TSTI D CH VII : Fonction logarithm népérin A la découvrt d un nouvll fonction d référnc Ls calculatrics possèdnt un touch qui corrspond à un fonction applé logarithm népérin, t noté L imag du rél par la fonction s not t s lit «logarithm népérin d» Pour calculr l imag du rél par la fonction on tap ENTER La calculatric affich 0 On écrit : 0 Calcul d imags, courb rprésntativ a) Complétr l tablau ci-dssous : arrondir ls valurs à 0,5 3 0 00 b) Courb rprésntativ 0 Sur l écran d la calculatric on obtint la courb suivant rprésntativ d la fonction Par lctur graphiqu, conjcturr ls résultats suivants : L nsmbl d définition d la fonction logarithm st : L sns d variation d la fonction logarithm : Ls limits au borns d l nsmbl d définition d la fonction logarithm : L nsmbl d solution d l équation L sign d la fonction logarithm : Sign d Lin avc la fonction ponntill 0 st : a) Complétr l tablau ci-dssous : 5 Conjcturr à l aid du tablau précédnt la valur d Pour tout rél, : b) Complétr, à l aid d la calculatric ls égalités suivants : ; 0,5 ; Conjcturr la valur d 8 ; 5 pour tout rél strictmnt positif : TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin
I Définition, prmièrs propriétés ) Définition La fonction ponntill st strictmnt croissant sur Pour tout rél k d 0;, l équation Définitions k admt un uniqu solution dans () On appll logarithm népérin du rél strictmnt positif k, l uniqu solution d l équation a d inconnu a, k k On not ctt solution () La fonction logarithm népérin, noté, st la fonction défini sur 0; qui à tout rél strictmnt positif associ l uniqu rél noté y t 0 équivaut à dont l ponntill st y Empls : 0 car 0 ; car Propriété : Ls courbs rprésntativs ds fonctions t p sont symétriqus par rapport à la droit d équation y ) Conséquncs Propriétés () La fonction st défini sur () Pour tout rél 0, (3) Pour tout rél, 0; 3 Empls : 3 t 3 3 Ercic : Précisr la validité d un prssion Simplifir ds écriturs a) Pour qulls valurs d ls prssions suivants ont-lls un sns? ; ; b) Ecrir l plus simplmnt possibl : ; ; 3 8 ; 3 3 Ercic Résoudr ls équations suivants : 5 ; 3 0 ; 3 ; 3 0 TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin
3 ) Sns d variation d la fonction Propriété La fonction st strictmnt croissant sur 0; Conséquncs Pour tous réls a t b strictmnt positifs, a b a b a b a b Sign d la fonction Pour tout rél strictmnt positif, 0 0 0 0 Ercic 3 Résoudr chacun ds inéquations suivants : a 5 0 ; b ; c 3 0 Ercic 4 Méthod Pour résoudr un équation du typ u v u v, u v ) : ( rspctivmnt un inéquation du typ on détrmin l nsmbl d définition D : Du 0 t v 0 ; on résout dans D l équation u v ( rspctivmnt l inéquation u v Donnr l nsmbl d définition puis résoudr chacun ds équations : a 3 ; b 3 4 3 4 0 ; c Donnr l nsmbl d définition puis résoudr chacun ds inéquations : a 5 0 ; b ; c 3 5 ) Ercic 5 Etudir l sign ds fonctions suivants a f défini sur 0; par f b g défini sur 0; par g c h défini sur 3 ; par h 3 TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin 3
II Propriétés algébriqus ) Rlation fonctionnll Théorèm Pour tous réls a, b strictmnt positifs, ab a b ) Conséquncs Théorèm Pour tous réls a, b strictmnt positifs t tout ntir rlatif n : b a a b b b n a n a a a Ercic 6 Eprimr n fonction d ou d a 6 ; b 9 ; c 3 : 5 3 ; d 3 ; 4 5 Pour rél strictmnt positif, simplifir l prssion Résoudr l équation : 3 4 Ercic 7 Résoudr dans 0; l équation t ls inéquations suivants : ; f 5 5 4 3 3 a 3 5 ; b 3 4 ; c 5 3 d 4 3 ; Ercic 8 On plac un capital C 0, sans prélèvmnt, à un tau d intérêts composés d 4% à capitalisation annull On not C n l capital à la fin d la nièm anné Qull st la natur d la suit C n? En déduir C n n fonction d n Détrminr l nombr d annés nécssairs pour doublr l capital placé TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin 4
III Etud d la fonction ) Limits n 0 t n Théorèm lim t 0 lim ) Dérivabilité Théorèm La fonction st dérivabl sur 0; t pour tout rél 0, ' ) Tablau d variation t courb rprésntativ 4 Sign d Variations d ' - 3 0 - y=() 3 4 5 6 7 8 9 0 - -3 Détrminr ls équations ds tangnts à la courb au points d abscisss t t ls tracr Livr pag 04 n 5, n 7 t n 9 Ercic 9 a) Calculr ls dérivés ds fonctions suivants définis sur 0; par : f ; f b) Calcul d limits f 5; g ; h ; k Détrminr la limit n 0 d : 5 Détrminr la limit n d : f 3 ; g Ercic 0 : Etud d fonction On considèr la fonction f défini sur a) Etudir l sns d variation d f b) Calculr ls limits d f n 0 t n 0; par f 8 8 6 c) Drssr l tablau d variation d f TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin 5
