FONCTIONS : VARIATION Exercice 1 : Etant données deux fonctions u et v, que peut-on dire des variations de u + v et u v. On rappelle que la fonction u + v est définie par x u(x) + v(x) et uv par x v(x) v(x). Exercice 2 : On considère la fonction f(x) =. Ecrire les expressions des fonctions g et h définies par g(x) = f(x) et h(x) = f( x ). A l aide de la calculatrice, conjecturer le tableau de variations des fonctions g et h. Démontrer les conjectures émises. Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x 2 +2x+3. On définit les fonctions g(x) = f(x) et h(x) = f( x) pour tous les réels x pour lesquels ces expressions ont un sens. 1) Déterminer les ensembles de définition de g et h. 2) Montrer que h est croissante sur [0 ; + [. 3) A l aide de la calculatrice, conjecturer les variations de g et démontrer ces conjectures. Exercice 4 : Muriel (point A) habite à 2km de la côte rectiligne (segment [EF ]) et veut rejoindre un bateau (point B) ancré à 1km de la côte. Elle marche en ligne droite à la vitesse de 5km/h jusqu au point M de la côte puis nage, toujours en ligne droite, à la vitesse de 3km/h de M jusqu au bateau. On sait que EF = 6 km. Terre A 2 F 1 B M Mer E Déterminer au mètre près la position de M sur le segment [EF ] qui rend minimale la durée du trajet et donner cette durée à la minute près. Exercice 5 : Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b < 0. Parmi les inégalités suivantes, quelles sont celles qui sont vraies? a) 4a 2 < 4b 2 b) 2 a < 2 b c) 1 a 2 < 1 b 2. Exercice 6 : On considère une fonction dont le tableau de variations est le suivant : x 1 0 1 1 f 1 0 1) Si 1 a b 0, comparer f( a) et f( b). 2) Si 0 a b 1, comparer f(a 1) et f(b 1). 3) Soit a un réel tel que 1 a 0, encadrer f(a 2 ). Exercice 7 : Soit f la fonction telle que f(x) = 1) Quel est l ensemble de définition de f? x x.
2) Simplifier f(x) puis représenter la courbe de f. Exercice 8 : f est la fonction racine carrée. Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. Les égalités suivantes sont-elles vraies? Justifier. a) f(a b) = f(a) f(b). b) f(a + b) = f(a) + f(b) ( a ) c) f = f(a) b f(b). Exercice 9 : Comparer x et x 3 sachant que x IR. Exercice 10 : Soit h la fonction homographique définie sur IR \ { 2} par f(x) = x + 1 x + 2. 1) Montrer que x IR \ { 2}, h(x) = 1 1 x + 2. 2) Expliquer comment obtenir la courbe associée à h à partir de l hyperbole d équation y = 1 x. 3) Représenter cette courbe. Exercice 11 : Pour les courbes de f et g données ci-dessous, donner sous forme de tableau la position de C f par rapport à C g et le signe f(x) g(x). Déterminer enfin une expression de chacucne des fonctions. Exercice 12 : Soit φ la fonction définie sur IR par φ(x) = x2 x 2 + 1. 1) Montrer que x IR, φ(x) = 1 1 x 2 + 1 2) Etablir les variations de la fonction trinôme u : x x 2 + 1. En déduire les variations de φ sur IR 3) Soit h IR, comparer φ(h) et φ( h). Quelle en est la conséquence graphique pour les points de coordonnées (h ; φ(h)) et ( h ; φ( h)) 4) Qu en déduit-on sur la courbe représentative de φ? 5) La proposition «x IR, 0 φ(x) < 1» est-elle vraie ou fausse? La démontrer si elle est vraie. 6) Traduire en langage courant la proposition Démontrer que cette proposition est vraie. m ]0 ; 1[, x 1, x 2 IR, φ(x 1 ) = φ(x 2 ) = m et x 1 = x 2.
7) Les assertions suivantes 0 est le minimum de φ sur IR 1 est le maximum de φ sur IR sont-elles vraies? Expliquer pourquoi. Exercice 13 : On donne le tableau de variations de la fonction u définie sur [ 3 ; + [ : x 3 0 3 + 16 9 u 1 4 1) Dresser le tableau de variations de 1 u et u sur [ 3 ; + [. 2) Donner un encadrement de 1 u et u sur [ 3 ; + [. Exercice 14 : On considère l algorithme suivant : Entrée Saisir un réel x Traitement Si x > 0 Afficher x Sinon Afficher x 1) Que fait cet algorithme? 2) Le modifier pour qu il affiche la valeur absolue de 2x 5. 3) Le traduire en langage python. Exercice 15 : Soient f et g les deux fonctions définies par f(x) = 3x + 1 et g(x) = x 1) Déterminer les ensembles de définition de f et g. 2) Montrer que : t IR \ {2}, f(t 2) = g(t + 2). 3) Que peut-on déduire pour les courbes de f et g. 31 x 4. Exercice 16 : f étant une fonction définie sur IR, caractériser les solutions de l équation f(x) + f(x) = 0. Exercice 17 : Construire (à la main) la courbe de f(x) = + x + 2 où x IR. Vérifier votre résultat à la calculatrice ensuite. Exercice 18 : Soit f(x) = x + 1. 1) A partir de la courbe de votre machine, conjecturer les variations de f. 2) Prouver que l ensemble de définition de f est D f = [1 ; + [. 2 3) Montrer que x D f, f(x) = x + 1 + 4) Montrer que f est décroissante sur D f.
Exercice 19 : La vitesse du son dans l air, exprimée en km/h, en fonction de la température T, exprimée en degré Celsius, est donnée par la formule suivante : v(t ) = 3, 6 11, 63(T + 273). 0, 029 1) A quelle vitesse (à 1km/h près) vole un avion qui franchit le mur du son à 15 C? (c est à dire que sa vitesse atteint la vitesse du son) 2) Déterminer les variations de la vitesse du son dans l air en fonction de la température. 3) Un jour d orage, la température est de 30 C. Sami observe qu il s écoule 8 secondes entre l éclair et le coup de tonnerre. En considérant que la propagation de la lumière est instantanée, à quelle distance de Sami la foudre est-elle tombée? Exercice 20 : On considère la fonction f définie pour x 1 par f(x) = x2 x + 2. On note H la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; i, j ). Soit g la fonction définie par g(x) = x et D sa representation graphique. 1) A l aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f. 2) a) Déterminer le réel a tel que f(x) = x + a pour tout réel x différent de 1. b) Comparer f(x) et g(x) selon les valeurs de x. c) En déduire la position de H par rapport à D. 3) Soit m un nombre réel quelconque. Pour chaque valeur de m, h m sera la fonction affine définie par On note m sa représentation graphique. a) Quelle est la représentation graphique de h 1? h m (x) = mx m + 1. b) Vérifier que le point A(1 ; 1) est un point de m pour tout m. c) Montrer que chercher les points communs de H et m reveint à résoudre l équation (E) : (1 m)x 2 + 2(m 1)x + 3 m = 0. d) Pour m = 1, donner le nombre de solutions de (E). En donner une interprétation graphique. e) On suppose m 1. Déterminer alors le nombre de solutions de cette équation selon les valeurs de m. Doner une interprétation graphique. Vérifier vos réponses à l aide de Geogebra
INDICATIONS : Exercice 1 : 1) f(x) = 7x + 1, g(x) = 8x + 3 et h(x) = x 2 + 9x définie sur IR +. Que dire de f + g et g + h? 2) f(x) = x, g(x) = 1 1 et h(x) =?. Que dire de fg et fh? x2 x 3) Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle I. Montrer que si u et v ont les mêmes variations sur I alors u + v a les mêmes variations sur I que u. 4) Soient u et v positives et définies sur I. On suppose que u et v ont les mêmes variations sur I. Montrer que uv a les mêmes variations sur I que u. Exercice 7 : 1) IR + 2) f(x) = x x x = x. La courbe de f est la courbe de la fonction racine carrée privée de l origine. Exercice 8 : VFV. Exercice 9 : factoriser et faire le tableau de signes de x 3 x. Exercice 10 : 1) 1 1 x + 2 = x + 2 1 = h(x) x + 2 2) On décale d abord l hyperbole de 2 unités vers la gauche. Cette nouvelle courbe est renversée suivant l axe des abscisses puis décalée vers le heut de une unité Exercice 12 : 1) On ajoute les fractions de l énoncé pour trouver celle de φ : 1 1 x 2 + 1 = x2 + 1 1 x 2 = φ(x). + 1 2) u est sur IR et sur IR +. Comme u > 0 alors il en est de même de 1 (on renverse deux fois les u variations...). Donc φ a les mêmes variations que u (le +1 ne change rien). 3) φ( h) = φ(h) car ( h) 2 = h 2. Les deux points en question sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées. φ( h) φ(h) h h 4) La courbe de φ est également symétrique par rapport à (Oy).
