Exercice Partie A. L image de 0 par la fonction f est : f 0) 0+e 0. Le point d abscisse 0 sur la courbe C, représentative de la fonction f, est le point de coordonnées 0 ; f 0)), c est à dire ici 0 ; ). Le point A, de coordonnées 0 ; ) est donc bien un point de la courbe C.. La fonction f est dérivable sur R, en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur R. Sa dérivée est définie sur R par : f x) + )e x e x. On a : f x) 0 e x e x 0 x, car ln est strictement croissante sur ]0 ; + [ x 0. On en déduit donc le tableau de variations suivant : x 0 + f x) 0 + f + + Justifions maintenant les deux limites : On a lim x + x + et lim x + e x lim y ey 0, et donc par somme : limf +. + Pour tout x on a : f x) e x xe x +). Et on a : lim x xex 0, d après la propriété des croissances comparées. On en déduit, par somme : lim x xex +. Comme par ailleurs on a : limf +. Partie B lim x e x lim y + ey +, on en déduit, par produit :. a) Soit un entier naturel n non nul, et un réel x, choisi dans l intervalle [0 ; ]. x étant dans l intervalle [0 ; ], x est positif. La fonction exponentielle étant à valeurs strictement positives, on en déduit que e nx est également un nombre positif. La somme de deux nombres positifs étant elle-même positive, on en déduit que f n x) est positif. On a donc prouvé que pour tout entier naturel n, la fonction f n est à valeurs positives sur l intervalle [0 ; ]. I n est donc l intégrale sur un intervalle d une fonction positive sur cet intervalle,
c est donc l aire exprimée en unité d aire) de la portion de plan délimitée par : l axe des abscisses; la courbe C n, représentative de f n, et les droites verticales d équation x 0 l axe des ordonnées) et x. b) Sur l intervalle [0 ; ], il semble que, plus n augmente, plus les courbes C n semblent se rapprocher du segment d équation y x, chaque courbe semblant être en dessous de la courbe d indice précédent. On en déduit que les aires successives sous ces courbes doivent être de plus en plus petites, et donc que la suite I n ) doit être décroissante. Comme de plus il semble que les courbes "s écrasent" sur le segment d équation y x, à la limite, l aire sous la courbe devrait tendre vers l aire sous le segment, c est à dire. On peut donc émettre la conjecture que la suite converge vers en décroissant.. On a : I n+ I n 0 0 0 0 0 f n+ x) dx 0 f n x) dx f n+ x) f n x)) dx, par linéarité de l intégrale. x+e n+)x x+e nx)) dx x+e n+)x x e nx) dx e n+)x e x ) dx Ce qui est ce que l on souhaitait démontrer. On va maintenant en déduire le signe de cette différence. Pour tout entier n naturel non nul et pour tout x dans l intervalle [0 ; ], le nombre e n+)x est strictement positif, car la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, quant au nombre e x, il est négatif, car x étant dans l intervalle [0 ; ], on a x 0, et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, donc on en déduit que e x e 0, soit e x, donc il suit que e x 0. Le produit de deux nombres de signes contraires étant négatif, on vient de prouver que, pour tout entier n naturel non nul et pour tout x dans l intervalle [0 ; ], le nombre e n+)x e x ) est négatif. L intégrale entre deux bornes bien rangées d une fonction négative étant négative, on en déduit que, pour tout entier n non nul, la différence I n+ I n est négative. On en déduit que la suite I n ) est décroissante. Comme par ailleurs, on a déjà prouvé que, pour tout n naturel non nul, la fonction f n est à valeurs positives sur l intervalle d intégration [0 ; ], on en déduit que l intégrale de cette fonction positive entre des bornes 0 et ) bien rangées est positive, donc cela signifie que pour tout n naturel non nul, I n est positif. On a donc prouvé que la suite est minorée par 0. I n ) étant une suite minorée et décroissante, on peut en conclure qu elle est convergente vers une limite l 0, car la suite est minorée par 0.. Nous allons maintenant déterminer cette limite l. Pour tout entier n naturel non nul,
une primitive de f n sur l intervalle [0 ; ] est définie par : F n x) x + n e nx x n e nx. On a donc : [ I n f n x)dx 0 x ] n e nx F n ) F n 0) 0 I n n e n 0 ) n e0 + n e n ). Comme on a : lim n + e n 0, on en déduit que lim n + e n et comme lim par produit, puis par somme de limites, on en déduit : n + n 0, lim n + I n. Finalement, nos deux conjectures sont bien vérifiées : la suite est bien décroissante, et converge vers une limite qui est bien, l aire sous la droite d équation y x entre les abscisses 0 et. Exercice Partie A. Dans cette question et la suivante), le choix de la personne dans la population étant fait au hasard, on est dans une situation d équiprobabilité et donc les proportions sont assimilées à des probabilités. a) Le pourcentage de personnes malades étant de 0,%, la probabilité de l événement M sera donc de 0,00. On obtient l arbre pondéré suivant : 0,00 M 0,99 0,0 0,999 M 0,00 0,999 b) On applique la loi des probabilités totales, les événements M et M constituant une partition de l univers : P) PM )+P M ) 0,00 0,99+0,999 0,00 P) 0,00 0,99+0,999),989 0. On obtient donc bien la valeur attendue. c) Puisque l affirmation fait référence à la probabilité d être malade sachant que le test est positif, on va calculer la probabilité conditionnelle suivante : P M) P M) 0,00 0,99 P),989 0 0,99 0,99+0,999 0,498. La probabilité est inférieure à 0,5 le dénominateur étant supérieur au double du numérateur), l affirmation est correcte : si une personne obtient un test positif, alors la probabilité qu elle soit effectivement malade est légèrement) inférieure à 0,5, soit un peu moins d une chance sur deux.