4 ) Croissancs comparés ds fonctions a) Ercic Soit f la fonction défini sur 0; par a) Etudir l sns d variation d f sur 0; b) En déduir l sign d f c) Démontrr qu pour tout, t f n 0 En déduir la limit quand tnd vrs d b) Théorèm lim 0 ; pour tout ntir n, lim 0 n Ercic a) Détrminr la limit n d la fonction f défini sur 0; par f 4 b) Mêm qustion avc la fonction g défini sur 0; par g Ercic Soit f la fonction défini sur 0; par orthogonal O; i, j f t C la courb rprésntativ d f dans un rpèr a) Etudir l sns d variation d f b) Calculr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition Intrprétr graphiqumnt ls résultats c) Détrminr un équation d la tangnt T à C au point d absciss d) Tracr C t T Ercic 3 Soit f la fonction défini sur 0; par f ; ) a) Etudir l sns d variation d f f t n déduir l sign d b) Calculr f ) Soit g la fonction défini sur 0; par g a) Etudir l sns d variation d g c) Drssr l tablau d variation d g TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin 6
V Fonction (u) ) Définition On considèr un fonction u, défini t strictmnt positiv sur un intrvall I Pour tout d I, u u ) Dérivé Rmarqu : Sur I, Ercic 4 Théorèm Soit u un fonction défini, dérivabl t strictmnt positiv sur un intrvall I u ' La fonction u st dérivabl sur I st sa dérivé st : u' u u ' t Calculr la dérivé d chacun ds fonctions a) f défini sur par f 0,7 b) g défini sur par g 3 c) h défini sur 3) Limit ; u ' sont d mêm sign car u st strictmnt positiv par h Propriété On considèr un fonction u strictmnt positiv sur un intrvall I a, b t c désignnt soit ds réls, soit, soit, a st un élémnt d I ou un born d I, b st un rél positif Si limu b lim X c u c a t alors Xb Ercic 5 Détrminr ls limits suivants : 3 lim ; lim 4) Etud d fonctions Ercic 6 Soit f la fonction défini sur lim a 0;6 par f 6 f dans un rpèr orthonormal d unité graphiqu cm a) Détrminr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition b) Qu put-on n déduir pour la courb C? On appll C la courb rprésntativ d a) Calculr f ', détrminr son sign sur I t n déduir l sns d variation d f b) Drssr l tablau d variation d f 3 a) Résoudr l équation f 0 On appll 0 la solution d ctt équation b) Donnr l équation d la tangnt T à C au point d absciss 0 4) Tracr la courb C t la droit T TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin 7
V Fonction logarithm décimal ) Activité On définit la fonction logarithm décimal noté log sur 0; par log k a) Calculr log, log 0, log 00, log 0, k b) Montrr qu la fonction log a l mêm sns d variation qu la fonction Tracr sur l écran d la calculatric ls courbs ds fonctions log t 0 c) Démontrr qu, pour tous réls a, b strictmnt positifs, log ab log a log b ) Définition La fonction logarithm décimal, noté log, st la fonction défini sur 0; par Ls propriétés algébriqus d la fonction sont vérifiés par la fonction log log 0 Ercic 7 En acoustiqu, l intnsité I d un son s msur n W m - ( watts par m ) L nivau sonor, primé n db, d un son d intnsité I st alors donné par la formul : NI 0log I, où I 0 st un intnsité d référnc choisi d façon périmntal t qui I0 corrspond à l intnsité la plus faibl prcptibl par l orill humain pour un son d fréqunc 000 Hz a) Calculr, n décibls, l nivau sonor NI 0 b) Lors du décollag d la fusé Arian, on a obsrvé qu 7 I I 0 0 Calculr, n décibls, l nivau sonor corrspondant Dans ctt qustion, on va voir l fft sur l nivau sonor du cumul d plusiurs sons, sachant qu ls intnsités sonors s ajoutnt a) L nivau sonor d un convrsation sur un ton normal st d nviron 60 db, clui d un tondus à gazon d nviron 80 db Eprimr, n fonction d I 0, l intnsité sonor I c d la convrsation t l intnsité sonor It d la tondus à gazon On not I Ic It Calculr l nivau sonor NI n db Ls nivau sonors s additionnnt-t-ils? b) L nivau sonor d un voitur passant dans la ru st d nviron 80 db Calculr l nivau sonor corrspondant au passag simultané d du voiturs Commntairs : L échll ds nivau sonors n db a du avantags par rapport à l échll ds intnsités sonors : ls intnsités sonors varint avc d très grands écarts, c qui n st pas l cas ds nivau sonors : l fait d utilisr un échll logarithmiqu prmt d manipulr ds valurs moins «écartés» ( c qui a été vu dans la qustion ) ; l nivau sonor corrspond au snsations d l(orill : lorsqu du sons s suprposnt, ls nivau sonors n s additionnnt pas, l son l plus fort «absorb» l plus faibl ( c qui a été vu dans la qustion ) TSTID CH VII : Fonction logarithm népérin 8