Correction Devoir Surveillé 3 TS spé maths Maths Maths TS spé maths Exercice 1. (2,5 points) 1. Compléter sur le présent sujet cette table des restes dans la congruence modulo 4. x 0 1 2 3 x 2 0 1 (4 ) 0 (9 ) 1 2. Prouver que l équation 7x 2 4y 2 = 1, d inconnues x et y entiers relatifs, n a pas de solution. Soit x et y deux entiers relatifs solutions de 7x 2 4y 2 = 1. On en déduit que 7x 2 1 [4] ie 3x 2 1 [4]. Or d après la question précédente, quelque soit x Z, x 2 0 [4] ou x 2 1 [4], ainsi 3x 2 0 [4] ou 3x 2 3 [4]. Par conséquent 3x 2 1 [4] est impossible. Conclusion : L équation 7x 2 4y 2 = 1, d inconnues x et y entiers relatifs, n a pas de solution. 3. Résoudre dans Z l équation (x + 3) 2 1 [4]. En utilisant la question 1., on a l équivalence suivante : y 2 1 [4] [y 1 [4] ou y 3 [4]]. Ainsi : (x + 3) 2 1 [4] x + 3 1 [4] ou x + 3 3 [4] x 2 [4] ou x 0 [4] x 2 [4] ou x 0 [4] Donc S = {4m, m Z} {4m + 2, m Z} = {2k, k Z} : l ensemble des nombres pairs. Exercice 2. Soit A, P, R et D quatre matrices carrées d ordre n (n un entier naturel non nul fixé) telles que : RP = I n où I n est la matrice identité d ordre n ; D est une matrice diagonale ; A = RDP. (2 points) 1. Que peut-on en déduire sur le lien entre les matrices P et R? Que vaut le produit P R? RP = I n donc la matrice R est l inverse de la matrice P et réciproquement : P est l inverse de R. Ainsi P R = I n. 2. Montrer par récurrence que, k N, A k = RD k P. Pour k N, notons la propriété P(k) A k = RD k P. Montrons par récurrence que, k N, P(k) est vraie. Initialisation : Pour n = 0, A 0 = I 2 et RD 0 P = RI 2 P = RP = I 2 donc A 0 = RD 0 P, donc P(0) est vraie. Hérédité : Soit k N. Supposons que P(k) soit vraie ie que A k = RD k P. Montrons que P(k + 1) est vraie ie que A k+1 = RD k+1 P. On se rappelle que A = RDP d après l énoncé. Roussot 1/ 5 2016-2017
A k+1 = A k A = RD k P RDP = RD k (P R) DP = RD k I n DP = RD k DP = RD k+1 P La propriété est donc héréditaire. Conclusion : On a montré par récurrence que k N, A k = RD k P. Exercice 3. Démontrer que, pour tout n N, 1. 7 2n + 3 est divisible par 4 ; Soit n N. 7 2 = 49 = 4 12 + 1 7 2 1 [4] (7 2 ) n 1 n [4] 7 2n 1 [4] 7 2n + 3 4 [4] 7 2n + 3 0 [4] Donc 7 2n + 3 est divisible par 4. (3,5 points) 2. 2 n+2 + 3 2n+1 est divisible par 7. Pour n N, notons la propriété Q(n) 2 n+2 + 3 2n+1 0 [7]. Montrons par récurrence que, n N, Q(n) est vraie. Initialisation : Pour n = 0, 2 0+2 + 3 2 0+1 4 + 3 7 0 [7], donc Q(0) est vraie. Hérédité : Soit n N. Supposons que Q(n) soit vraie ie que 2 n+2 + 3 2n+1 0 [7]. Montrons que Q(n + 1) est vraie ie que 2 (n+1)+2 + 3 2(n+1)+1 0 [7]. On note d abord que 2 n+2 + 3 2n+1 0 [7] implique que 3 2n+1 2 n+2 [7] 2 (n+1)+2 + 3 2(n+1)+1 2 n+3 + 3 2n+3 [7] 2 2 n+2 + 3 2 3 2n+1 [7] 2 2 n+2 + 3 2 ( 2 n+2 ) [7] 2 2 n+2 9 2 n+2 [7] (2 9) 2 n+2 [7] 7 2 n+2 [7] 0 [7] La propriété est donc héréditaire. Conclusion : On a montré par récurrence que n N, 2 n+2 + 3 2n+1 0 [7] ie 2 n+2 + 3 2n+1 est divisible par 7. Autre rédaction : (sans récurrence) Soit n N. Roussot 2/ 5 2016-2017
