Corrigé du DS n 2 (CCP-e3a) - Mécanique 1 Athlétisme : le 200 m - Résolution de problème L expression de la force centrifuge ressentie par les coureurs est dirigée vers l extérieur du virage et a pour norme : F ie = mω 2 0R où m est la masse du coureur, R est le rayon de courbure de la trajectoire, qui dépend du couloir dans lequel il coure. Ω 0 est la vitesse angulaire du coureur, supposée uniforme pour simplifier, de sorte que Ω 0 v 0 R, où v 0 est la vitesse de la course. On peut estimer les grandeurs : v 0 par la vitesse moyenne sur l ensemble de la course v 0 L t 200 20 = 10 m.s 1, soit 36 km.h 1. m 100 kg le rayons des couloirs extrêmes : R 8 = 46, 4 0.6 = 45, 8 m à l extérieur et R 1 = 45, 8 7 1.2 = 37, 4 m à l intérieur. Finalement, on peut estimer les forces centrifuges dans chacun des deux couloirs extrêmes : F ie,1 = m v 0 2 F ie,8 = m v 0 2 R 1 270 N R 8 220 N On peut tout d abord dire que ces forces sont très importantes puisqu elles correspondent respectivement à des masses de 27 et 22 kg tirant le coureur vers l extérieur! Par ailleurs, la différence entre ces deux couloirs n est pas du tout négligeable (environ 20% d écart), et il est donc préférable de courir dans le couloir extérieur. Le record du monde du 400 mètres est actuellement détenu, pour les hommes, par le sud-africain Wayde van Niekerk, avec un temps de 43,03 s, établi le 14 août 2016 lors des JO de Rio de Janeiro. Il était dans le couloir extérieur 8... Cependant, comme les compétiteurs partent décalés dans les couloirs (cf photo) afin qu ils parcourent la même distance jusqu à la ligne d arrivée, le coureur extérieur doit faire tout le début de course seul en tête. Les "poursuivants" ont donc un léger avantage puisqu ils peuvent gérer leurs efforts en fonction des coureurs devant eux. En pratique, ces deux effets antagonistes, physiques et psychologiques, font que les meilleurs couloirs sont ceux du centre de la piste. MP 1&2 - Année 2016/2017 1 Lycée Janson de Sailly
2 Bille dans un tube en rotation non galiléen galiléen MP 1&2 - Année 2016/2017 2 Lycée Janson de Sailly
; N entraîne donc la bille dans la rotation ) 1 MP 1&2 - Année 2016/2017 3 Lycée Janson de Sailly
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3 Satellite terrestre I. Relations générales 1. F g = GmM T r 2 Le vecteur position de M est : OM = r e r ce qui implique que le déplacement élémentaire est égal à : dl = dr e r + r d e r. Comme d e r e r, le travail élémentaire de cette force s écrit : e r δw = F g. dl = GmM T dr r 2 = de p de p dr = GmM T r 2 2. Le théorème du moment cinétique conduit à : = E p (r) = GmM T r 2 d L dt = M O ( F g ) = OM F g = 0 d où L reste constant. Ceci implique que le mouvement est plan puisque L = OM m v, ce qui montre que les vecteurs OM et v restent à tout instant perpendiculaires à un vecteur constant. 3. Il faut exprimer L dans la base polaire, sachant que v = ṙ e r + r θ e θ. Il vient : L = r e r m(ṙ e r + r θ e θ ) = mr 2 θ e z et donc C = r 2 θ est une constante. D un point de vue physique, C est la constante des aires puisque si A est l aire balayée par le vecteur position OM pendant t, alors : A = C t 2 4. Dans le cas d un mouvement circulaire, la vitesse et l accélération s écrivent : v = R θ e θ et a = R θ2 e r + R θ e θ En appliquant le principe fondamental de la dynamique à M et en projetant sur e r, on obtient : d où : mr θ 2 = GmM T R 2 v C = GM T R et = v 2 C = R 2 θ2 = GM T R E c = 1 2 mv2 C = GmM T 2R 5. L orbite circulaire étant décrite avec une vitesse constante en norme, la période de révolution vérifie l équation v C T = 2πR ce qui conduit à : T = 2πR R = 2π 3 v C GM T T 2 = 4π2 GM T R 3 MP 1&2 - Année 2016/2017 7 Lycée Janson de Sailly
