La torsion simple. Hypotheses :

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1 La torsion simple Hypotheses : Les formules et les proprietes etablies dans la suite de ce cours supposent que : Le solide etudie est une poutre cylindrique de diametre constant et de poids neglige. Les couples sont appliques dans les sections extremes. La variation de longueur des generatrices est negligee. Definition : Une poutre est sollicitee a la torsion lorsqu elle est soumise a ses deux extremites a des actions mecaniques qui se reduisent a deux couples egaux et opposes dont les moments sont portes par la ligne moyenne. Les deformations seront limitees au domaine elastique. Etude des deformations : Sous l action du moment de torsion Mt, la generatrice M0M initialement rectiligne, devient un arc d helice MoM. Les points M1, M2, et M tournent autour de l axe de l eprouvette pour venir respectivement en M 1, M 2, et M. On releve les angles ( 1), ( 2) et ( ) et on constate que : 1/ x1 = 2/x2 = /x = constante. Cette constante, notee, est appelee angle unitaire de torsion. file:///c:/users/lenovo/desktop/la%20torsion%20simple.htm 1/6

2 Condition de rigidite : Pour certains arbres de transmission on doit limiter les deformations de torsion pour assurer une rigidite convenable, on impose alors une limite a l angle unitaire de torsion: Condition de resistance: Relation moment de torsion contrainte: Condition de resistance : Un composant sollicite a la torsion peut resister en toute securite a cette sollicitation si : file:///c:/users/lenovo/desktop/la%20torsion%20simple.htm 2/6

3 Dimensionnement de la tige d agitateur de peinture On suppose que: le couple se fait a une vitesse constante de 630 tr/min la puissance transmise est de 1400 W. la resistance pratique au cisaillement du materiau de la tige est p = 5 dan/mm2. la longueur de la tige L = 500mm. 1 Calculer le couple de torsion applique sur la tige : 2 Determiner le diametre minimal d1min de la tige : 3 Calculer l angle de torsion entre les deux extremites de la tige on prendra ( G = 8000 dan/mm2 ) : 4 Calculer le diametre minimal d2min de la tige dans le cas ou l angle unitaire de torsion ne doit pas depasser la valeur de 0,1 degre par metre : 5 Deduire le diametre d minimal de l arbre qui repond aux deux conditions (de resistance et de rigidite) : 1 Le couple de torsion applique sur la tige: file:///c:/users/lenovo/desktop/la%20torsion%20simple.htm 3/6

4 2 Le diametre minimal de la tige d1min: 3 L angle de torsion entre les deux extremites de la tige avec (G = 8000 dan/mm ): 4 Le diametre de la tige dans le cas ou l angle unitaire de torsion ne doit pas depasser la valeur de 0,1 degre par metre d2min: 4 Le diametre d minimal de l arbre qui repond aux deux conditions (de resistance et de rigidite): Application : Boitier de direction avec ecrou a billes: La figure ci dessous represente un boitier de direction pour automobile dans sa position conduite en ligne droite. La manoeuvre du volant, lie a l extremite gauche de la colonne de direction (1) provoque le deplacement en translation de l ecrou a billes (2). Suivant l etat de la route et la vitesse du vehicule, l ecrou (2) exerce sur la colonne (1) un couple resistant plus ou moins important. file:///c:/users/lenovo/desktop/la%20torsion%20simple.htm 4/6

5 Hypotheses: On suppose que la colonne (1) est assimilable a une poutre droite cylindrique pleine. Les dimensions de la colonne de direction (1) sont les suivantes: Diametre d = 14 mm, longueur entre le volant et la vis a billes L = OA = 780 mm La colonne (1) est en acier dont les caracteristiques sont : e = 300 N/mm2 et G = 8,4.104 N/mm2 Couple resistant maximal exerce en O par l ecrou (2) sur la colonne (1) :Mt = 10 N.m. Coefficient de securite s = 5. 1 Quelle est la valeur de la contrainte tangentielle maximale: 2 Verifier la resistance de la colonne: file:///c:/users/lenovo/desktop/la%20torsion%20simple.htm 5/6

6 3 On desire que l angle total de deformation elastique de la colonne (1) soit inferieur a 1. Cette condition est elle assuree: file:///c:/users/lenovo/desktop/la%20torsion%20simple.htm 6/6