Théorie de la Mesure et Intégration

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année 2011 12 Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél : amaury.lambert@upmc.fr

Table des matières 1 Construction d une mesure 4 1.1 Quelques rappels et nouvelles définitions.................. 4 1.1.1 Rappels................................ 4 1.1.2 Définitions utiles dans le cadre de l unicité des mesures...... 4 1.1.3 Définitions utiles dans le cadre de l existence des mesures..... 6 1.2 Unicité d une mesure............................. 6 1.2.1 Théorème de la classe monotone et corollaires........... 6 1.2.2 Applications.............................. 8 1.3 Existence d une mesure............................ 10 1.3.1 Théorème de Caratheodory..................... 10 1.3.2 Applications.............................. 11 2 Tribu produit et mesure produit 14 2.1 Tribu produit................................. 14 2.1.1 Cas général.............................. 14 2.1.2 Le cas borélien............................ 17 2.1.3 Sections................................ 18 2.2 Mesure produit................................ 19 2.3 Théorèmes de Fubini............................. 21 2.3.1 Théorème de Fubini Tonelli..................... 21 2.3.2 Théorème de Fubini Lebesgue.................... 22 3 Mesure image et changement de variable 24 3.1 Mesure image................................. 24 3.2 Formule du changement de variable..................... 27 4 Les espaces L p 30 4.1 Les espaces de Banach L p.......................... 30 4.1.1 Convergence dans L p et convergence simple............ 30 4.1.2 Complétude des espaces L p..................... 32 4.2 L espace L 2 et les espaces de Hilbert.................... 33 4.2.1 L espace de Hilbert L 2 (µ)...................... 33 4.2.2 Théorème de projection....................... 34 4.2.3 Lemme de Riesz Fisher....................... 36 2

TABLE DES MATIÈRES 3 4.3 Théorème de Radon Nikodym........................ 37 4.4 Dualité L p L q................................. 40 5 Régularité et théorèmes de densité 43 5.1 Régularité d une mesure sur un espace métrique.............. 43 5.2 Théorèmes de densité............................. 46 6 Produit de convolution 48 6.1 Convolution de mesures et de fonctions positives.............. 48 6.2 Convolution de fonctions boréliennes de signe quelconque......... 50 7 Transformée de Fourier 53 7.1 Définition et premières propriétés...................... 53 7.2 Injectivité de la transformée de Fourier................... 54

Chapitre 1 Construction d une mesure : existence et unicité 1.1 Quelques rappels et nouvelles définitions 1.1.1 Rappels Définition 1.1 Une classe A de parties d un ensemble E est appelée tribu ou σ-algèbre si (i) elle contient E : E A ; (ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A E, A A c A A ; (iii) elle est stable par réunion dénombrable : si (A n ) est une famille dénombrable d éléments de A, alors n A n A. Définition 1.2 Une mesure sur l espace mesurable (E, A ) est une application µ : A [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l ensemble vide : µ( ) = 0 ; (ii) est σ-additive : pour toute suite (A n ) d éléments de A deux à deux disjoints, µ( n A n ) = n µ(a n ). 1.1.2 Définitions utiles dans le cadre de l unicité des mesures Définition 1.3 Une classe Λ de parties d un ensemble E est appelée λ-système si (i) elle contient : Λ ; (ii) elle est stable par différence propre : pour tous A, B Λ, A B B \ A Λ ; (iii) elle est stable par réunion dénombrable croissante : si (A n ) est une suite croissante d éléments de Λ, alors n A n Λ. Remarque 1.4 Dans la définition précédente de λ-système, la propriété (i) est seulement là pour rappeler que Λ est non vide car c est une conséquence de (ii). 4

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 5 Remarque 1.5 Une tribu est un λ-système, et donc en particulier P(E) en est un. Définition 1.6 Un λ-système qui contient E est appelé classe monotone. Une définition de classe monotone peut donc être obtenue par la modification suivante de la définition de λ-système : en changeant (i) pour (i ) : E Λ. Proposition 1.7 a) L intersection d une collection quelconque non vide de λ-systèmes est un λ-système. b) Pour toute classe C de parties de E, l intersection 1 de tous les λ-systèmes contenant tous les éléments de C est donc un λ-système, noté Λ(C ), et appelé λ-système engendré par C ou plus petit λ-système contenant C. Remarque 1.8 On rappelle que l on définit de la même manière la tribu σ(c ) engendrée par C. La démonstration de la proposition précédente est laissée en exercice. @ Proposition 1.9 Si Λ est une classe monotone stable par intersections finies, alors Λ est une tribu. Dém. Vérifions une par une les trois propriétés caractéristiques des tribus. (i) E Λ puisque Λ est une classe monotone. (ii) Comme E Λ, pour tout A Λ, le complémentaire de A est la différence propre E \ A, donc c A Λ. (iii) Soir (A n ) une suite d éléments de Λ. Pour tout entier n, soit B n := n k=0 A k. Comme n A n = n B n et que (B n ) est une suite croissante, la propriété (iii) des classes monotones implique qu il suffit de montrer que B n Λ pour tout n. Autrement dit, il suffit de montrer que Λ est stable par réunions finies. Or on se souvient que Λ est stable par passage au complémentaire et, par hypothèse, stable par intersections finies, donc pour tous A, B Λ, A B = c ( c A c B) Λ, ce qui achève la démonstration. Définition 1.10 Une classe C de parties de E est appelée π-système si (i) elle contient E : E C ; (ii) elle est stable par intersections finies : pour tous A, B C, A B C. Remarque 1.11 Avec cette définition, la proposition qui précède peut s énoncer ainsi : si A est à la fois un λ-système et un π-système, alors A est une tribu. Remarque 1.12 Dans R d, l ensemble des pavés (produits cartésiens d intervalles), l ensemble des pavés ouverts (produits cartésiens d intervalles ouverts) forment chacun un π-système. @ 1. non vide puisque P(E) est un λ-système

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 6 1.1.3 Définitions utiles dans le cadre de l existence des mesures Définition 1.13 Une classe B de parties d un ensemble E est appelée algèbre ou algèbre de Boole si (i) elle contient E : E B ; (ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A E, A B c A B ; (iii) elle est stable par réunions finies : pour tous A, B B, A B B. Remarque 1.14 Une tribu est donc une algèbre de Boole stable par réunion dénombrable, d où le nom de σ-algèbre. Remarque 1.15 Dans R d, l ensemble des réunions finies de pavés forment une algèbre, ainsi que l ensemble des réunions finies de pavés disjoints. @ 1.2 Unicité d une mesure 1.2.1 Théorème de la classe monotone et corollaires Théorème 1.16 (Théorème de la classe monotone) Pour tout π-système C, Λ(C ) = σ(c ). En particulier, le plus petit λ-système Λ(C ) contenant C est donc une tribu. Dém. Supposons que Λ(C ) est une tribu et montrons qu alors Λ(C ) = σ(c ). De manière générale, comme σ(c ) est une tribu contenant C, c est un λ-système contenant C, donc on a toujours Λ(C ) σ(c ) (puisque Λ(C ) est le plus petit λ-système contenant C ). De plus, d après l assertion qui précède, Λ(C ) est une tribu contenant C, donc σ(c ) Λ(C ) (puisque σ(c ) est la plus petite tribu contenant C ). Montrons à présent que Λ(C ) est une tribu. D après la proposition qui précède, il suffit de montrer que Λ(C ) contient E et est stable par intersections finies. Il est évident que E Λ(C ) car E C (C est un π-système) et C Λ(C ). En particulier Λ(C ) est une classe monotone. Montrons donc que Λ(C ) est stable par intersections finies, en utilisant le fait que C l est. Pour tout C E fixé, on définit Λ C := {A Λ(C ) : A C Λ(C )}. Nous allons montrer que Λ C est toujours un λ-système. (i) comme A := Λ(C ) (qui est une classe monotone) et que A C = Λ(C ) (toujours...), on a bien que Λ C. (ii) Pour tous A, B Λ C tels que A B, on a A, B Λ(C ) avec A C et B C éléments de Λ(C ). Par stabilité par différence propre de Λ(C ), comme A C B C, on a (B C) \ (A C) Λ(C ), mais (B C) \ (A C) = (B \ A) C, donc B \ A Λ C. (iii) Soit (A n ) une suite croissante d éléments de Λ C, de sorte que pour tout entier n, A n Λ(C ) et A n C Λ(C ). Or (A n C) est croissante, donc comme Λ(C ) est stable par réunion dénombrable croissante, on a n (A n C) Λ(C ). Mais n (A n C) = ( n A n ) C, donc n A n Λ C.

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 7 En conclusion, Λ C est bien un λ-système. Supposons maintenant que C C. Alors Λ C contient tous les éléments de C, en effet pour tout A C, comme C C et que C est stable par intersections finies, A C C, donc A C Λ(C ), de sorte que A Λ C. Par conséquent, Λ C est un λ-système contenant C, et comme par définition Λ C Λ(C ), qui est le plus petit λ-système contenant C, Λ C = Λ(C ). Comme C est arbitraire, on peut donc écrire C C, A Λ(C ), A C Λ(C ). On voudrait maintenant remplacer la première occurrence de C par Λ(C ) de manière à obtenir la stabilité par intersections finies de Λ(C ). Soit A Λ(C ). D après ce qui précède, pour tout C C, A C Λ(C ), autrement dit C Λ A Λ(C ). Comme Λ A est un λ-système, Λ A = Λ(C ). Ceci s écrit A Λ(C ), B Λ(C ), B A Λ(C ), ce qui n est autre que la stabilité de Λ(C ) par intersections finies. On en déduit les deux résultats d unicité suivants : Corollaire 1.17 Soient µ et ν deux mesures finies sur un espace mesurable (E, A ) qui coïncident 2 sur un π-système C A qui engendre 3 A, alors µ et ν coïncident sur A. Corollaire 1.18 Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur un espace mesurable (E, A ) telles que : a) il existe une suite mesurable croissante (E n ) telle que n E n = E ; b) pour tout entier n, µ(e n ) = ν(e n ) < ; c) µ et ν coïncident sur un π-système C engendrant A et contenant chaque E n. Alors µ et ν coïncident sur A. Remarque 1.19 Le fait que µ et ν sont σ-finies pourrait ne pas être mentionné dans l énoncé qui précède, car c est en fait une conséquence des conditions (a) et (b). Démonstration du Corollaire 1.17. Soit Λ := {A A : µ(a) = ν(a)}. Alors Λ est un λ-système car : (i) Λ contient l ensemble vide, puisque µ( ) = 0 = ν( ) ; (ii) pour tous éléments A, B de Λ, si A B, alors comme µ et ν sont finies, µ(b \ A) = µ(b) µ(a) = ν(b) ν(a) = ν(b \ A). (iii) pour toute suite croissante (A n ) d éléments de Λ, par continuité à gauche de la mesure, µ( n A n ) = lim n µ(a n ) = lim n ν(a n ) = ν( n A n ). Comme Λ contient C, Λ(C ) Λ A. Mais d après le théorème de la classe monotone, comme C est un π-système, σ(c ) = Λ(C ). Enfin par hypothèse, A = σ(c ), donc A = σ(c ) = Λ(C ) Λ A, ce qui montre bien que A = Λ. 2. c est-à-dire que pour tout A C, µ(a) = ν(a) 3. c est-à-dire que A = σ(c )

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 8 Démonstration du Corollaire 1.18. On applique le corollaire 1.17 aux mesures traces µ n := µ( E n ) et ν n := ν( E n ) qui sont finies grâce à l hypothèse (b). Elles coïncident bien sur C par l hypothèse (c), car pour tout C C, comme C E n C (car E n C et C est stable par intersection), µ n (C) = µ(c E n ) = ν(c E n ) = ν n (C). Donc µ n et ν n coïncident sur A. Maintenant l hypothèse (a) permet de conclure en utilisant la continuité à gauche de la mesure, car pour tout A A, µ(a) = µ( n E n A) = µ(lim n (E n A)) = lim n µ(e n A) = lim n µ n (A), et de même pour ν. Or µ n (A) = ν n (A), donc µ(a) = lim n µ n (A) = lim n ν n (A) = ν(a), ce qui montre que µ et ν coïncident sur A. 1.2.2 Applications Unicité de la mesure de Lebesgue Supposons qu il existe deux mesures µ et ν sur B(R d ) telles que pour tout pavé ouvert R = d k=1 I k, où chaque I k =]a k, b k [ est un intervalle (ouvert, mais cela est sans importance ici) éventuellement infini de R, µ(r) = d (b k a k ) = ν(r), k=1 avec la convention habituelle 0 = 0. Montrons qu alors µ et ν coïncident sur B(R d ). Ceci prouvera l unicité de la mesure de Lebesgue (dont nous montrerons l existence à la section suivante). Soit C l ensemble des pavés ouverts de R d (produits d intervalles ouverts pouvant être infinis, donc en particulier pouvant être égaux à R tout entier, ce qui garantit que R d C ). En particulier C est un π-système et l on sait que la tribu engendrée par C est @ B(R d ). Soit E n le produit des intervalles ] n, n[, c est-à-dire E n := d k=1 ] n, n[. Alors les propriétés du corollaire 1.18 sont bien vérifiées : a) n E n = R d ; b) pour tout entier n, µ(e n ) = ν(e n ) = (2n) d < ; c) E n C, et σ(c ) = B(R d ), où C est un π-système. On peut donc conclure que µ et ν coïncident sur B(R d ). Caractérisation d une mesure par sa fonction de répartition Définition 1.20 Si µ est une mesure finie sur (R, B(R)), on appelle fonction de répartition de µ la fonction F : R R + définie par F (x) := µ(], x]).