3 2 = 9 = 7 + 2 3 2 2 [7] (3 2 ) n 2 n [7] 3 2n 2 n [7] 3 3 2n 3 2 n [7] 3 2n+1 3 2 n [7] 2 2 2 n + 3 2n+1 2 2 2 n + 3 2 n [7] 2 n+2 + 3 2n+1 4 2 n + 3 2 n [7] 2 n+2 + 3 2n+1 7 2 n [7] 2 n+2 + 3 2n+1 0 [7] Donc 2 n+2 + 3 2n+1 est divisible par 7. Exercice 4. Méthode de Cayley-Hamilton (4 points) Dans cet exercice, on n utilisera pas de résultats sur les inverses des matrices carrées d ordre 2, l objectif de cet exercice étant de les démontrer, mais on pourra évidemment utiliser les résultats/définitions sur les matrices en général. Considérons une matrice carré d ordre 2 quelconque M = a où a, b, c, d R. d 1. Prouver que M 2 = (a + d) M (ad bc) I 2 où I 2 est la matrice identité d ordre 2. D une part : M 2 = a D autre part : a d a 2 + bc d = a + dc ab + bd cb + d 2. (a + d) M (ad bc) I 2 = (a + d) a Par conséquent M 2 = (a + d) M (ad bc) I 2 = a 2 + da ac + dc = a 2 + bc ac + dc 1 0 d (ad bc) 0 1 ab + d ad + d 2 ad bc 0 0 ad bc ab + d d 2 + bc 2. En déduire que si ad bc 0 alors M est inversible et déterminer alors l écriture de son inverse en fonction de a, b, c et d. M 2 = (a + d) M (ad bc) I 2 (ad bc) I 2 = (a + d) M M 2 (ad bc) I 2 = ((a + d) I 2 M) M 1 I 2 = ad bc ((a + d) I 2 M) M Par conséquente M est inversible d inverse noté M 1. M 1 1 = ad bc ((a + d) I 1 2 M) = ad bc (a + d) 1 0 0 1 a d = 1 a + d 0 ad bc 0 a + d a M 1 = 1 d ad bc c 3. (Réciproque) On se place dans le cas où ad bc = 0. Supposons que M est inversible d inverse notée M 1. Déterminer alors M en fonction de I 2, puis en déduire M explicitement, et conclure. M 2 = (a + d) M (ad bc) I 2 M 2 = (a + d) M M 2 M 1 = (a + d) MM 1 M = (a + d) I 2 Par conséquent a d = (a + d) 1 0 0 1 ie a d = a + d 0 0 a + d. a = a + d 0 = d b = 0 b = 0 Ainsi c = 0 c = 0 d = a + d 0 = a d Roussot 3/ 5 2016-2017
Finalement M = 0 0 0 0. Mais cela contredit le fait que M soit inversible (car pour toute matrice carrée A d ordre 2, AO 2 = O 2 I 2 ), par conséquent M n est pas inversible. Conclusion : si ad bc = 0 alors M n est pas inversible. Remarque : On vient de démontrer dans cet exercice que : M est inversible si, et seulement si ad bc = 0. Et dans ce cas-là, M 1 1 d = ad bc c Exercice 5. (8 points) Partie A On considère les matrices M de la forme M = a où a et b sont des entiers relatifs. Le nombre 3a 5b est appelé le déterminant 5 3 de M. On le note det(m). Ainsi det(m) = 3a 5b. 1 3 1. Dans cette question on suppose que det(m) 0 et on pose N = det(m) 5 Justifier que N est l inverse de M par un calcul matriciel détaillé. 1 3 a NM = det(m) 5 a 5 3 = 1 3a 5b 3a 5b 5a + 5a donc l inverse de la matrice M. 2. On considère l équation (E) det(m) = 3 d inconnu le couple d entiers relatifs (a ; b). a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E). 3 6 5 3 = 18 15 = 3 : (6 ; 3) est une solution de (E). 3b 3b 5b + 3a = 1 0 0 1 = I 2 : la matrice N est b. Montrer que le couple d entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement si 3(a 6) = 5(b 3). 