Lycée JP Vernant - nde 4 Année scolaire 0-0 Mathématiques CORRECTION DU CONTRÔLE N SUJET a Exercice : a DE + HI = DE + EF = DF b IJ + CF CJ + F E = IJ + CF + JC + F E = IJ + JC + CF + F E = IE c HF + ED + CD = HF + ED + DH = HF + EH = EF d AJ GH = CG + HG = CG + GD = CD e ED + EI = ED + DJ = EJ f AJ + JD = DG + JD = JG Exercice : La fonction f est strictement croissante sur R si a > 0 Démonstration : soit x ; x un couple de nombres appartenant à R tels que x < x Comme a > 0 alors ax < ax puis ax + b < ax + b soit fx < fx On a ainsi prouvé que f est strictement croissante sur R a On lit graphiquement que l'ordonnée à l'origine est b = et que le coecient directeur est a = voir annexe pour la justication sur le graphique Alors hx = x + b La fonction g est strictement croissante sur R puisqu'elle est ane de coecient directeur > 0 c g est ane donc sa courbe est une droite L'ordonnée à l'origine est A 0 ; sur la courbe de la fonction g Comme g = = 8 = alors B ; appartient à C g donc on place le point d Résolution graphique Les solutions de l'inéquation hx > gx sont les abscisses des points de C h situés strictement au-dessus de C g L'ensemble des solutions est S =] ; x [ avec x 0, 9 voir annexe pour la justication sur le graphique Résolution par le calcul hx > gx x + > x x x > x x > 4 7 x > 7 x < ] L'ensemble des solutions est S = ; [ x < 7 x <
a Le coecient directeur est a = kx kx x x Ainsi, a = k k = = 8 où x et x sont des nombres distincts quelconques = = b k est ane de coecient directeur a = donc on peut écrire kx sous la forme kx = x + b On détermine b en utilisant k = : + b = b = = 9 = 8 Finalement kx = x + 8 c k0 = 8 donc la courbe C k coupe l'axe des ordonnées au point C 0 ; 8 4 a Comme A ; appartient à C l alors l = soit a + b = On sait de plus que C l coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse donc l = 0 soit a + b = 0 Le système à résoudre est a + b = b Le système précédent équivaut à Finalement, lx = x + 9 a + b = 0 b = + a a + + a = 0 b = + a a = b = = 9 a = a Si u est ane, alors pour tout couple x, x de nombre réels distincts, le quotient ux ux x x est une constante égal au coecient directeur de la fonction ane a Comme u0 u 0 u0 u 0 = 4 = et u u0 0 = 7 = 8 = 4 u u0 0 alors u n'est pas ane La phrase est fausse b La phrase est fausse : voir annexe pour un contre-exemple c Si u était linéaire, elle serait aussi ane D'après la réponse a, u n'est donc pas linéaire La phrase est vraie d La phrase est fausse : voir annexe pour un contre-exemple Exercice : Figure :
a AC = x C x A + y C y A = 0 + = + = 7 BC = x C x B + y C y B = + + 0 = + = 7 Comme AC = BC alors le triangle ABC est isocèle en C b ACBD est un parallélogramme si et seulement si AD = CB On détermine les coordonnées du point D en résolvant les équations suivantes : xd x A = x B x C a y D y A = y B y C On en déduit que D 4 ; 4 xd = y D = 0 + xd = 4 y D = + = 4 c Par dénition du point D, ACBD est un parallélogramme On a montré que AC = BC donc ACBD a deux côtés consécutifs de même longueur Ce parallélogramme est alors un losange MA + MB + MC = 0 xa x M + x B x M + x C x M = 0 y A y M + y B y M + y C y M = 0 0 xm x M + x M = 0 y M + 0 y M y M = 0 xm = 0 y M = 0 Finalement, M ; xm = y M = x M = y M = Comme K est le milieu de [AB], x K = x A + x B Finalement, K ; b xk x CK C = CK = CK y K x C c xm x CM C y M x C = CM + + = CM = 0 et = et y K = y A + y B CK = On remarque CM et CK ont les mêmes coordonnées donc CM = CK = + 0 = = CK d Comme K est le milieu de [AB] alors CK est une médiane du triangle ABC K est situé au du sommet C sur cette médiane, c'est donc le centre de gravité du triangle ABC 4 a On calcule les coordonnées de : xn x M = + y N x M = +4 = 9 4 9 x A x B De plus, u y A y B On en déduit que = u 0 + 0 = u = = u, ce qui signie que N est l'image de M par la translation de vecteur u b Comme K est le milieu de [AB] alors BA = KA Or, = BA d'après la question précédente d'où KA = On en déduit que le quadrilatère KA est un parallélogramme On a montré que KM est la médiane de ABC issue de C Or, ABC est isocèle en C donc cette médiane est également une médiatrice et KM est perpendiculaire à AB Cela implique que le parallélogramme KA a un angle droit en K Ainsi, KA est un rectangle
Exercice 4 : On sait que P A + P C = 0 d'où P A + P A + AC = 0 soit P A + P A + AC = 0 On en déduit que P A = AC donc AP = AC soit AP = AC voir annexe CQ = CB + BQ = CB + BC BA = BC + BC + AB = BC + AB = AB + BC = AC Comme AC = CQ alors C est le milieu de [AQ] 4 On sait que C est le milieu de [AQ] donc AQ = AC De plus, AP = AC d'où AC = AP Finalement, AQ = AP = AP Le coecient k cherché est k = Les vecteurs AQ et AP sont colinéaires
