Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 1 Techniques de calcul matriciel Introduction Une matrice est un tableau de nombres avec lequel on pourra faire des opérations. C est un objet numérique qui peut coder des objets d origines diverses : on connaît la matrice d un système linéaire. Plus généralement, une matrice codera une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie pour lesquels on aura choisi une base. Dans le domaine de l algèbre, vous verrez aussi l année prochaine qu une matrice symétrique code une «forme quadratique». certains processus stochastiques (aléatoires) peuvent être modélisés (par exemple des chaînes de Markov) par une matrice dite stochastique : c est-à-dire une matrice dont les coefficients sont positifs et dont la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1. La «monstrueuse matrice de Google» en est un exemple. certains graphes sont aussi représentés par des matrices dites d adjacence. Une image numérique est une matrice de pixels. Par exemple pour une image en couleurs (RGB), les pixels sont représentés par un triplet de nombres entiers représentant les niveaux de rouge (Red), de vert (Green) et de bleu (Blue). Dans ce chapitre, nous adoptons un point de vue purement matriciel. Le lien intime avec l algèbre linéaire sera abordé au chapitre suivant. 1 Généralités 1.1 Opérations sur les matrices On note M n,p (K) l ensemble des matrices à coefficients dans K avec n lignes et p colonnes. Si A est une matrice de M n,p (K), on note a i,j ses coefficients avec la convention que le premier indice i 1, n est celui des lignes et le second j 1, p celui des colonnes 1. On pourra noter A = (a i,j ). Si une matrice possède autant de lignes que de colonnes, elle est dite carrée, on note M n (K) = M n,n (K). Définition 1 (Combinaisons linéaires et produit de matrices) 1. Soit A = (a i,j ) et B = (b i,j ) dans M n,p (K). On note A + B la matrice de M n,p (K) dont les coefficients valent a i,j + b i,j. Si λ K, on note λa la matrice de M n,p (K) dont les coefficients valent λa i,j. 1. Attention, en mathématiques les indices des matrices commencent à 1 contrairement par exemple au langage Python où ils commencent à 0.
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 2. Soit A = (a ij ) M p,n (K) et B = (b ij ) M n,q (K). On note AB = (c ij ) la matrice de M p,q (K) dont les coefficients valent : Remarques : n c ij = a ik b kj. k=1 L ensemble M n,p (K) a une structure de K-espace vectoriel dont le vecteur nul est la matrice nulle (tous les coefficients valent 0) de M n,p (K). faire attention aux formats des matrices (sorte de relation de Chasles) pour le produit. Une matrice A est dite diagonale si ses coefficients non diagonaux sont nuls, c est-à-dire a i,j = 0 pour i j. Si D est diagonale, on la note D = diag(d 1,..., d n ) où les d i sont ses coefficients diagonaux. Ce seront nos «matrices préférées» pour faire des produits matriciels car diag(d 1,..., d n ) diag(t 1,..., t n ) = diag(d 1 t 1,..., d n t n ). Nous expliquerons dans le prochain chapitre que ces opérations codent l addition et composition d applications linéaires. la complexité de la multiplication matricielle dans M n (K) est en O(n 3 ) (multiplier deux matrices de taille n nécessite n 2 (n 1) additions et n 3 multiplications de réels). On admet les propriétés suivantes que nous démontrerons dans le prochain chapitre. Proposition 2 Le produit matriciel est bilinéaire et associatif, c est-à-dire : 1. si A et B sont dans M p,n (K) et C et D dans M n,q (K), pour tout λ et µ dans K, on a : (λa + µb)c = λac + µbc et A(λC + µd) = λac + µad. 2. si A M p,n (K), B M p,q (K), A M q,r (K), on a : (A B) C = A (B C). Remarque : ces propriétés permettent de montrer que l ensemble M n (K) muni de l addition et de la multiplication est un anneau dont l élément unité est la matrice I n = diag(1,..., 1). En particulier, A M n (K), on a A I n = I n A = A. 1.2 Quelques particularités de ce produit L examen de la taille 2 est en général très instructive. Posons N = 0 1 et M =. 1 0
