TD n 18 - Diffraction

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1 TD n 18 - Diffraction 1 Applications directes du cours 1. Déterminer l ordre de grandeur de l ouverture angulaire provoquée par la diffraction d une onde de marée (longueur d onde λ = 2 km) à la traversée du détroit de Gibraltar, de largeur 15 km. 2. Estimer expérimentalement la résolution angulaire de votre oeil. Comparer à la limite de imposée par la diffraction. 3. Pourquoi un laser bleu (λ = 405 nm pour les blue-ray discs) permet-il de graver, à la surface d un disque optique, des détails plus petits qu un laser rouge (λ = 780 nm pour les CDs)? 4. Un réseau comportant 300 traits/mm est utilisé dans les conditions de Fraunhofer (c est à dire...). Il est éclairé en incidence normale. Déterminer le nombre d ordres visibles pour λ = 500 nm. 2 Diffraction par une fente On réalise une expérience de diffraction à l infini en utilisant comme ouverture diffractante une fente fine de largeur a et de hauteur très grande. La source utilisée est centrée par rapport à la fente, ponctuelle et monochromatique de longueur d onde λ Faire un schéma du dispositif expérimental. Déterminer la structure de l éclairement obtenu sur l écran.on précisera en particulier la largeur de la tache centrale de la figure de diffraction. 2. On remplace la source ponctuelle par une fente lumineuse très fine disposée parallèlement à la fente diffractante. Comment est modifiée la figure observée sur l écran? 3. Même question en remplaçant la source ponctuelle par une fente lumineuse très fine disposée perpendiculairement à la fente diffractante. 4. On fait tourner la fente lumineuse autour de l axe du système optique. Comment se modifie la figure observée sur l écran? Esquisser l allure de la figure de diffraction. 5. On considère maintenant qu on éclaire le dispositif avec une source ponctuelle blanche (source polychromatique). Qu observe-t-on? 3 Devinette On oberve la figure de diffaction à l infini obtenue par un diaphragme inconnu mais dont on sait qu il contient deux trous identiques. La souce monochromatique, de longueur d onde λ, est à l infini. L écran d observation est dans le plan focal d une lentille convergente de distance focale PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

2 f. La figure obtenue est représentée ci-dessous. Quelle est la forme des trous? Quelle est leur position relative? On donne L = 11.5mm, l = 11.3mm, f = 1m et λ = 630nm, quelles sont les dimensions des trous et la distance les séparant? 4 Diffraction par des fentes d Young On étudie le dispositif interférentiel des fentes de Young en tenant compte de la figure de diffraction de chaque fente. On supposera connus les résultats concernant le dispositif interférentiel, ainsi que les résultats concernant la diffraction par une fente. En particulier, on sait que la diffraction est totalement négligeable parallèlement à (Ox). Une source ponctuelle S, monochromatique (longueur d onde λ) est placée au foyer objet d une lentille L 1. L onde est interceptée par une plaque orthogonale à l axe optique, percée de deux fentes fines parallèles de largeur a, et de longueur très grande devant a. On observe la figure de diffraction sur un écran placé dans le plan focal image d une lentille L 2. Les deux lentilles ont le même axe optique. Les notations sont précisées sur le schéma cidessous. 1. Appliquer le principe de Huygens-Fresnel à la pupille constituée par la plaque percée de PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

3 deux fentes, pour déterminer l éclairement E(M) en un point M de l écran. Commenter ce résultat. 2. On remplace la source ponctuelle par une fente fine parallèle à (Ox) ; comment est modifiée la figure de diffraction? 5 Diffraction de Fraunhofer par un prisme de petit angle Une onde lumineuse plane monochromatique et de longueur d onde λ 0 arrive sous incidence normale sur la face d un prisme. Ce prisme, d angle α très petit, de largeur OA = a et de longueur b a est fait d un matériau parfaitement transparent d indice n. x A α O z 1. Si l on applique les lois de l optique géométrique, que peut-on dire de l onde émergent du prisme? 2. On étudie maintenant la diffraction par le prisme. a) Montrer que le prisme peut être considéré comme un objet de phase de fonction de transmission : 2π(n 1)αx t(x) = e i λ 0 b) Exprimer l éclairement de la lumière diffractée dans la direction du plan Ozx faisant l angle θ avec l axe Oz, et montrer qu on peut le mettre sous la forme : ( ) πa [(n 1)α sinθ] E(θ) = E max sin 2 c λ 0 c) Retrouver le résultat de la première question. 6 Figures de diffraction à l infini On observe la figure de diffraction à l infini formée par différentes pupilles diffractantes en utilisant une lentille de projection de focale f avec une source monochromatique de longueur d onde λ. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

