Terminale S, Cours La fonction Logarithme Népérien Eistence Théorème: (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, strictement monotone sur I à valeurs dans J. Alors il eiste une fonction appelée fonction réciproque de la fonction f dérivable sur J à valeurs dans I, notée f - telle que pour tout réel I, f - f () = et pour tout réel J, f f - () =. Remarque: On peut remarquer que les fonctions f et f - sont continues respectivement sur I et J. La fonction eponentielle vérifie les conditions d application du théorème. Définition: On appelle logarithme népérien, la fonction définie sur 0; + [ à valeurs dans ] - ; + [ définie comme la fonction réciproque de la fonction eponentielle. On note ln cette fonction. Conséquences: Le domaine de définition de la fonction logarithme népérien est 0; + [. La fonction ln, réciproque de la fonction ep est définie sur l ensemble des images par ep et à valeurs dans le domaine de ep. On a donc: - ln = Im ep et Im ln = - ep Réciprocité: Pour tout réel, ln(e ) = ou encore ln ep() =. Pour tout réel > 0, e ln() = ou encore ep ln() =. L unique antécédent de e par ep est d où le résultat. De même pour > 0, ln() est l unique antécédent du nombre par ep donc l image de ln() par ep est bien. Propriété (valeurs particulières): ln() = 0 ln(e)= En effet, comme e 0 = alors l unique antécédent de par ep est 0 d où ln = 0 et de même comme e = e alors l unique antécédent de e par ep est d où ln(e) =.
2 Terminale S, Cours Propriétés fonctionnelles Théorème (dérivée de ln): La fonction ln est dérivable sur R +* =] 0; + [ et pour tout réel > 0, ln () =. On admet la dérivabilité de ln comme fonction réciproque d une fonction dérivable. Pour tout réel > 0, e ln() =. La fonction φ : e ln() est donc dérivable par composition. On a φ () = ln () e ln() = ln (). D autre part comme φ() = pour tout > 0, alors φ () =. On obtient donc l égalité ln () = pour tout > 0. Comme > 0, on peut donc en déduire ln () = pour tout réel > 0. Propriété (variation de ln): La fonction ln est strictement croissante sur R +* =] 0; + [. Pour tout réel > 0, ln () = > 0 d où le résultat. Propriété (signe de ln()): ln() = 0 si et seulement si = ln() > 0 pour > et ln() < 0 pour 0 < <. On sait que ln = 0. La fonction ln est strictement croissante sur 0; + [. Par suite pour tout réel >, ln() > ln d où ln() > 0 pour > 0. De même pour tout réel 0 < <, ln() < ln d où ln() < 0. On en conclut que ln() = 0 si et seulement si = ainsi que le signe de ln. Propriété (équation et inéquation): ln(a) = ln b si et seulement si a > 0 et b > 0 et a = b. ln(a) < ln b si et seulement si 0 < a < b. Les conditions a > 0 et b > 0 sont nécessaires pour l eistence de ln(a) et ln b. Ensuite, s il eiste a b, a < b par eemple tel que ln(a) = ln b alors la fonction ln n est pas strictement croissante. Absurde. Donc ln(a) = ln b si et seulement si a = b. Pour la 2 e assertion, il suffit d appliquer la stricte monotonie pour le sens 0 < a < b ln(a) < ln b. Pour le sens réciproque, on raisonne comme précédemment par l absurde.
Terminale S, Cours 3 Propriétés Algébriques Propriété fondamentale: Pour tous réels et y strictement positifs, ln y = ln() + ln y. Soit y un réel strictement positif. On définit la fonction ψ sur 0; + [, par ψ() = ln y - ln() - ln y. La fonction ψ est bien définie puisque > 0 et y > 0 d où y > 0. De plus la fonction y est dérivable sur 0; + [ à valeurs dans 0; + [ pour > 0 puisque y > 0. Alors par composition ln y est dérivable sur 0; + [. Enfin par somme comme ln y est une constante, ψ est dérivable sur 0; + [. Pour tout réel > 0, on obtient ψ () = y y - - 0 = - = 0. La fonction ψ est donc constante sur 0; + [. Or ψ = ln y - ln - ln y = ln y - ln y = 0 donc ψ() = 0 pour tout réel > 0. On a donc obtenu ln y - ln() - ln y = 0 d où ln y = ln() + ln y pour tout réel > 0, pour tout réel y > 0. Propriétés (Corollaire): ln ln y = -ln() pour tout réel > 0 = ln() - ln y pour tous réels et y strictement positifs. ln( n ) = n ln() pour tout réel > 0 et tout entier naturel n. En particulier ln(e n ) = n pour tout entier naturel n. ln = ln() pour tout réel > 0. 2 On a ln = ln = 0 et d après la propriété précédente, ln = ln() + ln. On en déduit donc ln() + ln = 0 d où ln = -ln(). On a ln y = ln y = ln() + ln y = ln() - ln y en utilisant les 2 propriétés précédemment démontrées. Soit > 0. On raisonne par récurrence sur n N. Pour n = 0, on a ln 0 = ln = 0 et 0 ln() = 0 d où ln 0 = 0 ln(). La propriété est vraie pour n = 0. Soit n N. On fait l hypothèse de récurrence ln( n ) = n ln() est vraie. Or on a ln n+ = ln( n ) = ln( n ) + ln() (propriété fondamentale). D après l hypothèse de récurrence, ln( n ) = n ln() donc on obtient ln n+ = n ln() + ln() = n + ln() : la propriété est vraie au rang n +. La propriété est donc héréditaire. La propriété est vraie au rang n = 0 et est héréditaire pour n 0. D après le principe de récurrence, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. On a donc en particulier pour = e, ln(e n ) = n ln(e) = n = n. On a ln() = ln 2 = 2 ln pour tout réel > 0 d où le résultat.
