Pour préparer l entrée en 1 ère Mathématiques De la seconde à la 1 ère Corrigés Exercice 1 f et g sont deux fonctions définies par fx x 7 et gx 1 On a tracé ci-dessous la représentation graphique des fonctions f et g. (f étant une fonction affine, sa représentation graphique est une droite) y 0 0 0 10-5 - - - -1 1 5-10 -0 x -0 Les fonctions f et g sont définies sur Faux : la fonction f est définie sur mais la fonction g est définie sur \ ) La courbe représentant f coupe la courbe représentant g en au moins deux points Vrai : d après la représentation graphique ci-dessus. On peut même préciser qu il n y a que deux points d intersection puisque fx 0 gx sur ; 5 et gx 0 fx sur ;. ) f1 5 Vrai : f1 1 7 5 ) Pour tout réel x fx x 7x 1 x 1 Faux : f1 11 mais il est impossible de remplacer x par 1 dans l expression dénominateur vaut 0. Remarque : Par contre, l affirmation, "Pour tout réel x 1, fx 5) Pour tout réel fx gx Vrai : x 1-0 x 7x 1 x 1 D une part, pour tout réel, fx gx x 7 x 1 x 7 1 x 1 D autre part, pour tout réel, x 1 Donc, pour tout réel, fx gx 6) Pour tout réel x 1 fx gx Faux : D une part, f g 7 1 7 1 D autre part, 5 1 x 1 Donc f g donc l égalité fx gx x 1 x 1 " est vraie. x est fausse pour x. car dans ce cas, le 1
7) Il existe un réel x, tel que fx gx 0 Vrai : f1 g1 1 7 1 1 0 donc l égalité fx gx 0 est vraie pour x 1. x 1 ) Il existe un réel tel que fx gx D une part, f1 g1 0 1 1 1 D autre part, 0 1 1 1 1 x 1 Donc f1 g1 donc l égalité fx gx est vraie pour x 1. 1 9) La courbe représentant f est au dessus de la courbe représentant g sur l intervalle,1. Vrai : d après la représentation graphique. 10) La courbe représentant f est au dessous de la courbe représentant g sur ; Faux : sur ; la courbe représentant f est au dessus de la courbe représentant g Exercice f 0 f0 0 7 0 1 1 f 7 7 7 1 1 ) f 7 7 7 7 1 7 7 19 ) a) Sur : fx 0 x 0 Or A B 0 A 0 ou B 0 0 ou x 0 x ou x S ; b) Sur : fx 1 x 7x 1 1 x 7x 0 xx 7 0 x 0 ou x 7 S 7 ; 0 c) Sur : fx 1 1; x 7 1 1 x 7 0 x 7 0 x 7 S 7 ) On utilise la forme canonique de f (Le coefficient devant x est strictement positif) x 7 variations de f 1 5) Sur : fx 0 x ou x Donc les points d intersection de C f avec l axe des abscisses ont pour coordonnées ; 0 et ; 0 6) f0 1 Donc le point d intersection de C f avec l axe des ordonnées a pour coordonnées 0 ; 1
7) Sur : fx 1 x 0 ou x 7 Donc les points d intersection de C f avec la droite d équation y 1 ont pour coordonnées 0 ; 1 et 7 ; 1 ) f 7 7 7 19 Donc le point d intersection de C f avec la droite d équation x 7 a pour coordonnées 7 ; 7 7 19 9) Les séparateurs sont et x signe de 0 signe de 1 à droite du zéro signe de x 0 signe de 1 à droite du zéro signe de fx 0 0 S ; Exercice On s intéresse à la fonction f définie sur par fx x 7 x a) On étudie le signe de fx sur. La valeur interdite est et le séparateur est 7 x 7 signe de x 7 0 signe de à droite du zéro signe de x 0 signe de 1 à droite du zéro signe de fx 0 b) S ; 7 ; ) Pour tout x \ : 1 x 1 x x x 7 x ) f 7 7 7 7 7 7 7 7 7 x 7 x fx 6 7 1 1 7 7 7 ) Sur \ : fx 0 x x 7 0 x 7 0 x 7 Or 7 n est pas valeur interdite donc S 7 5) a) Sur \ : fx 1 x x 1 0 1 0 impossible Donc S b) Sur \ : fx 5 1 x 5 1 x 1 0 x x 0 Or 17 7 7 x 17 x n est pas valeur interdite donc S 17 c) Sur \ : fx 0 x 7 Donc le point d intersection de C f avec l axe des abscisses a pour coordonnées 7 ; 0 7 7 6) f0 7 Donc le point d intersection de C f avec l axe des ordonnées a pour coordonnées 0 ; 7 7) Sur \ : fx 5 x 17 Donc le point d intersection de C f avec la droite d équation y 5 a pour coordonnées 17 ; 5 0 x 17 0 x 17
) f 7 7 7 Donc le point d intersection de C f avec la droite d équation x 7 a pour coordonnées 7 ; Exercice Cet algorithme simule le lancer de deux dés cubiques équilibrés et affiche la différence entre le plus grand et le plus petit numéro obtenus. ) 0 ; 1 ; ; ; ; 5 ) 1 er dé ; ème dé 1 5 6 Loi de probabilité sur : 1 0 1 5 1 0 1 1 0 1 1 0 1 5 1 0 1 6 5 1 0 x i 0 1 5 p i 6 1 6 6 10 6 1 5 6 9 6 6 1 6 6 1 9 6 1 1 7 7 Exercice 5 Etape x Test x 0 (oui/non) Initialisation oui Etape 1 6 oui Etape 1 oui Etape non ) La valeur affichée est. Exercice 6 )D après la relation de Chasles pour les vecteurs : CE CB BE Or ABCD est un parallélogramme donc CB DA donc : CE DA 1 AB 1 AB AD D après la relation de Chasles pour les vecteurs : EF EB BA AF 1 AB AB AD AB AD ) On a CE 1 AB AD AB AD EF Donc les vecteurs CE et EF sont colinéaires donc les points C, E et F sont alignés
Exercice 7 A1;, B1;1 et C5; AB x B x A y B y A AC x C x A y C y A BC x C x B y C y B AB 1 1 1 AC 5 1 BC 5 1 1 AB 5 AC 16 BC 6 9 AB 9 AC 0 BC 5 BC est le côté qui a la plus grande longueur donc si le triangle ABC est rectangle, il sera rectangle en A. Or BC² 5 et AB² AC² 9 0 9 Comme BC² AB² AC² alors ABC n est pas un triangle rectangle en A d après la contraposée du théorème de Pythagore donc le triangle ABC n est pas rectangle. ) ABCD est un paralélogramme AD BC x D x A x C x B y D y A y C y B x D 5 1 1 y D 1 x D 7 y D 7 Donc D 7 ; 7 ) E est symétrique du point A par rapport à C. ) Les segments FD et BC ont même milieu CE AC x F x D y F y D x B x C y B y C x E x C x C x A x F 5 1 7 y E y C y C y A y F 1 7 x E 5 1 y E x F y F 6 x E 9 y E 0 Donc F ; 6 Donc E 9 ; 0 5) J est le milieu de FE donc x J x F x E Donc J ; 9 et y J y F y E 6) AB x B x A ; y B y A donc AB 1 1 ; 1 donc AB ; 5 Et BF 1 ; 6 1 donc BF ; 5 On a donc AB BF donc F est le symétrique de A par rapport à B. 6 0 5