Matrices et applications linéaires

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 1/12 Matrices et applications linéaires I) Matrice d une application linéaire 1) Définition 2) Visualisation 3) Théorème (équivalent à la définition) 4) Exemples 5) Isomorphisme entre L HE, FL et M n,p HKL ) 6) Matrice d une composée d applications linéaires 7) Retour sur les matrices inversibles 8) Exercices II) Utilisation des matrices en algèbre linéaire 1) Image d un vecteur par une application linéaire 2) Matrices de passage 3) Calcul de l inverse d une matrice en utilisant les matrices de passage 4) Influence d un changement de base sur les coordonnées d un vecteur 5) Influence d un changement de base sur la matrice d une application linéaire 6) Trace d un endomorphisme III) Noyau, image et rang d une matrice 1) Application linéaire canoniquement associée à une matrice 2) Exemples 3) Noyau et image d une matrice 4) Rang d une matrice 5) Calcul pratique du rang d une matrice: le retour du pivot de Gauss-Jordan 6) Exercices I) Matrice d une application linéaire 1) Définition Soient E et F deux K -espaces vectoriels de dimensions p et n et soit u œ L HE, FL. Soient = Ie 1, e 2,..., e p M une base de E et C = Hf 1, f 2,..., f n L une base de F. La matrice de u dans les bases et C, que l on note Mat constituée des coordonnées du vecteur u Ie j M dans la base C. Lorsque = C, on note Mat u = Mat, u. u, est la näp matrice dont la jième colonne (pour j œ 81,..., p<) est Remarquons que: (1) La matrice d une même application linéaire dépend des bases choisies. (2) La matrice d une application linéaire contient des nombres (réels ou complexes).

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 2/12 2) Visualisation D'après la définition et la définition des coordonnées d'un vecteur dans une base f 1 f 2 ª u He 1 L u Ie j M u Ie p M a 1,1... a 1,j... a 1,p Mat u = =He i L, C=Hf i L f n a 2,1... a 2,j... a 2,p ª ª ª ª ª a n,1... a n,j... a n,p n " j œ 81,..., p<, u Ie j M = S ai,j f i = a 1,j f 1 + a 2,j f 2 +... + a n,j f n i=1 3) Théorème (équivalent à la définition) Soient = Ie 1, e 2,..., e p M une base de E et C = Hf 1, f 2,..., f n L une base de F et u œ L HE, FL. Alors: Mat u = Ia n i,jm näp ñ " j œ 81,..., p<, u Ie j M = S ai,j f i i=1 4) Exemples a) Avec E = F = 2, = i = 1 0, j = 0 1 quatre matrices: M 1 = Mat s, M 2 = Mat s, M 3 = Mat s et M 4 = Mat s C, C, C = u = 1 1, v = 1-1 et s = symétrie par rapport à (O x), écrire les b) Avec E = F = 3 @XD et = I1, X, X 2, X 3 M et u : PöP', écrire Mat u c) Avec E = F = 3 @XD et = I1, X, X 2, X 3 M et u : PöP HX + 1L - P HXL, écrire Mat u d) Avec = He 1, e 2,..., e n L une base de E et C = He n, e n-1,..., e 1 L, écrire I = Mat Id E et M = Mat Id E. e) Soit f œ LI 3 M dont la matrice en base = Ie i M est M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Chercher des bases de Ker f et de Im f.

