Exercices sur les régimes variables

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1 Exercices sur les régimes variables I. Grandeurs variables Représenter une tension égale à 250 V entre 0 et 1 ms puis à 0 V entre 1 ms et 2 ms. Représenter une tension évoluant linéairement de 100 V à 100 V en 10 ms puis, toujours linéairement, de 100 V à 100 V en 10 ms. Représenter la tension définie par les équations suivantes, a = 0,65 et T = 2 ms : entre 0 et αt : u c (t) = t 150 avec t exprimé en ms. entre αt et T : u c (t) = t avec t exprimé en ms. II. Loi des mailles Écrire la relation entre e(t), u R (t) et u(t) pour chaque situation représentée ci dessous : On considère le montage représenté ci dessous. Quelle est la valeur de u(t) pour chaque situation suivante : K 1 et K 4 sont fermés, K 2 et K 3 sont ouverts. K 2 et K 3 sont fermés, K 1 et K 4 sont ouverts. K 1 et K 3 sont fermés, K 2 et K 4 sont ouverts. K 2 et K 4 sont fermés, K 1 et K 3 sont ouverts. III. Loi des nœuds Écrire la loi des nœuds pour le montage représenté ci dessous et en déduire la valeur de i 3 (t). Pour le montage représenté ci contre : Écrire la loi des nœuds au point A et en déduire l'expression de i 1 (t) en fonction de j 1 (t) et j 3 (t). Utiliser la loi des nœuds pour trouver une relation entre i 2 (t), j 2 (t) et j 1 (t). Exercices sur les régimes variables 1 TS1 ET

2 IV. Dérivée d'une grandeur variable Calculer la dérivée de la grandeur représentée cicontre : entre 0 et 1 ms entre 1 et 2,5 ms entre 2,5 et 3 ms entre 3 et 3,5 ms entre 3,5 et 4 ms entre 4 et 4,5 ms entre 4,5 et 5,5 ms 20 0 u(t) (V) 0,5 t (ms) On considère la grandeur variable représentée ci contre : Déterminer l'expression de sa dérivée pour les instants compris entre 0 et t 2. Calculer la valeur de cette dérivée si t 2 = 2 ms. Déterminer la valeur de t 2 pour que la dérivée soit égale à 10 4 A/s. Répondre aux mêmes questions pour les instants compris entre t 2 et t 3. On considère la grandeur variable représentée ci contre : Déterminer l'expression de sa dérivée pour les instants compris entre 0 et at. Calculer sa valeur si a = 0,25. Répondre aux mêmes questions pour les instants compris entre at et T. V. Dipôles passifs élémentaires 1. Inductance Le graphe ci contre représente l'évolution de l'intensité i(t) à travers l'inductance L = 3 mh (une graduation horizontale correspond à 1 ms). Calculer la valeur de la tension aux bornes de l'inductance entre 0 et 3 ms. Calculer la valeur de la tension aux bornes de l'inductance entre 3 et 6 ms. 2. Capacité On considère un condensateur de capacité C = 22 µf dont l intensité et la tension sont orientées avec la i(t) C convention récepteur u c (t) La tension aux bornes du condensateur est périodique, elle évolue linéairement de 100 V à 100 V en 10 ms puis toujours linéairement de 100 V à 100 V en 10 ms. Exercices sur les régimes variables 2 TS1 ET

3 Représenter u c (t) (Échelles : horizontale 1cm pour 0,2 ms ; verticale 1 cm pour 20 V). Tracer le graphe représentatif de i(t) (Échelles : horizontale 1cm pour 0,2 ms ; verticale 1 cm pour 0,1 A). Le graphe ci contre représente la tension aux bornes du condensateur, tracer le graphe représentatif de i(t). VI. Exercice sur les conventions Indiquer la convention d'orientation choisie pour les dipôles suivants : VII. Exercices sur le sens de transfert de l'énergie et le fonctionnement réel d'un dipôle Indiquer pour les dipôles suivants le fonctionnement réel (générateur ou récepteur) si c'est possible. u(t) = 60 V i(t) = 5 A u(t) = 200 V i(t) = 12 A u(t) = 95 V i(t) = 100 A u(t) = 320 V i(t) = 59 A u(t) = 250 V i(t) = 40 A u(t) = 250 V i(t) = 40 A e(t) = 400 V i(t) = 25 A e(t) = 350 V i(t) = 20 A e(t) = 400 V i(t) = 15 A e(t) = 380 V i(t) = 20 A Exercices sur les régimes variables 3 TS1 ET