4 Terminale S, Cours Limites Définition (limite en + ): Soit f une fonction définie sur ] 0 ; + [ avec 0 R. Alors on dit que f admet pour limite + quand tend vers + et on note Lim f () = + si et seulement si pour tout réel + Α, il eiste un réel a avec a > 0 tel que si > a, alors f () > Α. Théorème: Lim ln() = - (la courbe représentative de ln admet la droite d équation = 0 comme asymptote verticale). 0 + Lim ln() = + + Limite en +. Soit A R. On pose a = e A 0; + [. Comme la fonction ln est strictement croissante sur 0; + [, alors ln() > ln(a) d où ln() > ln e A c est à dire ln() > A pour tout réel > a. Par définition de la limite + en +, comme pour tout réel A, il eiste un réel a > 0 tel que si > a alors ln() > A, on a donc ln() = +. Lim + Limite en 0 + : On a pour tout réel > 0, > 0 et ln() = -ln. Or Lim = + et Lim ln X = + donc par composition, Lim ln 0 + X + 0 + = +. Finalement comme Lim 0 + ln() = -Lim 0 + ln, on obtient Lim 0 + ln() = -.
Terminale S, Cours 5 Courbe Tangente en = : L équation de la tangente à en = est y = -. L équation de la tangente à la courbe de ln en = est donnée par y = ln - + ln = - + 0 = -. Propriété (position de C ln par rapport à sa tangente en = ): Pour tout réel > 0, ln() - et l égalité n a lieu que pour = Conséquence: pour tout réel > 0, ln() <. On pose ψ la fonction définie sur 0; + [ par ψ() = - - ln(). La fonction ψ est définie et dérivable sur 0; + [ et pour tout réel > 0, ψ () = - = -. Comme > 0, ψ () est du signe de - sur 0; + [ d où ψ () > 0 pour > et ψ () < 0 pour 0 < <. La fonction ψ est donc strictement décroissante sur 0; et ainsi ψ() > ψ pour 0 <. La fonction ψ est strictement croissante sur ; + [ donc ψ() > ψ pour >. Finalement ψ() > ψ pour tout réel > 0 et. Or ψ = - - ln = 0 donc ψ() > 0 pour > 0 et et ψ = 0. On a donc - - ln() > 0 pour > 0 et d où - > ln() pour > 0 et et - ln() pour =. Pour le deuième résultat, il suffit de remarquer que > - pour tout réel. La courbe de ln est toujours en dessous de sa tangente en =. Tangente en = e. L équation de la tangente à en = e est y = : cette tangente passe par l origine du repère. e L équation de la tangente à la courbe de ln en = est donnée par y = ln (e) ( - e) + ln(e) = ( e - e) + =. e Son ordonnée à l origine est nulle donc cette tangente passe par l origine du repère. Représentation graphique:
6 Terminale S, Cours 3 2 2 e 3 4 5 6 - -2-3
Terminale S, Cours 7 Croissances comparées Théorème: ln() Lim = 0 + Lim ln() = 0 0 + ln() Lim + n = 0, n N * Lim n ln() = 0, n N * 0 + On pose φ() = 2 - ln() pour tout réel > 0. La fonction φ est dérivable sur 0; + [ comme somme de deu fonctions dérivables sur 0; + [. Pour tout réel > 0, on a φ () = 2 2 Comme > 0, φ () est du signe de - = - sur 0; + [. - = -. Ainsi comme est strictement croissante sur 0; + [, on sait que - > 0 pour > et - < 0 pour 0 < < d où φ () > 0 pour > et φ () < 0 pour 0 < <. La fonction φ est donc strictement décroissante sur 0; et strictement croissante sur ; + [. Par suite φ() > φ pour > et φ() > φ pour 0 < <. Or φ = 2 - ln = 2 > 0. Donc φ() > 0 pour tout réel > 0. On en déduit donc que ln() < 2 pour tout réel > 0. ln() Déterminons Lim +. On a montré que pour tout réel > 0, ln() < 2 donc pour tout réel > 0, ln() Remarquons de plus que pour >, ln() > 0 et > 0 donc on a 0 < ln() < 2. < 2, c est à dire ln() < 2. Or Lim + = + donc Lim + 2 = 0. ln() D après le théorème des gendarmes, on obtient donc Lim = 0. + Déterminons Lim 0 + ln(). -ln Pour tout réel > 0, ln() =. ln X Or Lim = + et Lim 0 + X + X Il y a plusieurs méthodes. Pour tout entier naturel n > 0, ln() ln() Lim + n = n Lim ln( n ) + n = 0. = 0 donc par composition, Lim 0 + n = n n ln() n = n On peut aussi remarquer pour n > 0, ln() ln() n = n- résultat annoncé. Pour la deuième limite, on peut raisonner de même: n ln() = n n ln( n ) ou ln = 0 d où Lim ln() = 0. 0 + ln( n ) n et comme Lim n ln X = + et Lim = 0, par composition + X + X et comme Lim + 0 si n 2 = alors par produit, on obtient le n- si n =