5) D après le graphique cela semble vrai. En effet, pour tout x réel on a x 2 < x 2 + 1. Donc φ(x) < 1. Ensuite 0 φ(x) car les numérateur et dénominateur sont positifs. Donc x IR, 0 φ(x) < 1. 6) Traduction : Pour tout réel m entre 0 et 1 (exclus), il existe deux réels x 1 et x 2 tels que φ(x 1 ) = φ(x 2 ) = m et x 1 = x 2. Pour le prouver, m étant donné, il suffit de résoudre l équation φ(x) = 0. On doit trouver deux solutions opposées. x 2 x 2 + 1 = m x 2 = m(x 2 + 1) (1 m)x 2 m = 0 x 2 = m (m 1) 1 m m x = ± 1 m m étant différent de 0, nous avons bien deux solutions opposées. 7) Vrai et Faux. Vrai car φ(0) = 0 et x IR, φ(x) 0. Faux car x IR, φ(x) < 1 (1 n est pas atteint). Exercice 13 : 1) Le passage à l inverse renverse les variations tandis que prendre la racine ne change rien : x 3 0 3 + 1 1/4 1/u 1/16 1/9 x 3 0 3 + 4 3 u 1 2 2) Il suffit de repérer les minimum et maximum dans les tableaux précédents : x [ 3 ; + [, 1 9 1 u(x) 1 et x [ 3 ; + [, 1 u(x) 4. Exercice 14 : 1) il affiche la valeur absolue de x. 2) Entrée Saisir un réel x Traitement
Si 2 x 5 > 0 Afficher 2 x 5 Sinon Afficher 2 x + 5 3) Le programme en python : 1 x=input ( " x=" ) 2 i f 2 x 5>0 : 3 print 2 x 5 4 else : 5 print 2 x+5 En fait, la fonction abs(x) renvoie la valeur absolue de X : 1 x=input ( " x=" ) 2 print abs (2 x 5) Exercice 15 : 1) D f = IR et D g = IR \ {4}. 3(t 2) + 1 2) f(t 2) = = 3t 5 3(t + 2) 11 avec t 2 0 et g(t + 2) = t 2 t 2 t + 2 4 3) Ce sont les mêmes courbes décalées de 4 unités horizontalement. = 3t 5 t 2 avec t + 2 4. Exercice 16 : les solutions sont les x tels que f(x) 0 car on a f(x) = f(x) ssi f(x) 0. Exercice 17 : Dans une premier temps, vous pouvez placer «plein» de points à la main en choisissant les valeurs de x. Dans un deuxième temps, on va découper la courbe en 3 morceaux! { si x 1 = x + 1 si x 1 { x + 2 si x 2 x + 2 = x 2 si x 2 On résume cela dans un tableau : x 2 1 + x + 1 x + 1 0 x + 2 x 2 0 x + 2 x + 2 f(x) 2 3 2x + 1 y = 2 y = 2x + 1
Exercice 18 : 1) 2) Il faut x + 1 0 et 0. x + 1 + 3) Multiplier f(x) par puis développer (multiplier par 1 ne change rien...). x + 1 + 4) Utilisons l expression du 3) avec la technique du «a et b». Soient 1 a b. Alors, comme la fonction racine est croissante, on a a + 1 b + 1 et a 1 b 1. On ajoute membre à membre les deux inégalités : a + 1 + a 1 b + 1 + b 1. On inverse (donc on renverse les signes) : 1 a + 1 + a 1 On a donc f(a) f(b). La fonction f est bien décroissante sur D f. 1 b + 1 + b 1. On multiplie enfin par 2 : cela ne change rien. Exercice 19 : 1) v(15) = 1223 km/h. 2) Les mêmes que la fonction affine T v sur [ 273 ; + [. 11, 63(T + 273) 0, 029 car la racine ne change rien (et le facteur 3,6). Donc 3) Ce jour là, la vitesse du son est de v(30) = 1255km/h. En 8s, le son parcourt v(30) 8/3600 = 2.789km. Sami est à 2789m du coup de foudre. Exercice 20 : 1) On place plusieurs points : H D Valeur interdite : x = 1 2) a) a = 2 convient car on veut x() + a = x 2 x + 2
b) On cherche le signe de f(x) g(x) = 2. Donc 2 si x > 1 alors > 0. D où f(x) > g(x). 2 si x < 1 alors < 0. D où f(x) < g(x). c) Rappel : Si f(x) > g(x) alors la courbe de f est au dessus de la courbe de g. Donc, d après la question précédente, si x > 1 alors la courbe de f est au dessus de la courbe de g. si x < 1 alors la courbe de f est au dessous de la courbe de g. 3) a) La droite D. b) Car h m (1) = 1. c) Les points communs sont les solutions de f(x) = h m (x) soit x2 x + 2 = mx m + 1. On multiplie les deux côtés par, on développe et on passe tout à gauche... on aboutit alors à (E). d) Quand m = 1, (E) n est pas une équation du second degré mais se ramène à 2 = 0 qui est bien sûr absurde. Donc (E) n a pas de solution dans ce cas. Comme on le constate sur la graphique du 1), 1 et H ne se coupent pas. e) (E) est bien du second degré et le discrimant vaut = 4(m 1) 2 4(1 m)(3 m) = 8(m 1) (je vous laisse développer...) Donc si m > 1 alors > 0. (E) a donc 2 solutions. Cela signifie que H et m ont deux points d intersection. si m < 1 alors < 0. (E) n a pas de solution, et, H et m ne se coupent pas. 8 4 3 2 1.5 H 0.9 D 0.7 A 0.5 0.4 0.2