4 1. Faire un schéma du dispositif. 2. Déterminer les caractéristiques (nombre, forme, taille et espacement des ouvertures) de la pupille diffractante dans les différents cas de la figure ci-dessous. On exprimera la taille des ouvertures en fonction de leur espacement. a) b) c) 3. Déterminer le nombre, la forme et l agencement des ouvertures dans la pupille diffractante de la figure ci-dessous. On pourra faire plusieurs propositions. 7 Ecrans complémentaires Comparer les figures de diffraction à l infini obtenues par deux diaphragmes complémentaires, c est-à-dire que le second est transparent là où le premier est opaque et réciproquement. 8 Diffraction et symétrie Une pupille diffractante présente un facteur de transmission symétrique par rapport à l axe Ox. Quelle en est la conséquence sur la figure de diffraction? 9 Détermination du pas d un réseau, mesure d une longueur d onde Un réseau de pas a est éclairé par un faisceau parallèle provenant d une lampe à vapeur de mercure. On isole tout d abord la raie verte. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

5 Le réseau est placé perpendiculairement au faisceau incident et l on pointe les angles pour lesquels on retrouve la raie verte de longueur d onde λ 0 = 0, 5461µm pour les différents ordres, repérés par l indice k. Le résultat des mesures est indiqué dans le tableau suivant : k = 1 k = 2 k = 3 θ θ Ces mesures permettent-elles de vérifier que le réseau est bien perpendiculaire au faisceau incident? Calculer le pas a du réseau puis le nombre de traits par millimètre. 2. On éclaire maintenant le réseau avec une raie bleue assez intense du spectre du mercure, de longueur d onde inconnue λ 1. Pour cette raie, dans le spectre du second ordre, θ = et θ = Calculer λ Minimum de déviation A l ordre p, la lumière incidente est déviée par le réseau de l angle D p = θ p θ i. L angle de déviation D est fonction du pas a du réseau, de la longueur d onde λ, de l ordre p d observation et de l angle d observation θ i. Etudions l influence d une variation de l angle d incidence : le réseau pivote autour d un axe parallèle aux traits. La tache d ordre 0 reste bien entendu immobile. Et lorsque θ i varie dans un sens constant, l ordre p, se rapproche puis s éloigne de l ordre 0 : la déviation passe par un minimum. La valeur de θ i au minimum de déviation dépend de l ordre p. 1. Montrer que le minimum de déviation à l ordre p est donné par : ( ) pλ0 D m = 2arcsin 2a On considère un réseau à 500 traits par mm, éclairé par un laser He-Ne de longueur d onde 633 nm. 2. Calculer, pour l ensemble des ordres possibles, les diverses valeurs de θ p possible pour θ i = Calculer pour l ensemble des ordres possibles, les déviations minimales. 11 Caractérisation et capacité d un Compact Disc (CD) 1. a) Pourquoi un CD produit-il des irisations de couleur? b) Quelle est la capacité d enregistrement d un CD? A quoi cela correspond? c) Rappeler la formule fondamentale d un réseau par réflexion? Quelle est la direction correspondant à l ordre 0? 2. L information sur un CD est codée en binaire. Comme le montre l image réalisée au microscope à force atomique, l enregistrement est réalisé sur un sillon en forme de spirale creusé sur la surface du disque. On désire mesurer le pas de cette spirale. Pour cela, on dirige sur le CD, sous incidence normale, le faisceau d une diode laser. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