4 u(t) = 300 V i(t) = 100 A u(t) = 500 V i(t) = 150 A Les graphiques ci dessous représentent des tensions et intensités pour des dipôles. Indiquer les intervalles pour lesquels les dipôles représentés ci dessous fonctionnent en générateur et en récepteur. a. b. c. d VIII. Association de résistances Calculer la résistance équivalente des associations représentées ci dessous. Chaque résistance est égale à 10 W Chaque résistance est égale à 10 W Exercices sur les régimes variables 4 TS1 ET

5 IX. Loi du diviseur de tension 1. Démonstration On considère le schéma ci contre : Exprimer u(t) en fonction de i(t) et des résistances R 1, R 2, R 3 et R 4 Exprimer u 2 (t) en fonction de R 2 et i(t) Déduire de ce qui précède la relation donnant u 2 (t) en fonction de u(t) et des résistances 2. Utilisation a. Exprimer U s en fonction de U e et des résistances pour le schéma représenté ci contre. Calculer le rapport permet d'obtenir U s = 6 V si U e = 12 V. R 2 R 1 b. Une résistance de 100 W est placée en parallèle avec R 2. Représenter sur un schéma la nouvelle situation. Calculer la tension U s. X. Loi du diviseur de courant qui 1. Démonstration On considère le schéma ci contre : a. Exprimer i(t) en fonction de u(t) et des résistances R 1, R 2, R 3 et R 4 b. Exprimer i 2 (t) en fonction de R 2 et u(t). c. Déduire de ce qui précède la relation donnant i 2 (t) en fonction de i(t) et des résistances. 2. Utilisation On considère le schéma ci contre pour lequel E = 130 V, R 1 = 5 W, R 2 = 10 W et U = 150 V. Exprimer I 1 en fonction de I et des résistances pour le schéma représenté ci contre. Calculer I 1. Exercices sur les régimes variables 5 TS1 ET

6 XI. Théorème de Millmann 1. Démonstration Pour le schéma ci contre : Exprimer i A (t) en fonction de v A (t), v E (t) et Y A. Exprimer i B (t) en fonction de v B (t), v E (t) et Y B. Exprimer i C (t) en fonction de v C (t), v E (t) et Y C. Exprimer i D (t) en fonction de v D (t), v E (t) et Y D. Écrire le loi des nœuds au point A. Déduire la relation suivante de ce qui précède : v A t.y A v B t.y B v C t. Y C v D t.y D =v E t. Y A Y B Y C Y D 2. Utilisation On considère le schéma ci contre : Dipôle 1: E 1 = 150 V, R 1 = 5 W, Dipôle 2: E 2 = 130 V, R 2 = 6 W, Dipôle 3: E 3 =170 V et R 3 = 3 W. a. Indiquer pour chaque dipôle s il est orienté avec la convention générateur ou la convention récepteur. b. Déterminer la tension U en utilisant le théorème de Millmann. c. Calculer les intensités I 1, I 2 et I 3. R 1 R 2 I 3 R 3 I 1 I 2 E 1 E 2 E 3 U XII. Conventions d'orientation et sens de transfert de l'énergie Répondre aux questions pour chacun des schémas ci dessous représentant la batterie d'une automobile. a. b. c. d. Quelle convention a été choisie? La batterie peut elle fonctionner en générateur? En récepteur? Pour le schéma a : Lors d'un fonctionnement, on a mesuré : u(t) = 14 V (continu) et i(t) = 230 A (continu). La batterie est elle «générateur» ou «récepteur»? Lors d'un fonctionnement, on a mesuré : u(t) = 12,8 V (continu) et i(t) = 50 A (continu). La batterie est elle «générateur» ou «récepteur»? Pour le schéma b : Lors d'un fonctionnement, on a mesuré : u(t) = 12,8 V (continu) et i(t) = 50 A (continu). Est elle «générateur» ou «récepteur»? Exercices sur les régimes variables 6 TS1 ET

7 XIII. Loi des mailles Les graphes ci contre représentent l'évolution de la tension e(t) et de l'intensité i(t). Représenter l'évolution de u(t) pour les situations décrites ci dessous (R = 2 W) : a. b. c. d. XIV. Loi des mailles et dipôles passifs Pour le circuit représenté ci contre (R = 10 W et L = 20 mh) : 1. Écrire la relation entre u(t), i(t) et sa dérivée, R et L. 2. Calculer la valeur de i(t) si u(t) est continue et égale à 150 V. u(t) R i(t) L XV. Dipôles passifs et échange d'énergie On considère le montage représenté ci contre. La chute de tension aux bornes des ampèremètres est supposée nulle A COM 4.12 A COM 1. Déterminer l indication de l ampèremètre mesurant l intensité circulant dans le dipôle n 3. Dipôle 1 Dipôle 2 Dipôle 3 COM V 155 COM 2.a. Calculer la puissance pour chaque dipôle. A b. Indiquer pour chaque dipôle s il fonctionne en générateur ou récepteur. Exercices sur les régimes variables 7 TS1 ET

