I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan

1 ère S - Chapitre 12 : PRODUIT SCALAIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1. Vocabulaire Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u( x y) ( et v x ' y '). Le produit scalaire de u par v, noté u v est le nombre réel défini par : u v = x x ' + y y '. Exemple : Soient u( 3 2) ( 1) et v 4 alors u v= 3 4 + 2 ( 1)= 10 2 =8. Propriétés : Pour tous vecteurs u et v du plan, on a : v u= u v (le produit scalaire est symétrique). Pour tous vecteurs u, v et w du plan et pour tout réel α, on a : Démonstrations : triviales (voir manuel p.312) u ( α v )= α ( u v ) et u ( v + w)= u v+ u w. Exemple : Avec les vecteurs u et v précédents et w( 5 3 ) : u (2 v )= 2 u v= 2 8=16 et w u+ w v= w ( u+ v )= 5 (3+ 4)+3 (2 1)= 63. Conséquences : en combinant les deux propriétés précédentes, on obtient aussi : (α u ) v = α ( u v ) et ( u+ v ) w = u w + v w. Soit u un vecteur. Le nombre u u est appelé le carré scalaire de u et est noté u 2. Exemple : soit u( 3 2) alors u2 = u u= x 2 + y 2 = 3 2 +2 2 = 9+4= 13. Pour tous vecteurs u et v du plan, on a les égalités remarquables suivantes: ( u+ v ) 2 = u 2 + 2 u v+ v 2 ; ( u v ) 2 = u 2 2 u v+ v 2 ; ( u+ v ) ( u v )= u 2 v 2. 2. Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs AB et CD sont orthogonaux si, et seulement si : soit l'un des deux vecteurs est nul ; soit les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. Si deux vecteurs u et v sont orthogonaux, alors on le note 2 x +3 y 7= 0 n ( a b) ax + by +c =0. SGT du LP Léo Lagrange de Bully-Les-Mines (62) Page 1/5

Exemple : Soient A(5 ; 2), B(-1 ; -2) et C(-3 ; 1). Graphiquement, on peut émettre une conjecture : il semble que ABC soit rectangle en B. On s'intéresse donc aux vecteurs BA et BC : BA( x x A B =5 ( 1)=5+1= 6 y A y B = 2 ( 2 )=2 + 2 = 4) BA( donc 6 4) ; y C y B = 1 ( 2 )= 1+ 2= 3 ) donc BC ( 2 BC ( x x C B = 3 ( 1)= 3+ 1= 2 3 ) ; BA BC = xx ' + yy ' =6 ( 2)+ 4 3= 12+12= 0 donc BA BC. Méthode : choisir un repère pour démontrer une orthogonalité (voir ex.3 p.313 du manuel) 3. Équations Pour tout le paragraphe, le plan est muni d'un repère orthonormé. Droites Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Soient a, b et c des réels tels que (a ; b) (0 ; 0). La droite d'équation ax+ by+ c= 0 admet pour vecteur normal n( a b). Toute droite ayant pour vecteur normal n( a b) équation de la forme ax+ by+ c= 0. admet une Exemple : la droite d d'équation 2 x +3 y 7 = 0 admet pour vecteur normal n( 2 3). Démonstration : La droite d'équation ax+by + c=0 a pour vecteur directeur u( b a ) ( et pour n a, u n= ba+ ab=0. b) Réciproquement : Soit une droite d admettant pour vecteur normal n( a b), A ( x A ; y A ) un point de d. Un point M ( x ; y ) appartient à d si, et seulement si, AM n=0 avec AM ( x x A y y D'où ( x x A ) (a)+( y y A ) b=0 ax+ by a x A b x B =0 ce qui est bien A) de la forme a x+ b y +c =0 avec c= a x A b x B. Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un vecteur normal (voir ex.4 p.315 du manuel) Cercles Soit Γ le cercle de centre Ω (a ; b) et de rayon r. Un point M ( x ; y ) appartient au cercle Γ si, et seulement si : ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2. On dit que ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 est une équation du cercle Γ. Démonstration : Par définition, un point M ( x ; y ) appartient au cercle Γ Ω M = r Ω M 2 = r 2 avec Ω M 2 =( x a ) 2 + ( y b) 2, d'où l'équation du cercle Γ : ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2. SGT du LP Léo Lagrange de Bully-Les-Mines (62) Page 2/5