3(a 6) = 5(b 3) 3a 18 = 5b 15 3a 5b = 15 + 18 det(m) = 3 (a ; b) est solution de (E) c. Montrer que, pour tout k Z, le couple (6 + 5k ; 3 + 3k) est solution de l équation (E). Soit k Z. 3 ((6 + 5k) 6) = 3 5k = 15k 3 ((6 + 5k) 6) = 5 ((3 + 3k) 3) 5 ((3 + 3k) 3) = 5 3k = 15k Donc, d après la question précédente, (6 + 5k ; 3 + 3k) est solution de l équation (E). Partie B 1. On pose Q = 6 3. En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q. 5 3 Ici a = 6 et b = 3. En utilisant le résultat de la question 1. de la partie A, sachant que det(q) = 3 6 5 3 = 3, on a que Q est inversible d inverse Q 1 = 1 3 3 3 5 6 = 1 1. 5 3 2 2. Codage avec la matrice Q : Pour coder un mot de deux lettres à l aide de la matrice Q = 6 3 on utilise la procédure 5 3 ci-après : Étape 1 : On associe au mot la matrice X = x 1 x 2 où x 1 est l entier correspondant à la première lettre du mot et x 2 l entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y = y 1 telle que Y = QX. y 2 Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R = r 1 r 2 telle que r 1 est le reste de la division euclidienne de y 1 par 26 et r 2 est le reste de la division euclidienne de y 2 par 26. Roussot 4/ 5 2016-2017
Étape 4 : À la matrice R = r 1 on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l étape 1. r 2 Coder le mot DO. Exemple : JE X = 9 4 Y = 66 57 R = 14 OF : Le mot JE est codé en le mot OF. 5 DO X = 3 14 Y = QX = 6 3 3 5 3 14 = 6 3 + 3 14 5 3 + 3 14 = 60 57 = 2 26 + 8 2 26 + 5 R = 8 5 IF : Le mot DO est codé en le mot IF. 3. Procédure de décodage : On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX. a. Démontrer que 3X = 3Q 1 3x 1 3r 1 3r 2 [26] Y, puis que 3x 2 5r 1 + 6r 2 [26] Y = QX Q 1 Y = Q 1 QX Q 1 Y = I 2 X Q 1 Y = X 3Q 1 Y = 3X Ainsi : 3X = 3x 1 3x 2 3x 1 = 3y 1 3y 2 D où 3x 2 = 5y 1 + 6y 2 Or y 1 r 1 [26] et y 2 r 2 [26]. Donc et Q 1 = 1 3 3 3 5 6 3Q 1 Y = 3 3 y 1 5 6 y 2 = 3y 1 3y 2 5y 1 + 6y 2 3x 1 3y 1 3y 2 3r 1 3r 2 [26] 3x 2 5y 1 + 6y 2 5r 1 + 6r 2 [26]. b. En remarquant que 9 3 1 [26], montrer que x 1 r 1 r 2 [26] x 2 7r 1 + 2r 2 [26]. 9 3 = 27 = 26 + 1 donc 9 3 27 1 [26], on remarque aussi que 5 9 = 45 = 2 26 + 7 45 7 [26] et 6 9 = 54 = 2 26 + 2 54 2 [26]. 3x 1 3r 1 3r 2 [26] D après la question précédente :, d où, en multipliant membre à membre 3x 2 5r 1 + 6r 2 [26] par 9 : c. Décoder le mot SG. 27x 1 27r 1 27r 2 [26] 27x 2 45y 1 + 54y 2 5r 1 + 6r 2 [26] ie x 1 r 1 r 2 [26] x 2 7r 1 + 2r 2 [26]. On va utiliser le résultat de la question précédente, permettant de passer de r 1 à r 2 à x 1 et x 2 qui sont respectivement les restes de la division euclidienne de r 1 r 2 et de 7r 1 + 2r 2 par 26 : r 1 = 18 r 1 r 2 = 18 6 = 12 SG r 2 = 6 7r 1 + 2r 2 = 7 18 + 2 6 = 138 = 5 26 + 8 x 1 = 12 MI. x 2 = 8 Le mot SG est codé en le mot MI. Exercice 1. 2, 5 = 0, 5 + 1 + 1 Exercice 2. 2 = 0, 5 + 1, 5 Exercice 3. 3, 5 = 1 + 2, 5 Barème Exercice 4. 4 = 1 + 1, 5 + 1, 5 Exercice 5. 8 = [1+(0, 5+0, 75+0, 5)]+[0, 5+ 1 + (1, 75 + 1 + 1)] E nde nd Roussot 5/ 5 2016-2017