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 9 Proposition 1.21 La fonction de répartition F d une mesure finie est continue à droite, croissante, et vérifie De plus, pour tous réels a < b lim F (x) = 0 et lim F (x) = µ(r). x x + i) µ(]a, b]) = F (b) F (a) ii) µ([a, b]) = F (b) F (a ) iii) µ(]a, b[) = F (b ) F (a) iv) µ([a, b[) = F (b ) F (a ). Dém. À faire en exercice. @ Exemple 1.22 Si µ = δ a, alors F (x) = 1 [a,+ [. Si µ = n α nδ xn, alors F est discontinue en tout point x n tel que α n > 0 et continue partout ailleurs F (x) = n α n 1 [xn,+ [. Définition 1.23 Si µ est une mesure de Borel 4 sur (R, B(R)), on appelle fonction de répartition généralisée de µ la fonction G : R R définie par µ(]x, 0]) si x < 0 G(x) = µ(]0, x]) si x > 0 0 si x = 0. Proposition 1.24 La fonction de répartition G d une mesure de Borel est continue à droite, croissante, et vérifie lim G(x) = µ(r ) et lim F (x) = x x + µ(r +). De plus, pour tous réels a < b, G vérifie les quatre propriétés énoncées à la proposition précédente pour les mesures finies. Dém. À faire en exercice. @ Exemple 1.25 Si µ est la mesure de Lebesgue sur R, alors G(x) = x. Théorème 1.26 Si µ et ν sont deux mesures finies (resp. de Borel) sur (R, B(R)), et qu elles ont la même fonction de répartition F (resp. la même fonction de répartition généralisée G), alors elles sont égales. 4. c est-à-dire une mesure finie sur les compacts

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 10 Dém. Traitons d abord le cas où µ et ν sont finies. Soit alors C := {], x] : x R} {R}. On voit facilement que C est un π-système engendrant B(R) sur lequel µ et ν coïncident, car µ(], x]) = F (x) = ν(], x]) (l égalité µ(r) = ν(r) s obtient par passage à la limite). Le corollaire 1.17 permet de conclure que µ et ν coïncident sur B(R). Dans le cas où µ et ν sont seulement finies sur les compacts, on définit C := {]x, y] : < x y < + } {R}, et E n :=] n, n]. Alors E n C, n E n = R et C est un π-système engendrant B(R) sur lequel µ et ν coïncident, car µ(]x, y]) = G(y) G(x) = ν(]x, y]) (les égalités µ(r ) = ν(r ) et µ(r +) = µ(r +) s obtiennent pas passages à la limite, et impliquent µ(r) = ν(r)). Comme on a µ(e n ) = ν(e n ) <, le corollaire 1.18 permet de conclure que µ et ν coïncident sur B(R). 1.3 Existence d une mesure 1.3.1 Théorème de Caratheodory Définition 1.27 Soit B une algèbre de Boole sur un ensemble E. Une mesure d algèbre sur (E, B) est une application m : B [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l ensemble vide : m( ) = 0 ; (ii) est finiment additive : pour tous A, B B tels que A B =, m(a B) = m(a) + m(b) ; (iii) satisfait la popriété suivante : il existe une suite croissante (E n ) d éléments de B convergeant vers E telle que m(e n ) < pour chaque entier n et telle que pour tout A B, lim n m(a E n ) = m(a) ; (iv) satisfait la propriété de Caratheodory : pour toute suite décroissante (A n ) d éléments de B convergeant vers et telle que m(a 0 ) <, lim n m(a n ) = 0. Proposition 1.28 Une mesure d algèbre m sur (E, B) vérifie pour tous A, B B : (i) Additivité finie : m(a) = m(a \ B) + m(a B) ; (ii) Additivité forte : m(a B) + m(a B) = m(a) + m(b) ; (iii) Sous-additivité : m(a B) m(a) + m(b) ; (iv) Croissance : si A B, m(a) m(b). Théorème 1.29 (de prolongement de Caratheodory) Soit B une algèbre de Boole sur un ensemble E. Si m est une mesure d algèbre sur (E, B), alors il existe une mesure µ sur la tribu σ(b) qui coïncide 5 avec m sur B. Remarque 1.30 On dit alors que µ est un prolongement de la mesure (d algèbre) m, qui elle est seulement définie sur l algèbre B, à la tribu σ(b). Ce théorème de prolongement est admis. 5. c est-à-dire que pour tout B B, µ(b) = m(b)

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 11 Remarque 1.31 En fait on aurait directement pu dire dans le théorème qu il existe un unique tel prolongement. En effet, si µ et ν sont deux prolongements d une même mesure d algèbre B, alors µ et ν coïncident sur B, qui est aussi un π-système, et comme il existe une suite mesurable (E n ) convergeant vers E telle que µ(e n ) = ν(e n ) <, alors µ et ν coïncident sur σ(b) d après le corollaire 1.18. 1.3.2 Applications Existence de la mesure de Lebesgue Montrons l existence d une mesure sur Bor(R d ) telle que la mesure d un pavé R = d k=1 I k, où chaque I k est un intervalle de R d extrémité gauche a k et d extrémité droite b k + (les extrémités pouvant être fermées ou ouvertes), vaut d k=1 (b k a k ). On définit B l ensemble des réunions finies de pavés deux à deux disjoints. Alors pour tout A B, A s écrit de manière unique sous la forme A = j i=1 R i, où les (R i ) sont des pavés deux à deux disjoints, et l on peut définir sans ambiguïté la mesure d algèbre m sur B par m(a) = j i=1 m(r i), où la mesure d un pavé a été définie précédemment. On peut alors vérifier que B est une algèbre et que m est une mesure d algèbre sur (E, B) @ avec E n définie comme le produit des intervalles ] n, n[ (pour montrer la propriété de Caratheodory, on s inspirera de l application suivante). Comme σ(b) = Bor(R d ), le théorème de Caratheodory permet bien de déduire l existence d une mesure, appelée mesure de Lebesgue, prolongeant la mesure m à tous les boréliens de R d. Définition d une mesure par sa fonction de répartition Théorème 1.32 Si F : R R + est une fonction croissante, bornée, continue à droite et telle que lim x F (x) = 0 alors il existe une (unique) mesure µ sur Bor(R) qui admet F pour fonction de répartition. Théorème 1.33 Si G : R R est une fonction croissante, continue à droite et telle que G(0) = 0, alors il existe une (unique) mesure µ de Borel sur Bor(R) qui admet G pour fonction de répartition généralisée. Remarque 1.34 L existence de la mesure de Lebesgue sur R peut également se déduire du théorème précédent en prenant G(x) = x. Dém. du théorème 1.33. Soit B l ensemble de toutes les réunions finies d intervalles disjoints, qui est une algèbre. Pour tous x y, on définit alors (avec @ G( ) = lim x G(x) et G( ) = lim x G(x)) m(]x, y[) := G(y ) G(x) et m({x}) = G(x) G(x ), ce qui définit m sur tout intervalle de R, et pour tout A = i j=1i j B, où les (I j ) sont des intervalles disjoints, m(a) := i j=1 m(i j). Montrons que les quatre propriétés du théorème de prolongement de Caratheodory sont satisfaites. Le résultat découlera alors de ce théorème car σ(b) = Bor(R).

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 12 Il est immédiat de vérifier que c est bien le cas des propriétés (i) et (ii). Pour (iii), définissons E n :=] n, n] et fixons A B. En distinguant suivant que A contient un intervalle infini ou non, on montre alors que lim n m(a E n ) = m(a). D après la définition de la mesure d algèbre m, on peut toujours se ramener au cas où A est un seul intervalle. Si par exemple A =]x, + [, où x est fini, alors à partir d un certain rang, A E n =]x, n] et lim n m(a E n ) = lim n G(n) G(x) = G( ) G(x) = m(a). Les autres cas se démontrent de la même manière. Le plus difficile reste à faire, à savoir montrer que la propriété (iv), dite de Caratheodory, est satisfaite. Soit donc une suite décroissante (A n ) d éléments de B telle que m(a 0 ) <. On peut donc écrire A n de manière unique sous la forme A n = K n k=1 où les K n intervalles (I k,n ) k sont disjoints. On fixe alors ε et l on cherche à définir une suite de compacts (A n) telle que A n A n et m(a n \ A n) ε2 n. Il suffit pour cela d exhiber des intervalles compacts I k,n I k,n suffisamment grands pour que En effet, en définissant I k,n, m ( ) I k,n \ I k,n ε n 0, 1 k K K n 2 n n. A n := K n k=1 I k,n, on aura alors A n A n et A n \ A n = Kn k=1 ( Ik,n \ I k,n), si bien que K n m (A n \ A n) = m ( I k,n \ I k,n k=1 ) K n k=1 ε K n 2 n = ε 2 n. Remarquons d abord que pour tous x y + tels que m(]x, y[) <, pour toute suite décroissante (x n ) convergeant vers x et pour toute suite croissante (y n ) convergeant vers y, m(]x, y[\[x n, y n ]) = m(]x, x n [) + m(]y n, y[) = G(x n ) G(x) + G(y ) G(y n ) 0, lorsque n, car G est continue à droite (avec des limites à gauche, car croissante) et l on a supposé que G(y ) et G(x) sont finis. En conclusion, pour tout α > 0 et tout intervalle I =]x, y[ de R (resp. I = [x, y[, resp. I =]x, y]) tel que m(i) <, il existe un intervalle compact I = [x, y ] (resp. I = [x, y ], resp. I = [x, y]) inclus dans I tel que m(i \ I) < α. Puisque m(a 0 ) <, on peut donc bien trouver des intervalles compacts I k,n vérifiant la propriété demandée. Supposons qu il existe x na n. Alors pour tout entier n, x A n, donc x A n puisque A n A n. Par conséquent, x n A n, ce qui contredit n A n =, ce qui prouve que n A n =. Or chaque A n est compact (comme réunion finie de compacts) donc il existe un entier N tel que N n=0a n =. Or @

CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 13 ( N ) ( N ) ( N ) ( N ) A n c A n \ A n = A n ( c A n A n) n=0 n=0 = n=0 n=0 N A n ( c A n A n) = n=0 De cette intersection vide, on déduit que A N = N A n n=0 N (A n \ A n). n=0 N A n A n = n=0 N A n =. Mais comme une mesure d algèbre est croissante et sous-additive, pour tout entier k N, @ ( N ) N N m(a k ) m(a N ) m (A n \ A n) m (A n \ A n) ε2 n 2ε. n=0 En conclusion, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout k N, m(a k ) 2ε, ce qui n est autre que la propriété de Caratheodory. n=0 n=0 n=0

Chapitre 2 Tribu produit, mesure produit et «intégrales multiples» 2.1 Tribu produit 2.1.1 Cas général Soient (E 1, A 1 ) et (E 2, A 2 ) deux espaces mesurables. Définition 2.1 On appelle tribu produit sur E 1 E 2, et l on note A 1 A 2, la plus petite tribu contenant les rectangles à côtés mesurables : où l on a noté A 1 A 2 := σ (A 1 A 2 ), A 1 A 2 := {A 1 A 2 : A 1 A 1, A 2 A 2 }. Le couple (E 1 E 2, A 1 A 2 ) est appelé espace mesurable produit. Remarque 2.2 Bien entendu, la famille A 1 A 2 des rectangles à côtés mesurables n est en général pas une tribu. Proposition 2.3 La tribu A 1 A 2 est aussi la tribu engendrée par les projections canoniques π 1 et π 2, c est-à-dire la plus petite tribu sur E 1 E 2 qui rende π 1 et π 2 mesurables 1. Dém. Soit B la tribu engendrée par π 1 et π 2. Par définition, B est la plus petite tribu contenant les parties de E 1 E 2 de la forme π1 1 (A 1 ) et π2 1 (A 2 ) où A i A i, i = 1, 2. Or π1 1 (A 1 ) = A 1 E 2 et π2 1 (A 2 ) = E 1 A 2, donc B est aussi la plus petite tribu qui contient les parties de E 1 E 2 de la forme (A 1 E 2 ) (E 1 A 2 ) = A 1 A 2, c est-à-dire σ(a 1 A 2 ). 1. On rappelle que π 1 et π 2 sont définies par : π 1(x, y) = x et que π 2(x, y) = y 14

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 15 Proposition 2.4 Soit f : (X, T ) (E 1 E 2, A 1 A 2 ) x f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) Alors la fonction f est mesurable ssi f 1 et f 2 sont mesurables 2. Dém. Sens direct de l équivalence : si f est mesurable alors pour tout i = 1, 2, f i = π i f est mesurable comme composée de fonctions mesurables. Autre sens : supposons que f 1 et f 2 sont mesurables. Alors pour tous A 1 A 1 et A 2 A 2, f 1 (A 1 A 2 ) = {x X : f(x) A 1 A 2 } = {x X : f 1 (x) A 1, f 2 (x) A 2 } = f 1 1 (A 1 ) f 1 2 (A 2 ). Par hypothèse f 1 1 (A 1 ) T et f 1 2 (A 2 ) T, donc f 1 (A 1 A 2 ) T par stabilité des tribus par intersection. En conclusion, f 1 (A 1 A 2 ) T, donc f 1 (A 1 A 2 ) = σ ( f 1 (A 1 A 2 ) ) T, où la première égalité est une application du lemme de transport, et l inclusion n est autre que la mesurabilité de f. Remarque 2.5 Ce qui précède peut bien sûr s énoncer de manière similaire pour tout produit cartésien fini d ensembles. Si ((E i, A i )) 1 i d sont d espaces mesurables, alors on définit A 1 A d comme la plus petite tribu sur E 1 E d contenant tous les rectangles de la forme A 1 A d, où A i A i pour tous i = 1,..., d ; c est aussi la tribu engendrée par les projections canoniques π i : d E j E i j=1 (x 1,..., x d ) x i pour i parcourant {1,..., d}. Proposition 2.6 (associativité de ) On a l égalité suivante entre tribus (A 1 A j ) (A j+1 A d ) = A 1 A d, où l on a bien sûr identifié (E 1 E j ) (E j+1 E d ) et E 1 E d. 2. comme fonctions de (X, T ) vers (E 1, A 1) et (E 2, A 2) respectivement

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 16 Dém. Montrons la proposition dans le cas où j = 2 et d = 3. Première démonstration possible. La tribu (A 1 A 2 ) A 3 est la plus petite tribu qui rende mesurables les applications et f 1,2 : E 1 E 2 E 3 (E 1 E 2, A 1 A 2 ) ((x 1, x 2 ), x 3 ) (x 1, x 2 ) f 3 : E 1 E 2 E 3 (E 3, A 3 ) ((x 1, x 2 ), x 3 ) x 3 Or f 1,2 est mesurable ssi ses applications coordonnées le sont. Par conséquent, ces deux applications sont mesurables ssi les trois applications (x 1, x 2, x 3 ) x i, pour i = 1, 2, 3, sont mesurables. Donc (A 1 A 2 ) A 3 est la tribu engendrée par ces trois applications, c est donc A 1 A 2 A 3. Deuxième démonstration possible, par double inclusion. Cette démonstration est plus compliquée, mais constitue un bon exercice. Démontrons d abord l inclusion A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) A 3. Pour tous A i A i, (i = 1, 2, 3), A 1 A 2 A 1 A 2, donc A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) A 3 (A 1 A 2 ) A 3, donc (A 1 A 2 ) A 3 contient les rectangles à côtés mesurables de E 1 E 2 E 3, donc contient tous les éléments de la tribu qu ils engendrent, ce qui est l inclusion annoncée. Montrons l inclusion inverse. Fixons A 3 A 3 et définissons T := {B A 1 A 2 : B A 3 A 1 A 2 A 3 }. On veut montrer que T est une tribu : si T est une tribu, alors comme T contient les rectangles de E 1 E 2 à côtés mesurables, T contient tous les éléments de la tribu B := A 1 A 2 qu ils engendrent. Ceci implique que pour tout B B, B A 3 A 1 A 2 A 3, où A 3 est un élément arbitraire de A 3. Autrement dit, B A 3 A 1 A 2 A 3 et donc B A 3 = σ(b A 3 ) A 1 A 2 A 3, qui est l inclusion annoncée. Vérifions donc que T est une tribu : i) T car A 3 = A 1 A 2 A 3. ii) pour tout B T, c B T car c B A 3 = (E 1 E 2 A 3 ) c (B A 3 ) qui est bien élément de T car E 1 E 2 A 3 A 1 A 2 A 3 et B A 3 A 1 A 2 A 3, qui est une tribu, donc stable par passage au complémentaire et intersection. iii) pour toute suite (B n ) d éléments de T, ( n B n ) A 3 = n (B n A 3 ), qui est bien élément de T car pour tout n, B n A 3 A 1 A 2 A 3, qui est une tribu, donc stable par réunion dénombrable.

