DÉMARCHES D INVESTIGATION AU COLLÈGE

Moyens IFÉ - IREM DÉMARCHES D INVESTIGATION AU COLLÈGE Sonia GRODOWSKI, collège Évariste Galois, Montauban Ghislaine GUEUDET, IUFM-UBO Carole LE BELLER, collège les Ormeaux, Rennes Marie-Pierre LEBAUD, université de Rennes 1 Christophe PÉPINO, collège Jean Macé, Saint-Brieuc Yann ROUAULT, collège Jean Charcot, Saint-Malo Sunday, June 10, 2012

Investigation en maths au collège, questions de départ Le rapport au «réel» une situation familière aux élèves? la possibilité de manipuler? À quel point la question posée est-elle pour les élèves une réelle question? Quel lien entre DI et preuve? Faut-il aller jusqu'à la preuve, peut-on investiguer sans démontrer au final, dans le contexte du collège? Lien entre DI et programmes scolaires Comment gérer le temps, tout en laissant la place à des recherches pour les élèves? Travailler les DI seulement sur les thèmes du programme? Sunday, June 10, 2012

Un parcours Pairform@nce, DI avec des logiciels Développé en 2010 Expertisé en 2011 Adapté par le travail du groupe actuel : apport sur le travail en groupes, sur l évaluation Publié au catalogue national Sunday, June 10, 2012

Peut-on représenter les planètes et le Soleil de notre système solaire sur une maquette plane ou en trois dimensions? Sunday, June 10, 2012

Le travail de recherche s'est fait en classe de 4 e par groupes hétérogènes de 3 ou 4 élèves. Il y a 7 groupes. Il y a eu 4 phases de 20 min, en début d heure de cours. Sunday, June 10, 2012

Phase 1 : Les élèves étaient en recherche autonome, sans support documentaire Sunday, June 10, 2012

Phase 2 : Une semaine plus tard a eu lieu une!! synthèse des informations Les réponses trouvées sont souvent différentes d'un groupe à un autre problème de la source de l'information. L'enseignant intervient alors pour une mise en commun (discussion sur les valeurs à prendre) et les élèves comprennent pourquoi il y a 7 groupes. On décide ensemble la répartition des planètes. Question d élève : «Doit-on faire 7 maquettes ou une seule?». L enseignant décide d une seule maquette. Chaque élève de chaque groupe a sa fiche technique sur une planète. Sunday, June 10, 2012

Sunday, June 10, 2012

Phase 3 : Pendant 20 min, tentative d obtention d une échelle commune L enseignant intervient davantage pour aider les élèves et il en sort une échelle pour placer les planètes sur une maquette plane. La manipulation des grands nombres, choisir une échelle ne sont pas des notions suffisamment maitrisées par les élèves. Cela devient fastidieux et répondre à cette question occupe beaucoup de temps. On n a pas trouvé de solution pour ne pas les guider. Sunday, June 10, 2012

Phase 4 : Peut-on faire une maquette en trois dimensions? Réflexion des groupes sur les circonférences des planètes et tentative d une échelle commune. Sunday, June 10, 2012

Bilan des 4 séances Dans cet exercice, les élèves sont motivés par la construction d'une maquette si cela est possible, la recherche des informations. En revanche, la réflexion autour des nombres et des calculs est difficile pour certains élèves. Sunday, June 10, 2012

Quelques réflexions les activités de type DI demandent beaucoup de préparation activité très ouverte donc grande variété de réponses des élèves, ce qui est souhaité mais pas toujours facile à anticiper, gérer impact sur les connaissances des élèves : positif, même à «long» terme (mémoire de la situation, et aussi des notions travaillées) Sunday, June 10, 2012

d Aurelie NEMOURS DEMARCHE D INVESTIGATION EN MATHEMATIQUES L Alignement du XXI ème siècle.

PHASE 1 LA QUESTION de départ Qu est-ce que l Alignement du XXI ème siècle? Question posée aux élèves d une classe de 3 ème du Collège Les Ormeaux de Rennes. Pour y répondre : A la maison - Recherche documentaire En classe (30 min) - Echanges - Questions posées par les élèves - Tri des questions / mathématiques - Des réponses directes apportées par les élèves

PHASE 1 Qu est-ce que l Alignement du XXI ème siècle? La recherche documentaire, des 1 ers éléments de réponse La sculpture d Aurelie Nemours Photographie de Carole LE BELLER. L Alignement était son 3 ème projet.