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 3/12 f) Soit f œ LI 3 M dont la matrice en base = He i L est M = a b c b c a c a b. Calculer Mat C f avec C = He 1 + e 2 + e 3, e 2, e 3 L. 5) Isomorphisme entre L HE, FL et M n,p HKL ) Soient = Ie 1, e 2,..., e p M une base de E et C = Hf 1, f 2,..., f n L une base de F. Alors: vectoriels: L application f : LHE, FLöM n,p HKL définie par f HuL = Mat C est à dire: u pour u œ L HE, FL est un isomorphisme d espaces (1) f est bijective : pour toute matrice M œ M n,p HKL il existe une unique application linéaire u œ L HE, FL telle que M = Mat u. (2) f est linéaire: " u, v œ LHE, FL, " l, m œ K, Mat Hl u + m vl = l Mat u + m Mat v. j est bijective car u œ L HE, FL est parfaitement déterminée par les images des vecteurs de la base et donc par les coordonnées des images par u des vecteurs de dans la base C, c est à dire par les colonnes de M = Mat u. j est linéaire par définition de M = Mat u et des opérations + et. sur M n,phkl. 6) Matrice d une composée d applications linéaires La définition du produit de deux matrices a été conçue pour la raison suivante: Soient u œ L HE, FL, v œ L HF, GL et, C, D des bases de E, F, G. Alors Mat,D v ë u = Mat C,D v ä Mat u. Dans le cas particulier fréquent où E = F = G et = C = D, alors Mat v ë u = Mat v ä Mat u. Pour ne pas se tromper: Ecrire les shémas de composition: E ö u F C ö v G D et E ö vëu G D

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 4/12 7) Retour sur les matrices inversibles a) Lien avec l inversibilité d un endomorphisme associée Soit u œ L HEL et, C deux bases de E. Alors: u est inversible ñ Mat u est inversible. Dans ce cas, Mat C, u-1 = Mat u -1 fl On dispose de v = u -1. Comme u ëv = Id = vëu, avec E ö u E ö v E et E ö v E ö u E, I = Mat v ë u = Mat vä Mat u et I = Mat C C C, C, Mat u est inversible et Mat C, u-1 = Mat u -1. u ë v = Mat C,C uä Mat v, donc C, On dispose de N = Mat u -1. Notons M = Mat u. Soit v œ L HEL tel que Mat v = N. Comme I = M N = Mat u Mat u -1 = Mat u Mat v = Mat uëv = C, C, C,C Mat Id, on en déduit que uë v = Id, puis de même on montre avec N M que vë u = Id. Donc u est bijectif et C,C u-1 = v. b) Critère d inversibilité d une matrice Soit M œ M n HKL. On écrit M = HC 1, C 2,..., C n L en colonnes et M = L 1 ª L n en lignes. Alors: M est inversible ñ HC 1, C 2,..., C n L est une famille libre de K n ñ HL 1, L 2,..., L n L est une famille libre de K n. Soit u œ LHK n L tel que M = Mat u, avec = He 1,..., e nl la base canonique de K n. Alors: M est inversible ñ u est bijectif ñ rg u = n ñ Vect Hu He 1 L,..., u He n LL = K n ñ C = Hu He 1 L,..., u He n LL base de K n (n vecteurs en dimension n) ñ C libre ñ HC 1, C 2,..., C n L libre. 8) Exercices a) Les matrices suivantes sont-elles inversibles? 1 2 3 1 a b 1 2 A =, = 4 5 6, C = 0 2 c 3 4 7 8 9 0 0 3 b) Soient A, œ M n HKL telles que A = I. On veut montrer que A et sont inversibles et = A -1 sans avoir à prouver que A = I. Soient u, v œ LHK n L telles que Mat C surjectif et v injectif puis conclure. u = A et Mat C v = avec C base de Kn. Montrer que uëv = Id, en déduire que u est

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 5/12 c) Soient A œ M n,p H L et œ M p,n H L avec n p. Prouver que A ou A n est pas inversible. On pourra introduire des applications linéaires f et g ayant pour matrices A et. II) Utilisation des matrices en algèbre linéaire 1) Image d un vecteur par une application linéaire a) Théorème Soient u œ LHE, FL, base de E, C base de F, x œ E de coordonnées X dans la base. On note X ' C les coordonnées de u HxL dans la base C. Alors X ' C = Mat u X. En abrégé, X ' = M X Notons = Ie 1,..., e p M, C = Hf 1,..., f n L, M = Mat u = Ia i,j M, X = x 1 ª x p et X ' C = p p n n p uhxl = uix 1 e 1 +... + x p e p ) = S x k u He k L = S x k S aik f i (définition de M) = S S x k a i,k f i. k=1 k=1 i=1 i=1 k=1 p Donc (C est une base) " i œ 81,... n<, x ' i = S a i,k x k, ce qui s écrit matriciellement X ' = M X k=1 b) Exercices x' 1 ª x' n. D une part u HxL = x' 1 f 1 +... + x' n f n et d autre part, a) Soit u œ LI 3 M tel que u Hx, y, zl = H-2 x + y + z, x - 2 y + z, x + y - 2 zl. Ecrire M = Mat u (avec base canonique), chercher des bases de Ker u et de Im u. b) Soient A = 1 0 0 0, = 0 1 0 0, C = 0 0 1 0, D = 0 0 0 1 Soit f l application de M 2 H L dans M 2 H L définie par f HML = H M - M H. 1) Montrer que f est linéaire, calculer la matrice Z = Mat E f. On pose E = HA,, C, DL et H = 1 2 3 4.