. On reprend la même démarche, mais en modifiant les probabilités portées sur les branches de l arbre qui devient : x M 0,99 0,0 x M 0,00 0,999 On a alors : P) 0,99x+0,00 x) 0,00+0989x et donc : 0,99x P M) 0,00+0,989x. On rappelle que x est une proportion, donc un nombre réel compris entre 0 et, les probabilités données ci-dessus sont donc bien comprises entre 0 et également. La question est alors de résoudre l inéquation suivante : 0,99x P M) 0,95 0,95 0,00+0,989x 0,99x 0,95 0,00+0,989x) car 0,00+0,989x 0. 0,99x 0,00095+0,9955x 0,05045x 0,00095 x 0,00095 car 0,05045 est positif. 0, 05045 Le test sera donc commercialisable à condition que la proportion x soit supérieure à 0, 00095 0,05045 9 0,088, c est à dire quand le pourcentage de la population atteint 009 par la maladie est supérieur à environ,88%. Partie B. a) On utilise la calculatrice, qui donne : P890 X 90) 0,9 à 0 près. b) On pose Z, variable aléatoire définie par : Z X µ. Comme X suit la loi σ normale Nµ ; σ), alors Z suit la loi normale centrée réduite N0 ; ). On peut donc utiliser le nombre u 0,0,58 tel que : P u 0,0 Z u 0,0 ) 0,0 0,99 à 0 près. Or :,58 Z,58,58 X 900,58 7 8,06 X 900 8,06 900 8,06 X 900+8,06 Puisque le nombre h demandé est entier, on arrondit à h 8. On vérifie bien à la calculatrice que P88 X 98) 0,9899 0,990 à 0 près.. Puisque la sélection de l échantillon est assimilée à un tirage au sort avec remise, on a donc 000 répétitions indépendantes d une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,97, ce 4
qui conduit donc à un schema de Bernoulli qui suit la loi binomiale B000 ; 0,97). Le paramètre n 000 étant suffisamment élevé, on en déduit que la fréquence de succès pour ce schema de Bernoulli est comprise dans l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : [ 0,97,96 0,97 0,0 000 ; 0,97+,96 calcul des valeurs approchées donne, à 0 4 près : [0,9594 ; 0,9806]. 0,97 0,0 000 ]. Le Cela signifie que la proportion de comprimés conformes dans un lot de 000 comprimés est comprise dans l intervalle ci-dessus, avec une probabilité de 0,95. Comme la proportion de comprimés conformes constatée dans cet échantillon est de 000 5 0,947, 000 c est à dire en dehors de l intervalle de fluctuation asymptotique déterminé précédemment, on en déduit que les réglages faits par le laboratoire ont une forte probabilité d être à revoir. La probabilité qu ils soient corrects bien que l échantillon donne une proportion de comprimés conformes en dehors de l intervalle de fluctuation n est que de 0,05. Exercice On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.. On effectue à l instant 0 une injection de 0 ml de médicament. On estime que 0% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note u n la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang au bout de n minutes. Ainsi u 0 0. a) Comme 0% du médicament est éliminé par minute, il en reste 80%; prendre 80% d un nombre c est multiplier par 0,8 donc u n+ 0,8u n. Donc la suite u n ) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme u 0 0. b) La suite u n ) es géométrique, donc pour tout n, u n u 0 q n 0 0,8 n. c) La quantité de médicament est inférieure à % de la quantité initiale quand u n < 00 u 0 c est-à-dire u n < 0,. On résout l inéquation: u n < 0, 0 0,8 n < 0, 0,8 n < 0,0 ln0,8 n ) < ln0,0 croissance de la fonction ln sur ]0; + [ nln0,8 < ln0,0 propriété de la fonction ln n > ln0,0 car ln0,8 < 0 ln0,8 Or ln0,0 0,6 donc c est au bout de minutes que la quantité de médicament ln0,8 dans le sang devient inférieure à % de la quantité initiale. On trouve à la calculatrice que u 0 0,5 > 0, et u 0,09 < 0,. 5
. Une machine effectue à l instant 0 une injection de 0 ml de médicament. On estime que 0% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 ml, la machine réinjecte 4 ml de produit. Au bout de 5 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel n, on note v n la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang à la minute n. L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute: Variables : n est un entier naturel. v est un nombre réel. Initialisation : Affecter à v la valeur 0. raitement : Pour n allant de à 5 Affecter à v la valeur 0,8 v. Si v < 5 alors affecter à v la valeur v +4 Afficher v. Fin de boucle. a) Le tableau ci-dessous donne la quantité restante de médicament minute par minute: n 