8 XVI. Conventions d'orientation et sens de transfert de l'énergie Les graphiques ci contre représentent l'évolution de la tension u(t) et de l'intensité i(t) du courant pour un dipôle orienté avec la convention récepteur. Pour la tension, une division représente 100 V ; pour l'intensité, une division représente 20 A. Une graduation horizontale correspond à 0,1 ms. 1. Représenter un dipôle orienté avec la convention récepteur (le dipôle est représenté par un rectangle avec deux bornes, il faut placer la tension à ses bornes ainsi que l'intensité du courant qui le traverse). 2.a. Rappeler la relation donnant la puissance instantanée p(t). b. Quelle est la valeur de la puissance instantanée l'instant t = 0,1 ms? c. Représenter l'évolution de la puissance instantanée sur une période. 3. Indiquer les intervalles pour lesquels le dipôle fonctionne en générateur ou en récepteur. XVII. Dipôles passifs et échange d'énergie Les courbes ci contre représentent l intensité et la tension pour un condensateur (orienté avec la convention récepteur). 1. Déterminer la capacité du condensateur. 6 i(t) (A) 2. Représenter la puissance instantanée p(t) reçue par le condensateur. 0 2 t (ms) 3. Indiquer les intervalles de temps pour lesquels le condensateur fonctionne en générateur. 4. Calculer l énergie stockée par le condensateur pour t = at u(t) (V) t (ms) 0 2 XVIII. Dipôles passifs et échange d'énergie Le graphe de la page suivante représente l intensité et la tension pour une inductance L i(t) L u(t) 1. Rappeler la relation entre u(t), i(t) et L. 2. Exprimer la dérivée de i(t) entre 0 et αt en fonction de I max, α et T. a. Calculer la valeur de cette dérivée. b. Calculer L. 3. a. Représenter la puissance instantanée p(t) pour l inductance. Préciser les valeurs maximale et minimale (notées respectivement P max et P min ) Exercices sur les régimes variables 8 TS1 ET

9 b. Indiquer le fonctionnement sur chaque intervalle (générateur ou récepteur). 4. Calculer l énergie stockée par l inductance pour t = 1 ms. XIX. Dipôles passifs et échanges d'énergie Le graphe ci contre représente l'évolution de l'intensité du courant à travers une inductance L = 0,13 H. 1. Calculer les énergies stockées aux instants t 1 = 1 ms, t 2 et t Étude entre 0 et t 2 a. Expliquer pourquoi L. di t dt b. Rappeler la relation entre u(t), i(t) et L. di t c. Calculer L. dt entre 0 et t 2. d. En déduire la valeur de u L (t) entre 0 et t Étude entre t 2 et t 3 a. Expliquer pourquoi L. di t b. Calculer L. dt di t dt entre t 2 et t 3. c. En déduire la valeur de u L (t) entre t 2 et t 3. est constante et positive entre 0 et t 2. est constante et négative entre t 2 et t 3. Exercices sur les régimes variables 9 TS1 ET

10 4. Graphes a. Représenter u L (t) en fonction du temps. b. Représenter la puissance instantanée p(t) = u(t).i(t) c. Sur chaque intervalle, indiquer si l'inductance est «générateur» ou «récepteur». XX. Dipôles passifs et échanges d'énergie Pour le montage ci contre, la source de courant délivre un courant i(t) définit par : i(t) = 2 A de 0 à 0,5 ms, i(t) = 4 A de 0,5 à 0,75 ms 1. Représenter i(t) en fonction du temps i(t) C C = 2,2 µf u c (t) 2. Étude entre 0 et 0,5 ms a. Déterminer du c t entre 0 et 0,5 ms. dt b. En déduire l expression de la tension u c (t) en supposant qu à l instant initial (t = 0) la tension aux bornes du condensateur est nulle : u c (0) = 0 c. Calculer la tension aux bornes du condensateur pour t = 0,5 ms et en déduire l énergie emmagasinée. 3. Étude entre 0,5 et 0,75 ms a. Déterminer du c t entre 0,5 et 0,75 ms. dt b. En déduire l expression de u c (t) en se rappelant que sa valeur a été calculée pour l instant t = 0,5 ms. c. Calculer la tension aux bornes du condensateur pour t = 0,5 ms et en déduire l énergie emmagasinée. XXI. Dipôles passifs et actifs Un condensateur de capacité C est placé dans le montage représenté ci contre. 1. Donner la relation entre C, i c (t) et u c (t). 2. Première phase, K en position 1 Cette phase dure de l'instant 0 à l'instant t 1. Le condensateur est initialement déchargé. a. Que vaut i c (t)? b. Exprimer u c (t) en fonction de I x, C et du temps. c. Donner l'expression littérale de t 1 en fonction de u c (t 1 ) = U, I 0 et C. 3. Deuxième phase, K en position 2. Cette phase dure de l'instant t 1 à l'instant t 2. a. Que vaut i c (t)? b. Exprimer u c (t) en fonction de I 0, C, t 1, U et du temps. c. Donner l'expression littérale de Δt = t 2 t 1 en fonction de u c (t 1 ) = U, I 0 et C (à l'instant t 2, le condensateur est déchargé). 4. Application numérique : déterminer I x si Δt = 50 ms, I 0 = 1 ma et t 1 = 100 ms. Exercices sur les régimes variables 10 TS1 ET