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 6/12 2) Déterminer une base et la dimension de Ker f et Im f. 2) Matrices de passage a) Définitions équivalentes Soient = He 1, e 2,..., e n L et C = Hf 1, f 2,..., f n L deux bases d un K -ev E de dimension n. Alors: (1) La matrice de passage de à C, notée P H, CL est PH, CL = Mat C, Id E. (2) P H, CL est la matrice nän dont la j ième (j œ 81,..., n<) colonne est constituée des coordonnées de f j (le j ième vecteur de C) dans la base. b) Exemples a ) Soit = He 1, e 2 L une base de 2. On pose C = He 1 - e 2, e 1 + e 2 L. Calculer P H, L, P H, CL, P HC, L, PHC, CL. b ) Soit = He 1, e 2, e 3 L une base de 3. On pose C = He 1, e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3 L. Calculer P H, CL, P HC, L. c) Inverse d une matrice de passage Soient et C deux bases d un ev E. Alors P H, CL est inversible et PH, CL -1 = PHC, L. 3) Calcul de l inverse d une matrice en utilisant les matrices de passage (HP) Soit M une matrice carrée. On écrit M = HC 1, C 2,..., C n L en colonnes. On note = He 1, e 2,..., e n L la base canonique de K n. On sait que: M est inversible ñ C = HC 1, C 2,..., C n L est libre ñ C base de K n (car card C = dim K n ). Dans ce cas M = P H, CL est une matrice de passage et M -1 = P HC, L. Pour calculer M -1 il suffit de calculer les coordonnées

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 7/12 des vecteurs de dans la base C. Concrètement: si M = Ia i,j M, M = PH, CL ñ (S) a 1,1 e 1 +... + a n,1 e n = c 1.... Pour calculer M -1 on résout le pseudo système a 1,n e 1 +... + a n,n e n = c n linéaire (S) (par la méthode du pivot de Gauss-Jordan) et on exprime les inconnues (les e i ) en fonction des c i et des a i,j. A comparer avec la présentation système HA IL vue dans le chapitre Calcul matriciel. 4) Influence d un changement de base sur les coordonnées d un vecteur a) Théorème Soient et C deux bases de E et x œ E. On note X et X C les coordonnées du vecteur x dans les bases et C. Alors X = P H, CL X C. En abrégé, X = P X ' Attention: étant l' ancienne base et C la nouvelle base, ce sont les anciennes coordonnées qui s' expriment naturellement en fonction des nouvelles. b) Exemple a) Soit = He 1, e 2 L une base de 2. On pose C = He 1 - e 2, e 1 + e 2 L Soit X œ 2. On note X = x et X = x'. Exprimer x' et y' en fonction de x et y. y y' C b) Soit = He 1, e 2,..., e n L une base de n. On pose C = He 1, e 1 + e 2,..., e 1 + e 2 +... + e n L. 1) Montrer que C est une base de n 2) Soit X œ n. On note X = Hx i L et X = Hx' i L C. Exprimer x' 1,..., x' n en fonction de x 1,..., x n. 5) Influence d un changement de base sur la matrice d une application linéaire a) Théorème Soit u œ L HE, FL, et ' deux bases de E et C et C ' deux bases de F. Alors Mat ',C' Cas particulier: Lorsque E = F, ' = C ' et = C, on obtient Mat C en abrégé. u = P HC', CL Mat u PH, 'L. u = P HC, L Mat u PH, CL ou encore M ' = P-1 M P