PHASE 1 Résultats de la 1 ère recherche documentaire 0,9 m 1,8 m 4,5 m Photographie de Carole LE BELLER. 2,7 m 0,9 m

PHASE 1 QUESTIONS des élèves & tri «mathématique» Après les échanges, des questions posées par les élèves - A quoi ça sert? - Pourquoi Aurelie Nemours a-t-elle donné ce nom? - Pourquoi 72 colonnes et pas 3 par exemple? - Pourquoi les colonnes sont-elles en granit? - Les ombres à midi, se rejoignent-elles d une colonne à l autre? - Pourquoi a-t-elle choisi ces intervalles? - Pourquoi a-t-elle choisi ces dimensions de colonne? - Pourquoi les colonnes sont-elles des parallélépipèdes rectangles? Des réponses directes sont données, puis un tri «mathématique» est fait Réal. Carole LE BELLER.

PHASE 2 MEDIAS & échanges (45 min) Le film documentaire sur l Alignement du XXI ème siècle Références du film documentaire de 26 min : Chevrel, A., Montivault, A., «Aurelie NEMOURS - Une œuvre entre ciel et terre», coproduction : Vivement Lundi!, TV Rennes, France 3 Ouest avec la participation de Région Bretagne, CNC, Ville de Rennes, DRAC Bretagne, 2006. De nouvelles questions : - Le nombre 9 explique le nombre de colonnes (8 9 = 72). Où le trouve-t-on encore? - En suivant la course du soleil, peut-on obtenir le même type de tableau si les solides ne sont pas des pavés droits, ou ne sont pas tous des pavés droits?

9 colonnes PHASE 3 OBSERVATION & RECHERCHE Recherche par groupe pour répondre aux différentes questions 1 ère partie : en classe par groupe (55 min) Recherche par rapport au chiffre 9 1,8 m 2,7 m 8 colonnes

Réal. Photographie : Carole LE BELLER. PHASE 3 Recherche par rapport au chiffre 9 Une maquette, faite l année précédente par 3 classes (6 ème et 3 ème ), est mise à disposition. Cette maquette aurait pu être faite cette année Réal. Elèves de 6 èmes A & D, 3 ème A, CLG Les Ormeaux, Rennes, 2010-2011. Maquette de l Alignement du XXI ème siècle

PHASE 3 Modélisation plane vue de dessus Réal. Carole LE BELLER.

PHASE 3 Pourquoi les colonnes sontelles des pavés droits? Pour Aurelie Nemours, un carré est le cœur d une croix. Modélisations géométriques du carré cœur d une croix. Mise en espace de l une de ses toiles : «Rythme du millimètre»

PHASE 3 Les ombres à midi, se rejoignent-elles d une colonne à l autre? 2 ème partie : en salle informatique par groupe (55 min) Recherche Modélisations de l Alignement du XXI ème siècle et du soleil à l aide de papier et d instruments de géométrie, en utilisant la géométrie dynamique plane GeoGebra, en utilisant la géométrie dans l espace avec le logiciel 3D Google SketchUp 8. Phase 3 (complément) : en salle informatique par groupe (maximum 10 min) Centralisation (mise en commun pour tous) par les élèves sur le réseau (dans l espace échange de la classe)

PHASE 4 SYNTHESE des RECHERCHES (2 55 min) L Alignement est orienté, à midi solaire. Un tableau vu du ciel Le tableau est alors composé de lignes sombres entrecoupées de carrés blancs. Vu du sol, des raies de lumière éclairent une partie des arêtes des colonnes : le millimètre. Photographie de Carole LE BELLER.

PHASE 4 La géolocalisation et la hauteur du soleil? Une nouvelle question : La géolocalisation permet de calculer la hauteur du soleil à midi solaire. (Cette géolocalisation pourrait être faite en Géographie) Concernant les degrés, minutes et secondes pour les mesures de latitude et longitude, et importance pour l Alignement.

PHASE 4 Modélisation plane avec GeoGebra Modélisation plane (vue de côté) réalisée par Manon M., élève de 3 ème A du Collège Public Les Ormeaux à Rennes. Réal. Carole LE BELLER. Modélisation 3D réalisée par Pablo L., élève de 3 ème A du Collège Public Les Ormeaux à Rennes. De nouvelles questions concernant la hauteur du soleil et midi solaire.

(55 min) PHASE 5 ANALYSE des MODELISATIONS & PREUVES _ La hauteur du soleil & l ombre portée sur l Alignement Comprendre les phénomènes soleil et ombre portée, à condition que les modélisations soient correctes. Avec la trigonométrie, des preuves : calcul de la hauteur minimale des colonnes pour que l ombre portée rejoigne la colonne suivante (3,92 m). Cela signifie qu avec une hauteur de colonne de 3,6 m, deuxième projet, Aurelie Nemours n aurait pas eu son tableau souhaité vu du ciel.

