Chapitre 1 MATRICES TES-spécialité I Généralités sur les matrices Définition Une matrice de taille m n est un tableau de nombres réels formé de m lignes et n colonnes. On note a i, j l'élément (appartenant à R ) de la matrice situé à l'intersection de la i-ième et de la j-ième colonne. Les nombres a i, j sont appelés les coefficients de la matrice. Une matrice A est représentée entre deux parenthèses comme suit : =( 60 50 0 Exemple P 70 90 120) est une matrice d'ordre 2 3 et a =120, a =60. 2,3 1,1 Définition Une matrice ayant le même nombre n de lignes et de colonnes est une matrice carrée d'ordre n. =( 2 Exemple C 3 0 1 12 1,5 0,5 10 0 ) est une matrice carré de taille 3. Définition Une matrice formée d'une seule ligne et de n colonnes (c'est à dire de taille 1 n) est une matrice ligne ou vecteur ligne. Exemple A=(60 50 0) est une matrice ligne de taille 1 3. Définition Une matrice formée d'une seule colonne et de m lignes (c'est à dire de taille m 1) est une matrice colonne ou vecteur colonne. Exemple C =(28 ) 6 est 0 une matrice colonne de taille 3 1. Propriété Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.
II Opérations sur les matrices 2.1 Somme de matrices Définition Soit A et B deux matrices de même taille. La somme des deux matrices A et B, notée A+B, est la matrice obtenue en ajoutant les coefficients de A et ceux de B situés à la même place. A=( Exemple 2 4 3 1) et B = ( 0 2 ) 3 5 alors C =A+B = ( 2+0 4 2 3 3 1+5) = ( 2 2 0 4) Remarque Soit A et B deux matrices de même taille, alors on a A B = A + (-B). (en prenant soin de prendre l'opposé des coefficients de la matrice B) Propriété Soit A, B et C trois matrices de même taille. 1) Commutativité : A + B = B + A 2) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) 2.2 Multiplication par un réel Propriété Soit A une matrice et k un nombre réel. Le produit de A par le réel k est la matrice ka, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k. Exemple A=( 4 2 6 8) et B= 1 2 A = ( 2 1 3 4) Propriété Soit A et B deux matrices de même taille et k, k' deux réels. 1) k (A + B) = ka + kb 2) (k + k') A = ka + k'a 3) kk'a = k (k'a) 2.3 Transposée d'une matrice Définition Soit A une matrice de taille m n. La transposée de la matrice A, notée t A, est la matrice de taille n m obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
Exemple A=( 60 1 0 2 31 12) est de taille 2 3 d'où t A= (60 2 1 31 0 12) est de taille 3 2. 2.4 Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne Définition Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne à n lignes telles que : 11 a 12... a 1n 1 a A=(a 21 a 22... a 2n b et B =(b 2............ a n1 a n2... a nn) n)... b Le produit de la matrice A par la matrice colonne B est la matrice colonne à n lignes, notée A B et égale à : =( a 11 b 1+a 12 b 2+...+a 1n b n a A B 21 b 1 +a 22 b 2 +...+a 2n b n) n... a n1 b 1 +a n2 b 2 +...+a nn b A=( Exemple Soit 2 5 1) 3 et B = ( 3 4) alors A B = ( 3 3+1 4) 2 3+5 4 = ( 5) 26 2.5 Produit de deux matrices Définition Soit A une matrice de taille n p et B une matrice de taille p m telles que : 11 a 12... a 1p b... b 11 12 1m a A=(a 21 a 22... a 2p b et B =(b 21 b 22... b 2m............ a n1 a n2... a np)............ b p1 b p2... b pm) Le produit de ces deux matrices est la matrice de taille n m, notée C=A B et le premier coefficient est obtenu en faisant le produit de la première ligne de A par la première colonne de B, le deuxième coefficient est obtenu en faisant le produit de la première ligne de A par la deuxième colonne de B, et ainsi de suite :
Moyen mnémotechnique Exemple
Remarques Propriété Soit A, B et C trois matrices telles que les sommes et les produits sont définis ci-dessous sont définis : 1) A (B C) = (A B) C 2) A (B + C) = A B + A C 3) ( A + B) C = A C + B C III Matrice carrée 3.1 Matrice unité Définition Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale. Exemples D =(2 0 0 0 0 0 0 0 1) est une matrice diagonale. A=( diagonale. 4 0 9 0 1 0 n 'est pas une matrice 6 0 3) Définition Soit n un entier naturel tel que n 2. La matrice diagonale d'ordre n (n lignes et n colonnes) dont tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est appelée matrice unité (ou identité) d'ordre n, et on la note I n.
=( Exemples I 1 0 1) 0 0 2 I 0 3 =(1 0 1 0 0 0 1) I 0 0 0 0 1 0 0 4 =(1 1) 0 0 1 0 0 0 0 Propriété Soit A une matrice carrée d'ordre n. Alors, on a : A I n =I n A, où I n est la matrice unité d'ordre n. Exemple 3.2 Puissances d'une matrice carrée Définition Soit A une matrice carrée d'ordre n. La puissance p-ième de la matrice A est la matrice carrée d'ordre n obtenue en effectuant le produit de p matrices égales à A. A p = A A A... A Par convention A 0 = I n Exemple
Méthode Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels
3.3 Inverse d'une matrice carrée Définition Une matrice carrée A d'ordre n est une matrice inversible s'il existe une matrice carrée B d'ordre n telle que A B=B A= I n. La matrice B, notée A 1 est appelée la matrice inverse de A. Toutes les matrices ne sont pas inversibles A=( Exemple Soit 3 1 ) 2 1 et B = ( 0,2 0,2 0,4 0,6). A et B sont inversibles. Propriété La matrice A=( a b ) c d est inversible ssi ad bc = 0 Exemple et méthode Propriété Soit A une matrice carré inversible de taille n et M, N deux matrices carées ou colonnes de taille n. On a : A M =N ssi M =A 1 N Démonstration
Méthode Résoudre une équation matricielle 3.4 Applications au système linéaire Exemple
Exemple et méthode