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 8/12 b) Exemple a) Soit f œ LI 3 M dont la matrice en base = He i L est M = a b c b c a c a b. Calculer Mat C f avec C = He 1 + e 2 + e 3, e 2, e 3 L. b) Soit M = 1 2 5-1 -1 5 = Mat =Hi,jL u. Calculer D = Mat C u avec C = Hi + j, -i + jl. En déduire Mn pour n œ *. 6) Trace d un endomorphisme (Normalement au programme de spé) a) Théorème et définition Soit u œ L HEL. Le nombre tr Mat La trace de u, notée tr u, est le nombre tr u = tr Mat u ne dépend pas de la base de E choisie. u avec base quelconque de E. b) Remarque Mat u change au gré de la base choisie, mais tr u = tr Mat u reste toujours le même. c) Exemples a) Calculer tr Id E.

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 9/12 b) Calculer tr p et tr s, avec p la projection sur F suivant G et s la symétrie par rapport à F suivant G (avec F G = E) d) Propriétés (1) La trace est linéaire: " l, m œ K, " u, v œ L HEL, trhl u + m vl = l tr u + m tr v. (2) " u, v œ L HEL, tr HuëvL = tr HvëuL III) Noyau, image et rang d une matrice 1) Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A = Ia i,j M näp une näp matrice à coefficients dans K. On écrit A = IC 1, C 2,..., C p ) en colonnes. Soient = Ie 1,..., e p M et C = Hf 1,..., f n L les bases canoniques de K p et de K n. L application linéaire f canoniquement associée à la matrice A est l application linéaire f œ L HK p, K n L telle que Mat f = A. n Elle est donc caractérisée par les relations: " j œ 81,..., p<, f Ie j M = S ai,j f i = C j. i=1 2) Exemples Soit f l application canoniquement associée à A = que f HXL pour X œ E. 1 2 3 2 3 1 3 1 2. Préciser les ensembles de départ et d arrivée E et F de f, ainsi 3) Noyau et image d une matrice a) Définition Soit A = Ia i,j M œ M n,p HKL. Le noyau Ker A et l image Im A de la matrice A sont le noyau et l image de l application linéaire f canoniquement associée à A.

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 10/12 Et donc: Soit A œ M n,p HKL. On écrit A = IC 1, C 2,..., C p ) en colonnes. Alors: (1) Ker A = 8X œ K p ê A X = 0< est un sous espace vectoriel de K p. (2) Im A = VectIC 1, C 2,..., C p M est un sous espace vectoriel de K n. b) Exemples: a) Déterminer le noyau et l image de M = 1 1-2 2 2-4 3 3-6 b) Déterminer suivant les valeurs de x œ le noyau et l image de AHxL = x 1 1 1 x 1 1 1 x 4) Rang d une matrice a) Définitions équivalentes Soit A œ M n,p HKL. On écrit A = IC 1, C 2,..., C p ) en colonnes. Alors: Le rang de A, noté rg A, est rg A = rg IC 1, C 2,..., C p M = dim IVect IC 1, C 2,..., C p MM Le rang de A est le rang de l application linéaire f canoniquement associée à A. Car si = Ie 1,..., e p M est la base canonique de K p, rg f = rg If He 1 L,..., f Ie p MM = rg IC 1, C 2,..., C p M = rghal b) Exemple Calculer rg A avec A = HiäjL nän. c) Lien avec le rang d une application linéaire Le rang d une matrice est égal au rang de toute application linéaire qu elle représente: si A = Mat u alors rg A = rg u.