PHASE 5 Levers, couchers et passages au méridien du soleil Ephémérides produites par l IMCCE (Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides) http://www.bdl.fr/fr/ephemerides /phenomenes/rts/rts.php

PHASE 5 Modifications des modélisations : plane et 3D Réal. Carole LE BELLER.

Hauteur d une colonne en mètres (30 min) PHASE 6 FAIRE VARIER des PARAMETRES Hauteur minimale d une colonne (en mètres) en fonction de la hauteur du soleil (en degrés) à midi solaire sur l Alignement du XXI ème siècle pour obtenir une ombre de longueur minimale de 1,8 m. f x = 1,8 tan x 3,9 m f 0,6 m 18,4 65,3 Hauteur du Soleil en degrés

PHASE 7 (55 min) Modélisations 3D - Maquette - TESTS

(2 15 min) PHASE 8 ANALYSE des TESTS & Solutions Pour les solides, il y a des contraintes liées à midi solaire tout au long de l année et au tableau d Aurelie Nemours vue de dessus. Lors des tests, un solide (à tourner dans l autre sens) correspondant aux contraintes a été trouvé par Corentin P., élève de 3 ème : un pavé droit sectionné par un plan formant un angle avec la parallèle au sol. Cet angle est variable mais a un maximum afin que la section soit entièrement éclairée.

PHASE 8 Construire un prisme droit ayant des contraintes Problème (à faire à la maison) : Quelle est la nature de la section? Quelle est la nature du solide? La modélisation plane effectuée avec GeoGebra ci-dessous a été celle où la hauteur du soleil est la plus petite sur l alignement du XXI ème siècle. Expliquer la raison de ce choix. A l aide de cette modélisation, chercher la mesure maximale de l angle. Sur le papier pointé joint, construire en perspective cavalière un solide de ce type, puis, avec du papier cartonné, construire son patron à l échelle 1 et 50 l assembler proprement.

PHASE 8 Construire un prisme droit ayant des contraintes Problème (à faire à la maison) : La résolution du problème implique l utilisation de plusieurs notions :

PHASE 8 Résolution du problème par les élèves Extraits de copies d élèves de 3 ème A du Collège Public Les Ormeaux, Rennes. Ou (par une autre méthode)

PHASE 8 Représentations en perspective cavalière & Tests des modélisations en 3D Réal. Carole LE BELLER. LE BELLER. Certains solides, originaux posent question quant à leur ombre Réal. B. Fabien

PHASE 9 (55 min) ALLER PLUS LOIN NOS 72 OBELISQUES BRETONS Non réalisé pour l instant L idée : A midi solaire, le soleil frappe les huit premières colonnes et l ombre vient se caler dans les intervalles entre les colonnes suivantes. En fait, l Alignement se comporte comme un gnomon. En Angleterre, un obélisque à Durham et aussi le grand monument mégalithique Stonehenge pourraient être utilisés en lien avec notre Alignement du XXI ème siècle, en s inspirant de la méthode du mathématicien grec Eratosthène qui avait calculé une approximation de la circonférence de la terre à l aide de deux obélisques d Egypte : l un à Syène (Assouan) et l autre à Alexandrie.

SOMMAIRE & Chronomètre - lieu- orga. PHASE 1 LA QUESTION de départ Ind. 30 min Maison Classe PHASE 2 MEDIAS & échanges 45 min Classe - PHASE 3 OBSERVATION & RECHERCHES MODELISATIONS (informatiques) 55 min 55 min 10 min PHASE 4 SYNTHESE des RECHERCHES 55 min 55 min PHASE 5 ANALYSE des MODELISATIONS & PREUVES Classe Salle info. Salle info. Classe Salle info. 55 min Classe - PHASE 6 FAIRE VARIER des PARAMETRES 30 min Classe - PHASE 7 Modélisations 3D - Maquette - TESTS PHASE 8 ANALYSE des TESTS & Solutions Ind. 55 min 2 15 min Ind. Maison Classe Classe Maison - - 7 groupes 7 groupes 7 groupes - 7 groupes - 6 groupes 6 groupes - PHASE 9 ALLER PLUS LOIN 55 min Classe 6 groupes Des «moments» espacés très souvent d une semaine. TOTAL 9-10 h

