hapitre 11 éométrie dans l espace our reprendre contact 1 ection plane dans un cube Quelle est la nature du quadrilatère? 2 vec les solides a ur la figure ci-contre, comment appelle-t-on le solide représenté? ndiquer les arêtes qui ne se rencontrent pas b On a dessiné des solides en perspective ndiquez le nom de chacun de ces solides et repassez en couleurs les lignes que vous considérez comme visibles, en laissant les autres en pointillés (deux possibilités à chaque fois) 274 chapitre 11 éométrie dans l espace
ctivité 1 n perspective vec un rectangle c b Q R q r O T o p a Le rectangle O est représenté en perspective cavalière par le parallélogramme oabc Le point situé aux deux tiers du segment [ O] est représenté par p, situé aux deux tiers du segment [ oa] e même Q, situé au tiers du segment [ O] est représenté par q, situé au tiers du segment [ oc] 1 Reproduire le quadrillage de droite et placer sur la perspective les images des points R, et T 2 Tracer les perspectives de : a la hauteur issue de R du triangle RT ; b la médiane issue de T du triangle RT ; c la médiatrice du segment [ RT] vec un carré d c O o a b Le carré est représenté en perspective cavalière par le parallélogramme abcd Repérer les points du quadrillage qui sont sur le cercle, puis placer leurs images dans la perspective Tracer à main levée la courbe passant par tous ces points La courbe obtenue comme perspective du cercle s'appelle une ellipse chapitre 11 éométrie dans l espace 275
OT Revoir les formules de calculs des volumes (voir p 353) ctivité 2 alculs de volume 2 cm 3 cm Les arêtes d un parallélépipède rectangle ont pour mesures = = 3 cm et = 2 cm alculer le volume des solides cidessous 3 cm 1 2 3 4 5 6 ctivité 3 atron! Lesquels des cubes ci-dessous peuvent être obtenus en repliant le patron? 1 2 3 4 5 276 chapitre 11 éométrie dans l espace
ctivité 4 u dessin à l espace 1 On a reproduit ci-dessous le dessin technique d un objet a Quelle est la largeur de cet objet? son épaisseur? sa longueur? b ombien de branches comporte-t-il? c Reproduisez cet objet sur votre feuille (unité : 1 cm) ommentez OT Être critique sur la représentation plane d un objet de l espace 2 Les dessins suivants représentent-ils bien des cubes ou des prismes de l espace? a b c d e f ctivité 5 ositions relatives est un parallélépipède rectangle À votre avis quelle est la position relative : 1 des droites suivantes : ( ) et ( ) ; ( ) et ( ) ; ( ) et ( ) ; ( ) et ( )? 2 des droites et plans suivants : ( ) et ( ) ; ( ) et ( ) ; ( ) et ( ) ; ( ) et ( )? 3 des plans suivants : ( ) et ( ) ; ( ) et ( ) ; ( ) et ( )? chapitre 11 éométrie dans l espace 277
OUR 1 erspective cavalière erspectives La plupart des dessins de ce chapitre sont réalisés en perspective cavalière est une convention mathématique de représentation des solides sur un plan e n est pas ce que nous voyons effectivement La représentation la plus proche de notre vision est la perspective classique avec point de fuite Un canal rectiligne dont les deux bords, dans la vision classique, se rejoignent à l'horizon, est représenté en perspective cavalière par des droites parallèles Réalité d une figure de l espace et représentation dans le plan est un cube dont la face est frontale, c est-à-dire parallèle au plan de la feuille de papier La représentation dépend du choix d un angle et d un rapport k α our cette figure, on a choisi : l angle = 30 ; le rapport k = 07, ropriété 1 ans la réalité ur le dessin [ ] et [ ] sont des arêtes lles sont représentées en vraie parallèles à la feuille grandeur [ ] est une arête orthogonale [ ] fait un angle avec à la feuille l horizontale Les arêtes [ ] et [ ] ont [ ] et [ ] n ont pas même même longueur longueur : = k Les diagonales ( ) et ( ) lles sont représentées par des sont parallèles droites parallèles Les points, et sont alignés Les points, et sont alignés est le milieu de [ ] est le milieu de [ ] est au tiers de [ ] est au tiers de [ ] eux droites parallèles dans la réalité sont représentées par deux droites parallèles dans la perspective cavalière ropriété 2 ttention : i deux droites ne sont pas parallèles sur le dessin, les «vraies droites» ne le sont pas non plus ependant deux droites non parallèles peuvent fort bien être représentées sur le dessin par des droites qui le sont l faut donc être vigilant (voir exercice 3, page 279) es points alignés sont représentés par des points alignés La perspective cavalière converse les proportions 278 chapitre 11 éométrie dans l espace
OUR XR LTON 1 xercice 1 aire le bon choix On a dessiné un cube en perspective cavalière avec deux choix de l angle et du rapport k : a = 30, k = 0,75 et b = 45, k = 2 Reconnaître les deux vues Quelle est la plus fidèle? olution On mesure sur les dessins l angle et le rapport -------- La vue 1 a été dessinée avec le choix b, et la vue 2 avec a Remarque : la vue 2 correspond à notre «vision habituelle» d un cube, plus que la vue 1! 2 xercice 2 essiner autrement! On dessine des projections orthogonales à la feuille de dessin d un parallélépipède rectangle percé d un trou cylindrique de diamètre 0,5 cm On obtient alors suivant les cas des vues de face, de côté ou de dessus essiner les différentes vues olution essus ôté ace face 2 cm 1 cm dessus 2,5 cm côté Remarque : Les dimensions sont en vraie grandeur voir aussi exercices n 1 et 2 xercice 3 Ne pas se laisser tromper par le dessin! est un parallélépipède rectangle et est le milieu de [ ] La droite ( ) est-elle parallèle à ( )? olution i nous dessinons le solide suivant une projection orthogonale, avec la face ( ) parallèle à la feuille, la réponse est évidente : les droites ( ) et ( ) ne sont pas parallèles voir aussi exercices n 4 et 5 chapitre 11 éométrie dans l espace 279