8 Terminale S, Cours n ln() = n- ln() ou par composition, n ln() = -ln n.
Terminale S, Cours 9 Compléments. dérivée de ln(u): dérivée logarithmique. Propriété: Soit u une fonction dérivable sur I R telle que de plus u() > 0 pour tout réel I. Alors la fonction ln u = ln(u) est dérivable sur I et pour tout réel I, ln(u) () = u (). On retient (ln(u)) = u u. Il suffit d appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées à ln u. Comme u est à valeurs dans 0; + = D ln, ln u est définie et dérivable sur I et on a ln u = u ln (u) = u u. 2. Un autre cas de forme indéterminée. Théorème: Lim ln() - =. ln() - ln La fonction ln est dérivable en = donc Lim = ln ln() c est à dire Lim - - =. Remarque: C est une méthode classique pour lever des indéterminations en un point fini. On a de la même manière Lim e - =. 0 3. Quelques points à retenir. u() 3.. Le domaine de définition de ln(u) : Eemple: Déterminons le domaine de définition de ln - + Le nombre ln - + - est défini si > 0 donc si < - et >. + et celui de ln - - ln +. Le nombre ln - est défini pour > et le nombre ln + pour > - donc le nombre ln - - ln + est défini pour >. Théoriquement pourtant ln - = ln - - ln + partout où chacun des nombres est bien défini en fait. + Il faut donc prendre des précautions quand on transforme des epressions avec des logarithmes. On peut ou ajouter ou enlever une partie des domaines de définition. 3.2. Les équations avec des logarithmes: Pour les raisons précédemment évoquées de domaines de définition, il faut avant de résoudre une équation avec des logarithmes se poser la question des domaines de définition. Eemple: Résolvons l équation ln 2 - = ln(). On est tenté d écrire directement, alors il faut 2 - = d où 2 + - = 0 et on détermine les solutions = - 5 2 et
0 Terminale S, Cours 2 = + 5. 2 Donc l équation admet 2 solutions!! Et c est FAUX!! En effet la solution n appartient pas au domaine de définition de l équation ln 2 - = ln(). Dans ce cas, on voit facilement l erreur, il peut arriver que l impossibilité soit plus délicate à détecter. La bonne méthode est de commencer par étudier le domaine de définition de l équation de départ. Ici en l occurrence, c est 0; + [. donc l équation ln 2 - = ln() équivaut à l équation 2 - = et > 0.
Terminale S, Cours 4. Primitives Définition: On appelle primitive sur I d une fonction f définie sur I, toute fonction F dérivable sur I et telle que F = f sur I. Eemples: 2 2 est une primitive de sur R e est une primitive de e sur R + est une primitive de - sur R* 2 Théorème (admis): Toute fonction continue sur I admet une primitive sur I. Ce théorème sera démontré dans la cadre du chapitre sur l intégration. Propriété: Soit F et G deu primitives d une même fonction f sur I. Alors F et G diffèrent d une constante, autrment dit il eiste un réel K tel que G() = F() + K pour tout réel I. On a clairement G - F () = G () - F () = f () - f () = 0 donc G - F est constante sur I. Il eiste donc une constante K R telle que G() - F() = K d où G() = F() + K pour tout I. Propriété: Soit f une fonction définie sur I, admettant une primitive sur I. Alors f admet une infinité de primitives sur I. Pour tout couple 0 ; y 0 avec 0 I, il eiste une unique primitive de f qui prend la valeur y 0 en 0. On appelle un tel couple 0 ; y 0 une condition initiale. S il en eiste une F, alors toutes les fonctions G = F + K pour K R sont aussi des primitives de f d où l infinité. Soit F une primitive de f. Alors la fonction G définie par G() = F() + y 0 - F( 0 ) est une primitive de f (évident) telle que de plus G( 0 ) = y 0. Montrons qu elle est unique. Soit H une autre primitive de f telle que H( 0 ) = y 0. Alors comme on sait qu il eiste une constante K telle que H() = G() + K alors H( 0 ) = G( 0 ) + K d où y 0 = y 0 + K et donc K = 0. Par suite H = G: G est unique. Théorème: La fonction logarithme népérien est l unique primitive de la fonction inverse sur 0; + [ qui s annule en. Remarque: Cette propriété de ln la caractérise complètement. C est à dire que l on peut définir la fonction ln comme l unique primitive de la fonction inverse sur 0; + [ et retrouver toutes ces propriétés, en particulier qu elle est la fonction réciproque de la fonction eponentielle.