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 3 Ces deux matrices vérifient N 2 = 0 et M 2 = 0, pourtant elles ne sont pas nulles. Elles sont dites nilpotentes. En particulier, M n (K) est un anneau non intègre. 1 0 De plus, NM = et MN =. Le produit matriciel n est donc pas commutatif 0 1 pour n 2. Ainsi sauf si A et B commutent, en général (AB) 2 A 2 B 2. 1 λ Pout tout λ K, si R =, on a R 0 1 2 = I 2. Autrement dit, la matrice I 2 admet une infinité de racines carrées. 1.3 Matrices élémentaires Proposition 3 (Matrices élémentaires) Soit i 1, n et j 1, p. On note E i,j la matrice de M n,p (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1. On appelle matrices élémentaires de M n,p (K) les matrices E i,j pour i 1, n et j 1, p. La famille (E 11, E 12,..., E 1p, E 21,...) formée par les matrices élémentaires rangées par ordre lexicographique est une base de M n,p (K), que l on appellera base canonique. Ainsi dim M n,p (K) = np. On a E ij E kl = δ jk E il avec δ jk = 1 si j = k et 0 sinon. 1.4 Notion de polynôme de matrice et de polynôme annulateur Soit M M n (K) et P = p i=0 a i X i un polynôme de K[X]. Puisqu une combinaison linéaire et un produit de matrices de M n (K) est encore une matrice de M n (K), on note P(M) la matrice de M n (K) définie par : Remarques : p P(M) = a i M i = a p M p + + a 1 M + a 0 I n. i=0 un polynôme en M commute avec la matrice M, c est-à-dire P(M) M = M P(M). lorsque P(M) = 0, on dit que P est un polynôme annulateur de M. Soit P, Q K[X], M M n (K) et λ K, on a (PQ)(M) = P(M)Q(M) et (λp + Q)(M) = λp(m) + Q(M).
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 4 2 Quelques techniques et outils matriciels 2.1 Calculs de puissances n-ièmes Voici quelques recettes à découvrir en exercice : 1. Si D est diagonale avec D = diag(d 1,..., d p ), alors D n = diag(d n 1,..., d n p). 2. L astuce de type «Pacman» (PDP 1 ) n = PD n P 1 est à connaître (P désigne une matrice inversible). 3. Utilisation du binôme de Newton : si A et B sont deux matrices de M n (K) qui commutent, alors pour tout n N, on a (A + B) n = n k=0 n A k B n k. k En particulier calcul de (λi p + N) n avec N nilpotente. 4. Utilisation d un polynôme annulateur : si P est un polynôme annulateur de la matrice A, c est-à-dire si P(A) = 0, on écrit la division euclidienne de X n par P : il existe des polynômes Q et R tels que X n = QP +R. On a alors la relation matricielle : A n = P(A) Q(A) + R(A). }{{} 0 Ainsi A n = R(A), et il suffit donc de chercher le reste R. 5. Utilisation de récurrence, par exemple : 1 1 1 avec A = 1 1 1, on a A 2 = 3A donc A n = 3 n 1 A. 1 1 1 cos θ sin θ avec R(θ) =. On a sin θ cos θ 2 R(θ) 2 = R(2θ) donc R(θ) n = R(nθ). 2.2 La trace d une matrice Proposition 4 On appelle trace d une matrice carrée A la somme de ses coefficients diagonaux. On la note Tr(A). La trace vérifie les deux propriétés suivantes : La trace est une forme linéaire sur M n (K). Si A et B sont dans M n (K), on a : Tr(AB) = Tr(BA). 2. Ce résultat est naturel si l on sait que cette matrice code une rotation de centre O et d angle θ et que la multiplication des matrices code la composition des applications linéaires.