OUR 2 roites de l espace étermination d une droite omme dans le plan, une droite de l espace peut être déterminée par : deux points et distincts On parle de la droite ( ) ; un point et la direction d une droite On parle de la droite passant par et parallèle à osition relative de deux droites 1 roites coplanaires éfinition 1 eux droites sont dites coplanaires quand elles sont contenues dans un même plan ans ce cas, elles sont soit sécantes soit parallèles (éventuellement confondues) xemple : h g f e e ( ab) // ( hg) ( ab) et ( bc) sécantes d c h d f g c a b a b 2 roites non-coplanaires éfinition 2 Lorsqu il n existe pas de plan contenant deux droites, on dit qu elles sont non-coplanaires ttention : ans l espace, deux droites peuvent être non sécantes et non parallèles est le seul cas qui n existe pas dans le plan Le dessin, qui pourrait laisser croire que ( bc) et ( hg) sont sécantes à l extérieur de la figure, ne peut jamais, encore moins que dans le plan, servir de démonstration xemple : ( bc) et ( hg) ne sont ni parallèles, ni h g sécantes e f 3 Transitivité du parallélisme a d b c ropriété 3 oient 1, 2 et 3 trois droites de l espace 1 2 1 // 2 2 // 3 1 // 3 3 280 chapitre 11 éométrie dans l espace
OUR XR LTON xercice 4 Étudier des intersections de droites On se place dans le cube 1 Étudier la position relative des droites ( ) et ( ) 2 L et sont les milieux des côtés [ ] et [ ] Étudier la position relative des droites ( L) et ( ) L olution 1 i les droites étaient coplanaires, les points,, et seraient coplanaires Or ils ne le sont pas : le plan ( ) est le Méthode plan de la face inférieure du cube et le point n en fait pas partie our étudier la position Les droites ne sont donc pas coplanaires ar suite, elles ne sont relative de deux droites ni sécantes ni parallèles dans l espace, la première 2 oit le milieu de [ ] ; L est un parallélogramme car question à se poser est «sontelles coplanaires ou non- L = et ( ) // ( L) et L est non croisé e même, est un parallélogramme car = et coplanaires?» ( ) // ( ) et est non croisé l en résulte ( ) // ( ) et ( ) // ( L) Nous en déduisons ( ) // ( L) Les points,,, L sont donc coplanaires Les droites ( L) et ( ), étant coplanaires et non parallèles, elles sont sécantes voir aussi exercices n 19 à 22 xercice 5 émontrer en utilisant des propriétés de géométrie plane On considère le tétraèdre oit U un point de [ ] distinct de et de La parallèle à ( ) passant par U coupe [ ] en V La parallèle à ( ) passant par U coupe [ ] en W émontrer que ( VW) est parallèle à ( ) olution ans le plan ( ), ( ) et ( ) sont sécantes en et ( UV) // ( ) donc d après le théorème de Thalès : U V -------- = -------- ( 1) W ans le plan ( ), on démontre de la même façon que V U W -------- = --------- ( 2) U V W e ( 1) et ( 2), on déduit que -------- = --------- ans le triangle, les points, W, d une part et, V, V W d autre part, étant alignés dans cet ordre, sont tels que -------- = --------- La réciproque du théorème de Thalès implique que ( VW) // ( ) voir aussi exercices n 42, 61 chapitre 11 éométrie dans l espace 281
OUR 3 lans de l espace étermination d un plan ropriété 4 ar trois points,, non alignés passe un seul plan On le note ( ) onséquence : Un plan peut aussi être déterminé par une droite et un point extérieur à la droite deux droites sécantes deux droites distinctes parallèles éfinition 3 osition relative de deux plans eux plans sont parallèles soit quand ils sont confondus, soit quand ils n ont aucun point commun eux plans non parallèles sont dits sécants // Q Q ropriété 5 ropriété caractéristique 6 L intersection de deux plans sécants est une droite lans parallèles et Q sont parallèles si et seulement si contient deux droites sécantes parallèles à deux droites de Q Q Q et Q sécants ropriété 7 oient et Q deux plans parallèles 1 i R est un plan sécant avec l un, il est aussi sécant avec l autre 2 Les droites d intersection et sont parallèles R Q ropriété 8 oient, Q et R trois plans // Q Q // R // R Q R 282 chapitre 11 éométrie dans l espace
OUR XR LTON xercice 6 émontrer un parallélisme de deux plans ans le cube, démontrer que les plans ( ) et ( ) sont parallèles olution ans le quadrilatère non croisé, les côtés [ ] et [ ] sont parallèles et de même longueur (propriétés du cube) onc est un parallélogramme ar suite les côtés opposés [ ] et [ ] sont eux aussi parallèles On démontre de même que les segments [ ] et [ ] sont également parallèles Le plan ( ) contient deux droites sécantes ( ) et ( ) respectivement parallèles aux droites ( ) et ( ) contenues dans le plan ( ) es deux plans sont donc parallèles voir aussi exercice n 22 xercice 7 Trouver une intersection de deux plans ans le cube, U [ ], V [ ], W [ ] éterminer l intersection du plan ( ) défini par U et la droite ( VW) avec la face du cube olution La droite ( VW) est incluse dans les plans et ( ) puisque V et W appartiennent à ces plans Or les plans ( ) et ( ) sont parallèles (propriété du cube) On sait qu un plan coupe deux plans parallèles suivant deux droites parallèles onc l intersection de ( ) avec ( ) est la parallèle à ( VW) passant par U lle coupe le côté [ ] en U V W voir aussi exercices n 29 à 31 xercice 8 es points coplanaires? ans le cube, pourquoi les quatre points, Q, R, ne sont-ils pas coplanaires? Q Trois points non-alignés sont toujours coplanaires est pour étudier la situation de quatre points que les difficultés commencent R olution Raisonnons par l absurde : s ils appartenaient à un même plan, celui-ci couperait les plans parallèles ( ) et ( ) suivant les deux droites ( Q) et ( R) qui devraient être parallèles et donc parallèles sur le dessin, ce qui n est pas le cas Les points ne sont donc pas coplanaires chapitre 11 éométrie dans l espace 283
