(1 v/nc) 1 v2 n 2 c 2 c = c n + v(1 1 n 2 ) v v2 nc + c n v n 2 Comme Abraham Pais le fait remarquer dans sa remarquable biographie d Einstein, il est surprenant qu Einstein ne mentionne pas l expérience de Michelson dans son papier de 1905, alors qu il cite l aberration de la lumière et la formule de Fresnel - Il est peut-être plus surprenant de ne pas y trouver la démonstration de c à partir de la nouvelle loi de composition des vitesses - (A. Pais Chapitre 7 page 147). 10