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 17 2.1.2 Le cas borélien Lorsque E 1 et E 2 sont des espaces topologiques, nous disposons déjà d une tribu sur E 1 E 2 qui est la tribu borélienne Bor(E 1 E 2 ), ou tribu engendrée par la topologie produit, dont on rappelle que les éléments sont les réunions (quelconques) de produits d ouverts (dits aussi rectangles à côtés ouverts). Proposition 2.7 a) On a toujours l inclusion Bor(E 1 ) Bor(E 2 ) Bor(E 1 E 2 ). b) Si E 1 et E 2 sont tous deux à bases dénombrable d ouverts (en particulier si E 1 et E 2 sont des espaces métriques séparables), alors l inclusion précédente devient une égalité. Dém. a) Par définition de la topologie produit, π i : E 1 E 2 E i est continue pour i = 1, 2 (i = 1 : si O 1 est un ouvert de E 1, π1 1 (O 1 ) = O 1 E 2 est un ouvert de E 1 E 2 ), et par conséquent π i est borélienne 3. Or la plus petite tribu qui rende mesurable π 1 et π 2 est Bor(E 1 ) Bor(E 2 ), d où le résultat. b) Pour tout i = 1, 2, soit U i = (U n (i) ) n N une base dénombrable d ouverts de E i, c est-à-dire que tout ouvert de E i peut s écrire comme réunion (forcément dénombrable, donc) d éléments de U i. Par définition de la topologie produit, tout ouvert Ω de E 1 E 2 est une réunion (quelconque, cette fois) de produits d ouverts Ω = j J O (1) j O (2) j, où J est un ensemble d indices quelconque et pour tous i, j, O (i) j est un ouvert de E i. Comme O (i) j est un ouvert de E i, O (i) j s écrit comme réunion d éléments de U i, c est-à-dire qu il existe une partie K (i) j de N telle que O (i) j = U (i) h, et ainsi O (1) j O (2) j = h K (1) j U (1) h h K (i) j k K (2) j U (2) k = (h,k) K (1) j K (2) j U (1) h U (2) k. En conclusion, Ω = (h,k) j J K (1) j K (2) j U (1) h U (2) k, 3. sans ambiguïté : l espace d arrivée E i est muni de sa tribu borélienne Bor(E i) et l espace de départ E 1 E 2 est muni de sa tribu borélienne Bor(E 1 E 2)

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 18 qui est une réunion dénombrable de produits d ouverts car j J K (1) j K (2) j N 2. Comme un produit d ouverts est élément de Bor(E 1 ) Bor(E 2 ), c est le cas également de Ω, par stabilité des tribus par réunion dénombrable. Ainsi les ouverts de E 1 E 2 sont des éléments de la tribu Bor(E 1 ) Bor(E 2 ), et par conséquent la plus petite tribu contenant les ouverts de E 1 E 2, à savoir Bor(E 1 E 2 ), est incluse dans Bor(E 1 ) Bor(E 2 ). Corollaire 2.8 Comme R est un espace métrique séparable, Bor(R) Bor(R) = Bor(R 2 ) et plus généralement, pour tout entier d 2, Bor(R) d = Bor(R d ). Ce corollaire permet, par exemple, de voir rapidement pourquoi, si f, g : R R sont deux fonctions boréliennes, alors f + g et fg sont aussi boréliennes. En effet, on sait que l application somme S et l application produit P S : (R 2, Bor(R 2 )) (R, Bor(R)) (x, y) x + y P : (R 2, Bor(R 2 )) (R, Bor(R)) (x, y) xy sont boréliennes car continues. De plus, on sait que l application C : (R, Bor(R)) (R 2, Bor(R) Bor(R)) x (f(x), g(x)) est mesurable, car les deux applications coordonnées f et g sont mesurables. Ayant l égalité entre Bor(R 2 ) et Bor(R) Bor(R), on a donc la mesurabilité de f + g = S C et de fg = P C. 2.1.3 Sections Définition 2.9 Si C A 1 A 2, pour tous x 1 E 1 et x 2 E 2, on note C x1 := {y 2 E 2 : (x 1, y 2 ) C} et C x 2 := {y 1 E 1 : (y 1, x 2 ) C}, que l on appelle sections de C. Proposition 2.10 Soit f F (A 1 A 2, Bor(R)). Alors pour tout x 1 E 1, l application partielle est mesurable. f x1 : (E 2, A 2 ) (R, Bor(R)) x 2 f(x 1, x 2 ) Remarque 2.11 Attention, la réciproque est fausse : le fait que toutes les applications partielles soient mesurables n implique pas forcément que f soit mesurable.

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 19 Dém. L application g x1 : (E 2, A 2 ) (E 1 E 2, A 1 A 2 ) x 2 (x 1, x 2 ) est mesurable car chacune des applications coordonnées l est de façon évidente. Donc f x1 = f g x1 est mesurable. Proposition 2.12 Les sections d éléments de la tribu produit sont mesurables. Autrement dit, pour tout C A 1 A 2 et pour tous x 1 E 1 et x 2 E 2 : C x1 A 2 et C x 2 A 1. Dém. Il suffit d appliquer la proposition précédente à la fonction f = 1 C, qui est mesurable par hypothèse. On obtient donc que f x1 est mesurable, mais f x1 = 1 Cx1, donc C x1 A 2. 2.2 Mesure produit Soient µ 1 et µ 2 deux mesures σ-finies, sur (E 1, A 1 ) et (E 2, A 2 ) respectivement. Lemme 2.13 Pour tout C A 1 A 2, l application est mesurable. h C : (E 1, A 1 ) ( R +, Bor( R + )) x 1 µ 2 (C x1 ) Dém. Supposons d abord que µ 2 est finie. Soit Λ := {C A 1 A 2 : h C est mesurable}. Montrons que Λ est une classe monotone. i) C = E 1 E 2 Λ car C x1 = E 2 pour tout x 1 E 1, et h C est donc la fonction constante à µ 2 (E 2 ), qui est toujours mesurable. ii) Soient C D tous deux éléments de Λ. Alors h C et h D sont mesurables, et h D\C = h D h C, car (D \ C) x1 = D x1 \ C x1, avec C x1 D x1. Donc h D\C est mesurable, et D \ C Λ. iii) Soit (C (n) ) n une suite croissante d éléments de Λ et C sa limite. Alors la suite (C x (n) 1 ) est croissante, donc par continuité à gauche de la mesure µ 2, h C (x 1 ) = µ 2 (( n C (n) ) x1 ) = µ 2 ( n C (n) x 1 ) = µ 2 (lim n C (n) x 1 ) = lim n µ 2 (C (n) x 1 ) = lim n h Cn, qui est bien mesurable, comme limite de fonctions mesurables.

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 20 En conclusion, Λ est bien une classe monotone. Montrons que Λ contient le π-système A 1 A 2. En effet, pour tout C = A 1 A 2 A 1 A 2, { A2 si x C x1 = 1 A 1 sinon, donc h C = µ 2 (A 2 )1 A1, qui est mesurable car étagée. Le théorème de la classe monotone assure alors que Λ contient σ(a 1 A 2 ) = A 1 A 2. La proposition est donc démontrée dans le cas où µ 2 est finie. Si µ 2 est seulement σ-finie, alors par définition, il existe une suite croissante (E (n) 2 ) n d éléments de A 2 convergeant vers E 2 telle que µ 2 (E (n) 2 ) < pour tout entier n. En particulier, pour tout A 2 A 2, µ 2 (A 2 ) = lim n µ 2 (A 2 E (n) 2 ). En appliquant ce qui précède à la mesure trace de µ 2 sur E (n) 2, on obtient que l application h n : x 1 µ 2 (C x1 E (n) 2 ) est mesurable, et par conséquent l application h C est également mesurable, comme limite (croissante) de la suite de fonctions (h n ). Théorème 2.14 Il existe une unique mesure m sur l espace produit (E 1 E 2, A 1 A 2 ) vérifiant m(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) pour tous A 1 A 1 et A 2 A 2. Cette mesure est σ-finie et est appelée mesure produit. On la note m = µ 1 µ 2. De plus, pour tout C A 1 A 2, µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ) = µ 1 µ 2 (C) = µ 1 (C x 2 ) dµ 2 (x 2 ). E 1 E 2 Remarque 2.15 On pourrait énoncer un résultat qui assure que le produit de mesures est associatif, et le démontrer en utilisant la coïncidence des différents produits de mesures possibles sur les rectangles à côtés mesurables. Une conséquence de cette remarque @ est la proposition suivante. Proposition 2.16 La mesure de Lebesgue λ d produit λ d 1. sur (R d, Bor(R d )) est aussi la mesure Remarque 2.17 Le théorème 2.14 est faux lorsque µ 1 ou µ 2 n est pas σ-finie comme on le voit en prenant par exemple la mesure de Lebesgue sur R pour µ 1 (qui est bien σ-finie) mais la mesure de comptage sur R pour µ 2 (qui n est pas σ-finie). En prenant par exemple (E 1, A 1 ) = (R, Bor(R)), (E 2, A 2 ) = (R, P(R)), et C = {(x, x) : x R} la première bissectrice de R 2, alors C x1 = {x 1 } et C x 2 = {x 2 }, donc µ 1 (C x 2 ) = 0, tandis que µ 2 (C x1 ) = 1. Par conséquent, µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ) = µ 1 (E 1 ) = + 0 = µ 1 (C x2 ) dµ 2 (x 2 ). E 1 E 2

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 21 Dém. du théorème 2.14. a) Unicité. Si m et m vérifient la propriété du théorème, c est qu elles coïncident sur le π-système A 1 A 2 qui engendre A 1 A 2. De plus, comme µ 1 et µ 2 sont toutes deux σ-finies, alors pour i = 1, 2, il existe une suite croissante (E (n) i ) d éléments de A i convergeant vers E i et tels que µ i (E (n) i ) <. Alors si l on définit C n = E (n) 1 E (n) 2, m(c n ) = m (C n ) = µ 1 (E (n) 1 ) µ 2 (E (n) 2 ) < et n C n = E 1 E 2, ce qui permet de conclure que m = m par le corollaire 1.18. b) Existence. On définit m 1 : A 1 A 2 R + par m 1 (C) := µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ). E 1 Montrons que m 1 est une mesure. i) m 1 ( ) = 0 car toutes les sections de l ensemble vide sont vides. ii) Soit (C (n) ) une suite d éléments de A 1 A 2 deux à deux disjoints. Alors pour tout x 1 E 1, les sections (C x (n) 1 ) sont deux à deux disjointes et ( n C (n)) x 1 = n C x (n) 1, si bien que, par le théorème de Beppo Levi, ( m 1 n C (n)) = E 1 ( n ( ) ) µ 2 C (n) x 1 dµ 1 (x 1 ) = n ( µ 2 C (n) x 1 E 1 ) dµ1 (x 1 ) = n m 1 ( C (n) ), ce qui prouve la σ-additivité de m 1. De plus, pour tous A 1 A 1 et A 2 A 2, et pour tout x 1 E 1, la section (A 1 A 2 ) x1 vaut A 2 si x 1 A 1 et est vide sinon. Ainsi, m 1 (A 1 A 2 ) = µ 2 (A 2 ) dµ 1 (x 1 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ). A 1 Il existe donc bien une mesure m = m 1 satisfaisant m(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) et cette mesure vérifie m(c) := µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ). E 1 De même, on définit la mesure m 2 par m 2 (C) := µ 1 (C x 2 ) dµ 2 (x 2 ), E 2 et l on montre que m 2 est une mesure qui coïncide avec m sur A 1 A 2, donc est égale à m (cf. a)). On se reportera aussi à a) pour voir que m est σ-finie. 2.3 Théorèmes de Fubini 2.3.1 Théorème de Fubini Tonelli Théorème 2.18 (de Fubini Tonelli) Si f : (E 1 E 2, A 1 A 2 ) ( R +, Bor( R + )) est mesurable, alors les fonctions φ et ψ définies resp. sur E 1 et E 2 par φ(x 1 ) := f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) E 2 et ψ(x 2 ) := f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) E 1

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 22 sont toutes deux mesurables et l on a la double égalité dans R + φ dµ 1 = f d(µ 1 µ 2 ) = ψ dµ 2. (2.1) E 1 E 1 E 2 E 2 Dém. Si f = 1 C pour C A 1 A 2, alors φ(x 1 ) = µ 2 (C x1 ) et ψ(x 2 ) = µ 1 (C x2 ), et donc d après le lemme 2.13 assure que φ et ψ sont mesurables et les trois termes de l équation (2.1) sont égaux à µ 1 µ 2 (C) par le théorème 2.14. Cette assertion s étend aux fonctions étagées positives pas linéarité de l intégrale, puis aux fonctions mesurables positives par le lemme fondamental d approximation et le théorème de Beppo Levi. 2.3.2 Théorème de Fubini Lebesgue Théorème 2.19 (de Fubini Lebesgue) Soit f comme dans le théorème de Fubini Tonelli mais de signe quelconque. Alors si f est µ 1 µ 2 -intégrable 4, alors les fonctions φ et ψ du théorème sont resp. définies µ 1 -p.p. et µ 2 -p.p., sont resp. µ 1 -intégrables et µ 2 -intégrables, et vérifient la double égalité (2.1). Dém. On définit φ + (x 1 ) = f + (x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ), E 2 ainsi que de manière évidente, φ, ψ + et ψ. D après le théorème de Fubini Tonelli, φ + dµ 1 = f + d(µ 1 µ 2 ) = ψ + dµ 2, E 1 E 1 E 2 E 2 qui est un nombre réel fini par hypothèse (se référer au terme du milieu). Par conséquent, φ + est finie µ 1 -p.p. et ψ + est finie µ 2 -p.p., ainsi que φ et ψ respectivement. Donc la fonction φ est définie µ 1 -p.p. (comme différence de deux fonctions finies p.p.) et l intégrale de φ est finie car égale à la somme des intégrales de φ + et de φ, qui sont toutes deux finies. Le résultat analogue se démontre de la même manière pour ψ, et ainsi l égalité (2.1) s obtient en faisant la différence de deux quantités finies. Remarque 2.20 Si f est positive, le théorème de Fubini Tonelli assure que l intégrale de f par rapport à µ 1 µ 2 peut toujours se calculer en faisant deux intégrales «simples» successives dans l ordre que l on souhaite. Si f est de signe quelconque, il faut, pour appliquer le théorème de Fubini-Lebesgue, d abord vérifier l intégrabilité de f par rapport à µ 1 µ 2 en utilisant le théorème de Fubini Tonelli (il suffit de vérifier que l une des intégrales«doubles» est finie). Remarque 2.21 Par convention d écriture, on écrira invariablement : f d(µ 1 µ 2 ) = dµ 1 (x 1 ) dµ 2 (x 2 ) f(x 1, x 2 ) E 1 E 2 E 1 E 2 = dµ 2 (x 2 ) dµ 1 (x 1 ) f(x 1, x 2 ) = dµ 1 (x 1 )dµ 2 (dx 2 ) f(x 1, x 2 ), E 2 E 1 E 2 4. ce qui se vérifie grâce au théorème de Fubini Tonelli... E 1

CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 23 mais on évitera en général d écrire des intégrales «multiples» comme f(x 1,..., x n ) dµ(x 1 ) dµ(x n ), auquel on préférera E E E n f dµ n. Remarque 2.22 Si (a n,m ) est une suite doublement indicée de nombres réels positifs et si µ est la mesure de comptage sur (N, P(N)), alors l interversion suivante a n,m = a n,m n m m n peut être vue comme une application du théorème de Beppo Levi, car m a n,m = N a n,m dµ(m), comme du théorème de Fubini Tonelli, car les termes de l équation sont tous deux égaux à N N a n,mdµ 2 (n, m).