OUR 4 roites et plans nclusion d une droite dans un plan ropriété 9 i et sont deux points d un plan, alors la droite entière est contenue dans On dit qu elle est incluse dans ( ) toute éfinition 4 osition relative d une droite et d un plan de l espace 1 roites et plans sécants Une droite et un plan sont dits sécants quand ils ont un seul point commun Remarque : n pratique, on utilise souvent le raisonnement suivant : oit et Q deux plans sécants suivant une droite i la droite, incluse dans Q coupe le plan en, alors ce point appartient à Q 2 roites et plans parallèles éfinition 5 i la droite est incluse dans le plan ou si et n ont aucun point commun, on dit qu ils sont parallèles xemple : oit le plan ( abc) du cube e h f g e h f g d d c c a b a b ( ac) est incluse dans ( hf ) est parallèle au plan ropriété caractéristique 10 oit une droite et un plan est parallèle à si et seulement si est parallèle à une droite de e a d h ( eg) // ( abc) car ( eg) // ( ac) f b g c 284 chapitre 11 éométrie dans l espace
OUR XR LTON xercice 9 Trouver l intersection d une droite et d un plan eux points U et V appartenant aux côtés [ ] et [ ] d un tétraèdre sont tels que la droite ( UV) n est pas parallèle au plan de base ( ) onstruire le point d intersection de la droite ( UV) avec ( ) olution U et V appartiennent aux côtés [ ] et [ ], donc ils appartiennent au plan ( ) ar suite, la droite ( UV) est contenue dans ce plan (propriété d inclusion), donc ( UV) et ( ) sont coplanaires La droite ( UV) n étant pas parallèle à ( ), elle n est pas parallèle à ( ) onc les droites ( UV) et ( ) sont sécantes en un point de ( ) omme ( ) est incluse dans le plan ( ), est un point de ( ) est donc bien le point d intersection Méthode our trouver l intersection d une droite avec un plan, on cherche une droite du plan sécante avec Leur point d intersection est le point cherché U V voir aussi exercices n 9, 23 et 33 xercice 10 Le théorème du toit oit deux plans sécants et Q parallèles à une même droite d Montrer que leur droite d intersection est parallèle à d olution oit un point commun à et Q ans, passe par une droite d parallèle à d ans Q, passe également par une droite d parallèle à d omme il ne passe par qu une seule droite parallèle à d, d d sont confondues l s agit de qui est donc parallèle à d et d Q voir aussi exercices n 35, 36, 37, 38 chapitre 11 éométrie dans l espace 285
OUR 5 Orthogonalité dans l espace roites orthogonales éfinition 6 eux droites de l espace sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles issues d un même point sont perpendiculaires xemple : oient // d et // d omme d et d sont perpendiculaires en, alors et sont orthogonales Remarque : On réserve le terme «droites perpendiculaires» à des droites qui sont orthogonales et sécantes d d roite orthogonale à un plan éfinition 7 Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites du plan ropriété 11 our qu une droite soit orthogonale à un plan, il suffit qu elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan Remarque : Le plan passant par le milieu d un segment et qui lui est orthogonal s appelle plan médiateur du segment arallélisme et orthogonalité ropriété 12 eux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles ropriété 13 eux droites orthogonales à un même plan sont parallèles 286 chapitre 11 éométrie dans l espace
OUR XR LTON xercice 11 e méfier de certaines affirmations 1 st-il vrai que deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles? 2 st-il vrai que si deux droites sont orthogonales, un plan parallèle à l une est orthogonal à l autre? olution Les deux affirmations sont fausses laçons-nous dans le cube 1 Les droites ( ) et ( ) sont perpendiculaires à ( ) mais ne sont pas parallèles entre elles 2 Les droites ( ) et ( ) sont orthogonales Le plan ( ) est parallèle à ( ) mais n est pas orthogonal à ( ) xercice 12 émontrer l orthogonalité de deux droites ans le cube, ( ) et ( ) sont-elles orthogonales? olution On sait que ( ) ( ) et ( ) ( ) onc la droite ( ) est orthogonale au plan ( ) lle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan et en particulier à ( ) voir aussi exercices n 41 et 42 xercice 13 Trouver le plan médiateur d un segment ans le tétraèdre régulier (c est-à-dire dont toutes les arêtes ont même longueur), soit le milieu de [ ] 1 Quel est le plan médiateur de [ ]? 2 émontrer que tout point M de ce plan est équidistant de et olution 1 Les faces d un tétraèdre régulier étant des triangles équilatéraux, la médiane ( ) du triangle est une hauteur : ( ) ( ) On démontre de même que ( ) ( ) onc ( ) est orthogonale au plan ( ) qui en est le plan médiateur 2 oit M un point, distinct de, du plan ( ) (si M=, on a bien = ) uisque ( ) est orthogonale au plan ( ), elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan donc ( ) ( M) ans le plan ( M) la droite ( M) est donc une médiatrice de ( ) ar suite M = M M oint info La réciproque de la propriété énoncée à la question 2 est vraie : le plan médiateur est l ensemble des points équidistants de et voir aussi exercice n 46 chapitre 11 éométrie dans l espace 287
pplications éveloppements 1 Que voit-on? L La figure ci-contre représente un cube de côté 3 cm,,, L sont les milieux des côtés [ ], [ ], [ ], [ ] our chaque question, l un des dessins est en vraie grandeur ela signifie que ses dimensions sont exactement celles de la figure réellement dessinée sur le cube Quel est le bon dessin? 1 Quadrilatère L a b c L L L 2 Triangle a b c 3 Triangle L L L L 288 chapitre 11 éométrie dans l espace
nterdisciplinarité ituations problèmes Thème d étude 2 Les solides de l espace OT : écouvrir les cinq solides de laton et émettre une conjecture «Nul n entre ici s il n est géomètre» laton (428-348 avant -) fut le premier à démontrer qu il n existe, parmi tous les solides de l espace, que cinq polyèdres réguliers convexes : le tétraèdre, le cube, l octaèdre, le dodécaèdre, et l icosaèdre ; qui ont la particularité remarquable d avoir pour faces des polygones réguliers tous identiques nthousiasmé par sa découverte, laton a présenté ces solides comme les éléments du monde, les cinq solides cosmiques : le tétraèdre symbolise le feu, l octaèdre l air, le cube la terre, l icosaèdre l eau et le dodécaèdre l univers our chacun de ces solides : a dentifier le polygone régulier qui constitue une face b ompter le nombre d arêtes, de faces et de sommets c alculer + Que remarque-t-on? 1 Tétraèdre 2 ube 3 Octaèdre 4 odécaèdre 5 cosaèdre our aller plus loin : sur nternet, faites «bracadabri»! chapitre 11 éométrie dans l espace 289
pplications éveloppements 3 alculs dans un cube OT : Utiliser les théorèmes de géométrie plane dans différents plans de l espace M Q Les arêtes du cube ont pour mesure l unité Les points et Q sont les centres des faces et 2 1 a émontrer que = ------- 2 b ustifier que le triangle est rectangle en alculer 6 2 ustifier de même que Q = ------- 2 3 oit M le milieu de [ Q] a ustifier que M est rectangle en M 2 b n considérant le triangle, démontrer que Q = ------- 2 4 a alculer une valeur approchée en degrés à 0,01 près de la mesure de l angle M b n déduire une valeur approchée en degrés à 0,1 près de la mesure de l angle Q 4 vec le logiciel eospace OT : aider d une figure dynamique de l espace pour conjecturer puis démontrer est un cube dont les arêtes ont pour mesure l unité, et sont les milieux des segments [ ], [ ] et [ ] onjecture À votre avis, quelle est la nature du triangle? 290 chapitre 11 éométrie dans l espace
nterdisciplinarité ituations problèmes réation et exploration de la figure à l aide de eospacw 1 Ouvrez le logiciel eospace ans le menu ichier, choisissez harger une figure hoisissez le répertoire ases, puis la figure cube2g3w Validez par O Le cube va apparaître 2 ans le menu réer, choisissez oint puis Milieu, entrez le nom du segment : puis du milieu : comme ci-contre liquez sur O 3 Recommencez pour créer et 4 ans le menu réer, choisissez Ligne, puis olygone convexe, puis éfini par ses sommets ntrez comme sommets et T comme nom pour le triangle 5 xploration : ans le menu Vues, choisissez Vue avec un autre plan de face omplétez comme indiqué ci-contre : liquez sur O 6 onfirmez-vous votre conjecture du début? 7 ppuyez simultanément sur les touches trl et 1 du clavier pour revenir à la vue de départ ustification 1 ans le menu réer, choisissez oint, ntersection d une droite et d un plan réez ainsi le point intersection de la droite ( ) et du plan ( ) 2 Le point semble aligné avec deux autres points de la figure Lesquels? ustifiez ce résultat 3 Tracez le triangle (comme à la question 4) et nommez-le T 4 a Tracez de même le quadrilatère et nommez-le Q1 b Montrez que est un parallélogramme et déduisez-en c Montrez que est le milieu de [ ] 5 Tracez le quadrilatère et nommez-le Q2 alculez 6 Tracez le quadrilatère et nommez-le Q3 alculez Méthode our changer la couleur d un objet représenté : cliquez sur l icône cliquez sur l une des couleurs proposées cliquez dans la figure sur l objet concerné cliquez sur ermer 7 Quelle est la nature du triangle? éduisez-en la nature du triangle chapitre 11 éométrie dans l espace 291
pplications éveloppements 5 ections planes de cubes es intersections de plans est un cube U, V et W sont tels que : U [ ], V [ ], W [ ] 1 aire la figure On tracera au fur et à mesure les intersections trouvées ustifier que U, V et W ne sont pas alignés On note le plan déterminé par U, V et W 2 a Repérer deux points appartenant à et au plan U ( ) n déduire l intersection de ces deux plans W b éterminer l intersection des plans et ( ) V 3 ntersection avec ( ) a On connaît a priori un seul point appartenant à et à ( ) Lequel? b Utiliser la propriété 7 pour déterminer l intersection de avec ( ) c Tracer l intersection de avec ( ) Quelle est la bonne intersection? est un point du côté [ ], Q et R sont deux points de la face ( ) On a tracé le polygone, intersection du cube avec le plan ( QR) Quel est le dessin qui représente la bonne intersection? Q Q Q R R R n sortant du cube est un point de la face ( ) et appartiennent à la face ( ) On note le plan ( ) 1 éterminer l intersection de ( ) avec ( ) 2 n déduire le segment intersection de avec la face ( ) du cube 3 Tracer toutes les intersections de avec les faces du cube 292 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR RÉOLU 1 émontrer un alignement Trois points U, V et W appartiennent aux côtés [ ], [ ] et [ ] d un tétraèdre Tracer les intersections, et des droites ( UV), ( VW) et ( WU) avec le plan ( ) émontrer que, et sont alignés U W Une solution U et V appartiennent au plan ( ) Le point, intersection de ( UV) et du plan ( ), est sur la droite intersection de ( ) et ( ), c est-à-dire ( ) onc est l intersection de ( UV) et ( ) On trace de même intersection de ( VW) et ( ) et intersection de ( WU) et ( ) omme l énoncé l indique, les points, et semblent effectivement alignés, point de la droite ( UV), est donc aussi dans le plan ( UVW) l en est de même des points, point de ( VW) et, point de ( WU) onc, et appartiennent au plan ( UVW) autre part, par définition, ces trois points appartiennent au