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 11/12 Notons A = Ia ij M näp, = Ie 1,..., e p M et C = Hf 1,..., f n L et A = IC 1, C 2,..., C p ) en colonnes. Alors rg u = rgiu He 1 L,..., u Ie p MM = rg IC 1,..., C p M (par définition de Mat u ) = rg A d) Une majoration du rang Soit M œ M n,p HKL. Alors: rg M b min Hn, pl rg M = rg IC 1, C 2,..., C p M = dim vectic 1, C 2,..., C p M b p car de IC 1, C 2,..., C p M on peut extraire une base de vect IC 1, C 2,..., C p M, qui comportera moins de p vecteurs. Alors rg M = dim vectic 1, C 2,..., C p M = card b p. Et vect IC 1, C 2,..., C p M étant un sev de K n, sa dimension est b n e) Rang d une transposée Soit M œ M n,p HKL. Alors rgi t MM = rg M. f) Invariance du rang par multiplication par une matrice inversible Soit A œ M n,p HKL. Soit P une matrice inversible (de bonne dimension). Alors rg HP AL = rg A et rgha PL = rg A. Par exemple pour rghp AL = rg HAL. Soit f œ LHK p, K n L telle que Mat f = A, avec et C les bases canoniques de K p et de K n. Soit g œ GLHK n L telle que Mat g C (P est inversible donc g est bijective). Alors rg HAL = rg Hf L (th c)) = rg Hg ëf L (cours sur les aplications linéaires, car g est bijective) = rg HP AL (car Mat gë f = P A). = P g) Théorème du rang pour les matrices Soit A œ M n,p HKL. Alors dim HKer HALL + rg HAL = p. Cela découle du thm du rang appliqué à l application f canoniquement associée à A et du fait que rg HAL = rg Hf L et Ker HAL = Ker Hf L. h) Théorème Soit A œ M n HKL. Alors: A est inversible ñ rg A = n ñ Ker A = 80< ñ Im A = K n D après les conséquences du thm du rang pour les applications linéaires en dimension finie. 5) Calcul pratique du rang d une matrice: le retour du pivot de Gauss-Jordan a) Invariance du rang par multiplication par des matrices élémentaires D après le théorème 4)f), si on multiplie à gauche ou à droite une matrice A par une matrice inversible, le rang est inchangé. Or les matrices de permutation, de transvection et de dilatation sont inversibles et un produit de matrices inversibles est inversible. Donc: Deux matrices équivalentes en lignes ou en colonnes ont le même rang. Et même un peu plus (car on peut multiplier indifféremment à gauche (on agit sur les lignes) ou à droite (on agit sur les colonnes): Une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d une matrice ne change pas le rang de cette matrice. b) Rappel On rappelle que les opérations élémentaires sur les rangées (ligne ou colonne) sont: (1) Echange de deux rangées de même nature. Par exemple L 1 ôl 2

27 Cours - Matrices et applications linéaires.nb 12/12 (2) Multiplication d une rangée par l 0. Par exemple C 1 ô3 C 1 (3) Ajout à une rangée du produit d une autre rangée de même nature par l œ K. Par exemple C 2 ôc 2 - C 3. c) Rang d une matrice échelonnée a) Rappels Une matrice A est échelonnée par lignes (ou par colonnes) lorsque chaque ligne (ou chaque colonne) non nulle de A commence par au moins un zéro de plus que la précédente. Les pivots d une matrice échelonnée par lignes (ou par colonnes) sont les premiers termes non nuls de chaque ligne (ou colonne) non nulle. Par exemple: A = 2 3 1 0 0 2 0 0 0 est échelonnée par ligne et = 5 0 0 1 1 0 0 3 3 par colonnes. Les pivots sont en gras. b) Théorème Le rang d une matrice échelonnée en lignes ou en colonnes est égal au nombre de pivots. d) Calcul pratique du rang d une matrice Il suffit d échelonner en lignes ou en colonnes la matrice par l algorithme du pivot de Gauss Jordan. Le rang est alors le nombre de pivots. 6) Exercices a) Calculer le rang des matrices A = 1 2 3 4, = 1 2 3 4 5 6 7 8 9, C = 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49, ainsi que des bases des noyaux. b) Calculer le rang de D = Hi + jl nän et de E = IHi + jl 2 M nän. c) Soit x œ. Calculer le rang de la matrice nän F HxL de terme général a i,j = ; x si i = j 1 si i j. d) Soient G = -4-6 0 3 5 0 3 6 5 et x œ. Déterminer suivant x le rang de M HxL = G - x I et une base de Ker HM HxLL.