11 XXII. Montages à amplificateurs opérationnels 1. Rappel sur les amplificateurs opérationnels a. Présentation L'amplificateur opérationnel (ou «circuit intégré linéaire») est un composant comportant deux bornes d'entrée, repérée e + et e sur la figure ci contre, et un borne de sortie notée S sur cette même figure. Deux bornes, repérées par +V cc et V cc, sont à relier à une alimentation continue (+15 V, 15V par exemple). Ces bornes ne sont pas représentées sur les schémas de principe qui suivent. b. Amplificateur opérationnel idéal Pour les prédéterminations, l' amplificateur opérationnel est supposé idéal : Les courants dans les entrées sont nuls. Le coefficient d'amplification A tel que v s =A est infini : En régime linéaire, la tension différentielle d'entrée ( =v + v ) est nulle. En régime non linéaire, la tension de sortie est égale à +V cc si 0 et à V cc si 0. Un amplificateur opérationnel est susceptible de fonctionner en régime linéaire si un dipôle relie sa borne de sortie avec l'entrée inverseuse : dans ce cas, on suppose =0 pour les prédéterminations. 2. Montage «amplificateur inverseur» Étude théorique Le montage est représenté ci contre. Écrire la relation entre v e (t), v s (t), R 1 et R 2. Calculer l'amplification Étude expérimentale A 1 = v s v e si R 2 = 47 kw etr 1 = 10 kw. Relier le GBF en entrée du montage amplificateur et placer les entrées de l'oscilloscope qui permettent de visualiser les tensions d'entrée et de sortie. Régler le GBF pour qu'il délivre une tension sinusoïdale de fréquence 500 Hz et de valeur maximale égale à 1 V. Relever les tensions d'entrée et de sortie de l'amplificateur et vérifier que l'amplification est bien égale à 4,7. Régler le GBF pour qu'il délivre une tension sinusoïdale de fréquence 500 Hz et de valeur maximale égale à 3 V. Relever les tensions d'entrée et de sortie de l'amplificateur. Un montage est linéaire si sa tension de sortie est sinusoïdale lorsque sa tension d'entrée est sinusoïdale. Est ce le cas ici? Vérifier que la tension différentielle d'entrée n'est pas toujours nulle dans cette expérience. Exercices sur les régimes variables 11 TS1 ET

12 3. Montage «amplificateur non inverseur» Étude théorique Le montage est représenté ci contre. Écrire la relation entre v e (t), v s (t), R 1 et R 2. Calculer l'amplification Étude expérimentale A 2 = v s v e si R 2 = 10 kw et R 1 = 10 kw. Relier le GBF en entrée du montage amplificateur et placer les entrées de l'oscilloscope qui permettent de visualiser les tensions d'entrée et de sortie. Régler le GBF pour qu'il délivre une tension sinusoïdale de fréquence 500 Hz et de valeur maximale telle que le montage fonctionne dans la zone linéaire. Relever les tensions d'entrée et de sortie de l'amplificateur et vérifier que l'amplification est bien égale à Montage «suiveur» ou «adaptateur d'impédance» Étude expérimentale Le montage est représenté ci contre. Montrer que v s (t) = v e (t). Utilisation et intérêt Régler le GBF pour qu'il délivre une tension sinusoïdale de valeur maximale égale à 2 V. Placer une résistance de 220 W aux bornes du GBF et mesurer la valeur maximale de la tension. Intercaler le montage suiveur entre le GBF et la résistance et visualiser les tensions aux bornes du GBF et de la résistance. Conclure sur l'utilité d'un tel montage. 5. Montage «additionneur» Le montage est représenté ci contre (toutes les résistances ont la même valeur). Montrer que v 3 = (v 2 + v 1 ) Proposer une amélioration pour obtenir en sortie v 3 = v 2 + v 1 6. Montage «soustracteur» Le montage est représenté ci contre (toutes les résistances ont la même valeur). Montrer que v 3 = v 2 v 1 Exercices sur les régimes variables 12 TS1 ET

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