plan ( ) ls sont donc alignés sur la droite d intersection des plans ( UVW) et ( ) U W V V voir aussi exercices n 25, 26, 27 2 émontrer une orthogonalité oit le plan défini par une droite et un point extérieur à On note le pied de la perpendiculaire abaissée de sur oit d la droite orthogonale en au plan et un point de d distinct de émontrer que les droites et ( ) sont orthogonales d Une solution ar définition, la droite ( ) est orthogonale au plan onc (définition 6), elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite : ( ) ( 1) autre part, d après l énoncé, la droite ( ) est perpendiculaire à : ( ) ( 2) onsidérons alors le plan ( ) l contient les droites ( ) et ( ) après ( 1) et ( 2), la droite est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan après la propriété 11, elle est orthogonale au plan ( ) onc elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite ( ) : ( ) ommentaires Remarquez bien le cœur du raisonnement : «ès qu une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan» La propriété démontrée est une propriété classique appelée théorème des trois perpendiculaires voir aussi exercices n 44, 45, 46 chapitre 11 éométrie dans l espace 293
Q u e s a i s - j e? 1 écant ou parallèle? e a u h hoisir la bonne réponse : 1 Les droites ( us) et ( ef ) sont : sécantes parallèles ni l une ni l autre 2 Les droites ( ts) et ( ef) sont : sécantes parallèles ni l une ni l autre 3 Les droites ( au) et ( ft) sont : sécantes parallèles ni l une ni l autre 4 Les droites ( au) et ( cs) sont : sécantes parallèles ni l une ni l autre 2 Volumes ur la figure suivante, abcd est un carré de centre o et de côté 2 cm t s f b s g c 3 roites et plans La droite est incluse dans un plan et la droite dans un plan hoisir la bonne réponse : 1 Quand la droite est orthogonale à, et sont orthogonales toujours jamais parfois 2 Quand la droite est orthogonale à, et sont orthogonaux toujours jamais parfois 3 Quand les plans et sont parallèles, et sont parallèles toujours jamais parfois 4 ntersections Le cube abcdefgh est représenté en fil de fer h g e f d c a b a 2 cm d o 2 cm b c hoisir la bonne réponse : 1 Le plan ( cde) coupe la face ( abfe) suivant : [ ab] [ ae] [ ef] 2 Le plan ( cde) coupe la face ( adhe) suivant : [ ae] [ de] [ he] 3 Le plan ( cde) coupe la face ( bcgf) suivant : [ bf] [ gf] [ cf] hoisir la bonne réponse Quel est le volume, en cm 3 : 1 du cône de sommet s et de base le disque inclus dans le carré? 8 ------ 3 4 ------ 3 2 ------ 3 --- 3 2 du cylindre de hauteur os et de base le disque inclus dans le carré? 8 4 2 3 de la pyramide de sommet s et de base abcd? 8 3 -- 4 3 -- 2 3 -- 1 3 -- 4 du tétraèdre de sommet s et de base abc? 8 3 -- 4 3 -- 2 3 -- 1 3 -- 5 Orthogonalité et parallélisme La droite est incluse dans un plan et la droite dans un plan hoisir la bonne réponse : 1 Quand les plans et sont parallèles, et sont parallèles toujours jamais parfois 2 Quand la droite est orthogonale à, et sont parallèles toujours jamais parfois 3 Quand la droite est parallèle à, et sont orthogonales toujours jamais parfois 294 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR XR NTRÎNMNT hanger de vues 1 On a représenté ci-dessous différentes vues de ce solide (vues de face, de dessus, ) Mettre une légende à chacune d elles et dire quelle partie aurait dû être colorée en rouge 1 2 3 4 4 Les droites dessinées semblent sécantes Le sont-elles réellement? (On pourra s aider d un cube ou des fichiers du cédérom) a ( ) et ( ) b ( M) et ( ) avec M [ ] 2 n empilant des cubes de même taille, on a obtenu la structure ci-contre Représenter les vues : a de face ; b de dessus ; c de profil M c ( MN) et ( ) avec M [ ] et N [ ] 3 vec le logiciel eospace vec eospace, dans le menu ichier, choisir harger une figure puis dans le répertoire [Observe], choisir le fichier Observe1g3w vec eoplan-eospace, dans le menu ichier, choisir Ouvrir une figure de l espace et dans le dossier xemples, choisir space puis Observe et ouvrir le fichier Observelg3w aire tourner la figure en maintenant appuyée la touche Maj (majuscules) et en appuyant sur l une des six flèches du clavier : ou ou ou ou ou pour obtenir les vues suivantes : 1 2 3 4 M d ( ) et ( M) avec M [ ] 5 On a placé des points M, N et sur les arêtes [ ], [ ] et [ ] d un tétraèdre Les points M, N et sont-ils alignés? M N M N chapitre 11 éométrie dans l espace 295
XR essiner en perspective cavalière our les exercices 6 à 11, on reproduira la figure ou on utilisera un fond de figure (voir cédérom) 6 est un cube 1 lacer : a milieu de [ ] ; b O centre du carré ; c le point de [ ] 3 tel que = -- 4 2 Tracer les droites ( O) et ( O) 7 1 essiner en perspective cavalière un tétraèdre 2 lacer le centre de gravité du triangle 3 lacer le milieu de [ ] 4 essiner la droite ( ) 8 Recopier et compléter la figure suivante pour obtenir un tétraèdre 1 2 10 ans sa chambre, rthur veut placer un coffre de longueur 1 m 50, de hauteur 1 m et de largeur 75 cm 1 Reproduire l angle de la pièce ci-dessous (chaque flèche correspond à une longueur de 1 m) ou utiliser le fond de figure 2 On suppose que la pièce a des murs bien droits et perpendiculaires entre eux essiner en perspective le coffre sachant que rthur veut le placer contre le mur du fond, à 2 m du mur de gauche 11 Même exercice que le n o 10 sachant que rthur place son coffre le long du mur de gauche, à 1 m du mur du fond atrons 3 12 essiner un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 8 cm aire son patron puis calculer son aire latérale 13 Un cône a pour hauteur = 6 cm pour rayon R= T= 2 cm et 9 Recopier et compléter, si possible, la figure pour obtenir une pyramide régulière à base carrée 1 2 1 Quelle est la nature du triangle T? Le reproduire en vraie grandeur 2 alculer la longueur T 3 alculer une valeur approchée à 0,1 degré près du demi-angle au sommet T 4 onstruire un patron de ce cône T 296 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR 14 est un cube d arête a Les points,, et sont les milieux des arêtes [ ], [ ], [ ] et [ ] 1 On considère le solide rouge ombien a-t-il de sommets? de faces? 