6. Par définition : E m = E c + E p = GmM T 2R GmM T R = GmM T 2R II. Étude d une trajectoire elliptique 7. a) Le point M n étant soumis qu à une force conservative, l énergie mécanique est conservée. On aura donc : E m = E m (A) = 1 2 mv2 A GmM T r A E m = 8 GmM T 9r A = GmM T 2a = GmM T 9r A GmM T r A = a = 9a 16 b) Aux points A et P, la vitesse est perpendiculaire au vecteur position (puisque ṙ = 0 en ces points). La conservation du moment cinétique s écrit : L = OA m v A = OP m v P ce qui, compte tenu de la perpendicularité des vecteur, s écrit encore : mr A v A e z = mr P v P e z D autre part, r A + r P = 2a = 9r A 8 r P r A = v A v P d après la question précédente. On en déduit que : r P = 9r A 8 r A = r A 8 = r P r A = 1 8 et v P v A = 8 8. a) Il s agit d une vitesse circulaire de rayon r P. D après la question 4. : v stat = GM T r P b) Comme les trois vecteurs vitesses sont de même direction et de même sens, nous pouvons écrire : Or v P = 8v A = 8 mv p = m 2 v cab + m 2 v stat = v cab = v P v stat 2 2GMT 2GMT = 8 9r A 9 8r P v P = 4 3 GM T d où v cab = 1 GM T r P 3 r P MP 1&2 - Année 2016/2017 8 Lycée Janson de Sailly
c) Juste après la séparation, la cabine est toujours à la distance r P du centre de la Terre. Son énergie mécanique s écrit (attention, la cabine a une masse m/2) : E m (cab) = 1 2 m 2 v2 cab GmM T 2r P = 1 2 m GM T 2 9r P GmM T = 17 2r P 18 L énergie mécanique étant négative, la trajectoire est donc une ellipse. III. Passage dans la ceinture de Van Allen GmM T 2r P < 0 9. Figure représentée ci-dessous : y A O r M θ R 1 P x R 2 Ceinture de Van Allen 10. r A est obtenu pour cos θ = 1 et r P pour cos θ = +1, ce qui conduit aux expressions : r A = p 1 e et r P = p 1 + e Le quotient de ces deux relations donne : On en déduit ensuite que : r P r A = 1 e 1 + e r P (1 + e) = r A (1 e) e = r A r P r P + r A p = r A (1 e) = 2 r Ar P r P + r A 11. L angle θ 1 est solution de r(θ) = R 1, ce qui correspond à : p = R 1 cos θ 1 = 1 ( ) p 1 1 + e cos θ 1 e R 1 ou encore : cos θ 1 = r P + r A r A r P ( ) 2r A r P 1 (r A + r P )R 1 Application numérique : θ 1 = 57 [360 ] ou θ 1 = -57 [360 ] = 303 [360 ] On obtient une relation analogue pourθ 2 en remplaçant R 1 par R 2. Il vient : θ 2 = 143 [360 ] et θ 2 = -143 [360 ] = 217 [360 ]. MP 1&2 - Année 2016/2017 9 Lycée Janson de Sailly
12. A = C t 2 Le vecteur position balayant une aire S durant la période de révolution T, nous avons aussi : S = C T 2 A S = t T Comme le vecteur OM passe deux fois dans la ceinture de Van Allen à chaque période de révolution, nous avons : ρ = t T = 2A S Application numérique : e = 0,7234 et p = 11 719 km ce qui donne : S = 1,311 10 9 km 2. On a donc : ρ = 0,305 30% Le pourcentage d activité du satellite est donc de 70%. MP 1&2 - Année 2016/2017 10 Lycée Janson de Sailly