Chapitre 3 Mesure image et changement de variable 3.1 Mesure image Soient (E 1, A 1 ) et (E 2, A 2 ) deux espaces mesurables, µ une mesure sur (E 1, A 1 ) et h F (A 1, A 2 ). Définition 3.1 (et proposition) L égalité ν(a 2 ) := µ ( h 1 (A 2 ) ) A 2 A 2 définit une mesure ν sur (E 2, A 2 ) appelée mesure image et notée µ h 1, ou h(µ), ou encore µ h. Dém. i) ν( ) = µ(h 1 ( )) = µ( ) = 0. ii) Soit (B n ) une suite d éléments de A 2 formules de Hausdorff, pour tous i j, deux à deux disjoints, alors d après les h 1 (B i ) h 1 (B j ) = h 1 (B i B j ) = h 1 ( ) =, et ainsi ν ( n B n ) = µ ( h 1 (B n ) ) = µ ( n h 1 (B n ) ) = n µ ( h 1 (B n ) ) = n ν(b n ), par σ-additivité de µ. Théorème 3.2 Soit f F (A 2, Bor(R)). Si f est positive µ h -p.p. alors on a l égalité suivante dans R + f dµ h = f h dµ. (3.1) E 2 E 1 De même, f est µ h -intégrable ssi f h est µ-intégrable, et si c est le cas, on a l égalité (3.1) dans R. 24

CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 25 Dém. Si f = 1 B, où B A 2, alors f h dµ = 1 B h dµ = 1 h 1 (B) dµ = µ ( h 1 (B) ) = µ h (B) = f dµ h. E 1 E 1 E 1 E 2 La linéarité de l intégrale, le lemme fondamental d approximation et le théorème de Beppo Levi impliquent (3.1) dès que f est positive µ h -p.p. L extension aux fonctions mesurables de signe quelconque et l équivalence des intégrabilités se déduisent classiquement @ de la décomposition f = f + f. Application. Soit h F (A, A ) telle que µ h = µ. Alors f dµ = f h dµ E pour toute fonction positive µ-p.p. ou µ-intégrable. En particulier, si µ est la mesure de Lebesgue sur R d et h = τ a est la translation de vecteur a R d, alors µ h = µ et donc f(x + a) dλ(x) = f dλ. R d R d À partir de maintenant on supposera que µ = λ d, que l on notera λ s il n y a pas d ambiguïté. Proposition 3.3 Soit A GL d (R) et b R d. Soit h l application affine définie par h(x) = Ax + b. Alors h(λ) = det A 1 λ. En particulier, pour tout f positive ou λ-intégrable, on a 1 f h dλ = f dλ. R det A d R d Application (vue en détail en TD) : calcul du volume de la boule unité. Soit B n (r) la boule (centrée sur l origine) de rayon r dans R n muni de la norme euclidienne. Alors par la proposition précédente, si h est l homothétie de paramètre r 1, Vol(B n (r)) = λ(h 1 (B n (1))) = det(h) 1 λ(b n (1)) = r n λ(b n (1)). D autre part si c n := Vol(B n (1)), alors 1 c n = dx 1 dx 2 dx n = 1 x 2 2 + +x2 n 1 x2 1 E 1 1 ( )) dx 1 Vol (B n 1 1 x 2 1 = c n 1 I n 1, où l on a défini I n := 1 1 ( 1 x 2 ) n/2 dx.

CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 26 Une intégration par parties permet de voir que I n = ni n 2 /(n + 1), ce qui indique pourquoi le résultat dépend de la parité de n. En effet, après calculs, on obtient pour tout entier k c 2k = πk k!, tandis que 2 k+1 π k c 2k+1 = 1 3 5 (2k + 1). On retrouve ainsi que c 1 = 2, c 2 = π et c 3 = 4π/3. Dém. de la proposition. Montrons qu on peut supposer que b = 0. Admettons la proposition dans le cas où b = 0, c est-à-dire que λ A 1 = det A 1 λ. Maintenant si h(x) = Ax + b, c est-à-dire h = τ b A, on a λ h 1 = λ (τ b A) 1 = λ A 1 τ 1 b = det A 1 λ τ 1 b = det A 1 λ. On peut donc supposer dorénavant que b = 0. Soit ν := A(λ). Il faut montrer que ν = det A 1 λ. Montrons d abord que ν est invariante par translation. En effet, comme pour tout c R d, A 1 τc 1 (x) = A 1 (x c) = A 1 (x) A 1 (c) = τ A 1 (c) A 1 (x), ν τ 1 c = λ A 1 τ 1 c = λ τ A 1 (c) A 1 = λ A 1 = ν. Soit C d le pavé unité [0, 1] d. Montrons que ν(c d ) > 0. Comme R d x Z d(x + C d ), par invariance par translation de ν, ν ( R d) x Z d ν(x + C d ) = x Z d ν(c d ), donc si ν(c d ) = 0, ν ( R d) = 0, ce qui n est pas possible car ν ( R d) = λ A 1 ( R d) = λ ( R d) = +. Montrons que ν(c d ) <. L application A 1 est linéaire, donc continue, donc l image C d du compact C d par A 1 est également compacte. Comme λ est finie sur les compacts, ν(c d ) = λ(c d ) <. Soit c = c(a) = λ A 1 ( [0, 1] d). D après ce qui précède, c ]0, [ et ν = c 1 ν est une mesure invariante par translation telle que ν ( [0, 1] d) = 1, donc ν est la mesure de Lebesgue sur R d. Il suffit donc de montrer que c(a) = det A 1. Montrons que c est un morphisme. Si ϕ 1 et ϕ 2 sont deux endomorphismes inversibles de R d, alors d après ce qui précède, λ (ϕ 1 ϕ 2 ) 1 = c(ϕ 1 ϕ 2 ) λ, mais également λ (ϕ 1 ϕ 2 ) 1 = λ ϕ 1 2 ϕ 1 1 = c(ϕ 2 ) λ ϕ 1 1 = c(ϕ 2 ) c(ϕ 1 ) λ, ce qui implique effectivement que c(ϕ 1 ϕ 2 ) = c(ϕ 1 ) c(ϕ 2 ). Comme tout endomorphisme inversible Φ de R d s écrit comme produit fini d endomorphismes du type ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, où (en écrivant e i le i-ème vecteur de la base canonique) ϕ 1 (e i ) = e σ(i) pour σ une permutation de {1,..., d},

CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 27 ϕ 2 (e 1 ) = αe 1 et ϕ 2 (e j ) = e j j 1 (avec α 0), ϕ 3 (e 1 ) = e 1 + e 2, et ϕ 3 (e j ) = e j j 1, il suffit de montrer que c(ϕ) = det ϕ 1 pour chacune de ces trois (sortes d )applications. En effet, ceci étant démontré, nous aurons pour Φ = Π n i=1φ i, où les φ i sont du type ciavant (et où le produit est un produit matriciel, c est à-dire une composition), c(φ) = c (Π n i=1φ i ) = Π n i=1c(φ i ) = ( Π n i=1 det φ i 1) = Π n i=1 det φ i 1 = det Φ 1. Le pavé unité C d est invariant par ϕ 1 donc c(ϕ 1 ) = λ(c d ) = 1 = det ϕ 1 1. Dans le cas de ϕ 2, ϕ 1 2 (C d ) = I α C d 1, où I α = [0, 1/α] si α > 0 et I α = [1/α, 0] si α < 0. Par conséquent c(ϕ 2 ) = λ 1 (I α )λ d 1 (C d 1 ) = α 1 = det ϕ 2 1. Enfin, ϕ 1 3 (C d ) = P 2 C d 2, où P 2 est un losange du plan d aire 1, donc c(ϕ 3 ) = λ 2 (P 2 )λ d 2 (C d 2 ) = 1 = det ϕ 3 1, ce qui achève la démonstration. 3.2 Formule du changement de variable Soient U et V deux ouverts de R d et φ un C 1 -difféomorphisme entre U et V, c est-àdire une bijection φ : U V telle que φ est de classe C 1 sur U et φ 1 est de classe C 1 sur V. Pour tout u U, on note φ (u) la matrice carrée d d des dérivées partielles de φ évaluées en u, autrement dit la matrice représentative de l application linéaire tangente à φ en u, appelée matrice jacobienne de φ en u. On note J φ (u) le déterminant de φ (u), appelé jacobien de φ en u. Nous allons montrer que l image par φ de la mesure de densité J φ par rapport à λ (sur U) est λ (sur V ), et que l image par φ de λ (sur U) est la mesure de densité J φ 1 par rapport à λ (sur V ). Théorème 3.4 (formule de changement de variable) Soit f une fonction borélienne sur V. Si f est positive ou λ-intégrable, alors f dλ = f φ J φ dλ. V De manière équivalente, si f est positive ou que f φ est λ-intégrable, alors f φ dλ = f J φ 1 dλ. U U Remarque 3.5 En dimension 1, si φ :]α, β[ ]a, b[ est un C 1 -difféomorphisme, alors φ ne peut pas s annuler et en particulier, φ est de signe constant. Avec les notations de l intégrale de Riemann, si l on applique la formule de changement de variable apprise au lycée, on retombe bien entendu sur la formule du théorème précédent. Si φ > 0, alors b a f(x) dx = φ 1 (b) φ 1 (a) V f φ(u) φ (u) du = β α f φ(u) φ (u) du.

CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 28 Si φ < 0, alors b a f(x) dx = φ 1 (b) φ 1 (a) β β f φ(u) φ (u) du = f φ(u) φ (u) du = f φ(u) φ (u) du. α α Corollaire 3.6 Si µ est la mesure de densité f par rapport à λ et si φ : R d R d est un C 1 -difféomorphisme, alors la mesure image de µ par φ admet une densité g par rapport à λ, et g est donnée par g(x) = f φ 1 (x) J φ 1(x) x R d. Dém. Pour toute fonction borélienne positive h, en se servant du théorème précédent, h dµ φ = h φ f dλ = h φ f φ 1 φ dλ = h f φ 1 J φ 1 dλ, ce qui prouve le corollaire (prendre tout simplement une indicatrice pour h). Remarque 3.7 Pour vérifier que φ est un C 1 -difféomorphisme, on applique ordinairement le théorème d inversion locale : soit U un ouvert de R d et φ : U R d. Soit V := φ(u). Alors φ est un C 1 -difféomorphisme ssi i) φ est injective ; ii) φ est de classe C 1 ; iii) pour tout u U, J φ (u) 0. Sous ces conditions, V est un ouvert et pour tout x V, (φ 1 ) (x) = (φ φ 1 (x)) 1. Exemple 3.8 (coordonnées polaires) Par le théorème d inversion locale, la fonction φ : ]0, [ ]0, 2π[ R 2 \ ([0, [ {0}) (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) est un C 1 -difféomorphisme, avec ( ) cos θ ρ sin θ φ (ρ, θ) = sin θ ρ cos θ et J φ (ρ, θ) = ρ. Ainsi pour toute fonction borélienne f λ 2 -intégrable, f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy R 2 R 2 \([0, [ {0}) = f φ(ρ, θ) J φ (ρ, θ) dρ dθ = f φ(ρ, θ) ρ dρ dθ. ]0, [ ]0,2π[ [0, [ [0,2π] En particulier, l intégrale I = R e x2 dx peut se calculer comme suit, grâce à deux applications du théorème de Fubini Tonelli : I 2 = e (x2 +y2) dx dy = e ρ2 ρ dρ dθ = 2π e ρ2 ρ dρ dθ = π, R 2 [0, [ [0,2π] [0, [ d où l égalité bien connue I = π.

CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 29 La démonstration de la formule du changement de variable est plutôt technique. Nous renvoyons le lecteur à la démonstration par récurrence p.64 du cours de Jean Jacod, ou à la démonstration p.242 du livre de Marc Briane et Gilles Pagès. Nous donnons ci-après l idée de cette dernière. On recouvre l ouvert U par une réunion dénombrable d hypercubes semi-ouverts (C i ) deux à deux disjoints et de mesure de Lebesgue arbitrairement petite fixée. On note u i le centre de C i. Comme φ est bijective, V = φ(u) s écrit à son tour comme réunion disjointe des φ(c i ), donc pour toute fonction borélienne f positive, f dλ = f dλ f(φ(u i ))λ(φ(c i )). V i φ(c i ) i Mais localement, φ peut être approchée par son application linéaire tangente φ (u i ), aussi comme λ(φ(c i )) est la mesure de C i par la mesure image de λ par φ 1, ayant φ 1 (x) Ax + b, avec A = (φ 1 ) (et b = φ 1 (u i ) Au i ), on a Ainsi, λ(φ(c i )) det A 1 λ(c i ) = det φ (u i ) λ(c i ). V f dλ i = i U f(φ(u i )) J φ (u i ) λ(c i ) C i f φ(u) J φ (u) dλ(u) f φ J φ dλ, ce qui achève cette esquisse de démonstration.

Chapitre 4 Les espaces L p Dans tout ce chapitre, on se place sur un espace mesuré (E, A, µ) et pour tout p R +, on abrégera L p (E, A, µ) en L p (µ), voire en L p. On désignera par (f n ) une suite de fonctions mesurables à valeurs dans R muni de sa tribu borélienne. 4.1 Les espaces de Banach L p 4.1.1 Convergence dans L p et convergence simple Rappelons que la topologie usuelle d un espace vectoriel normé est la topologie relative à la distance d(f, g) = f g. Ainsi on dira que la suite (f n ) converge dans L p si a) pour tout n N, f n L p et f L p ; b) lim n f f n p = 0. On rappelle que la suite (f n ) converge simplement vers f si lim n f n (x) = f(x) pour µ-presque tout x. Proposition 4.1 Soit p [1, + [. a) [convergence L p -dominée] Si f n f µ-p.p. et qu il existe g L p tel que f n g L pour tout entier n, alors f p n f. L b) i) Si f p n f, alors il existe une suite extraite de (f n ) qui converge vers f µ-p.p. b) ii) Si f n L f, alors f n f uniformément en dehors d un ensemble négligeable, donc f n f µ-p.p. Remarque 4.2 Dans le cas de l espace l p (pour p < ), une suite (de fonctions, aussi appelées suites ici...) (u (n) ) converge vers la fonction u l p si k u(n) k p <, si k u k p < et si lim u (n) n k u k p = 0. Ceci implique en particulier que u (n) k l p (vrai aussi si p = + par b)ii)), k u k lorsque n. En conclusion, dans l espace f n l p f = f n f simplement (partout). 30

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 31 Évidemment, on n a pas la réciproque, comme on peut le voir sur le contre-exemple u (n) = 1 {n}. Alors la suite (u (n) ) converge simplement vers la fonction nulle car u (n) k = 0 pour tout k > n. Néanmoins pour tout n, la fonction u (n) est à distance 1 de la fonction nulle : u (n) 0 p = ( k u(n) k p ) 1/p = 1 pour tout p (même p = ), et donc ne converge pas vers la suite nulle dans l p. En effet, ici la plus petite fonction dominant la suite (u (n) ) est la fonction v constante à 1. Pour p <, cette fonction n est pas dans l p, donc on ne peut pas appliquer a). De plus, v l, ce qui montre aussi que a) n est pas vrai en général pour p =. Dém. a) On applique le théorème de convergence dominée. En effet, f n f p ( f n + f ) p 2 p g p µ-p.p., et par hypothèse g p est intégrable, donc comme f n f p 0, µ-p.p., on a la convergence vers 0 de f n f p dµ. b)i) On applique le lemme de Borel Cantelli. Construisons une suite extraite (f ϕ(n) ) par récurrence. Soit ϕ(0) = 0 et ϕ(n + 1) := min{k > ϕ(n) : f f k p 2 (n+1) }, qui est toujours un nombre fini puisque f f n p 0. On a donc f f ϕ(n) p 2 n et pour tout ε > 0, µ( f f n ε) = µ( f f n p ε p ) ε p f f n p p, par l inégalité de Markov. Par conséquent, avec A n (ε) := { f f ϕ(n) ε}, µ(a n (ε)) ε p f f ϕ(n) p p ε p 2 np <, n n n et le lemme de Borel Cantelli assure donc que µ(lim sup n A n (ε)) = 0. Définissons alors B ε := lim sup A n (ε) et B := ε>0 B ε. n Remarquons que B est bien mesurable puisque B = lim k N B 1/k et que µ(b) k µ(b 1/k) = 0. Concluons en remarquant que pour tout x c B, f ϕ(n) (x) f(x). En effet, pour tout ε, x c B ε = lim inf c n A n (ε), donc il existe n 0 tel que pour tout n n 0, x c A n (ε), c est-à-dire f f ϕ(n) (x) < ε. b)ii) Dire que f n f dans L, c est dire qu il existe une partie mesurable Ω de complémentaire négligeable telle que sup x Ω f n f (x) 0. En effet, par définition du supremum essentiel, pour tout entier n il existe une partie mesurable Ω n de complémentaire négligeable telle que f n f (x) f n f. Si l on définit Ω := n Ω n, Ω est bien de complémentaire négligeable et sup f n f (x) f n f 0. x Ω La suite (f n ) converge donc uniformément vers f sur Ω, donc elle converge simplement sur Ω. Corollaire 4.3 Soit p [1, + ]. Si l on a la convergence de la suite (f n ) vers f dans L p et vers g µ-p.p. alors f et g sont égales µ-p.p.

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 32 Dém. On sait qu il existe une suite extraite (f ϕ(n) ) qui converge µ-p.p. vers f. Or la suite (f n ) converge µ-p.p. vers g, donc la sous-suite (f ϕ(n) ) également. Ainsi f = g µ-p.p. 4.1.2 Complétude des espaces L p Lemme 4.4 Soit (H, ) un e.v. normé. Si toute série de terme général (u n ) telle que n u n < est convergente 1, alors (H, ) est complet. Dém. Soit (x n ) une suite de Cauchy à valeurs dans (H, ). On définit alors par récurrence une injection croissante ϕ de N, par ϕ(0) = 0, et ϕ(n + 1) := min{k > ϕ(n) : j, l k, x j x l 2 (n+1) }, qui est un nombre fini puisque (x n ) est de Cauchy. Soit alors u n := x ϕ(n+1) x ϕ(n). Alors x ϕ(n) = x 0 + n 1 k=0 u k et u n = x ϕ(n+1) x ϕ(n) 2 n, donc n u n <. Par hypothèse, la suite des sommes partielles ( n k=0 u k) converge donc dans H, et par conséquent, la suite (x ϕ(n) ) également. En conclusion, (x n ) est une suite de Cauchy dont une suite extraite converge, c est donc une suite convergente. Théorème 4.5 (de Riesz Fisher) Pour tout p [1, + ], L p (µ) est un espace de Banach 2. Dém. Nous allons montrer que L p (µ) vérifie les hypothèses du lemme précédent. Soit (u n ) une suite de L p telle que n u n p =: a < et soit f n := n k=0 u k la n-ième somme partielle. Il nous suffit donc de montrer que la suite (f n ) converge dans L p. Soit alors n h n := u k. k=0 La suite (h n ) est une suite croissante, qui converge donc simplement vers la fonction positive h := lim n h n. Montrons d abord que h L p avec h p a en différenciant suivant que p est fini ou infini. Si p =, il existe une partie négligeable N de E telle que pour tout x c N, u n (x) u n, et donc h n (x) n u k (x) k=0 n u k a. k=0 Par conséquent pour tout x c N, h(x) = lim n h n (x) a, et h L avec h a. Si p <, l inégalité triangulaire implique que h n p n k=0 u n p a, donc par le 1. au sens où la suite des sommes partielles converge dans H muni de sa norme 2. c est-à-dire un espace vectoriel normé complet

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 33 théorème de convergence monotone, h p dµ = lim n E E h p n dµ = lim n h n p p a p. Par conséquent, h p a ici encore. Il existe donc une partie négligeable N de E telle que pour tout x c N, h(x) = n u n(x) <. Autrement dit, pour tout x c N, la série de terme général u n (x) est absolument convergente (dans R) et est donc convergente. Autrement dit la suite (f n ) converge µ-p.p., vers une certaine fonction f. D après l inégalité triangulaire de R, f n (x) h n (x) h(x), donc f h µ-p.p., et par conséquent, f p h p a, ce qui s écrit u k p u k p. k 0 k 0 Si l on applique cette inégalité à la suite u = (u n+k+1 ) k, ayant f f n = k u k, on obtient f f n p u k p, k n+1 qui tend vers 0 lorsque n, ce qui revient à dire que la suite (f n ) converge vers f dans L p. 4.2 L espace L 2 et les espaces de Hilbert 4.2.1 L espace de Hilbert L 2 (µ) Définition 4.6 (et proposition) Soit H un e.v. réel et, : H H R (u, v) u, v une forme bilinéaire symétrique positive, c est-à-dire telle que i) positivité : u, u 0 pour tout u H ; ii) symétrie : u, v = v, u pour tous u, v H ; iii) bilinéarité : pour tout v H, l application u u, v est linéaire. Si de plus on a l implication [ u, u = 0 u = 0], alors on parle de forme bilinéaire symétrique strictement positive, ou définie positive, ou plus simplement de produit scalaire. Lorsque c est le cas, on vérifie facilement que u := u, u définit une norme @ sur H, que l on appelle alors espace préhilbertien. Si de plus H est complet, on dit que H est un espace de Hilbert. Théorème 4.7 L application, : L 2 (µ) L 2 (µ) R (f, g) f, g := E fg dµ

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 34 est un produit scalaire. D après le théorème de Riesz Fisher, l espace L 2 produit scalaire est donc un espace de Hilbert. muni de ce Remarque 4.8 L inégalité de Cauchy-Schwarz des espaces préhilbertiens est ici l inégalité de Hölder (avec p = q = 1/2), qui assure d ailleurs que cette application est bien définie sur L 2 : f, g f 2 g 2. La démonstration du théorème est laissée au lecteur. @ Remarque 4.9 Dans le cas complexe, on parle de forme sesquilinéaire, et la propriété ii) doit être remplacée par ii ) u, v = v, u, ce qui oblige à définir f, g dans L 2 C (µ) par f, g = f g dµ. 4.2.2 Théorème de projection Soit C une partie fermée et convexe 3 d un espace de Hilbert (H,,, ). Théorème 4.10 Pour tout x H, il existe un unique élément z de C, appelé projection orthogonale de x sur C, tel que x z = inf y C x y. Dém. Le théorème repose sur l identité du parallélogramme : pour tous u, v H, u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2, E qui est une conséquence immédiate de la bilinéarité du produit scalaire. Soit d := inf y C x y la distance de x à C. Par définition de la borne inférieure, il existe une suite (y n ) de C telle que lim n x y n = d. Nous allons nous servir de l identité du parallélogramme pour montrer qu une telle suite est de Cauchy, en posant u = 1(y 2 n x) et v = 1(y 2 m x) pour m, n deux entiers quelconques. On obtient alors @ 1 2 (y n + y m ) x 2 + 1 4 y n y m 2 = 1 2 y n x 2 + 1 2 y m x 2. Or C est convexe, donc 1 2 (y n + y m ) C et par conséquent 1 2 (y n + y m ) x d. Ceci donne y n y m 2 2 y n x 2 + 2 y m x 2 4d 2. Soit ε > 0. Comme lim n x y n 2 = d 2, il existe un entier N tel que pour tout n N, x y n 2 < d 2 + ε2. Grâce à l inégalité obtenue précédemment, pour tous n, m N, 4 y n y m < ε, autrement dit la suite (y n ) est de Cauchy. Comme H est complet, cette 3. c est-à-dire que pour tous x, y C et pour tout λ [0, 1], la combinaison convexe λx + (1 λ)y est toujours dans C, autrement dit C contient tous les segments joignant deux de ses éléments

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 35 suite converge vers un certain z qui doit appartenir à C, puisque C est fermé. Ayant lim n x y n = d, par continuité de la norme, x z = d. Il ne reste plus à montrer que z est unique. Soit z C tel que x z = d. On définit une nouvelle suite (y n ) à valeurs dans C par y n = z si n est pair et y n = z si n est impair. Alors x y n = d, donc par le même raisonnement que précédemment (y n ) converge, ce qui implique que z z = 0, c est-à-dire z = z. Proposition 4.11 Soit F est un sous-espace vectoriel fermé 4 de H. Alors pour tout x H, la projection orthogonale p F (x) de x sur F vérifie x p F (x), y = 0 pour tout y F. Dém. Soient y F et t R. On note z = p F (x) comme dans le théorème de projection et u = x z. Comme z + ty F et que z minimise la distance de x à F, u 2 = x z 2 x (z + ty) 2 = u ty 2 = u 2 2t u, y + t 2 y 2. Donc 2t u, y + t 2 y 2 0 pour tout réel t, ce qui implique que u, y = 0. Corollaire 4.12 Si F est un sous-espace vectoriel fermé de H, alors H se décompose en somme directe suivant F F, où F := {u H : y F, u, y = 0}. Dém. Soit x H. En notant comme précédemment u = x p F (x), on peut écrire x sous la forme d une somme u+p F (x), où p F (x) F, et d après la proposition précédente u F. D autre part F F est bien réduit au singleton {0} car pour tout x F F, x, x = 0, donc x = 0. Remarque 4.13 Un développement très intéressant de cette section d algèbre bilinéaire, que nous avons pourtant choisi de ne pas suivre, concerne les parties totales et les bases orthonormales de H. On dit qu une partie K de H est totale si le sous-espace vectoriel fermé engendré par K, c est-à-dire l adhérence du sous-espace vectoriel engendré par K 5 est H tout entier. On appelle système orthonormal une partie de H dont tous les éléments sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux ; on appelle base orthonormale un système orthonormal total. On peut démontrer que K est totale ssi K = {0}. De plus, si H u est l espace vectoriel fermé engendré par un système orthonormal dénombrable (u n ), alors l application qui à une suite (a n ) de l 2 associe n a nu n H u est un isomorphisme d espaces de Hilbert (préserve le produit scalaire). Enfin, si µ est une mesure σ-finie, alors l espace de Hilbert L 2 (µ) admet une base orthonormale dénombrable. 4. un sous-espace vectoriel est toujours convexe car une combinaison convexe est un cas particulier de combinaison linéaire ; un sous-espace vectoriel n est forcément fermé que si H est de dimension finie 5. qui n est lui-même que l ensemble des combinaisons linéaires finies d éléments de K

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 36 4.2.3 Lemme de Riesz Fisher Nous allons appliquer les résultats de la section précédente à l espace de Hilbert H = L 2 (E, A, µ). Définition 4.14 Soit H un K-espace vectoriel (K = R ou C). On rappelle qu une forme linéaire sur H est une application linéaire Φ : H K et que le dual topologique H de H est l espace vectoriel des formes linéaires continues sur H, muni de la norme usuelle des espaces vectoriels d applications linéaires. Exemple 4.15 (très important) Soit g L 2 (µ) et Φ g l application définie par Φ g : L 2 (µ) R f E fg dµ. Grâce à l inégalité de Hölder, Φ g (f) g 2 f 2, si bien que non seulement Φ g est bien définie sur L 2 (µ), mais également Φ g est g 2 -lipschitzienne, donc continue. La linéarité de l intégrale assure aussi que Φ g est linéaire, et ainsi Φ g est un élément du dual topologique de L 2 (µ). Le lemme de Riesz Fisher établit la réciproque de cet exemple. On remarquera également que si Φ g n est pas nulle, c est-à-dire si g n est pas nulle, alors si l on choisit f = g/ g 2, on a Φ g (f) = g 2, et donc Φ g = g 2. Théorème 4.16 (Lemme de Riesz Fisher) Soit Φ : L 2 (µ) R une forme linéaire continue. Alors!ϕ L 2 (µ) tel que pour tout f L 2 (µ), Φ(f) = fϕ dµ. Remarque 4.17 Le même énoncé est vrai dans C. Remarque 4.18 D après le lemme de Riesz Fisher, si l on note H = L 2 (µ), l application I : H H g Φ g est un isomorphisme (et même une isométrie d après l exemple qui précède l énoncé du lemme). Ainsi L 2 (µ) est isomorphe (isométriquement) à son dual topologique. On parle de dualité L 2 L 2. Dém. Montrons d abord l unicité. Si ϕ 1 et ϕ 2 sont deux éléments de L 2 (µ) tels que Φ(f) = f, ϕ 1 = f, ϕ 2, alors f, ϕ 1 ϕ 2 = 0. Si l on choisit f = ϕ 1 ϕ 2 L 2 (µ), on obtient ϕ 1 ϕ 2 2 = 0, autrement dit ϕ 1 = ϕ 2. Montrons à présent l existence. Soit F := ker Φ. Comme Φ est continue, F = Φ 1 ({0}) est un fermé, c est donc un sous-espace vectoriel fermé de L 2 (µ). On sait donc d après le dernier corollaire que L 2 (µ) = F F. E

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 37 Premier cas : F = {0}. Alors F = L 2 (µ), ce qui signifie que Φ est la forme linéaire nulle et le choix de la fonction nulle pour ϕ convient. Deuxième cas : F {0}. Nous allons voir que F est une droite vectorielle et que ϕ est un élément de cette droite. Soit g un élément non nul de F et ϕ = cg, où c := Φ(g) g 2 2 R. Comme g est non nul et que g F, g F et par conséquent Φ(g) 0. Alors pour tout f L 2 (µ), avec λ = Φ(f)/Φ(g) R, f λg F, car Φ(f λg) = Φ(f) λφ(g) = 0. Par conséquent, puisque g F, f λg, g = 0, ce qui s écrit donc Φ(f) = λφ(g) = ce qui achève la démonstration. λ = f, g, g 2 2 4.3 Théorème de Radon Nikodym f, g Φ(g) = c f, g = f, ϕ, g 2 2 Définition 4.19 Soient µ et ν deux mesures sur un espace mesurable (E, A ). On dit que ν est absolument continue par rapport à µ, et on note ν µ, si pour tout A A, µ(a) = 0 = ν(a) = 0. Exemple 4.20 (très important) Si f : (E, A ) ( R +, B( R + )) est mesurable, alors la mesure ν de densité f par rapport à µ, définie par ν(a) = 1 A f dµ A A, E est absolument continue par rapport à µ. On note souvent f = dν et on l appelle dérivée dµ de Radon Nikodym, en référence au théorème qui établit la réciproque de cet exemple sous la condition que µ et ν sont toutes deux σ-finies. Voici en effet un contre-exemple avec la mesure de Lebesgue λ sur [0, 1] et m la mesure de comptage. On voit que λ m car si m(a) = 0 alors A = et par conséquent λ(a) = 0. Pourtant dλ n existe pas, dm comme nous allons le montrer par l absurde. Supposons que f = dλ existe et notons dm D = {f 0}. Alors f dm = λ([0, 1]) = 1, et pour tout ε > 0, [0,1] 1 f1 f ε dm εm({f ε}), [0,1] ce qui implique que {f ε} est fini. En particulier D = n 1 {f 1/n} est dénombrable et donc λ(d) = 0. On a donc 1 = λ({f = 0}) = 1 {f=0} f dm = 0, ce qui est la contradiction annoncée. [0,1]

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 38 Théorème 4.21 (de Radon Nikodym) Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur (E, A ) telle que ν µ. Alors il existe une fonction mesurable f : (E, A ) ( R +, B( R + )), unique à un ensemble µ-négligeable près, telle que pour tout A A, ν(a) = 1 A f dµ. E Dém. La démonstration se fait en 4 étapes : 1) µ et ν finies, ν µ ; 2) µ et ν finies ; 3) µ et ν σ-finies ; 4) unicité. Étape 1. On suppose ici que µ et ν sont finies et que ν µ, autrement dit pour tout A A, ν(a) µ(a). Il est équivalent de supposer (par le lemme fondamental d approximation et le théorème de convergence monotone) que pour toute fonction mesurable positive g, g dν g dµ. Remarquer que ceci implique l absolue continuité ν µ. Soit alors la fonction Φ définie par Φ : L 2 (µ) R g qui est bien définie car L 2 (µ) L 1 (ν). En effet, comme ν µ, on a L 2 (µ) L 2 (ν), et L 2 (ν) L 1 (ν) puisque ν est finie. La fonction Φ est donc une forme linéaire sur L 2 (µ). De plus, grâce à l inégalité de Hölder, Φ(g) g dν = g.1 dν g 2 1 2, E E autrement dit Φ est ν(e)-lipschitzienne, et est donc continue. Nous pouvons donc appliquer le lemme de Riesz-Fisher à la forme linéaire continue Φ sur L 2 (µ), et exhiber un élément ϕ de L 2 (µ) tel que pour tout g L 2 (µ), Φ(g) = gϕ dµ. Notons aussi que E ϕ L 1 (µ), car L 2 (µ) L 1 (µ). De plus, puisque µ est finie, toute fonction indicatrice g = 1 A est dans L 2 (µ) et ainsi ν(a) = 1 A dν = 1 A ϕ dµ. Montrons que ϕ [0, 1] µ-p.p. Soit ε > 0. 0 ν({ϕ ε}) = E {ϕ ε} E E g dν ϕ dµ εµ({ϕ ε}) 0, ce qui implique que µ({ϕ ε}) = ν({ϕ ε}) = 0. De même, comme ν µ, ν({ϕ 1 + ε}) = ϕ dµ (1 + ε)µ({ϕ 1 + ε}) (1 + ε)ν({ϕ 1 + ε}), {ϕ 1+ε} ce qui implique que ν({ϕ 1 + ε}) = µ({ϕ 1 + ε}) = 0. Ainsi pour tout ε > 0, µ({ϕ [ ε, 1 + ε]}) = 0. Comme {ϕ [0, 1]} = n 1 {ϕ [ 1/n, 1 + 1/n]}, µ({ϕ [0, 1]}) = 0.

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 39 Conclusion : il existe ϕ L 1 (µ) prenant ses valeurs dans [0, 1] µ-p.p. tel que pour tout A A, ν(a) = A ϕ dµ. Étape 2. On traite ici le cas de deux mesures µ et ν finies telles que ν µ. On applique alors l étape 1 au couple (ν, ν +µ), puisque µ+ν est une mesure finie qui vérifie ν µ + ν. Il existe donc ϕ L 1 (µ + ν) prenant ses valeurs dans [0, 1] (µ + ν)-p.p., donc µ-p.p. et ν-p.p., tel que pour tout A A, ν(a) = ϕ dµ + ϕ dν. Ceci implique A A que pour tout A A, (1 ϕ) dν = ϕ dµ, puis par approximation et convergence A A monotone, que pour toute fonction g mesurable positive, (1 ϕ)g dν = ϕg dµ. (4.1) Si N := {ϕ = 1}, alors avec g = 1 N, (1 ϕ)1 N dν = 0 = E E E E ϕ1 N dµ = µ(n). Comme de plus ν µ, on a ν(n) = 0. Donc pour tout A A, comme 1 ϕ 0 sur c N, on peut définir g = 1c A N/(1 ϕ), et avec ce choix de g, on obtient alors (1 ϕ) 1 A c N 1 ϕ dν = ν(a c N) = ν(a) = ϕ 1 A c N E 1 ϕ dµ = ϕ 1c N A 1 ϕ dµ. E On définit alors la fonction µ-p.p. positive f par f := ϕ 1 ϕ 1c N, ce qui assure que pour tout A A, ν(a) = f dµ, où il suffit de prendre A = E pour A voir que f L 1 (µ). Étape 3. Extension au cas σ-fini. Il existe donc deux partitions de E dénombrables et A -mesurables (F n ) et (G n ) telles que µ(f n ) < et ν(g n ) <. De ces deux partitions on peut tirer une partition de E dénombrable et A -mesurable (E n ) telle que µ(e n ) < et ν(e n ) <, par exemple en considérant toutes les intersections F j G k et en utilisant une bijection allant de N 2 dans N. Pour n fixé, soient µ n et ν n les mesures traces de µ et ν respectivement, sur E n. Alors µ n et ν n sont des mesures finies et puisque ν µ, ν n µ n, donc il existe une fonction positive f n L 1 (µ n ) telle que pour tout A A, ν n (A) = f n dµ n = f n 1 En dµ. A Soit maintenant f := n f n1 En. Alors pour tout A A, f dµ = f n 1 En dµ = f n 1 En dµ = ν n (A) = ν(a E n ) = ν(a). A A n n A n n A

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 40 Étape 4. Montrons l unicité de la dérivée de Radon Nikodym. Supposons qu il existe deux fonctions mesurables positives f et g telles que pour tout A A, ν(a) = f dµ = g dµ. Ainsi avec A = {f g + ε} E n, où ε un nombre réel positif quelconque, ν(a) = f dµ = g dµ. A A Comme ν(a E n ) <, g dµ <, et l on peut donc retrancher ce terme à la dernière A égalité, de manière à obtenir 0 = (f g) dµ εµ({f g + ε} E n ). {f g+ε} E n Par conséquent, µ({f g + ε} E n ) = 0, et en passant à la limite n, on obtient µ({f g + ε}) = 0, puis en passant à la limite ε 0 (le long d une suite dénombrable), on obtient µ({f > g}) = 0. Par symétrie, on obtient µ({f < g}) = 0, et en conclusion µ({f g}) = 0. 4.4 Dualité L p L q Le lemme de Riesz Fisher montre que le dual topologique de L 2 (µ) est isomorphe à L 2 (µ), ce que l on a appelé la dualité L 2 L 2. Nous allons énoncer ici une extension de cette propriété, qui est la dualité L p L q, où p et q sont deux éléments conjugués de [1, + ], c est-à-dire tels que 1 + 1 = 1. Comme dans l exemple 4.15, nous pouvons p q démontrer que pour tout g L q (µ), l application Φ g : L p (µ) R f E A A fg dµ est une forme linéaire continue, et que si g 0 µ-p.p., alors Φ g est positive, au sens où si f 0 µ-p.p., alors Φ g (f) 0. Théorème 4.22 (dualité L p L q ) Soit µ une mesure σ-finie sur un espace mesurable (E, A ) et p [1, + [. Soit Φ une forme linéaire continue sur L p (µ). Alors!ϕ L q (µ) tel que pour tout f L p (µ), Φ(f) = fϕ dµ. Remarque 4.23 Le précédent théorème reste vrai lorsque µ n est pas σ-finie pourvu que 1 < p <. E

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 41 Dém. Nous allons seulement donner une esquisse de la démonstration, et uniquement dans le cas où l on suppose que Φ est aussi positive (et alors ϕ 0 µ-p.p.). 1) Soit une partition dénombrable A -mesurable (E n ) de E telle que µ(e n ) < pour tout n. On définit alors l application ν n : A R + par ν n (A) := Φ (1 A En ) A A. Alors ν n est une mesure (finie). D abord, ν n ( ) = Φ(0) = 0. Ensuite pour toute suite (A k ) d éléments de A deux à deux disjoints, si l on note f k := 1 k j=0 A j E n = k j=0 1 A j E n, alors (f k ) converge simplement vers f := 1 A En, où A = k A k. De plus f k 1 En L p car 1 En p = µ(e n ) 1/p <, donc par convergence L p -dominée, la suite (f k ) tend vers f dans L p. Par conséquent, comme Φ est continue, ( ) ν n ( k A k ) = Φ lim f k = lim Φ(f k ) = lim k k k k j=0 Φ(1 Ak E n ) = k ν n (A k ). 2) Appliquer le théorème de Radon Nikodym à ν n et µ. Comme Φ est linéaire et continue, elle est Φ -lipschitzienne, et donc pour tout A A tel que µ(a) = 0, ν n (A) = Φ(1 A En ) Φ. 1 A En p = Φ µ(a E n ) 1/p = 0. Ainsi ν n µ et il existe donc une application mesurable positive ϕ n L 1 (µ) (car ν n est finie) telle que pour tout A A, ν n (A) = ϕ A n dµ. De plus, quitte à remplacer ϕ n par ϕ n 1 En, on peut supposer que ϕ n est nulle sur c E n. 3) Soit ϕ := n ϕ n. Il s agit ici de montrer que pour tout f L p (µ), Φ(f) = fϕ dµ. Pour f 0 élément de L p (µ), la suite ( n j=0 f1 E j ) converge simplement vers f et est dominée par f L p, donc par convergence L p -dominée, converge vers f dans L p, ainsi par continuité de Φ, ( ) ( n n ) n Φ(f) = Φ lim f1 Ej = lim Φ f1 Ej = lim Φ ( ) n f1 Ej = limn f dν j. n n n j=0 j=0 Mais par le lemme fondamental d approximation et le théorème de convergence monotone, il est facile de voir que f dν E j = fϕ E j dµ, de sorte que par convergence monotone à nouveau, Φ(f) = n fϕ E n dµ = fϕ dµ. L extension aux fonctions de E signe quelconque est classique. 4) Montrer que ϕ L q (µ), en distinguant suivant que p > 1 ou p = 1. Dans la suite on suppose que ϕ 0 partout, quitte à remplacer ϕ par ϕ1 ϕ>0 (car ϕ 0 µ-p.p.). Supposons d abord que p > 1 (et ainsi q < ). Soit E f m,n := ϕ q 1 1 Fn {ϕ m}, j=0 j=0 E

CHAPITRE 4. LES ESPACES L P 42 où F n = n k=0 E k est une suite croissante d éléments de A convergeant vers E. Montrons que f m,n L p (µ). En effet, f m,n p p = ϕ p(q 1) 1 {ϕ m} dµ = F n ϕ q 1 {ϕ m} dµ, F n car p(q 1) = q et donc f m,n p p m q µ(f n ) <. De plus, ( ) 1/p Φ(f m,n ) = ϕ q 1 {ϕ m} dµ Φ. f m,n p = Φ ϕ q 1 {ϕ m} dµ. F n F n Ceci implique que ( ) 1/q ϕ q 1 {ϕ m} dµ Φ, F n et ainsi par une double application du théorème de convergence monotone, que ϕ q Φ <, ce qui assure que ϕ L q (µ). Supposons maintenant que p = 1 (et donc q = ). Alors pour tout A A tel que µ(a) <, ϕ dµ = Φ(1 A ) Φ µ(a), A donc (ϕ Φ ) dµ 0 et ce pour A quelconque de mesure finie, donc ϕ Φ A @ µ-p.p., ce qui assure que ϕ L (µ). 5) Unicité de ϕ (à un ensemble négligeable près). Soient ϕ 1 et ϕ 2 telles que pour tout A A, Φ(1 A En ) = ϕ 1 1 En dµ = ϕ 2 1 En dµ. Comme ces trois termes sont finis, avec A = {ϕ 1 > ϕ 2 } (ϕ 1 ϕ 2 )1 En dµ = 0, A A ce qui implique que (ϕ 1 ϕ 2 )1 A En = 0 µ-p.p. et ainsi µ(a) = 0. On conclut par un argument de symétrie. A

Chapitre 5 Régularité d une mesure et théorèmes de densité 5.1 Régularité d une mesure sur un espace métrique Soit µ une mesure sur un espace métrique E muni de sa tribu borélienne B(E). Définition 5.1 On dit que µ est a) extérieurement régulière si pour tout A B(E), µ(a) = inf{µ(o), O ouvert, O A}; b) intérieurement régulière si pour tout A B(E), µ(a) = sup{µ(k), K compact, K A}; c) régulière, si elle est à la fois extérieurement et intérieurement régulière. Proposition 5.2 Si µ est finie, alors elle est extérieurement régulière et pour tout A B(E), µ(a) = sup{µ(f ), F fermé, F A}. Dém. Il suffit de montrer que pour tout A B(E), ε > 0, il existe un ouvert O A et un fermé F A tels que µ(o \ F ) < ε. (5.1) Soit T := {A B(E) vérifiant (5.1)}. Montrons que T est une tribu contenant O(E), et par conséquent égale à B(E). Montrons que T contient bien les ouverts. Si A est ouvert, il suffit de prendre O = A. Pour F, définissons F n := {x A : d(x, c A) 1 n }. Comme la fonction x d(x, c A) est continue, F n est fermé. De plus c A est fermé donc pour tout x A, d(x, c A) 0. En effet, d(x, c A) = 0 ssi x est dans l adhérence de c A, qui 43

CHAPITRE 5. RÉGULARITÉ ET THÉORÈMES DE DENSITÉ 44 n est autre que le complémentaire de l intérieur de A, c est-à-dire le complémentaire de A. Ainsi, A = lim n F n et donc µ(a \ F n ) µ( ) = 0 car µ est finie donc continue à droite. Montrons que T est une tribu. i) E T, car il suffit alors de prendre O = F = E. ii) Passage au complémentaire. Soit A T et ε > 0. Alors il existe F A O tels que µ(o \ F ) < ε, où O est ouvert et F fermé. Avec O = c F et F = c O, O est ouvert, F est fermé, et F A O. De plus, O \ F = O c F = c F O = O \ F, donc µ(o \ F ) < ε. iii) Réunion dénombrable. Soit (A n ) une suite d éléments de T et ε > 0. Alors pour chaque entier n, il existe un ouvert O n et un fermé F n tels que F n A n O n et µ(o n \ F n ) ε 2 n+1. Comme ( k n F k ) n est une suite croissante de limite n F n, µ( k n F k ) converge vers µ( n F n ). Comme µ( n F n ) <, il existe un entier n ε tel que µ( k nε F k ) µ( n F n ) ε 2. Soient maintenant l ouvert O = n O n (réunion d ouverts) et le fermé F = k nε F k (réunion finie de fermés). On a alors et de plus F = k nε F k n F n n A n n O n = O, µ(o \ F ) = µ ( n O n ) µ ( k nε F k ) = µ ( n O n ) µ ( n F n ) + µ ( n F n ) µ ( k nε F k ) = µ ( n O n \ k F k ) + µ ( n F n ) µ ( k nε F k ) µ (( n O n ) ( k c F k )) + ε 2 = µ ( n k (O n c F k )) + ε 2 µ ( n (O n c F n ) + ε 2 n µ (O n \ F n ) + ε 2 n ε 2 n+1 + ε 2 ε, ce qui achève la démonstration. Théorème 5.3 Toute mesure de Borel sur un espace localement compact séparable est régulière.