2 n prenant a = 3 cm, dessiner un patron du solide 3 alculer son volume en fonction de a 15 On considère la portion de cube d arête a ci-dessous : 17 oit un tétraèdre régulier dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux de côtés 3 cm On place les points suivants : le milieu de [ ] ; le point de [ ] 1 tel que = -- ; 3 le point de [ ] tel que = 1 -- 3 On «enlève» le tétraèdre aire le patron (en vraie grandeur) du solide restant 18 Thème d étude atron d un tétraèdre La figure ci-dessous est le patron d un tétraèdre Les longueurs étant mesurées en cm, on donne : = 7 ; = 6, 7 ; = 5, 5 et = 7, = 65, et = 54, 1 éterminer les longueurs des autres côtés 2 Reproduire la figure et reconstituer (sans le coller) le tétraèdre 1 n prenant a = 3 cm, dessiner le patron du solide 2 alculer son volume en fonction de a 16 Un tétraèdre est régulier si ses arêtes ont toutes la même longueur 1 ombien a-t-il d arêtes? de faces? 2 Quelle est la nature de chacune de ses faces? 3 essiner un patron d un tétraèdre régulier dont les arêtes mesurent 4 cm 3 Rouvrir le patron et tracer les trois hauteurs des triangles,, issues respectivement de, et 4 Vérifier qu elles semblent sécantes en un point 5 À votre avis, à quoi peut correspondre ce point par rapport au quatrième sommet du tétraèdre? 6 oit le point d intersection de ( ) et ( ), Q celui de ( ) et ( ), R celui de ( ) et ( ) a xpliquer pourquoi = b Quelle est la nature du triangle? n déduire que > c Quelles autres inégalités peut-on écrire de façon analogue? 7 our aller plus loin : onfectionner un autre patron de tétraèdre chapitre 11 éométrie dans l espace 297
XR ositions relatives 19 est un cube 1 iter des droites parallèles à : a ( ) ; b ( ) ; c ( ) 2 es droites sontelles coplanaires : a ( ) et ( )? b ( ) et ( )? 1 iter si c est possible des droites parallèles à : a ( ) ; b ( ) ; c ( ) 2 iter des droites parallèles au plan ( ) 22 oit un tétraèdre 1 aire une figure et construire les points : a sur [ ] différent de et de ; b sur [ ] tel que ( ) soit parallèle à ( ) c sur [ ] tel que ( ) soit parallèle à ( ) 2 Quelle est la position relative des plans ( ) et ( )? (ustifier) 3 n déduire que les droites ( ) et ( ) sont parallèles 20 Une pyramide est représentée cidessous en perspective cavalière est le milieu du segment [ ], celui de [ ] Les points et L sont deux points du segment [ ] distincts de son milieu et de ses extrémités ntersections 23 ur la figure ci-dessous, les points et sont dans un plan ( ) et O est extérieur à ( ) O L () 1 a Le point est-il un point du plan ( )? du plan ( )? b L est-il un point du plan ( )? ( )? 2 Les droites ( ) et ( ) sont-elles dans un même plan? sont-elles sécantes? 3 Reprendre la question 2 pour : a ( ) et ( ) ; b ( ) et ( ) ; c ( ) et ( ) ; d ( L) et ( ) lacer l intersection de la droite ( ) et de ( ) 24 est un parallélépipède 21 oit une pyramide régulière de sommet et de base carrée est le projeté orthogonal de sur le plan ( ),,, L sont les milieux respectifs des segments [ ], [ ], [ ], [ ] L 1 Montrer que et sont des parallélogrammes On note et leurs centres respectifs 2 Montrer que est un parallélogramme Que peut-on en déduire pour [ ] et [ ]? 3 Que peut-on en déduire pour les quatre diagonales [ ], [ ], [ ] et [ ] de ce parallélépipède? 298 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR 25 est un tétraèdre, est un point de [ ], un point de [ ] et un point de [ ] tels qu aucun des côtés du triangle ne soit parallèle à un côté du triangle 1 n justifiant leur existence, placer :, intersection de ( ) et ( ) ;, intersection de ( ) et ( ) ;, intersection de ( ) et ( ) 2 a iter plusieurs points communs aux plans ( ) et ( ) b Quelle est l intersection de ces deux plans? c Qu en déduit-on pour les points, et? 26 ur le tétraèdre on a placé : sur [ ], M sur [ ], N sur la face dans la position indiquée ci-contre N 1 Tracer la section du M tétraèdre par le plan ( MN) 2 éterminer l intersection de ( ) et ( MN) 27 lein d autres tétraèdres! Ouvrir le logiciel nteresp (fourni avec eospace) et faire dans l ordre les exercices suivants : page 1 : exercices 1, 2, 3 ; page 2 : exercices 1, 2, 3 et 6 28 On considère un plan, deux points et extérieurs à tels que ( ) coupe en O M est un point mobile de l espace différent de et On suppose que les droites ( M) et ( M) coupent le plan respectivement en et M ntersection et parallélisme 29 est un cube sur lequel on a placé les points situés aux milieux, aux quarts et aux trois-quarts des arêtes On cherche l intersection du plan ( MN) avec le cube N 1 ompléter la propriété suivante : «si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l un est, et les droites d intersection sont» 2 Quelle est l intersection du plan ( MN) avec la face? n déduire l intersection de ( MN) avec la face 3 essiner le section du cube par le plan ( MN) 30 Les conventions graphiques sont les mêmes qu à l exercice 29 Tracer la section du cube par le plan ( MN) M 31 Les conventions graphiques sont les mêmes qu à l exercice 29 N M N M O () 1 Reproduire la figure et construire 2 Montrer que toutes les droites ( ) passent par un même point 3 Que se passe-t-il si ( ) est parallèle à ( )? 1 éterminer l intersection du plan ( MN) avec les faces et 2 éterminons la section avec la face : a Quel point commun au plan ( MN) et à cette face connaît-on? chapitre 11 éométrie dans l espace 299