Exemple : Le cercle de Ω (3 ; 2) et de rayon r = 4 admet pour équation ( x 3) 2 + ( y+ 2) 2 = 4 2. Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si, et seulement si, MA. MB=0. Démonstration : Il s'agit de reprendre une propriété caractéristique d'un triangle inscrit dans un cercle, vue en classe de 4ème. M est un point du cercle de Diamètre [AB] équivaut à M =A ou M = B ou AMB est rectangle en M, ce qui équivaut à MA = 0 ou MB= 0 ou MA MB. Ce qui équivaut donc à MA MB = 0. II. Norme d'un vecteur et applications Soit u un vecteur et A et B deux points tels que u= AB. On appelle norme de u le nombre réel positif ou nul, noté u, défini par u = AB. Dans un repère orthonormé, si u( x y) alors u = x2 + y 2. Pour tout vecteur u, u 2 = u 2. En particulier AB 2 = AB 2 = AB 2. Pour tout vecteur u et tout réel k, k u = k u. Démonstration : Pour M ( x ; y ), u= OM et u = OM = x 2 + y 2. Soient u et v deux vecteurs colinéaires non nuls. Si u et v sont de même sens, alors u v = u v ; si u et v sont de sens opposés, alors u v = u v. (Démonstration : ex.58 p.329) Si u et v sont deux vecteurs du plan, alors u v= 1 2 [ u + v 2 u 2 u 2 ]. Démonstration : u + v 2 = u 2 + 2 u v+ v 2 2 u v= u + v 2 u 2 v 2. Théorème : De la médiane Soient A et B deux points du plan et I le milieu de [AB]. Pour tout point M du plan, on a : MA 2 + MB 2 = 2 MI 2 + AB 2 2. Démonstration : MA 2 + MB 2 = MA 2 + MB 2 = MA 2 + MB 2 En appliquant la relation de Chasles, puis en développant : MA 2 + MB 2 = ( MI + IA) 2 +( MI + IB) 2 = MI 2 + 2 MI IA+ IA 2 + MI 2 + 2 MI IB+ IB 2 = 2 MI 2 + 2 MI ( IA+ IB )+ IA 2 + IB 2 avec I milieu de [AB] donc IA+ IB= 0 = 2 MI 2 + ( AB 2 ) 2 + ( AB 2 ) 2 et IA= IB= AB 2 Donc MA 2 + MB 2 = 2 MI 2 + AB 2 2. SGT du LP Léo Lagrange de Bully-Les-Mines (62) Page 3/5