Notions Mathématiques PHASE 1 PHASE 2 PHASE 3 PHASE 4 PHASE 5 PHASE 6 PHASE 7 PHASE 8 PHASE 9 MEDIAS & échanges OBSERVATION & RECHERCHES MODELISATIONS (informatiques) SYNTHESE des RECHERCHES ANALYSE des MODELISATIONS & PREUVES FAIRE VARIER des PARAMETRES Modélisations 3D - Maquette - TESTS ANALYSE des TESTS & Solutions ALLER PLUS LOIN Collecte d informations PROPORTIONNALITE (Détermination d une échelle et réduction) GEOMETRIE DANS L ESPACE (Parallélépipède rectangle, patron) MODELISATION PLANE ((vue de dessus) avec un logiciel de géométrie dynamique) CONSTRUCTION GEOMETRIQUE (cercles, droites parallèles, droites perpendiculaires, carré, médiatrice d un segment, symétrie axiale, symétrie centrale) La SPHERE (dont longitude et latitude) CONVERSIONS des DEGRES du SYSTÈME SEXAGESIMAL vers le SYTEME DECIMAL et inversement MODELISATION PLANE & Analyse ((vue de côté) avec le logiciel de géométrie dynamique) MODELISATION dans l ESPACE (avec le logiciel Google SketchUp) Utilisation des FONCTIONS (antécédents & images, lecture graphique) AGRANDISSEMENT-REDUCTION GEOMETRIE dans l ESPACE (Construction de solides vus au collège, patrons) REDUCTION ANGLES ALTERNES-INTERNES EGAUX TRIGONOMETRIE Théorème de THALES (éventuellement) Théorème de PYTHAGORE (éventuellement) GEOMETRIE dans l ESPACE (Section non parallèle d un prisme droit, représentation en perspective cavalière, patrons, réduction) GEOMETRIE dans l ESPACE (Sphère) TRIGONOMETRIE (Eratosthène)

LES ELEVES Organisation & Evaluation ORGANISATION - 7 groupes (de 3 4 élèves) ont été constitués. - Les groupes ont été choisis par les élèves en connaissance de cause (durée assez longue, répartition des séances sur le reste de l année (de février à juin), travail collectif à fournir avec des évaluations individuelles des travaux). EVALUATION - Lors d une évaluation en temps limité, un exercice a porté sur l ombre portée et la trigonométrie. - Le dernier problème à faire à la maison, ainsi que la représentation en perspective cavalière et le solide à construire, ont été évalués. - 6 élèves avaient choisi «L Alignement du XXI ème» d Aurelie NEMOURS à l épreuve d histoire des arts du DNB, et ils ont tous été évalués très favorablement sur le sujet.

LES ELEVES Impressions - «Je vais pouvoir faire ma Madame Météo» Remarque faite fièrement par une élève lors de la découverte des éphémérides. - «Le solide à construire ça va être chaud!» Remarque faite à la découverte du problème à faire à la maison. Ils ont dit : - avoir apprécié les travaux de groupes avec les solides à construire ; - avoir trouvé "trop bien" le devoir à faire à la maison avec en particulier le prisme ou autre solide à trouver, même si, pour certains, cela leur a demandé beaucoup de temps ; - avoir bien compris les calculs de l'ombre portée avec la tangente. Par contre, ils auraient souhaité aller ensemble à l'alignement à midi solaire. Le second point à améliorer serait les explications moins rapides du «midi solaire». Le 3 ème point à changer serait de démarrer en début d'année. Autre remarque : ils souhaitent avoir le diaporama. Ils ont précisé qu il relatait bien ce qu'ils ont fait en maths. En conclusion : une satisfaction générale! Donc l expérience est à renouveler en l améliorant.

L ENSEIGNANT Rôle & + Le rôle de l enseignant a consisté à : - Annoncer le sujet (DI) et poser la question de départ ; - Organiser pédagogiquement les activités (salle organisée pour les groupes, matériel à disposition, réservation de la salle informatique, photocopies, mise à disposition de fichiers) ; - Accompagner les élèves dans leurs recherches (en leur donnant d éventuels indices ou une aide technique) ; - Faire des synthèses des recherches des élèves, anticiper les analyses des documents ou des réalisations par les élèves (ex. : films d écran, logiciels) pour les aider à analyser leur travail (ex : pointer des anomalies dans les modélisations sans vexer l élève auteur) ; - Leur apporter l aide technique mathématique et la culture mathématique lorsque cela est nécessaire. Et leur poser des problèmes mathématiques à résoudre pouvant les aider à répondre à leurs questions ; - Evaluer leur travail et les entraîner à l évaluation dont l épreuve d histoire des arts du Diplôme National du Brevet des collèges.

Groupe de Recherche Formation IFE-IREM de Rennes FIN Compte-rendu d étape - Année 1, juin 2012.

Moyens IFÉ - IREM DÉMARCHES D INVESTIGATION AU COLLÈGE Merci! Sonia GRODOWSKI, collège Évariste Galois, Montauban Ghislaine GUEUDET, IUFM-UBO Carole LE BELLER, collège les Ormeaux, Rennes Marie-Pierre LEBAUD, université de Rennes 1 Christophe PÉPINO, collège Jean Macé, Saint-Brieuc Yann ROUAULT, collège Jean Charcot, Saint-Malo Sunday, June 10, 2012