Signaux : propagation et superposition d ondes

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1 Pôle Joliot-Curie Chateaubriand Samedi 6 octobre 2018 PCSI 1, 2 & 3 Devoir surveillé n o 2 Signaux : propagation et superposition d ondes La durée de l épreuve est de 3 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. L usage de la calculatrice est autorisé. Tous les exercices sont indépendants. Les résultats devront être encadrés, un malus pourra être appliqué dans le cas contraire. Toute application numérique ne comportant pas d unité sera considérée comme fausse. Si au cours de l épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d énoncé, vous le signalerez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Exercice 1 Étude du son émis par une corde de guitare On donne : sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a et sin(a b) = sin a cos b sin b cos a Les trois parties de cet exercice sont largement indépendantes. Les résultats fournis dans la partie A pourront être utilisés pour traiter la partie B. A Étude théorique Nous étudions la propagation d une déformation le long d une corde d axe (Ox) et de longueur L. Nous supposerons dans cette étude que l onde se propage sans amortissement à la célérité c le long de la corde. La déformation qui s effectue dans la direction de l axe (Oy) perpendiculaire à (Ox) sera notée y(x, t). On suppose que l action du guitariste sur la corde se traduit par l apparition d une onde incidente du type y + (x, t) = a sin(ωt kx). La fonction y + (x, t) modélise une onde progressive sinusoïdale. A.1 Rappeler la signification et les unités des grandeurs a, ω et k. A.2 À l extrémité de la corde, la vibration subit une réflexion. On note y (x, t) = a sin(ωt+kx+ϕ) l onde réfléchie. Commenter le signe positif devant le second terme dans la parenthèse ainsi que la présence du déphasage ϕ. A.3 On note y(x, t) = y + (x, t) + y (x, t) la vibration résultante. La corde étant fixée en x = 0, ceci implique que y(0, t) = 0. Déterminer le déphasage ϕ. A.4 Montrer que la vibration résultante peut s exprimer sous la forme : y(x, t) = 2af(x)g(t) où f(x) et g(t) sont respectivement une fonction de la variable x et une fonction du temps que l on explicitera. A.5 La corde est fixe en x = L. Il apparait des modes propres de vibration que l on peut caractériser par un entier naturel n N. Déterminer les pulsations propres ω n en fonction de n, L et c ainsi que les longueurs d ondes λ n en fonction de n et de L. A.6 Montrer que la fonction y(x, t) peut s exprimer sous la forme : ( nπx ) ( ) nπct y(x, t) = 2a sin cos L L A.7 On appelle mode fondamental le signal de plus basse fréquence et les harmoniques les fréquences d ordre supérieur. Exprimer la longueur d onde λ 1 du mode fondamental. Exprimer également les longueurs d ondes λ 2 et λ 3 des deux premiers harmoniques en fonction de λ 1. Représenter ces trois modes de vibrations sur la corde de longueur L. 1

2 A.8 On note f 1 la fréquence du mode fondamental. Exprimer les fréquences f 2, f 3 et f 4 des trois premiers harmoniques en fonction de f 1. A.9 La célérité des ondes le long d une corde de guitare est donnée par c = 2 T où d est le d πρ diamètre de la corde de guitare, ρ est la masse par unité de volume ou masse volumique du matériau de la corde et T est la tension à laquelle cette corde est soumise. Vérifier l homogénéité de cette expression. B Étude de documents B.1 En vous aidant des résultats obtenus ou fournis dans la partie théorique, justifier les affirmations (I1), (I2) et (I3) du document 1. 2

3 B.2 À partir du document 2, donner, à un même instant, la représentation graphique de l allure de la corde pour les modes 3, 7 et 9. B.3 Déduire des documents 1 et 2, en explicitant votre démarche, quelle corde a été excitée. B.4 Le document 1 précise que «la tension de chaque corde représente un poids d environ cinq à quinze kilogrammes». Les données permettent-elles de valider cette affirmation? C Accorder sa guitare Quand on accorde une guitare, une méthode consiste à comparer, à l oreille, le son émis par une corde à une référence acoustique. Pour simuler expérimentalement cette situation, deux diapasons donnant le la 3 (fréquence fondamentale de f 1 = 440 Hz ont été utilisés. En rajoutant une masselotte sur une branche d un des deux diapasons, la fréquence f 2 de ce diapason est changée significativement. L importance de l effet dépend de la position de la masselotte sur la branche. La figure ci-dessous montre un enregistrement du son résultant de la superposition des ondes produites par les deux diapasons excités, l un des deux ayant été décalé en fréquence à l aide d une masselotte. C.1 Quel phénomène observe-t-on? Décrire précisément la sensation auditive associée. 3

