Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 6 EXERCICE Commun à tous les candidats Les valeurs approchées des résultats seront données à 4 près Les parties A et B sont indépendantes 5 points Partie A Un fabricant d ampoules possède deux machines, notées A et B La machine A fournit 65 % de la production, et la machine B fournit le reste Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication : à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut ; à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut On définit les évènements suivants : A : «l ampoule provient de la machine A» ; B : «l ampoule provient de la machine B» ; D : «l ampoule présente un défaut» On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d une journée a Arbre pondéré représentant la situation :,8 A,65,5 B,9,5 D D D,95 b On utilise la formule des probabilités totales : ) p D )= p A D ) pa)+ p B D pb)=,9,65+,95, 5 =,598+,5=,95 ) p A D c p D A)= ) =,598 p D,95,647 On prélève ampoules au hasard parmi la production d une journée à la sortie de la machine A La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d assimiler les tirages à tirages avec remise Partie B Notons N le nombre d ampoules sans défaut On a répétition d épreuves identiques indépendantes à deux issues ; N suit la loi binomiale B ;, 9) On sait que px = k)= ) k,9 k,9) k pn 9)= pn 8),8 calculé à la calculatrice) On rappelle que si T suit une loi exponentielle de paramètre λ λ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif a, PT a)= D a λe λx dx
Corrigé du baccalauréat S A P M E P a PT a)= PT < a)= a λe λx dx = [ e λx] a = e λa ) ) = e λa p[t t] T t+ a)) p[t t+ a] b P T t T t + a) = = PT t) PT t) e λa = PT a) loi de durée de vie sans vieillissement) = e λt+a) e λt = Dans cette partie, la durée de vie en heures d une ampoule sans défaut est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle d espérance Partie C a On sait que pour une loi exponentielle, l espérance ET ) est ET )= λ On a donc = d où λ=, λ b PT 5)= e, 5 = e,5,665 c P T 7) T )= P T 5),665 d après b) L entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu il n y a pas plus de 6 % d ampoules défectueuses dans sa production Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 7 ampoules défectueuses sur On a p=,6, n= n np = 6 5 n p)=94 5 Les conditions sont réunies pour qu on puisse calculer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % [ I 95 = p,96 p p) ; p+,96 p p) ] [,45 ;,748] n n La fréquence observée d ampoules défectueuses est f =,7 =,7 f I 95 Au risque d erreur de 5 %, on il n y a pas lieu de remettre en cause l affirmation de l entreprise EXERCICE Commun à tous les candidats On munit le plan complexe d un repère orthonormé direct O, u, ) v On note C l ensemble des points M du plan d affixe z tels que z = Soit A le point d affixe z = AM = donc C est le cercle de centre A et de rayon { { z = y = ax Mz) C D y = ax x +iax = x +iax = x ) + a x = + a ) x 4x+ = Le discriminant est =6 + a ) = 4 a = 4 a ) points Pour qu il y ait une intersection, il faut que cette équation ait au moins une solution réelle, donc que On doit avoir a, donc a On peut alors distinguer ] trois cas : [ ] [ Premier cas a ; ; : aucun point d intersection juin 6 Antilles Guyane
Corrigé du baccalauréat S A P M E P Deuxième cas a = ± sont tangents) Troisième cas a ] ; : un seul point d intersection la droite et le cercle [ : deux points d intersection EXERCICE Commun à tous les candidats Partie A 7 points On considère la fonction f définie pour tout réel x par f x)= xe x Pour tout x, f x)= xe e x = e x x e ) x e x e X lim x + x = lim X + ++ croissances comparées) X x ) Donc lim x + = e x e ) Comme lim x + =, on en déduit que lim x f x)= x + f x)= e x x e x On admettra que la limite de la fonction f en est égale à { { ux)= x vx)= x a f = ue v avec u et x)= v x)= x f = u e v + u v e v d où : f x)=e x + x x)e x = x ) e x b Comme e x >, f x) est du signe de x x = x = x =± =± et x est positif signe opposé à celui du coefficient de x ) entre les racines ) ) f = e = e e e = e= et f = Tableau de variations : x + f x) + e f x) e Partie B On considère la fonction g définie pour tout réel x par g x)=e x Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives C f et C g respectivement des fonctions f et g juin 6 Antilles Guyane
Corrigé du baccalauréat S A P M E P,5,,5 C g,,5,5,,5,,5,5,,5,,5,,5 C f,,5 Le but de cette partie est d étudier la position relative de ces deux courbes Il semble que C f soit en dessous de C g et que les deux courbes soient tangentes en un point Soit x ; f x) = xe x car x et e x > et g x) = e x >, donc f x)< g x) Dans cette question, on se place dans l intervalle ] ; + [ On pose, pour tout réel x strictement positif, Φx)=ln x x + x a f x) g x) xe x e x xee x ee x xe x e x ln xe x) lne x ) car la fonction ln est croissante) cela équivaut à ln x x x ln x x + x Φx) On admet pour la suite que f x)= g x) équivaut à Φx)= b Φ x)= x x+= x + x+ x qui est du signe de x +x+ car x > On calcule le discriminant : = 9> : il y a deux racines : et Cette expression est négative du signe du coefficient de x, donc de -) en dehors de l intervalle formé par les racines Φ)= On en déduit le tableau de variations de φ : x + Φ x) + Φx) c Le maximum de Φx) est Φ)= donc, pour tout x>, Φx) 4 a Φx) f x) g x) donc C f est bien en dessous de C g b f x)=g x) Φx)= x = donc les deux courbes ont un point commun, A, de coordonnées ; ) juin 6 4 Antilles Guyane
Corrigé du baccalauréat S A P M E P Partie C c f )= : g x)= e x donc g )= En A, les deux tangentes ont l même coefficient directeur, donc les deux courbes ont même tangente On pose ux)= x ; alors u x)= x donc x= u x) d où f = u x)e ux) Une primitive est F x)= eux) = e x e x xe x) dx = [g x) f x) dx] Une primitive de g f est G F avec G F )x)= e x ) e x = e x e x e x xe x) ) ) dx = G F )) G F ))= e e = e Ce résultat correspond à l aire en unités d aire du domaine compris entre C g, C f et les droites d équation x = et x= EXERCICE 4 EXERCICE 4 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points ABCDEFGH est un cube d arête égale à L espace est muni du repère orthonormé D ; DC, D A, DH ) Dans ce repère, on a : D ; ; ), C ; ; ), A ; ; ), H ; ; ) et E ; ; ) Soit I le milieu de [AB] G K C L H F D A J M B I E N Soit P le plan parallèle au plan BGE) et passant par le point I On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets I, J, K, L, M, et N appartiennent respectivement aux arêtes [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [AE] a DF BG BE DF BG = += ; et ne sont clairement pas colinéaires DF BE = ++= DF est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan BGE) donc c est un vecteur normal à ce plan juin 6 5 Antilles Guyane
Corrigé du baccalauréat S A P M E P b P et BGE) sont parallèles, donc DF est aussi un vecteur normal àu plan P Une équation cartésienne de ce plan est : x x I )+ y y I ) + z zi ) = x+y+ z = Le point N appartient à [AE] Ses coordonnées sont donc ; ; z N ) Il appartient au plan P donc ++ z N = z N = Ainsi N est le milieu de [AE] a HB x = x H t Une représentation paramétrique de HB) est y = y H t z z H + t x= t y = t, t R z = + t b HB DF = += Le plan P et la droite HB) sont donc sécants On injecte les équations de HB) dans l équation de P t t+ + t = t = t = Donc HB) et le plan P son sécants en un point T ; ; ), t R 4 BGF est rectangle en F Son aire est A BGF )= = A BGF ) FE Le volume du tétraèdre F BGE est alors V F BGE)= = 6 = EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points Les parties A et B sont indépendantes Partie A On considère l équation suivante d inconnues x et y entiers relatifs : 7x y = E) Un algorithme incomplet est donné ci-dessous Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes ) et ) de manière à ce qu il donne les solutions entières x ; y) de l équation E) vérifiant 5 x et 5 y juin 6 6 Antilles Guyane
Corrigé du baccalauréat S A P M E P Variables : X est un nombre entier Y est un nombre entier Début : Pour X variant de 5 à ) Pour Y variant de -5 à ) Si 7X-Y= Alors Afficher X et Y Fin Si Fin Pour Fin Pour Fin a 7 = 7 6= donc ; ) est une solution particulière de E) Partie B b Soit x ; y) un couple solution quelconque de E) Pn a alors : 7x y = 7 7x )=y ) 7 divise 7x ) donc 7 divise x ) 7 et sont premiers entre eux D après le théorème de Gauss, 7 divise y donc y =7k d où y = +7k, k Z On remplace y par 7+k : on trouve x = 7x )= 7k d où x =k donc x = +k L ensemble des solutions est donc S = {+k ; +7k), k Z} c On veut que 5 +k et 5 +7k Soit 6 k 9 et 7 7k 8 D où k et k 8 7 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé On considère la droite D d équation 7x y = O, u, ) v On définie la suite A n ) de points du plan de coordonnées x n tout n entier naturel : : y n ) vérifiant pour { x = y = On note M la matrice X n = xn y n ) et 5 8 { xn+ = x n+ y n y n+ = 5 x n+ 8y n Pour tout entier naturel n, on pose a M X n = xn+ y n 5 = X n+ donc X n+ = M X n x n+ 8y n b Pour tout n, on a : X n = M n X ) On considère la matrice P = et on admet que la matrice inverse de 5 7 ) 7 P, notée P, est définie par P = 5 ) ) a P MP = donc D = qui est bien une matrice diagonale juin 6 7 Antilles Guyane
Corrigé du baccalauréat S A P M E P ) b Pour tout n, D n = n c Initialisation : Pour n =, M = I matrice identité) et PD P =I donc c est vrai Hérédité : supposons que pour n N quelconque, on ait M n = PD n P, alors M n+ = M n M = PD n P M = PD n P PDP = PD n+ P La propriété est donc héréditaire La propriété étant vraie au rang et la propriété étant héréditaire à tout rang, d après l axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout n 4+ 5 On admet que, pour tout entier naturel n, M n = n 6 6 ) n 5+ 5 n 5 4 n x n = 4+ 5 + On a X n = M n X donc n n y n = 5+ 5 5 donc : + n n x n = + 6 n y n = 5+ 7 n 4 Pour tout n, 7x n y n = 4+ +5 n n = =donc A n appartient à la droite D juin 6 8 Antilles Guyane