SUJET b Exercice : a JA + GF = JA + AB = JB b F C + IJ IC + JB = F C + IJ + CI + JB = F C + CI + IJ + JB = F B c CB + DE + HI = F H + DE + EF = F H + DF = DH d AJ CD = AJ + DC = CG + DC = DG e JI + JD = JI + IE = JE f 4 JD + DH = HE + DH = DE Exercice : La fonction f est strictement décroissante sur R si a < 0 Démonstration : soit x ; x un couple de nombres appartenant à R tels que x < x Comme a < 0 alors ax > ax puis ax + b > ax + b soit fx > fx On a ainsi prouvé que f est strictement décroissante sur R a On lit graphiquement que l'ordonnée à l'origine est b = et que le coecient directeur est a = 4 voir annexe pour la justication sur le graphique Alors hx = 4 x b La fonction g est strictement décroissante sur R puisqu'elle est ane de coecient directeur < 0 c g est ane donc sa courbe est une droite L'ordonnée à l'origine est donc on place le point A 0 ; sur la courbe de la fonction g Comme g = + = + d Résolution graphique = 7 alors B ; 7 appartient à C g Les solutions de l'inéquation gx > hx sont les abscisses des points de C g situés strictement au-dessus de C h L'ensemble des solutions est S =] ; x [ avec x, voir annexe pour la justication sur le graphique Résolution par le calcul gx > hx x + > 4 x x 4 x > x 4x > 0 7 x > 7 x < 0 ] L'ensemble des solutions est S = ; [ 0 a Le coecient directeur est a = kx kx x x Ainsi, a = k k = 4 7 = 7 x < 7 0 x < 0 où x et x sont des nombres distincts quelconques = 7 7 =
b k est ane de coecient directeur a = donc on peut écrire kx sous la forme kx = x + b On détermine b en utilisant k = 4 : + b = 4 b = 4 = kx = x + 7 c k0 = 7 donc la courbe C k coupe l'axe des ordonnées au point C 0 ; 7 = 7 Finalement 4 a Comme A ; appartient à C l alors l = soit a + b = On sait de plus que C l coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse donc l = 0 soit a + b = 0 Le système à résoudre est a + b = b Le système précédent équivaut à Finalement, lx = x + 0 a + b = 0 b = + a a + + a = 0 b = + a 8a = b = = 0 a = a Si u est ane, alors pour tout couple x, x de nombre réels distincts, le quotient ux ux x x est une constante égal au coecient directeur de la fonction ane a u u0 0 = 4 + = et u0 u 4 0 4 = + = 4 4 = 4 Comme u u0 0 u0 u 4 0 4 alors u n'est pas ane La phrase est fausse b La phrase est fausse : voir annexe pour un contre-exemple c Si u était linéaire, elle serait aussi ane D'après la réponse a, u n'est donc pas linéaire La phrase est vraie d La phrase est fausse : voir annexe pour un contre-exemple Exercice : Figure :
a AB = x B x A + y B y A = 0 + + = + = 7 AC = x C x A + y C y A = + + 0 = + = 7 Comme AB = AC alors le triangle ABC est isocèle en A b ABDC est un parallélogramme si et seulement si AC = BD On détermine les coordonnées du point D en résolvant les équations suivantes : xc x A = x D x B + = xd 0 xd = 4 y C y A = y D y B 0 = y D + y D = = 4 a On en déduit que D 4 ; 4 c Par dénition du point D, ABDC est un parallélogramme On a montré que AB = AC donc ABDC a deux côtés consécutifs de même longueur Ce parallélogramme est alors un losange MA + MB + MC = 0 Finalement, M ; xa x M + x B x M + x C x M = 0 y A y M + y B y M + y C y M = 0 xm + 0 x M + x M = 0 y M y M + 0 y M = 0 xm = y M = Comme K est le milieu de [BC], x K = x B + x C Finalement, K ; b xk x AK A = AK + y K x A = AK c xm x AM A y M x A = AM + = CM = 0 + et x M = y M = = et y K = y B + y C AK = On remarque AM et AK ont les mêmes coordonnées donc AM = AK xm = 0 y M = 0 = + 0 = = AK d Comme K est le milieu de [BC] alors AK est une médiane du triangle ABC K est situé au du sommet A sur cette médiane, c'est donc le centre de gravité du triangle ABC 4 a On calcule les coordonnées de : xn x M = y N x M + = 4 = 9 +4 9 x C x B De plus, u y C y B On en déduit que = u 0 0 + = u = = u, ce qui signie que N est l'image de M par la translation de vecteur u b Comme K est le milieu de [BC] alors BC = KC Or, = BC d'après la question précédente d'où KC = On en déduit que le quadrilatère KC est un parallélogramme On a montré que KM est la médiane de ABC issue de A Or, ABC est isocèle en A donc cette médiane est également une médiatrice et KM est perpendiculaire à BC Cela implique que le parallélogramme KC a un angle droit en K Ainsi, KC est un rectangle
Exercice 4 : On sait que QB + QC = 0 d'où QB + QB + BC = 0 soit QB + QB + BC = 0 On en déduit que QB = BC donc BQ = BC soit BQ = BC voir annexe P B = P A+ AB = AP + AB = AB AC + AB = AB+ AC+ AB = AB+ AC = BA+ AC = BC Comme P B = BC alors B est le milieu de [P C] 4 On sait que B est le milieu de [P C] d'où P B = BC = BQ sont colinéaires BQ donc BP = BQ = BC ou encore BP = BQ Le coecient k cherché est k = BC Or, BQ = BC donc Les vecteurs BP et