CHAPITRE 5. RÉGULARITÉ ET THÉORÈMES DE DENSITÉ 45 Dém. On utilise le fait qu un tel espace est σ-compact, c est-à-dire qu il existe une suite croissante (E n ) de compacts dont la limite n E n est égale à E. En fait, nous allons utiliser le résultat plus fort que E = n En, où l on rappelle que E n désigne l intérieur de E n. Régularité intérieure. Soit ε > 0 et A B(E). Soit µ n la mesure trace de µ sur E n. Comme µ n est finie, d après la proposition précédente, il existe un fermé F n A tel que µ(a E n ) µ(f n E n ) + ε 2. Soit le compact K n = F n E n (intersection d un fermé et d un compact). Comme F n A, on a K n A et l on réécrit l équation précédente µ(a E n ) µ(k n ) + ε 2. (5.2) Observons que lim n µ(a E n ) = µ(a). Si µ(a) =, alors d après (5.2) lim n µ(k n ) = +, autrement dit lim n µ(k n ) = µ(a). Si µ(a) <, alors il existe un entier n tel que µ(a) µ(a E n ) + ε 2 µ(k n) + ε, ce qui nous permet de conclure que µ est régulière intérieurement. Régularité extérieure. Soit ε > 0 et A B(E). Soit µ n la mesure trace de µ sur E n. Comme µ n est finie, d après la proposition précédente, elle est régulière extérieurement. Ainsi il existe un ouvert O n tel que O n A et µ(a E n ) µ(o n E n ) ε 2 n. (5.3) Montrons que O := n (O n E n ) vérifie µ(a) µ(o) ε. Comme A E n O n E n, on a A = n (A E n ) O, ce qui donnera le résultat car O est ouvert (c est une réunion d ouverts). Soit U n := k n (O k E k ). Nous allons montrer par récurrence sur n 1 que µ(u n ) µ(a E n ) + 1 k n L égalité est vraie pour n = 1 car elle se réduit à (5.3). En se servant de (5.3), µ (U n+1 ) = µ(u n ) + µ(o n+1 E n+1 ) µ(u n O n+1 E n+1 ) µ(a E n ) + ε 2 + µ(a E k n+1 ) + ε 2 µ(u n+1 n O n+1 E n+1 ) k n = µ(a E n+1 ) + ε 2 + a n, k k n+1 ε 2 k. où a n := µ(a E n ) µ(u n O n E n+1 ) 0,

CHAPITRE 5. RÉGULARITÉ ET THÉORÈMES DE DENSITÉ 46 car A E n U n O n E n+1. En effet, d une part A O n+1 et E n E n+1 donc A E n O n+1 E n+1 ; d autre part, A O n, donc A E n O n E n U n. On a donc bien µ (U n+1 ) µ(a E n+1 ) + ε 2. k k n+1 Ainsi, comme (U n ) est une suite croissante de limite O, on obtient l inégalité souhaitée en passant à la limite en n. 5.2 Théorèmes de densité Proposition 5.4 Pour tout p [1, + [, l ensemble des (représentants des) fonctions étagées intégrables est dense dans L p (µ). Dém. Soit f L p. Quitte à raisonner sur f + et f, nous pouvons supposer que f est positive. Par le lemme fondamental d approximation, il existe une suite croissante (ϕ n ) de fonctions étagées positives convergeant simplement vers f. Il nous suffit alors de montrer que ϕ n L 1 (µ) L p (µ) pour tout n et que la convergence a aussi lieu dans L p (µ). Comme f L p (µ) et que 0 ϕ n f, on a bien ϕ n L p (µ). Mais une fonction étagée positive ϕ de L p (µ) est aussi élément de L 1 (µ), en effet, pour tout y ϕ(e), µ(ϕ = y) < car ϕ p dµ = y ϕ(e) yp µ(ϕ = y) <. Mais comme ϕ(e) est fini, ϕ dµ = y ϕ(e) yµ(ϕ = y) <. Enfin, f ϕ n est dominée par f L p (µ), donc par convergence L p -dominée, la suite (ϕ n ) converge vers f dans L p (µ). Théorème 5.5 Soit µ une mesure de Borel sur R d. Alors pour tout p [1, + [, l espace vectoriel C K (Rd, R) des fonctions réelles à support compact indéfiniment différentiables est dense dans L p (µ). Dém. D après la proposition précédente, il suffit de montrer que l espace CK est dense dans l espace des fonctions étagées intégrables 1, c est-à-dire les fonctions de la forme n i=1 α i1 Ai où pour tout i, α i µ(a i ) <. Par linéarité, il suffit de montrer que pour tout A B(R d ) de mesure finie, la fonction indicatrice de A est limite dans L p (µ) d une suite d éléments de CK. Soit ε > 0. Comme µ est une mesure de Borel, elle est extérieurement régulière, donc A étant de mesure finie, il existe un ouvert O A tel que µ(o\a) < (ε/3) p, autrement dit 1 O 1 A p < ε/3. Comme O est la réunion (dénombrable) des pavés ouverts et bornés à extrémités rationnelles qu il contient, et que µ(o) <, par continuité à gauche de la mesure, il existe une famille finie (et disjointe) de pavés bornés et ouverts contenus dans O dont la réunion Ω est telle que µ(o \ Ω) < (ε/3) p, autrement dit 1 O 1 Ω p < ε/3. Observons ici que pour tout intervalle ouvert ]a, b[, il est aisé de construire une @ suite croissante (ψ n (a,b) ) de fonctions indéfiniment différentiables dominées par 1 ]a,b[ et convergeant simplement vers 1 ]a,b[. Ainsi pour tout pavé ouvert R = d i=1 ]a i, b i [, les 1. en effet, un résultat classique de topologie assure que si A est dense dans B et B est dense dans C, alors A est dense dans C

CHAPITRE 5. RÉGULARITÉ ET THÉORÈMES DE DENSITÉ 47 fonctions ϕ R n := d i=1 ψ(a i,b i ) n sont dominées par 1 R et convergent simplement vers 1 R. À présent, rappelons-nous que Ω est réunion finie et disjointe de pavés ouverts bornés, soit Ω = j R j. En définissant φ n = j ϕr j n, on obtient une suite de fonctions indéfiniment différentiables dominées par 1 Ω et convergeant simplement vers 1 Ω. Comme Ω est borné, ces fonctions sont à support compact, et comme µ(ω) <, par convergence L p -dominée, la convergence a également lieu dans L p. On peut donc trouver une fonction indéfiniment différentiable à support compact φ telle que 1 Ω φ p < ε/3. L inégalité triangulaire nous permet de conclure que 1 A φ p < ε.

Chapitre 6 Produit de convolution 6.1 Convolution de mesures et de fonctions positives Nous allons définir une nouvelle opération sur les mesures, qui seront toujours supposées ici définies sur B(R d ) et σ-finies. Définition 6.1 Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur B(R d ). On appelle produit de convolution, et l on note µ ν, l image de µ ν par l application (x, y) x + y. Remarque 6.2 Par le théorème de Fubini Tonelli, pour tout borélien A, µ ν(a) = 1 A (x + y) d(µ ν)(x, y) = dµ(x) dν(y) 1 A (x + y) = dν(y) dµ(x) 1 A (x + y) = dµ(x) ν(a x) = dν(y) µ(a y). En particulier, µ ν(r d ) = µ(r d )ν(r d ), et donc si µ et ν sont des probabilités alors µ ν en est également une. Proposition 6.3 le produit de convolution est commutatif, associatif et possède un élément neutre qui est δ 0. Remarque 6.4 Avant de convoler µ ν avec une troisième mesure, il faut tout d abord vérifier que µ ν est elle-même σ-finie, car ce n est pas toujours le cas, comme on peut le voir avec le contre-exemple λ λ. En effet λ λ(a) = dλ(x) λ(a x) = dλ(x) λ(a) = λ(r d )λ(a), qui vaut + dès que A est de mesure de Lebesgue non nulle. Dém. La démonstration est immédiate grâce à la commutativité et à l associativité de @ l addition sur R d et du produit de mesures. 48

CHAPITRE 6. PRODUIT DE CONVOLUTION 49 Proposition 6.5 Si ν admet une densité g par rapport à la mesure de Lebesgue, alors µ ν admet également une densité, (encore) notée µ g, où µ g(x) := dµ(y) g(x y) x R d. Dém. Par le théorème de Fubini Tonelli, µ g est borélienne car l application (x, y) g(x y) est borélienne (voir chapitre sur les tribus produits). De plus, par la formule du changement de variable puis par Fubini Tonelli, µ ν(a) = dµ(y) dν(x)1 A (x + y) = dµ(y) dλ(x) g(x) 1 A (x + y) = dµ(y) dλ(u) g(u y) 1 A (u) = dλ(u)1 A (u) dµ(y) g(u y), qui n est autre que dλ(u) 1 A (u) µ g(u). Corollaire 6.6 Si µ (resp. ν) admet une densité f (resp. g) par rapport à la mesure de Lebesgue, alors µ ν admet également une densité, (encore!) notée f g, où f g(x) := dλ(y) f(y) g(x y) = dλ(y) g(y) f(x y) x R d. Proposition 6.7 Le produit de convolution f g défini pour tout couple (f, g) de fonctions boréliennes positives sur R d est commutatif et associatif. De plus, f g est borélienne et positive, {f g 0} {f 0} + {g 0}, et ( f g dλ = R d Exemple 6.8 La fonction f 1 R d ) f dλ (. ) g dλ. est la fonction constante égale à f dλ. Dém. La commutativité est déjà visible dans l équation du dernier corollaire. En ce qui concerne l associativité, si f, g et h sont trois fonctions boréliennes positives, alors (f g) h(x) = dz h(z) f g(x z) = dz h(z) dy f(y) g(x z y) = dy f(y) dz h(z) g(x z y) = dy f(y) g h(x y)

CHAPITRE 6. PRODUIT DE CONVOLUTION 50 qui n est autre que f (g h)(x). En désignant par µ la mesure de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue, comme f g = µ g, la proposition précédente donne la mesurabilité de f g. Soit x R d tel que x {f 0} + {g 0}. Alors pour tout y R d, g(y) = 0 ou f(x y) = 0 (sans quoi y {g 0} et x y {f 0}, et alors x = y+(x y) appartient à la somme). Par conséquent g(y)f(x y) = 0 pour tout y, si bien que f g(x) = 0. En désignant par ν la mesure de densité g par rapport à la mesure de Lebesgue, f g dλ = µ ν(r d ) = µ(r d )ν(r d ) = ( f dλ ). ( g dλ ). 6.2 Convolution de fonctions boréliennes de signe quelconque Définition 6.9 Soient deux fonctions boréliennes f, g : R d R. Pour tout x R d tel que f g (x) <, on définit le nombre réel f g(x) := dλ(y) f(y) g(x y), R d que l on appelle convolée, ou produit de convolution de f et g au point x. Proposition 6.10 Le produit de convolution des fonctions boréliennes jouit des propriétés suivantes : a) dès que l un des deux nombres f g(x) ou g f(x) est bien défini, ils sont égaux, et f g(x) f g (x). b) Si pour tout x R d, f g (x) <, alors la fonction f g est borélienne. c) {f g 0} {f 0} + {g 0}. d) Si f 1 = f 2 λ-p.p. et g 1 = g 2 λ-p.p. alors pour tout x R d, f 1 g 1 (x) = f 2 g 2 (x), et si ce nombre est fini, f 1 g 1 (x) = f 2 g 2 (x). Remarque 6.11 Le produit de convolution des fonctions boréliennes de signe quelconque n est pas associatif en général. Dém. a) L égalité s obtient par un changement de variable affine et l inégalité par croissance de l intégrale. b) Par croissance de l intégrale, toutes les fonctions f ± g ± sont bien définies et par linéarité f g = f + g + f + g f g + + f g, et tous les termes de cette somme sont des fonctions boréliennes (voir section précédente), d où le résultat. c) Par l inégalité f g f g, on a { f g 0} { f g 0}, d où {f g 0} = { f g 0} { f g 0} { f 0}+{ g 0} {f 0}+{g 0}. d) Pour tout x R d, si l on définit le borélien A(x) par @

CHAPITRE 6. PRODUIT DE CONVOLUTION 51 A(x) := {y R d : f 1 (x y) g 1 (y) f 2 (x y) g 2 (y)}, on a alors A(x) {y R d : f 1 (x y) f 2 (x y)} {y R d : g 1 (y) g 2 (y)} = (x {f 1 f 2 }) {g 1 g 2 }, si bien que Par conséquent, f 1 g 1 (x) = λ(a(x)) λ ({f 1 f 2 }) + λ ({g 1 g 2 }) = 0. f 1 (x y). g 1 (y) 1c A(x)(y) dy = f 2 (x y). g 2 (y) 1c A(x)(y) dy = f 2 g 2 (x). Si cette quantité est finie, on fait le même raisonnement avec f 1 g 1 et f 2 g 2. On souhaite à présent exhiber des conditions suffisantes d existence partout ou λ- presque partout de f g. Proposition 6.12 1) f g(x) existe pour tout x R d si l une des deux conditions suivantes est réalisée : a) f est localement intégrable 1 et g est essentiellement bornée et à support compact ; b) il existe p et q conjugués 2 tels que f L p (λ) et g L q (λ). 2) f g(x) existe pour λ-presque tout x R d dès que f L 1 (λ) et g L p (λ) (pour p [1, + ]). Dans ce cas, f g L p (λ) et de plus f g p f 1 g p. Dém. 1) Il nous faut montrer que dans les deux cas f g (x) < pour tout x R d. Cas a : f g (x) = f(x y). g(y) 1 { g g } 1 { g =0} dy g f(x y) 1 { g =0} dy = g f dλ, x { g =0} qui est fini car x { g 0} est borné. Passons au cas b. Par l inégalité de Hölder, ( ) 1/p ( 1/q f g (x) f(x y) p dy g(y) dy) q = f p g q. 2) Soit f L 1 (λ) et g L q (λ). Le cas où p = est un cas particulier de ce qui précède, aussi nous pouvons supposer que p <. En notant µ la mesure de probabilité de 1. autrement dit K f dλ < pour tout compact K de Rd 2. p, q [1, + ] tels que p 1 + q 1 = 1

CHAPITRE 6. PRODUIT DE CONVOLUTION 52 densité f / f 1 (le cas où f 1 = 0 étant trivial) par rapport à la mesure de Lebesgue et en lui appliquant l inégalité de Jensen avec l application convexe R + : x x p, ( ) p ( f g ) p (x) dx = dx f(y). g(x y) dy ( ) p = f p 1 g(x y) dµ(y) f p 1 g(x y) p dµ(y) = f p 1 1 dx dy f (y). g(x y) p = f p 1 1 dy f (y) dx g(x y) p = f p 1 g p p, ce qui donne l inégalité f g p f 1 g p. Ainsi f g (x) < pour λ-presque tout x, donc f g(x) est défini pour λ-presque tout x et f g p f g p f 1 g p.

