I. Michelson éclairé par une source étendue

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1 PC - Lycée Dumont D Urville Interféromètre de Michelson I. Michelson éclairé par une source étendue L interféromètre de Michelson est réglé au contact optique et éclairé par une source monochromatique de longueur d onde λ = 547 nm. On translate le miroir mobile M d une distance e = mm dans le sens des x croissants. On éclaire le Michelson par un disque source de rayon R =,0 cm, d axe Ox placé dans le plan focal objet d une lentille convergente de focale image f = 20 cm. On observe la figure d interférence dans le plan focal d une lentille convergente de focale image f 2 = 00 cm. L A2 M2 M R A O O A L2 O2 E écran. Représenter jusqu à l écran, la paire de rayons issus du centre de la source. 2. Représenter jusqu à l écran, la paire de rayons issus du bord A de la source. 3. Calculer i 0, l angle d incidence maximale en fonction de R et f. En déduire l ordre d interférences au bord de la tache lumineuse sur l écran. 4. Calculer l ordre d interférence au centre de l écran. 5. Combien d anneaux sombres observe-t-on sur l écran? Calculer le rayon du plus grand anneau sombre. Réponses : p min = 365, p max = 3656, 5 anneaux sombres, r 5 = 5,5 cm II. Exploitation d une figure d interférences Le Michelson est éclairé en lumière monochromatique avec λ = 589 nm. Exprimer l ordre d interférences p en fonction de r p (rayon de l anneau d ordre p), f (focale de la lentille servant à observer les anneaux), λ et e l épaisseur de la lame d air. Mesurer sur la photo (l écran est un carré de coté a = 20 cm), les rayonsdu 2 ième et du 5 ième anneau brillant d ordre d interférences respectifs p 2 et p 5. Déduire de p 2 p 5 la valeur numérique de e pour f = 50 cm. Réponses: r 2 = 7, cm, r 5 = 3, cm, p 2 p 5 = 3

2 PC - Lycée Dumont D Urville Interférences à N ondes III. Représentation de Fresnel On réalise des interférences à travers N fentes équidistantes, on note a la distance entre deux fentes consécutives. On note I 0 l intensité de la lumière à travers une fente, I(M) l intensité en un point M et φ(m) le déphasage entre les deux ondes issues de deux fentes consécutives.. Déduire de la représentation de Fresnel, la valeur maximale de l intensité pour les interférences à N ondes. 2. Déduire de la représentation de Fresnel, la plus petite valeur de φ pour laquelle l intensité s annule. 3. On donne la courbe donnant I/I 0 en fonction de φ. Déduire de la courbe la valeur numérique de N. Déduire de la représentation de Fresnel, la valeur numérique de I/I 0 pour φ = π/2 et pour φ = π/4 et vérifier la concordance avec la courbe donnée I/I phi en radian IV. Interférences à N ondes On considère un écran opaque percé de N fentes très fines équidistantes, parallèles, identiques, de longueur infinie et distantes de a = mλ avec m un entier. Cet écran est éclairé en incidence normale par un faisceau laser dans sa zone de Fresnel. L onde lumineuse est de longueur d onde λ. Ox F3 a F2 F θ Oz On donne deux diagrammes de rayonnement de la lumière diffractée dans le plan Oxz pour une même valeur de m et pour deux valeurs de N données N = 3 et N = 20 (le diagramme de rayonnement désigne le diagramme donnant l intensité lumineuse en fonction de θ) Déterminer la direction des fentes. 2. Déterminer la valeur de m. 3. Associer à chaque diagramme la valeur de N correspondante en justifiant votre réponse. 2

