Parallèles -perpendiculaires I) Droites sécantes concourantes Définitions : On dit que : 1) 2 droites sont sécantes lorsqu elles ont un seul point en commun A attention : il faut parfois prolonger les droites pour voir leur intersection Vocabulaire : les droites et sont sécantes ou se coupent en A A s appelle le point d intersection des droites et 2) Si on a plus de 2 droites, 3 ou plus quand ces 3 droites ont un point en commun, on dit quelles sont concourantes (d1) II) Droites : parallèles et perpendiculaires 1 ) Définitions 1) 2 droites sont perpendiculaires lorsqu elles se coupent en formant un angle droit Notation : Sur un dessin un angle droit s indique à l aide d un petit carré En notation mathématiques : construction à savoir p 146
2) 2 droites sont parallèles lorsqu elles n ont aucun point en commun 3) 2 droites sont confondues lorsqu elles ont au moins deux points en commun (en fait elles ont tous leurs points en commun) construction à faire (photocopier fichier word «construction parallèles-perpendiculaires» ) 2 ) Propriétés Propriété 1: perpendiculaires et parallèles 1) Si deux droites (d2) et (d3) sont perpendiculaires à une même droite (d1) alors les droites (d2) et (d3) sont parallèles utile pour : prouver que deux droites sont parallèles (d1) (d2) (d3) 2) Si deux droites (d1) et (d2) sont parallèles et si une droite (d3) est perpendiculaire à (d1) alors la droite (d3) est perpendiculaire à (d1) utile pour : prouver que deux droites sont perpendiculaires Propriété 2: parallèles Si deux droites (d1) et (d2) sont parallèles et si une droite (d3) est parallèle à (d1) alors la droite (d3) est parallèle à (d1) (d1) (d3) (d2) connu : (d1) // (d2) (d1) // (d3) conclusion : (d2)//(d3) Pour prouver que deux droites sont parallèles : on utilise la propriété 1 ou 2, suivant ce que l on connaît
III) Polygones particuliers 1) Triangle rectangle Définition 1: un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés perpendiculaires (ou un angle droit) A hypoténuse B C Vocabulaire le triangle ABC est rectangle en B [BC] s appelle l hypoténuse du triangle ABC, c est le côté opposé à l angle droit : On ne peut parler d hypoténuse que si l on sait que le triangle est rectangle EXEMPLE : Construire un triangle ABC rectangle en B tel que : AB = 7cm AC = 8cm Programme de construction 1) Tracer un segment [AB] de 7cm de longueur 2) Tracer une droite perpendiculaire à [AB] passant par B 3) Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 8 cm interceptant la droite que l on vient de tracer 4) Nommer C le point d intersection 5) Tracer le segment [AC] 6) Coder la figure Définition 2: un triangle rectangle isocèle est un triangle qui a un angle droit et deux côtés de même longueur A ABC est rectangle isocèle en B Les deux côtés de même longueurs sont B C les côtés de l angle droit
2) Rectangle Définition : un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits Propriété : angle et rectangle Si un quadrilatère a 3 angles droits alors le quatrième est droit, c est donc un rectangle Démo : 125-126 livre Utile : Pour démontrer que l on a un rectangle on n a besoin de trouver que 3 angles droits et non 4 3) Carré Définition : un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur ou : un rectangle et un losange IV) Perpendiculaires particulières 1) Médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est la droite perpendicu- laire à ce segment passant par son milieu Construction Tracer la médiatrice du segment [MN] mesurant 6,cm à l aide de la réquerre programme de construction : 1. tracer le milieu du segment [MN], le nommer I 2. tracer la perpendiculaire au segment [MN] passant par I 3. coder la figure
2) Hauteurs dans un triangle Définition : La hauteur issue d un sommet ou relative à un côté d un triangle est la droite perpendiculaire au côté opposé à ce sommet et passant par ce sommet Le point d intersection entre la hauteur et le côté est appelé pied de le hauteur Exemple : Dans le triangle ABC, il existe 3 hauteurs 1) la hauteur issue de A, passe par A et est perpendiculaire à [BC] 2) La hauteur relative à [AB], passe par C et est perpendiculaire à [AB] 3) La hauteur issue de B, passe par B et est perpendiculaire à [AC] 3) Tangente à un cercle Définition : La tangente au cercle C (I ; r) en un point A est la droite perpendiculaire à (AI) passant par A Avec les notations mathématiques : est la tangente au cercle C (I ; r) signifie : A C A ( d ) ( d ) ( OA)
Exercice 1 Dans le triangle ABC, on a tracé la hauteur issue de A : c'est la droite passant par le sommet A et perpendiculaire au côté opposé [BC]. H est le pied de la hauteur issue de A Reproduire le triangle encadré ci-dessus, puis tracer les hauteurs issues de B et de C. Exercices Exercice 2 I est le pied de la perpendiculaire à la droite d passant par le point M. 1 Marquer trois points A, B et C non alignés, puis les points : M, pied de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C N, pied de la perpendiculaire à la droite (AC) passant par le point M O, pied de la perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point N. 2 Placer le point P, pied de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point O.Préciser la nature de OCMP. Exercice 3 1 ) Refaire en plus grand la figure ci-dessous 2 ) Effectuer les tracés suivants Tracer la droite Perpendiculaire à la droite Passant par le point d1 M d2 (e) M d3 N d4 (e) N Exercice 4 Sûr ou pas si sûr? 1 ) Les informations codées sur la figure ci-dessous permettent-elles d'affirmer que : a) (FE) // (GD)? b) (GF) // (BC) '? 2 ) On appelle (e) la droite parallèle à la droite (BC) passant par A. Est-il vrai que (GD) (e)? (FE) (e)? (e) (GF)? Exercice 4 Parallélogramme 1 ) Soit ABCD un parallélogramme (quadrilatère avec ses côtés opposés parallèles) 3 ) Citer en justifiant les droites parallèles 4 ) Citer en justifiant les droites perpendiculaires 2 a) Tracer la perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point C. Elle coupe la droite (AD) en M. Marquer le point M. b) Préciser, en justifiant, la nature du triangle DMC.