Chapitre 7 Transformée de Fourier 7.1 Définition et premières propriétés Définition 7.1 a) Soit µ une mesure finie sur Bor(R d ). On définit la transformée de Fourier de µ, et l on note ˆµ, la fonction ˆµ : R d C définie par ˆµ(u) = e i u,x dµ(x) u R d, R d où l on rappelle que, désigne le produit scalaire canonique de R d. b) Soit f : R d C un élément de L 1 C (λ). On définit également la transformée de Fourier de f, et l on note (encore) ˆf, la fonction ˆf : R d C définie par ˆf(u) = e i u,x f(x) dλ(x) u R d. R d Remarque 7.2 Si f est positive, alors en désignant par µ la mesure de densité f par rapport λ, on a par définition ˆf = ˆµ. Proposition 7.3 a) La transformée de Fourier d une mesure finie ou d une fonction intégrable est toujours continue. b) Les applications µ ˆµ et f ˆf sont linéaires, et pour tout u R d, ˆµ(u) µ(r d ), ˆf(u) f dλ. c) La transformée de Fourier est un morphisme de groupes pour le produit de convolution, au sens où µ ν = ˆµˆν, µ f = ˆµ ˆf, f g = ˆfĝ. Dém. a) En notant g(u, x) = e i u,x f(x), on voit que pour tout x l application u g(u, x) est continue et dominée par f(x) qui par hypothèse est λ-intégrable en x, donc l application ˆf : u g(u, x) dλ(x) est continue (et la démonstration est bien sûr la même pour ˆµ). 53

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 54 b) évident. c) Calculons la transformée de Fourier de µ ν : µ ν = e i u,x d(µ ν)(x) = e i u,x+y dµ(x) dν(y) = e i u,x dµ(x) e i u,y dν(y) @ par le théorème de Fubini Lebesgue, et cette dernière expression n est autre que ˆµ(u) ˆν(u) (la démonstration est bien sûr la même pour µ f et f g). Remarque 7.4 Soit f; R d C une fonction λ-intégrable. On pourra montrer en exercice les égalités suivantes. Si g est définie par g(x) = f( x) alors ĝ(u) = ˆf( u) ; si g est définie par g(x) = f(x) (complexe conjugué), alors ĝ(u) = ˆf( u) ; si g est définie par g(x) = f(x/a) (où a est un réel non nul quelconque), alors ĝ(u) = a d ˆf(au). @ 7.2 Injectivité de la transformée de Fourier Nous allons à présent montrer que la transformée de Fourier d une mesure finie la caractérise, en nous servant de la fonction g : R d R définie par g(x) := (2π) d/2 exp ( x ) 2, 2 où désigne la norme euclidienne usuelle de R d. Lemme 7.5 La fonction positive g est une densité 1 de probabilité sur R d et ĝ(u) = exp ( u ) 2. 2 Dém. On sait que /2 R e x2 dx = 2π. Par Fubini Tonelli, en notant x i la i-ème composante de x R d, on a g dλ = (2π) d/2 d d 2 i=1 x2 i dλd (x) = ((2π) 1/2 e x2 /2 dλ 1 (x)) = 1 d = 1. R e 1 R d 1. sous-entendu : par rapport à la mesure de Lebesgue

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 55 Calculons à présent la transformée de Fourier de g : ĝ(u) = (2π) d/2 dλ d (x) e i u,x e 1 R d = (2π) d/2 dλ d (x) e 1 R d 2 x,x 2 x+iu,x+iu e 1 2 u,u = (2π) d/2 e 1 2 u 2 dλ d (x) e 1 2 R d d = e 1 2 u 2 (2π) 1/2 j=1 R d j=1 (x+iu j) 2 dλ 1 (x) e 1 2 (x j+iu j ) 2, par Fubini Lebesgue. Il suffit donc de montrer que pour tout u R, (2π) 1/2 dλ 1 (x) e 1 2 (x+iu)2 = 1. Soit F (u) := R R dλ 1 (x) e 1 2 (x+iu)2 u R. Soit R > 0. Comme l application u e 1 2 (x+iu)2 est dérivable sur [ R, R] et que sa dérivée i(x + iu) e 1 2 (x+iu)2 est dominée sur [ R, R] par C R ( x + R) e 1 2 x2 (où C R est une constante qui dépend seulement de R), qui est intégrable en x sur R, F est dérivable sur [ R, R] et sa dérivée vaut F (u) = i dλ 1 (x) (x + iu) e 1 2 (x+iu)2. R En décomposant l intégrand suivant sa partie réelle et sa partie imaginaire, il n est pas difficile de montrer que cette intégrale est nulle. Ainsi, comme R est arbitraire, F est déri- @ vable en tout point de R et de dérivée nulle, donc est constante sur R égale à F (0) = 2π, ce qui achève la démonstration. Pour tout σ > 0, définissons à présent ( x ) g σ (x) := σ d g = σ On sait alors que ( σ ) d 2π e x 2 2σ 2. ĝ σ (u) = σ ( d σ d ĝ(σu) ) = e σ 2 u 2 2. Lemme 7.6 Soit µ une mesure finie sur Bor(R d ). a) On a l égalité g σ µ(x) = (2π) d dλ(u) ˆµ(u) e i u,x σ 2 R d b) Pour toute fonction h : R d R continue bornée, h dµ = lim g σ µ(x) h(x) dλ(x). R d σ 0 R d 2 u 2.

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 56 Dém. a) Calculons g σ µ(x) : g σ µ(x) = g σ (x y) dµ(y) ( = σ ) d 2π = = ( σ ) d 2π ( σ ) d 2π Par le théorème de Fubini-Lebesgue (µ est finie), ( g σ µ(x) = σ ) d 2π b) Soit = = ( σ ) d 2π ( σ ) d 2π = (2π) d I σ := = e x y 2 2 dµ(y) dµ(y)ĝ 1 (y x) σ dµ(y) dλ(z) g 1 (z) e i y x,z. σ dλ(u) g 1 (u) σ dµ(y) e i y x,u dλ(u) e i x,u g 1 (u) ˆµ(u) σ ( ) d 2π dλ(u) e i x,u e σ2 u 2 2 ˆµ(u) σ dλ(u) e i u,x σ 2 u 2 2 ˆµ(u). g σ µ(x) h(x) dλ(x) R d dλ(x) h(x) dµ(y) g σ (x y), R d R d double intégrale à laquelle nous allons appliquer le théorème de Fubini Lebesgue. En effet, comme h est bornée (par une certaine constante C) dµ(y) R d dλ(x) h(x). g σ (x y) C R d dµ(y) R d dλ(x) g σ (x y) = C µ(r d ) <, R d en faisant le changement de variable u = (x y)/σ, car on se souvient que g est une densité de probabilité. Nous en déduisons donc, grâce au même changement de variable, I σ = dµ(y) dλ(x) h(x) g σ (x y) R d R d = dµ(y) dλ(u) σ d h(y + σu) g σ (σu) R d R d = dµ(y) dλ(u) h(y + σu) g(u). R d R d

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 57 Comme la fonction y dλ(u) h(y + σu) g(u) est dominée par C g dλ = C, et que R d les fonctions constantes sont µ-intégrables, le théorème de convergence dominée nous permet de conclure lim I σ = dµ(y) lim dλ(u) h(y + σu) g(u). σ 0 R d σ 0 R d Il suffit alors de voir que la limite dans l intégrale est égale à h(y), par une autre application du théorème de convergence dominée. En effet, l interversion de la limite et de l intégrale est permise car l intégrand est dominé par Cg qui est λ-intégrable. Enfin, par continuité de h, lim σ 0 h(y +σx) = h(y) et g est une densité de probabilité, ce qui permet de voir que lim dλ(u) h(y + σu) g(u) = h(y). σ 0 R d Lemme 7.7 Soit (E, A, µ) un espace mesuré quelconque. Soient f, g : (E, A ) (R, B(R)) deux fonctions mesurables. a) Si f et g sont µ-intégrables et que f dµ = g dµ pour tout A C, où C est A A un π-système engendrant 2 A, alors f = g µ-p.p. b) Si C est seulement stable par intersections finies, mais qu il existe une suite croissante (E n ) d éléments de A et convergeant vers E, telle que E n f dµ < et E n g dµ < pour tout n, et que A E n f dµ = A E n g dµ pour tout A C, alors f = g µ-p.p. Dém. a) On définit les mesures µ +, µ, ν + et ν comme les mesures de densités respectives f +, f, g + et g par rapport à µ. Comme f et g sont µ-intégrables, ces quatre mesures sont finies et par hypothèse, pour tout A C, µ + (A) µ (A) = ν + (A) ν (A), ce que nous pouvons également écrire µ + (A) + ν (A) = ν + (A) + µ (A). En d autres termes les mesures µ + +ν et ν + +µ coïncident sur un π-système engendrant A, donc coïncident sur A. L égalité précédente est donc toujours satisfaite pour A A et comme les quatres termes sont finis, on peut écrire µ + (A) µ (A) = ν + (A) ν (A), autrement dit f dµ = g dµ A A. A A Il est ensuite classique de voir pourquoi ceci implique que f = g µ-p.p., en prenant A = {f > g} puis en raisonnant par symétrie sur f et g. b) Il suffit d appliquer la méthode précédente aux mesures traces de µ et ν sur E n et au π-système C {E}. On obtient alors que pour tout n f1 En = g1 En µ-p.p., ce qui implique l égalité µ-p.p. entre f et g. 2. au sens où σ(c ) = A

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 58 Théorème 7.8 (injectivité de la transformée de Fourier) a) Si µ et ν sont deux mesures finies sur B(R d ) telles que ˆµ = ˆν, alors µ = ν. b) Si f et g sont deux fonctions complexes λ-intégrables sur R d telles que ˆf = ĝ, alors f = g λ-p.p. Dém. a) D après le Lemme 7.6 a), si ˆµ = ˆν, alors pour tout σ > 0, g σ µ = g σ ν, ce qui implique, d après le Lemme 7.6 b), que pour toute fonction h continue bornée, h dµ = h dν. Ceci implique que µ = ν. En effet, si C est la classe des pavés de la forme A = d j=1 ], a j[ (où a j peut éventuellement être égal à + ), alors il est facile de construire une sute (h n ) de fonctions continues, toutes bornées par 1 R d, telles que lim n h n = 1 A. Alors par convergence dominée, lim n hn dµ = µ(a), et comme hn dµ = h n dν, on a l égalité µ(a) = ν(a). Comme C est un π-système engendrant B(R d ), µ et ν coïncident sur B(R d ). b) On pourrait montrer une version du lemme 7.6 où l on a remplacé µ par f.λ, où @ f LC 1(λ) (d abord pour f 0, puis par linéarité...). Donc si ˆf = ĝ, par les mêmes arguments que a), on peut montrer que f dλ = g dλ pour tout A C, ce qui A A prouve, grâce au lemme 7.7 a) appliqué aux parties réelles et imaginaires de f et g, que f = g λ-p.p. Remarque 7.9 En fait, grâce au Lemme 7.6, on a montré que pour toute fonction h continue bornée, h dµ = lim(2π) d σ2 i u,x dλ(x) h(x) dλ(u) ˆµ(u) e 2 u 2, σ 0 ce qui constitue une formule d inversion pour les mesures finies, comme le précise le théorème qui suit. Théorème 7.10 a) Si µ est une mesure finie dont la transformée de Fourier ˆµ est λ- intégrable, alors elle admet une densité continue et bornée g par rapport à λ donnée par g(x) = (2π) d R d e i u,x ˆµ(u) dλ(u) x R d. b) Si f LC 1(λ) est telle que ˆf LC 1 (λ), alors pour λ-presque tout x, f(x) = (2π) d R d e i u,x ˆµ(u) dλ(u). Remarque 7.11 On ne peut bien sûr pas espérer s affranchir de l égalité presque partout dans b), puisque le membre de droite est une fonction continue et bornée, ce qui n est pas forcément le cas de f.

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 59 Dém. a) Soit g définie comme dans l énoncé du théorème. Comme ˆµ est intégrable, g est bornée. De la remarque qui précède l énoncé, pour toute fonction h continue bornée, h dµ = lim(2π) d σ2 i u,x dλ(x) h(x) dλ(u) ˆµ(u) e 2 u 2. σ 0 Si h est à support compact, on peut appliquer deux fois le théorème de convergence dominée pour obtenir l égalité h dµ = hg dλ. En effet, tout d abord, la fonction x h(x) σ2 i u,x dλ(u) ˆµ(u) e 2 u 2 est dominée en module par C h, qui est λ-intégrable (car ˆµ est supposée intégrable et h à support compact), donc h dµ = (2π) d dλ(x) h(x) lim σ 0 σ2 i u,x dλ(u) ˆµ(u) e 2 u 2. σ2 i u,x Ensuite, la fonction u ˆµ(u) e 2 u 2 est dominée en module par ˆµ, qui est intégrable par hypothèse, donc lim σ 0 σ2 i u,x ˆµ(u) e 2 u 2 = g(x). Par la même méthode que précédemment, avec C la famille des pavés de la forme d j=1 ]a j, b j ], où les a j et b j sont finis, on obtient l égalité µ(a) = g dλ pour tout A C. A Comme C est stable par intersections finies, et que la suite des pavés ] n, n] d est une suite d éléments de C qui converge vers R d, on applique le lemme 7.7 b) à la fonction nulle et à la partie imaginaire de g, pour voir que l égalité µ(a) = g dλ = R(g) dλ+i I(g) dλ A A pour tout A C, implique que I(g) dλ = 0 et donc que I(g) = 0 λ-p.p. (on vérifie A que I(g) est localement intégrable car elle est bornée). Donc g est réelle λ-p.p., mais comme g est continue, g est réelle partout. Soient alors ν + (A) := g + dλ, ν (A) := g dλ. A Comme g est bornée, ν + et ν sont finies sur C, et pour tout A C, µ(a) = ν + (A) ν (A), ce qui implique que µ + ν et ν + coïncident sur C, et donc sur B(R d ). Or pour tout N B(R d ) de λ-mesure nulle, ν + (N) = N g+ dλ = 0 et de la même manière ν (N) = 0. L égalité µ + ν = ν + implique alors que µ(n) = 0, c est-à-dire que µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Comme µ et λ sont σ-finies, le théorème de Radon Nikodym assure qu il existe une fonction positive ϕ L 1 (λ) telle que pour tout A B(R d ), µ(a) = ϕ dλ. Et si A C, ceci peut A s écrire g dλ = ϕ dλ, car g est bornée. Donc d après le lemme 7.7 b), ϕ = g λ-p.p., A A et en particulier g est positive λ-p.p., mais comme g est continue, g est en fait positive partout. Enfin, l égalité ϕ = g λ-p.p. implique que g L 1 (λ), puis que µ(a) = ϕ dλ = g dλ A B(R d ). A A b) Si f 0, on applique a) à la mesure µ de densité f par rapport à λ (car alors ˆµ = ˆf). On peut alors conclure que µ admet une densité g par rapport à λ (où g est donnée par la formule d inversion), ce qui implique que f = g λ-p.p. Le cas général se traite en décomposant f suivant f = R(f) + R(f) + ii(f) + ii(f). A

CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 60 Remarque 7.12 On pourra lire avec avantage les trois dernières pages du polycopié de Jean Jacod concernant la transformée de Fourier dans L 2.