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 5 Remarques : Nous verrons dans le chapitre suivant que la trace est un invariant de similitude : deux matrices semblables auront même trace. Nous verrons aussi plus tard que le déterminant d une matrice est aussi un invariant de similitude. En attendant, pour la taille 2, on peut retenir la définition suivante : a b det = ad bc. c d en taille 2, un calcul montre que si A est une matrice de M 2 (K), le polynôme suivant P est un polynôme annulateur de A : P = X 2 Tr(A)X + det(a). L ensemble des matrices de M n (K) dont la trace est nulle est un hyperplan de M n (K). 2.3 Matrices symétriques et transposée d une matrice Définition 5 Soit A = (a i,j ) une matrice de M n (K). 1. Elle est dite symétrique si ses coefficients sont symétriques par rapport à la diagonale, c est-à-dire si : (i, j) 1, n 2, a i,j = a j,i. 2. Elle est dite antisymétrique si : (i, j) 1, n 2, a i,j = a j,i. Remarque : en particulier, si A est antisymétrique, ses coefficients diagonaux sont nuls puisque a i,i = a i,i. Proposition 6 Soit A = (a i,j ) une matrice de M n,p (K). On appelle transposée de A, notée t A la matrice de M p,n (K), dont les coefficients sont les symétriques de ceux de A par rapport à la diagonale, c est-à-dire t A = (a j,i ). La transposée vérifie les propriétés suivantes : elle est linéaire et involutive (c est-à-dire A M n,p (K), t ( t A) = A). C est en particulier une symétrie de M n (K). (A, B) M n,p (K) M p,q (K), t (AB) = t B t A. Remarque : si on note φ : M n (K) M n (K) l endomorphisme qui à une matrice associe sa transposée, on a Ker(φ id) = {M M n (K) t M = M} = S n (K) l ensemble des matrices symétriques et Ker(φ + id) = {M M n (K) t M = M} = A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques. Cela montre S n (K) et S n (K) sont des sous-espaces vectoriels de M n (K). Ils sont de plus supplémenatires, car φ étant une symétrie, on a M n (K) = Ker(φ id) Ker(φ + id) = S n (K) A n (K).
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 6 2.4 Produits de matrices triangulaires et de matrices blocs On sait que le produit de matrices diagonales est encore une matrice diagonale. On peut généraliser aux matrices triangulaires supérieures et inférieures. Proposition 7 Une matrice A = (a i,j ) de M n (K) est dite triangulaire supérieure (resp. inférieure) si ses coefficients en-dessous (resp. au-dessus) de la diagonale sont nuls, c est-à-dire (i, j) 1, n 2, (i > j a i,j = 0) (resp. i < j a i,j = 0). Le produit de deux matrices triangulaires supérieures de M n (K) (resp. triangulaires inférieures) est encore une matrice triangulaire supérieure (resp. triangulaire inférieure). Proposition 8 (Produits de matrices blocs) On considère les matrices M = ( A B C D ) et N = ( A B C D ), où A, A, B, B, C, C et D, D sont des matrices vérifiant : Le nombre de colonnes de A et C est égal au nombre de lignes de A et B Le nombre de colonnes de B et D est égal au nombre de lignes de C et D On a alors l égalité ( AA MN = + BC AB + BD ) CA + DC CB + DD 3 Le groupe des matrices inversibles Définition 9 Une matrice A de M n (K) est dite inversible s il existe une matrice B de M n (K) telle que AB = BA = I n. Une telle matrice B est unique, on la note A 1. Proposition 10 L ensemble GL n (K) des matrices inversibles de M n (K) est un groupe pour la loi. Si A et B sont dans GL n (K), on a Deux questions se posent ainsi : (AB) 1 = B 1 A 1. Comment savoir si une matrice A est inversible? Si elle est inversible, comment calculer son inverse? Quelques éléments de réponse : On regarde si le système associé AX = Y admet une unique solution. Si c est le cas, la solution X = A 1 Y permet d obtenir l expression de A 1. 2 1 1 3 1 1 Exemple : la matrice A = 1 2 1 est inversible d inverse 1 4 1 3 1. 1 1 2 1 1 3 En particulier, une matrice triangulaire sera inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls. De plus si A est inversible et triangulaire supérieure, alors son inverse est encore une matrice triangulaire supérieure.
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 7 On démontrera plus tard qu une matrice A M n (K) est inversible si et seulement si det A 0. a b En attendant, on retient le cas de la taille 2 : la matrice est inversible ssi son c d déterminant ad bc 0 et alors 1 a b = c d 1 ad bc d b. c a On peut utiliser un polynôme annulateur et exhiber ainsi une matrice B telle que AB = BA = I n. Par exemple si A M n (K) vérifie A 2 5A + 6I n = 0, alors A est inversible et A 1 = 1 6 (A 5I n). De même, on montre qu une matrice nilpotente n est jamais inversible.