3 4. Déterminer la largeurangulaire du lobe de direction moyenne θ = 0 0 dans le cas où N = 3 et commenter. V. Lame d air Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d air d épaisseur e. Il est éclairé par une source étendue de longueur d onde λ = 579, nm. On dispose de deux lentilles convergentes de focale image f = 0 cm et f 2 = 60 cm.. Quelle figure d interférence observe-t-on? Préciser les conditions d éclairage et les conditions d observation de la figure d interférences. 2. L ordre d interférences du cinquième anneau brillant de rayon non nul est 252 et que l éclairement au centre de l écran est maximal. En déduire e, l épaisseur de la lame d air. 3. Calculer le rayon du troisième anneau brillant et du cinquième anneau sombre. Réponses : - en entrée, on utilise L et en sortie, L 2 2- e = 729 µm 3- r 3 = 2,93 cm : troisième anneau brillant pour p 3 = 254 et r 5 = 3,59 cm cinquième anneau sombre pour p 5 = 252,5. VI. Nombre d anneaux sur l écran Soit un interféromètre de Michelson réglé en lame d air d épaisseur e. On observe les interférences dans le plan focal d une lentille convergente de focale f. La source est monochromatique de longueur d onde λ. Données: e = 0,50 mm, f = 70,0 cm et λ = 655 nm. L écran est un carré de côté a = 4,0 cm dont le centre correspond au centre de la figue d interférences. Combien peut-on voir d anneaux sombres? Réponses : p max = 526,7 et p min = 497,2, 30 anneaux sombres. VII. Mesure de e Soit un interféromètre de Michelson réglé en lame d air d épaisseur e. On observe les interférences dans le plan focal d une lentille convergente de focale f. La source est monochromatique de longueur d onde λ. Données: e =,0 mm, f = 50,0 cm et λ = 50 nm. Le centre de l écran est noir et le rayon du 4 ième anneau brillant est de 3,6 cm. En déduire e. Réponses : p 4 = p 0 3,5 et p 0 = 350,3 et e = p0λ 2 VIII. Réglages du Michelson On considère un interféromètre de Michelson éclairé par une lampe à vapeur de sodium (λ 589 nm). On dispose pour l observation de la figure d interférence de deux lentilles L et L 2 de focale image f = 30 cm et f 2 = 75 cm.. Le Michelson est réglé en lame d air. Proposer le dispositif permettant d observer des franges d interférence et décrire qualitativement la figure. 2. LeMichelsonestrégléencoind aird angleα = 2 d angle. Onobservesurl écrandesfrangesconsécutives de même nature séparées de 2,5 mm. Déterminer les position de la lentille et de l écran par rapport aux miroirs (en précisant la lentille utilisée). On donne OA OA = f et γ = OA OA. Réponses : - L en entrée et L 2 en sortie 2- la lentille L est à 36 cm des miroirs et l écran est à 2,6 m des miroirs IX. Taille de la source On considère un Michelson réglé en lame d air. La source étendue S, monochromatique, est placée au foyer objet d une lentille L de focale image f = 0 cm. Cette source est assimilable à un cercle centré en F et de rayon a 0. On observe dans le plan focal d une lentille L 2 de focale image f 2 = m. On note e l épaisseur de la lame d air.. 3

4 On considère un point source situé à une distance a de F et repéré par l angle i. L Représenter la marche des deux rayons issus de S O jusque dans le plan focal de L 2. On pourra raisonner sur un schéma équivalent. a F S O i 2. On donne e =, mm et λ = 546 nm. Calculer le rayon du cinquième anneau brillant et calculer le rayon minimal a 0 de la source si l on veut voir au moins les 5 premiers anneaux brillants sur l écran. Réponses : r 5 = 4,62 cm et a 0 > 4,62 mm X. Enregistrement avec un Michelson Le Michelson réglé en lame d air est éclairé par le doublet jaune du sodium de longueurs d onde λ et λ 2. On note e l épaisseur de la lame d air, λ m = 589,3 nm la longueur d onde moyenne de la source et λ = λ 2 λ. On dispose sur l écran au centre des anneaux, un capteur qui délivre une tension proportionnelle à l intensité lumineuse. On chariote le miroir M 2 à l aide d un moteur à vitesse constante V =,68 µm.s et on enregistre la courbe donnant la tension en fonction du temps. On donne l enregistrement obtenu: Commentercet enregistrement. Calculerladistance moyenned dechariotageentredeuxzonesde brouillage. Montrer que d = λ2 m. En déduire λ. 2 λ Entre les temps t = 640 s et t = 660 s, calculer le nombre d oscillations d intensités mesurées. Réponses : λ = 0,6 nm et N = 4 oscillations. 4

5 XI. Introduction d une lame On considère un Michelson éclairé par une source étendue de longueur d onde λ = 600 nm. Les miroirs plans du Michelson ont pour diamètre d = 2,2 cm. Une lentille mince convergente de vergence f = 20 cm est placée à 25 cm des miroirs. On rappelle: OA OA = f et γ = OA. On donne la photo de OA l écran.. L interféromètre étant initialement réglé au contact optique préciser de façon quantitative (on veut donc une valeur numérique pertinente) comment a été modifiée la position d un des deux miroirs pour obtenir la figure observée. 2. On place une lame de verre d indice n =,5 et d épaisseur e devant l un seulement des miroirs du coin d air. On observe sur l écran un déplacement des franges de 6 cm. En déduire l épaisseur de la lame. Réponses :- α = 0,42 2- on observe un déplacement de 6 franges soit e = 3,6 µm XII. Résolution de l oeil On observe les franges du coin d air obtenues par un Michelson. Les miroirs du Michelson ont un diamètre d = 2 cm et sur l écran on observe des franges dans un disque lumineux de diamètre D = 4 cm. Une personne se met près de l écran et peut distinguer une frange brillante d une frange sombre à condition qu elles soient séparées d au moins 0, mm. Calculer l angle maximal que doit faire le coin d air pour λ = 600 nm pour que la personne distingue bien les franges. Réponse : α max = 0,6 0 5