GYMNASE DU BUGNON - LAUSANNE Mai 2008 EXAMEN D ADMISSION DE L ECOLE DE MATURITE 1 ère ANNEE MATHEMATIQUES Date : mai 2008 Durée : 3h Matériel mis à disposition par le gymnase : - Matériel apporté par les élèves : Calculatrice non programmable et sans écran graphique. Formulaire officiel (non annoté) Consignes : 1. Dix problèmes sont proposés aux candidats. Le poids de chaque problème est indiqué dans la donnée. 2. Le candidat rédige les solutions et, si nécessaire, les figures d étude sur les feuilles quadrillées mises à sa disposition. A l exception du problème 7 et de la construction du problème 9, il ne sera pas tenu compte des réponses et raisonnements figurant sur les feuilles d énoncé et sur les feuilles de brouillon. 3. Le travail est effectué au stylo ou à la plume. Les constructions géométriques sont faites au crayon, à la règle et au compas. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon. Les feuilles d énoncé et toutes les autres feuilles doivent être rendues. 4. Les calculs et raisonnements doivent être détaillés. La réponse est mise en évidence à la fin du problème. 5. Les problèmes sont séparés par un trait horizontal. L ordre n a pas d importance. Si la présentation est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et vaudra 0 point. Nom et prénom du candidat :... Page 1 sur 6 Mathématiques
Problème 1 : (8 points) Factoriser complètement : a) 16 0, 25x 2 b) 3x 2 24x + 48 c) x 2 6xy + 9y 2 d) ab(a b) (a 2 b 2 ) + a b Problème 2 : (4 points) a) Si 2 euros valent 3,20 francs, à combien d euros correspondent 8 francs? b) On a 12 = 3. Déterminer y. y 5 c) Exprimer une vitesse de 5 [m/s] en [km/h]. d) On enlève 30% d un nombre et on trouve 56. Quel est ce nombre? Problème 3 : (8 points) a) Si x = 1 et y = 2 2x y, calculer 4 3 x+3y 2 b) Effectuer et réduire : 2(x 2 + 3x 4) (5x 3 2x 2 ) c) Effectuer et réduire : (2x 5y) 2 d) Effectuer et réduire : (x 2 x + 1)(x 1) Problème 4 : (8 points) Résoudre les équations suivantes dans R et noter l ensemble des solutions S. a) 2x + 5 = 1 2x b) x(2x 1) = 0 c) x 2 + 5x = 9 x d) (4x 2 1)(x 2 5x + 6) = 0 Problème 5 : (4 points) Un propriétaire désire réduire ses frais d électricité en changeant toutes ses ampoules classiques contre des modèles économiques à 10W et 15W. Le prix des ampoules 10W est de 7,90 CHF et celui des ampoules 15W de 12,90 CHF. Le propriétaire achète en tout 24 ampoules pour un montant de 234,60 CHF. Combien a-t-il acheté d ampoules de chaque sorte? Mise en équation obligatoire. Page 2 sur 6 Mathématiques
Problème 6 : (2 points) Résoudre l inéquation suivante dans R en notant S l ensemble des solutions. 3x + 7 3 (6 x) 2 Problème 7 : (4 points) Dans le système d axes ci-dessous, représenter les graphes des fonctions f(x) = 3x 2 et g(x) = 2 3 x + 1. 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Page 3 sur 6 Mathématiques
Problème 8 : (4 points) Donner l expression algébrique des fonctions h et k dont les graphes sont donnés ci-dessous : 20 k 15 10 5 h 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 Page 4 sur 6 Mathématiques
Problème 9 : (10 points) Un parallélogramme ABCD a les mesures suivantes : AB = 8 cm, BC = 6 cm ; sa hauteur issue de B et perpendiculaire au côté DC mesure 4, 8 cm. Construire ABCD à la règle et au compas ci-dessous en laissant visibles tous les traits de construction (la qualité et la précision comptent) : Calculer ensuite les éléments suivants : a) la mesure de sa hauteur issue de B et perpendiculaire au côté AD, b) la mesure de ses angles en A et B, c) la mesure de ses diagonales, Justifier votre raisonnement et vos calculs. Précision à 0, 01 près. Page 5 sur 6 Mathématiques
Problème 10 : (8 points) Les points A, B, C et D sont sur un même cercle γ de centre O. AB est un diamètre et M est l intersection entre AB et CD. On sait encore que AO = 5 cm, DB = 2 cm et ÂOC = 60 o. γ D 2 B M O 5 60 o A C a) Justifier le fait que le triangle AOC est équilatéral. b) Justifier le fait que l angle MDB = 60 o. c) Justifier le fait que les triangles AMC et MDB sont semblables. d) Calculer le rapport de similitude des triangles AMC et MDB et prouver que AM MB = CM MD. Page 6 sur 6 Mathématiques