4 C.2 En le justifiant à l aide de plusieurs représentations de Fresnel à des instants bien choisis, 1 montrer que la période associée à la variation temporelle de l amplitude du signal s écrit T = f 2 f 1. C.3 Mesurer l écart f entre les fréquences des ondes émises par les deux diapasons à partir de la figure ci-dessus. C.4 Dans les deux enregistrements ci-dessous, seule la position de la masselotte change. Dans quelle situation (gauche ou droite), les diapasons vibrent avec des fréquences les plus proches (une justification est attendue). C.5 Comment expliquer dans les deux situations ci-dessous que le signal s atténue? Exercice 2 Onde progressive sinusoïdale sonore et ultrasonore Les différentes parties de cet exercice sont complètement indépendantes. A Étude d une onde sonore Un haut-parleur excité par un GBF émet une onde sonore sinusoïdale de pulsation ω. En considérant que l atténuation peut être négligée, le signal s(x, t) capté par un microphone placé au point d abscisse x sur l axe du haut parleur est donné par une expression de la forme : s(x, t) = A cos(ωt kx + ϕ) La célérité du son dans l air dans les conditions de l expérience est égale à c = 3, m s 1. A.1 Rappeler la relation liant ω, k et c. Quelle est la dimension de k? On visualise sur un oscilloscope le signal délivré par le microphone. L oscillogramme obtenu lorsque le microphone se trouve dans le plan x = 0 est représenté sur la figure 1 fournie en annexe à la fin de l énoncé. A.2 Déterminer d après cet oscillogramme les valeurs de l amplitude A du signal, de sa fréquence f et de la phase à l origine ϕ. A.3 Déterminer la longueur d onde, puis déterminer le retard temporel t correspondant à une progression de l onde de x = 34 cm. A.4 Représenter soigneusement sur la Figure 1, l allure du signal dans le plan d abscisse x = 34 cm en le justifiant sommairement. A.5 Reproduire sur la Figure 2 en annexe, l allure des variations du signal s en fonction de x à la date t = 0 en le justifiant sommairement. B Mesure de la célérité du son à l aide d une onde ultrasonore Le GBF délivrant maintenant une fréquence f = 40,0 khz est relié à un émetteur à ultrasons. Le signal de l émetteur et le signal fourni par un capteur placé devant l émetteur sont visualisés simultanément sur l écran d un oscilloscope. On règle initialement la distance entre le capteur et l émetteur de telle sorte que les signaux observés soient en phase. 4

5 B.1 En partant de cette position l opérateur déplace lentement le capteur jusqu à retrouver pour la première fois des signaux en phase. Que peut-on dire de la distance dont a été déplacée le capteur? B.2 L opérateur déplace le capteur jusqu à compter 10 coïncidences de phase successives après la position initiale et mesure entre ces deux positions une distance d = 8,6 cm. Calculer la valeur de la célérité du son que l on peut déduire de cette expérience. B.3 La distance d a été mesurée avec une incertitude d = 0,4 cm au niveau de confiance de 95%. L incertitude relative sur la valeur de la fréquence pouvant être négligée, on peut considérer que l incertitude relative c sur la valeur de c s identifie à l incertitude relative λ. sur la valeur de la c λ longueur d onde. En déduire l incertitude absolue sur c dans cette expérience au niveau de confiance de 95%. B.4 Comment pourrait-on procéder pour améliorer la précision de la mesure? C Superposition de deux signaux Deux émetteurs considérés comme ponctuels, situés en S 1 et S 2, séparés d une distance a émettent en phase des ondes ultrasonores harmoniques de même fréquence f = 40,0 khz. Un petit micro M peut être déplacé le long de l axe Ox : il délivre une tension proportionnelle au «signal sonore» reçu au point M d abscisse x. La distance entre le micro et l axe (Ox) est D = 1,00 m. x Les signaux émis par les sources S 1 et S 2 sont identiques : s 1 (S 1, t) = s 2 (S 2, t) = A cos(ωt) (les phases à l origine M sont nulles). S 1 Au point M, ces deux signaux s écrivent : Oy a z s 1 (M, t) = A 1 cos(ωt ϕ 1 (M)) S 2 s 2 (M, t) = A 2 cos(ωt ϕ 2 (M)). La célérité du son dans D l air est c = 340 m s 1. C.1 Exprimer puis calculer la longueur d onde λ des ondes émises par les sources. C.2 Expliquer pourquoi A 1 A et A 2 A. C.3 Que représentent les termes ϕ 1 (M) et ϕ 2 (M)? Les exprimer notamment en fonction des distances S 1 M et S 2 M. C.4 Exprimer le déphasage ϕ(m) = ϕ 2 (M) ϕ 1 (M) en M entre les deux ondes issues de S 1 et S 2 en fonction de la différence de marche δ(m) = S 2 M S 1 M et de λ. C.5 Utiliser la représentation de Fresnel pour déterminer l amplitude B de l onde résultant de la superposition des deux ondes en M en fonction notamment de δ. C.6 À quelle condition portant sur δ les interférences sont-elles constructives? (une justification est attendue). C.7 Dans l hypothèse où x D et a D, il est possible de montrer que δ(m) ax. En déduire D les positions du micro pour lesquelles les interférences sont constructives. C.8 En déduire que la distance entre deux maxima consécutifs s écrit i = λd a. On relève les positions de M correspondant à un signal d amplitude maximale. Ces résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous où k est le numéro de l interférence constructive avec k = 0 au centre. L incertitude pour chaque mesure est constante et x = 5 mm. k x(cm) -48,2-34,2-16,2 0 17,4 31,2 48,7 C.9 Tracer sur votre copie x en fonction de k en faisant apparaître les incertitudes de mesures. C.10 L hypothèse de la question C.7 est-elle vérifiée? C.11 Exploiter votre graphique pour en déduire une valeur numérique de a. Que peut-on dire de l incertitude sur a? 5

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