XR b iter une droite du plan ( MN) et une droite du plan ( ) qui sont coplanaires c n déduire un autre point commun aux plans ( MN) et ( ) éterminer leur intersection 3 Tracer la section du cube par le plan ( MN) 36 On considère le solide suivant (demiparallélépipède rectangle) est un point de [ ] autre que et 32 On a coupé un cube par un plan pour obtenir la section colorée éterminer l intersection du plan avec le plan sur lequel est posé le cube On cherche l intersection de ( ) et ( ) 1 Quel point commun leur connaît-on? 2 essiner, en justifiant, l intersection du plan ( ) avec le plan ( ) 37 O est une pyramide dont la base est un trapèze avec [ ] parallèle à [ ] O 33 e cube posé sur un plan est éclairé suivant la direction indiquée par l ombre d un de ses sommets On considère que les rayons du soleil sont parallèles Tracer l intersection des plans : a ( O) et ( O) ; b ( O) et ( O) 38 est un tétraèdre On place milieu de [ ], milieu de [ ] et sur [ ], distinct du milieu de [ ], de et de éterminer l intersection des plans ( ) et ( ) Représenter l ombre de ce cube sur le plan 39 oit ce pavé droit, est le centre du rectangle 34 est un cube et est le milieu de [ ] essiner sur le cube la trace de son intersection avec le plan ( ) passant par et parallèle à ( ) our les exercices 35 à 38, on utilisera le résultat de l exercice d application 10 page 285 (théorème du toit) 35 Une droite ( d) est parallèle aux plans sécants ( ) et ( Q) Montrer que ( d) est parallèle à la droite d intersection de ( ) et ( Q) éterminer la droite d intersection du plan ( ) et du plan passant par et contenant la droite ( ) 300 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR 40 L ombre de la fenêtre Le soleil entre à flot dans la pièce et redessine la forme de la fenêtre sur le mur du fond On considère que les rayons du soleil sont parallèles On a déjà tracé l ombre de l un des coins de la fenêtre sur le mur du fond 1 Reproduire à l aide d un calque le dessin cidessous (ou utiliser le fond de figure) 2 essiner l ombre de la fenêtre sur le mur du fond 1 On souhaite prouver que ( ) et ( ) sont orthogonales ustifier chacune des étapes à l aide d un des outils de la «boîte à outils» donnée à la fin de l exercice Étape 1 : ( ) et ( ) sont orthogonales Étape 2 : ( ) est orthogonale au plan ( ) Étape 3 : ( ) est orthogonale à ( ) Étape 4 : ( ) est orthogonale au plan ( ) Étape 5 : ( ) et ( ) sont orthogonales 2 On souhaite montrer de même que ( ) et ( ) sont orthogonales our cela on va montrer que ( ) est orthogonale à un plan contenant ( ) : lequel? Écrire les différentes étapes de la démonstration comme dans la question 1 3 ustifier que ( ) est orthogonale au plan ( ) oîte à outils : (1) ropriétés du carré (2) ropriétés du cube (3) Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan (4) Une droite orthogonale à deux droites sécantes d un plan est orthogonale à ce plan (5) Une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toute droite de ce plan Orthogonalité 41 La figure est celle de l exercice 19 iter des droites orthogonales à : a ( ) ; b ( ) ; c ( ) 42 La figure est celle de l exercice 21 i elles existent, citer des droites orthogonales à : a ( ) ; b ( ) ; c ( ) 43 ide à la démonstration est un cube On souhaite démontrer que la droite ( ) est orthogonale au plan ( ) 44 oit un carré situé dans un plan ( ) oit M un point de la perpendiculaire à ( ) passant par (distinct de ) Montrer que : a ( M) est orthogonale à ( ) ; b ( ) est orthogonale à ( M) 45 oit un tétraèdre régulier oit le pied de la hauteur issue de du triangle 1 Montrer que ( ) est la hauteur issue de du triangle 2 Montrer que ( ) est orthogonale à ( ) 3 n déduire que ( ) et ( ) sont orthogonales chapitre 11 éométrie dans l espace 301
XR 46 oit un tétraèdre tel que = et = ; le milieu de [ ] 1 Montrer que ( ) et ( ) sont orthogonales 2 Montrer que ( ) et ( ) sont orthogonales 3 n déduire que ( ) est orthogonale à ( ) alculs de grandeurs dans l espace 47 oit un cube de côté 2 cm 1 a alculer la longueur de la diagonale d une face b n déduire la longueur de la diagonale 2 Reprendre la question 1 avec un cube de côté a 48 Montrer que les quatre sommets du cube cidessous forment un tétraèdre régulier 49 yramides et fonctions est un parallélépipède rectangle = 7, = 6 et = 4 (unité : 1 cm) 1 a Quelle est la nature du triangle? b alculer son périmètre et son aire est un point de [ ] ; on coupe la pyramide par le plan passant par et parallèle à la base pour obtenir le triangle L L On note x la distance, px ( ) le périmètre du triangle L et ax ( ) son aire 2 a À quel intervalle appartient x? b essiner en vraie grandeur la face en prenant (pour le dessin seulement) x = 15, c xprimer en fonction de x le rapport de réduction de à L d n déduire px ( ) et ax ( ) en fonction de x 3 Tracer les courbes représentant p et a 4 éterminer pour quelles valeurs de x on a : 1 1 a px ( ) -- ; b ax ( ) -- 2 2 50 oit un tétraèdre dont les faces contenant sont des triangles rectangles en On donne = 10 ; = 12 et = 14 alculer, et 51 oit une pyramide régulière à base carrée On note le projeté orthogonal de sur ( ) et le milieu de [ ] 1 On suppose que : = 2 cm et = 4 cm alculer puis 2 Reprendre la question 1 avec = a et = 2a 52 oit un octaèdre de centre O formé de huit triangles équilatéraux identiques de côtés 10 cm est le milieu de [ ] O 1 alculer O, et O ; en déduire la hauteur de l octaèdre 2 onner une mesure en degrés à 10 2 près de l angle 302 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR XR ROONMNT 53 ur le cube, on a marqué les points situés aux quart, demi, trois-quarts des arêtes éterminer la section du cube par le plan ( MN) M N 54 est un prisme droit et est le milieu de [ ] éterminer l intersection de la droite parallèle à ( ) et passant par avec le plan ( ) 55 oit un plan ( ) et une droite ( ) sécants en un point 1 lacer sur ( ) deux points et de part et d autre de oit M un point n appartenant ni à ( ) ni à ( ), dessiner ( M) et ( M) 2 On appelle le point d intersection de ( M) et ( ), s il existe, et le point commun à ( M) et ( ) Montrer que, et sont alignés 56 ans le cube, appartient à [ ], à [ ] et à [ ] our chercher 57 Les points et Q appartiennent aux arêtes [ ] et [ ] d un cube omment tracer la droite de ( ) passant par et orthogonale à ( Q)? ndication : construire l intersection de ( Q) et ( ) puis travailler dans le triangle 58 Qui contient le plus de liquide? On verse une même hauteur h de liquide (en cm) dans chacun des récipients suivants : r = 5 cm Q Quel récipient contiendra le plus de liquide? 59 On scie le parallélépipède rectangle en bois ci-dessous suivant un plan de coupe qui contient le segment [ ] et qui passe par le sommet 3 cm h h 8 cm L = 10 cm l = 3 cm 8 cm h 4 cm 30 éterminer l intersection des plans ( ) ( ) et 1 Représenter les intersections de ce plan de coupe avec les faces de cet objet 2 Représenter la section en vraie grandeur xtrait de Rallye de la Réunion chapitre 11 éométrie dans l espace 303
XR ROLÈM 60 est un cube de côté 4 cm, et O sont les centres des carrés et O 1 alcul de O a Montrer que le triangle est équilatéral et calculer la longueur de son côté b Montrer que les droites ( O) et ( ) sont parallèles n déduire O 2 alcul de O a Montrer que O est rectangle en b alculer O 3 alculer 4 oit le milieu de [ O] alculer puis puis 5 a Les points, et sont-ils alignés? b Quelle est la position de [ O] et ( )? 61 est un tétraèdre régulier d arête a On appelle,, et L les milieux respectifs des arêtes [ ], [ ], [ ], [ ] On veut montrer que L est un carré et L calculer son aire 1 a Montrer que les droites ( ) et ( ) sont parallèles, calculer en fonction de a b Montrer que L est un losange 2 oit M le milieu de [ ] a Montrer que les droites ( M) et ( ) sont orthogonales ainsi que ( M) et ( ) b n déduire que ( ) est orthogonale à ( ) puis que ( ) est orthogonale à ( L) c Montrer que L est un carré 3 alculer l aire de L en fonction de a 62 est un tétraèdre dont les faces, et sont trois triangles rectangles isocèles en On note l orthocentre du triangle 1 Quelle est la nature du triangle? 2 Montrer que ( ) et ( ) sont orthogonales 3 Montrer que la droite ( ) est orthogonale au plan ( ) et donc à ( ) 4 Montrer de la même manière que ( ) est orthogonale à ( ) puis en déduire que ( ) est orthogonale au plan ( ) 5 On suppose que = = = 4 cm a alculer en cm 3 le volume V du tétraèdre b aire une figure de la face en vraie grandeur alculer son aire en cm 2 c xprimer V en fonction de et de n déduire 63 ônes, aires et volumes On considère un triangle O rectangle en O avec O = 4 cm et O = 3 cm n faisant tourner ce triangle autour de la droite ( O) ou autour de la droite ( O), on obtient deux cônes différents représentés avec leurs patrons : O cône d axe ( O) cône d axe ( O) 1 2 O 304 chapitre 11 éométrie dans l espace
XR 1 es deux cônes, quel est celui qui vous semble : a avoir le volume le plus grand? b avoir l aire latérale la plus grande? 2 éterminer les volumes V et V des cônes V et éterminer le rapport ------ V 3 éterminer pour chacun des deux cônes le périmètre du cercle de base 4 a éterminer parmi ces deux patrons de cônes, celui du cône, celui du cône b La longueur d un arc de cercle est égale à R, où désigne l angle au centre (en radians) interceptant cet arc de cercle et R le rayon du cercle éduire de la question a, pour chacun des deux patrons, la mesure en radians de l angle rentrant hachuré 5 On admet que l aire latérale d un cône est égale à ------ avec R= et l angle rentrant 2 hachuré éterminer les aires latérales et des deux cônes et puis le rapport ------ omparer avec le résultat obtenu à la question 3 R2 64 On dispose de 7 boules de diamètre 6 cm, 5 bleues et 2 jaunes que l on assemble ainsi : O 2 O 1 1 éterminer une mesure en radian de O 1 OO 2 3 2 n déduire que OO 1 = ------------------ sin --- 5 3 O est le projeté orthogonal du centre O de la boule O jaune du dessus a alculer OO b n déduire au O 1 O mm près la distance séparant les deux boules jaunes après Rallye de la Réunion O O 3 O 4 oint info O 5 Les centres des boules bleues sont dans un même plan ; chaque boule bleue est tangente à ses voisines ; chacune des deux boules jaunes est tangente aux cinq boules bleues On observe que les deux boules jaunes se retrouvent très proches l une de l autre herchons à quelle distance exactement n vue de dessus, c est-à-dire en projection orthogonale dans le plan contenant les centres O 1, O 2, O 3, O 4, O 5 des cinq boules bleues, on obtient le schéma suivant où O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 est un pentagone régulier de centre O : écouverts en 1985, les fullerènes sont des molécules composées d atomes de carbone Leur structure est formée d anneaux pentagonaux, hexagonaux et parfois heptagonaux i-dessus est représenté le fullerène 60 a structure est identique à celle d un ballon de football, avec 12 pentagones et 20 hexagones, chaque atome de carbone étant situé à l un des 60 sommets d un polyèdre inscrit dans une sphère oyez curieux : pourquoi ce nom de fullerène en hommage à l architecte Richard uckminster uller? chapitre 11 éométrie dans l espace 305