III.Autres expressions du produit scalaire 1. Projeté orthogonal Définition et propriété : Soient A, B et C trois points du plan avec A B et A C. On appelle projeté orthogonal de C sur (AB) le point d'intersection de (AB) avec la droite perpendiculaire à (AB) et passant par C. Si H appartient à la demi-droite [AB) : Si H n'appartient pas à la demi-droite [AB) : alors : AB AC = AB AH = AB AH. alors : AB AC = AB AH = AB AH. Démonstration : AB AC = AB ( AH + HC )= AB AH + AB HC avec AB HC = 0 car (AB) (HC). Donc AB AC = AB AH où AB et AH sont colinéaires. Cas général : du cas particulier précédent, on peut en déduire que : si A B, AB CD= AB C ' D ' où C' et D' sont les projetés orthogonaux de C et D sur (AB). Dans ce cas, on dit que C ' D ' est le projeté orthogonal de CD sur (AB). 2. Avec un cosinus Théorème : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Alors : u v = u v cos ( u, v ). Soient A, B et C trois points distincts : AB AC = AB AC cos BAC. Exemple : Si AB= 6 cm, AC = 4 cm et BAC =60, alors AB AC =6 4 cos (60 )=24 1 2 =12. Application : Calculer un angle à l'aide du produit scalaire Soient les points A(2 ; -1), B(6 ; 2) et C(1 ; 3) dans un repère orthonormé. On peut calculer l'angle ( AB, AC ) : AB ( 4 3) et AC ( 1 4 ) donc AB= 42 + 3 2 = 25=5 et AC = ( 1) 2 + 4 2 = 17 AB AC = xx ' + yy ' = 4 ( 1)+3 4= 4+12=8 et AB AC = AB AC cos ( AB, AC ) 8 =5 17 cos ( AB, AC ) cos ( AB, AC ) = 8 5 17 À la calculatrice, ( AB, AC ) =cos ( 1 8 5 17) ( AB, AC ) 67,2. 3. Formules d'addition des cosinus et sinus Ces formules ont déjà été énoncés et en partie démontrées au chapitre «Trigonométrie». SGT du LP Léo Lagrange de Bully-Les-Mines (62) Page 4/5

cos (a b)= cos (a ) cos (b )+sin (a ) sin (b) (1) cos (a + b)= cos (a ) cos (b ) sin (a ) sin (b) (2) sin (a b)=sin (a) cos (b) cos (a ) sin (b ) (3) sin (a + b)=sin (a) cos (b)+cos (a ) sin (b ) (4) Démonstration de la relation (1) : Soit (O ; i, j ) un repère orthonormé. Soient A et B deux points du cercle trigonométrique tes que ( i, OA)= a (2 π ) et ( i, OB) =b (2 π). On va calculer le produit scalaire OA OB de deux façons différentes : Avec les coordonnées : Par définition, on A (cos (a ), sin (a )) et B (cos (b), sin (b )) D'où OA OB = xx ' + yy ' = cos (a) cos (b )+sin (a) sin (b). Avec normes et cosinus : OA OB =OA OB cos ( OA, OB )=cos ( OA, OB) car OA= OB=1. De plus ( OA, OB) =b a donc OA OB =cos (b a)= cos (a b ) car cos ( x)= cos ( x). Donc on obtient cos (a b)= cos (a ) cos (b )+sin (a ) sin (b) ; 4. Côtés et angles d'un triangle quelconque Dans un triangle ABC, on adopte les notations suivantes : Théorème : Dit d'al-kashi : Â= BAC, B = ÂBC, Ĉ= ÂCB, a= BC, b = AC et c= AB. Pour tout triangle ABC, on a : a 2 = b 2 +c 2 2 b c cos  b 2 =a 2 +c 2 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos Ĉ Démonstration : a 2 = BC 2 = BC 2 =( BA+ AC ) 2 = BA 2 + 2 BA AC + AC 2 = AC 2 + BA 2 2 AB AC Comme AB AC = AB AC cos BAC =c b cos Â, on en déduit que a 2 = b 2 +c 2 2 b c cos Â. Ce théorème est aussi appelé Pythagore généralisé. Il permet de : calculer une longueur connaissant deux longueurs et l'angle adjacent ; calculer un angle connaissant les trois longueurs. Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB= 4 cm, AC = 5 cm et BC =6 cm. Avec la formule d'al-kashi, on peut désormais calculer les trois angles de ce triangle. Pour l'angle  : a 2 = b 2 +c 2 2 b c cos  62 = 5 2 +4 2 2 5 4 cos  cos  = 62 5 2 4 2 = 5 40 40 = 5 40 = 1 8 d'où Â= cos 1 ( 1 8) et à la calculatrice, on obtient  82,8. Et on peut faire de même pour les deux autres angles du triangle. SGT du LP Léo Lagrange de Bully-Les-Mines (62) Page 5/5