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 v n 0 8 6,4 5, 8,0 6,48 5,8 8,5 6,5 5, 8,7 6,54 5, 8,8 6,55 5,4 b) Les 5 premières minutes, le patient a absorbé 0 ml au début, puis 4 ml les minutes 4, 7, 0 et soit 6 ml; ce qui fait un total de 6 ml. c) On programme la machine afin qu elle injecte ml de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 ml et qu elle s arrête au bout de 0 minutes. L algorithme suivant affiche la quantité de médicament restant dans le sang minute par minute: Variables : n est un entier naturel. v est un nombre réel. Initialisation : Affecter à v la valeur 0. raitement : Pour n allant de à 0 Affecter à v la valeur 0,8 v. Si v 6 alors affecter à v la valeur v + Afficher v. Fin de boucle.. On programme la machine de façon que : 6
à l instant 0, elle injecte 0 ml de médicament, toutes les minutes, elle injecte ml de médicament. On estime que 0% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note w n la quantité de médicament, en ml, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. a) Comme 0% du médicament est éliminé chaque minute, il en reste 80% donc on multiplie par 0,8. De plus, toutes les minutes, on rajoute ml. On peut donc dire que, pour tout n, w n+ 0,8w n +. b) Pour tout entier naturel n, on pose z n w n 5, donc w n z n +5. z n+ w n+ 5 0,8w n + 5 0,8z n +5) 4 0,8z n +4 4 0,8z n z 0 w 0 5; or à l instant 0, on injecte 0 ml donc w 0 0. On a donc z 0 5. La suite z n ) est donc géométrique de premier terme z 0 5 et de raison q 0,8. c) D après les propriétés des suites géométriques, on peut dire que, pour tout n: z n z 0 q n 5 0,8 n. Or w n z n +5 donc, pour tout n, w n 5 0,8 n +5. d) La suite z n ) est géométrique de raison 0,8; or < 0,8 < donc la suite w n ) est convergente vers 0. D après les théorèmes sur les limites de suite, on peut en déduire que la suite w n ) est convergente et a pour limite 5. Cela veut dire que, si on poursuit ce traitement, la quantité de médicament présente dans le sang du patient va se rapprocher de 5 ml. Exercice 4 Dans l espace muni d un repère orthonormé O, ı, j, k ), on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: A ; ; 0 ) ; B ; ; 0 ) ; C ; 0; 0); D 0 ;. Le vecteur AB a pour coordonnées 0; ; 0 ) ; le vecteur AD a pour coordonnées ) ; ;. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les trois points A, B, D définissent un plan. La relation 4x+z 4 est de la forme ax + by + cz d, c est donc une équation d un plan P. 4x A +z A 4 4 donc A P 4x B +z B 4 4 donc B P 4x D +z D 4 donc D P Donc P est le plan ABD) qui a pour équation 4x+z 4. x t. On note D la droite dont une représentation paramétrique est y 0 z t 7, t R
x 0 a) En prenant t 0, on trouve y 0 z 0 donc le point O appartient à D. La droite D a pour vecteur directeur u ; 0; ). Le vecteur CD a pour coordonnées ; 0; ) donc CD u ce qui entraîne que la droite D est parallèle à CD). b) Le point G d intersection de la droite D et du plan ABD) a des coordonnées x t y 0 x; y; z) qui vérifient: z t 4x+z 4 Donc 4t+t 4 6t 4 t. Le point G a pour coordonnées ; 0; ).. a) On note L le milieu du segment [AC]; xa +x C L a pour coordonnées ; y A +y C ; z ) A +z C ) Le vecteur BL a pour coordonnées ; ; 0 ; ; 0 ) ; le vecteur BO a pour coordonnées ; ; 0 ). Donc BL BO; les vecteurs BL et BO sont colinéaires donc les points B, O et L sont alignés. Le vecteur AC a pour coordonnées ; ; 0 ). On calcule le produit scalaire de BL et de AC: ) BL. AC )+ +0 9 9 0 donc les vecteurs BL et AC sont orthogonaux. On peut donc dire que la droite BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite AC). b) La droite BL) passe par le milieu de [AC] et est perpendiculaire à AC) donc c est la médiatrice de [AC], donc BA BC. BA x A x B ) +y A y B ) +z A z B ) ) CA x A x C ) + y A y C ) + z A z Z ) +) + ) 9+ Donc BA CA donc BA CA. On peut en déduire que le triangle ABC est équilatéral. 8
Donc le centre de son cercle circonscrit est aussi son centre de gravité ; il est situé aux d une médiane en partant du sommet. Or on a vu que BL BO donc on peut en déduire que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 4. On a déjà vu que AB AC BC ; on calcule les longueurs des autres arêtes du tétraèdre: DA ) + ) + ) ++8 DB ) + ) + ) ++8 DC + ) 4+8 Donc les six arêtes du tétraèdre ABCD ont la même longueur, donc le tétraèdre ABCD est régulier. 9