1. Modèle de voiture MODÉLISATION D UNE SUSPENSION DE VOITURE T.D. G.E.I.I. Un modèle simpli é de voiture peut être obtenu en supposant le véhicule soumis uniquement à la force de traction u dûe au moteur (donc dans le sens du déplacement) et à la force aérodnamique de pénétration dans l air F = rectiligne le long de l axe x: f dx dt = fx; si l on suppose le déplacement (a) Déterminer le transfert u! x entre la force de traction u et la position x, en déduire celui de u! v = x entre la force de traction u et la vitesse v: (b) Distinguer les variables des paramètres et préciser le rôle des di érentes variables. 2. Modèle de la suspension de voiture La suspension de voiture est assurée d une part par les quatre amortisseurs, chacun réalisant l absorption des chocs grâce à un frottement visqueux et présentant une force de rappel de la liaison roue-caisse de coe cient k v ; d autre part grâce aux pneus, que l on suppose avoir une compressibilité su sante pour que le frottement visqueux soit omis, chaque roue est donc soumise à une force de rappel de coe cient k r relativement à la route d ordonnée r: schéma de principe d une suspension Rappel : loi de Hooke force de rappel f = k(l )
force de rappel frottement visqueux : B = b proportionnel à la vitesse de déplacement vertical de la caisse ; frottement visqueux (a) En notant L et l les longueurs à vide des ressorts k v et k r respectivement, écrire le bilan statique des e orts et en déduire les positions d équilibre vertical Y 0 de la caisse (masse M) et 0 de la roue (masse m). Remarque : on peut prendre r = 0 comme position d équilibre de la route, ça ne change rien à la généralité du problème. (b) En dnamique : écrire les équation reliant les écarts Y = Y Y 0 et = 0 des positions par rapport à celles d équilibre. (c) Quel est l ordre du sstème? (d) Préciser les variables d entrée et de sortie. (e) Donner les transferts r! Y et r! :
1. Voiture SOLUTION (a) Le transfert u! x s obtient en écrivant la loi fondamentale de la dnamique en translation pour le mouvement rectiligne de la voiture le long de l axe x soit : mx = u on obtient donc l équation di érentielle relative à la position : fx x + f m x = u m et l équation di érentielle relative à la vitesse s écrit : v + f m v = u m ; d où les transferts : x = 1 p v = 1 1=f p 1 + p u avec = m f. (b) commande u sorties x ou v = x paramètres f et m ( ou 1=f et m f ). remarque 1 : Un sstème décrit par une équation di érentielle linéaire est un sstème linéaire mais un sstème linéaire n est pas nécessairement décrit par une équation différentielle. Les paramètres étant constants, le sstème est dit stationnaire; s ils étaient fonction du temps uniquement le sstème serait dit linéaire non stationnaire; s ils étaient fonction des variables u; x ou v il serait dit non linéaire. remarque 2 : ce modèle simpli é de la voiture suppose, entre autres, qu on a négligé l inertie rotationnelle des roues et qu on a un écoulement laminaire du vent autour du véhicule, donc une vitesse faible permettant d utiliser le modèle linéaire F = fx: 2. Suspension (a) Bilan statique des e orts e orts à l équilibre
la loi fondamentale de la dnamique écrite, suivant l axe vertical, pour la caisse puis pour la roue lorsqu il n a pas de mouvement conduit à : 0 = Mg + kv [L (Y 0 0 )] (1) 0 = mg k v [L (Y 0 0 )] + k r (l 0 ) en sommant ces deux équations membre à membre on obtient : 0 = l (M + m) g k r puis en reportant dans l équation statique relative à M; : Y 0 = 0 + L Mg k v (b) En dnamique : En écrivant soigneusement les élongations des ressorts à l aide du schéma ci-dessous, e orts en dnamique la loi fondamentale de la dnamique conduit maintenant à : 8 < M Y = Mg + k v (L Y + ) b Y : m = mg k v (L Y + ) + b Y + k r (l + r) : (2) Les équations relatives aux écarts s obtiennent en faisant la di érence membre à membre des équations dnamiques 2 avec les équations statiques 1 pour la caisse et pour la roue respectivement, soit :
MY = Mg + k v (L Y + ) b Y 0 = Mg + k v [L (Y 0 0 )] MY = k v ( Y ) b Y ou encore : MY = k v ( Y ) b Y (3) car Y 0 = Y 0 = 0 = 0: de même pour la roue : m = mg k v (L Y + ) + b Y + k r (l + r) 0 = mg k v [L (Y 0 0 )] + k r (l 0 ) ou encore : m = k v ( Y ) + b Y m = k v ( Y ) + b Y + k r (r ) + k r (r ) (4) car 0 = Y 0 = 0 = 0: (c) Le sstème (3; 4) est constitué de deux équations di érentielles linéaires d ordre 2, c est donc un sstème linéaire d ordre 4. (d) entrée r, le pro l de la route; sorties et Y : c est un sstème S.I.M.O.. Remarque : il ne s agit cependant pas d un sstème multivariable car seule une sortie est commandable par l entrée r, l autre s en déduit; un sstème multivariable doit comporter plusieurs entrées, on réalise alors un découplage pour pouvoir commander séparément les sorties avec des entrées di érentes : c est la di érence entre le virage d un avion de chasse et celui d un avion civil, pour lequel le roulis et le lacet sont découplés. (e) Transferts Le sstème (3; 4) s écrit à l aide de l opérateur de dérivation p : Mp 2 Y k v ( Y ) + bp (Y ) = 0 mp 2 + k v ( Y ) bp (Y ) + k r = k r r
soit sous forme matricielle : A C B D Y = 0 k r r avec : A = Mp 2 + bp + k v ; B = C = bp k v ; D = mp 2 + bp + k v + k r : Donc : soit : Y Y = = AD 1 D B BC C A 0 k r r Bk r AD BC r et = Ak r AD BC r transferts dont le dénominateur AD BC est bien un polnôme d ordre 4.