6 a) b) 10 µm Figure 1: a) Compact Disc. b) Vue d un CD au microscope à force atomique. a) Décrire ce qu on observe en réflexion sur un écran placé à une distance d du CD et montrer qu une mesure de la distance x entre les premières tâches (ordre ±1) permet de mesurer le pas entre les sillons. Discuter de la précision de la mesure, quelle doit être la taille de la tâche du laser sur le CD? b) Avec une diode laser de longueur d onde λ = 670nm, l expérience avec un CD donne x = 18, 8cm à une distance d = 20cm. En déduire le pas de la spirale et évaluer la capacité d un CD à partir de la taille d un CD (un octet correspond à 8 bits). Expérimentalement, combien d ordres pourraient être observables? c) Avec un DVD, on obtient x = 25, 2cm à une distance d = 5cm, par rapport à un CD, cela implique quelles différences technologiques? 12 Apodisation On désire étudier l influence de la diffraction sur le pouvoir de résolution d un instrument d optique. 1. Dans l expérience de diffraction à l infini par une fente fine de largeur a et de longueur h a, on décale le point source initialement placé sur l axe optique. a) Que devient la tâche de diffraction (on supposera que les lentilles ont mêmes distances focales f)? b) Ainsi, quelle est la distance minimale entre deux sources ponctuelles (dans le plan focal de la première lentille) pour qu on puisse les distinguer sur l écran? c) En assimilant la largeur de la fente à la taille de la deuxième lentille D qui constitue une instrument d observation à l infini, déduire son pouvoir de résolution angulaire. d) L évaluer pour l oeil sachant que la pupille à un diamètre d environ 2mm, est-ce que cela correspond à votre perception? 2. On remplace maintenant la fente précédente par une lame plus ou moins absorbante dont le coefficient de transmission, maximal au centre et nul sur les bords, varie selon la loi t(x) = exp( x /b). a) Déterminer la figure de diffraction à l infini et la largeur au quart de la hauteur. b) Comparer la figure avec celle obtenue précédemment en prenant b = a/2. c) En déduire l intérêt de cette technique dans la recherche d une étoile double. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

7 13 Principe de l holographie On réalise l expérience classique des fentes d Young avec deux ouvertures S 1 et S 2 en forme de fente fine, symétriques par rapport à l axe optique (SO). La source S monochromatique est elle aussi une fente fine parallèle à S 1 et S 2 et coïncide avec le foyer de la lentille L 1 ; l écran d observation P, centré en O, se trouve dans le plan focal de la lentille L 2 de distance focale f Soit M un point de l écran P. Tracer la marche des rayons lumineux qui parviennent des points S 1 et S 2 et interfèrent au point M. 2. On note a la distance S 1 S 2. Calculer la différence de marche δ en fonction de a, f 2 et OM = x. En déduire l interfrange i. On donne f 2 = 1m, a = 1mm et λ = 0, 6mm. 3. Sur le trajet des rayons issus de S 1, on place une lame d épaisseur e et d indice n. Dans quel sens se sont déplacées les franges quand on a interposé la lame? Calculer ce déplacement pour n = 1, 5 et e = 0, 01mm. 4. La lame précédente est absorbante, de sorte que l amplitude a 1 des ondes provenant de S 1 est beaucoup plus faible que l amplitude a 2 des ondes provenant de S 2. En déduire l intensité au point M et le contraste V des franges en fonction de a 1, a 2 et du déphasage ϕ entre les deux ondes interférant en M en l absence de lame. On rappelle que : 5. On remplace l écran P par une plaque photographique. Celle-ci après développement, éclairée par une onde plane monochromatique de longueur d onde quelconque transmet en chaque point où elle avait reçu une intensité I une amplitude a t = I g 2 où g est une constante caractéristique de l émulsion photographique. Calculer en faisant un développement limité au 1 er ordre en a 1 a 2, l amplitude a t des ondes transmises par la plaque en fonction de a 1, a 2, g, et ϕ. 6. La plaque ainsi obtenue est éclairée par un faisceau parallèle. Ce faisceau est de même longueur d onde que celle utilisée pour impressionner la plaque λ = 0, 6mm. En négligeant le déphasage introduit par la lame, montrer que l on obtient après la plaque 3 ondes planes dont 2 sont déphasées par rapport à l onde incidente. 7. Montrez alors que ces deux ondes vont converger après une lentille L 3 de même distance focale que L 2, en 2 points S 1 et S 2 du plan d observation placé dans le plan focal image de L 3. Déterminer la distance d de chacun des points S 1 et S 2 à l axe optique de la lentille L 3. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard